CC BY
36
УДК 531.43
П.К. Плотников, д-р техн. наук, проф., (8452) 99-88-46, pribor@sstu.ru (Россия, Саратов, СГТУ), Ю.А. Захаров, канд. техн. наук, доц., (8452) 99-88-47, pribor@sstu.ru (Россия, Саратов, СГТУ)
ОБ УПРУГИХ КОЛЕБАНИЯХ В ГИРОМАЯТНИКОВОЙ ВЕРТИКАЛИ, ВЫЗВАННЫХ ВЛИЯНИЕМ ЯВЛЕНИЯ ПРЕДВАРИТЕЛЬНОГО СМЕЩЕНИЯ В ТРЕНИИ
Описываются эксперименты, в процессе которых выявлено наличие не только прецессионных, от маятника, движений главной оси гиромаятниковой вертикали (ГМВ) в кардановом подвесе, но также колебаний более высокой (не менее порядка) частоты за счёт упругих компонентов моментов сил трения, присущих явлению предварительного смещения (ЯПС). Анализ движений ГМВ, произведённый по результатам математического моделирования с предложенными авторами моделями трения на основе ЯПС, показал адекватность полученных результатов физическому эксперименту. При этом применены достаточно простые модели, обеспечившие эффективное и приемлемое по точности воспроизведение наблюдаемых в экспериментах параметров движенийГМВ.
Ключевые слова: гиромаятниковая вертикаль, модель трения, явление предварительного смещения
Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант № 11 - 01 - 00340 а 2012г.
Физико-математические предпосылки построения простых моделей ГМВ
В настоящее время всё ещё применяются гироприборы, стенды и установки с кардановыми подвесами, в которых имеет место трение [1]. Современные методы исследования поведения гироприборов базируются в основном на моделировании, что связано со сложностью уравнений с развитыми моделями трения на основе ЯПС, приведёнными, например, в [2-6]. В [7] применен аналитический метод исследования поведения трёхстепенного гироскопа в кардановом подвесе, но с использованием модели кулонова трения - без учёта ЯПС. В [8] приведены кулоновские и посткулоновские модели трения, в частности, Дала и Блимана - Сорина [2;5]. Модели трения с учётом ЯПС [2-6] достаточно полно описывают трение в статике, переходных и динамических режимах.
В данной работе рассматривается ГМВ на основе трёхстепенного гироскопа в кардановом подвесе с шарикоподшипниковыми опорами. Центр масс гироузла смещён вниз относительно центра подвеса, причём Н = 4000 Н*см*с, а маятниковость mgl = 200 Н*см. Исследованы процессы установления главной оси гироскопа после её отклонения от вертикали места на углы 2 - 3 угл. град вокруг той или иной оси подвеса. Съём сигнала осуществлялся оптическим путём с использованием лазерной линейки, зеркальца на гироузле и настенного экрана с записью процессов на ви-
деокамеру с последующей компьютерной обработкой результатов. Было установлено, что, вопреки теории [9], главная ось при возвращении к исходному состоянию не сразу приходит в положение застоя, а вначале совершает в течение 150 - 200 с колебания с частотой в 10 - 15 раз выше частоты прецессионных колебаний, равной mgl/H. Причиной этих колебаний являются упругие компоненты моментов сил трения, присущие ЯПС.
Для подтверждения этого тезиса было проведено математическое моделирование работы ГМВ при различных моделях трения в зоне предварительного смещения (ЗПС). Первой использована модель Дала [2], которая является самой простой, затем усовершенствованная модель Лу Гре [3,4], а затем модель Блимана-Сорина [5]. Применены также модели авторов [6].
Содержание работы составляют следующие вопросы:
- экспериментальные исследования режимов колебаний и моментов сил трения в ГМВ с определением параметров зон предварительных смещений по обеим осям подвеса.
- составление сводки замкнутых моделей моментов сил трения с учётом ЯПС в виде систем дифференциальных уравнений [2-5].
- построение дифференциальных уравнений движения ГМВ с упомянутыми моделями трения и проверка адекватности свойств, установленных при моделировании процессов в ГМВ, с результатами экспериментов.
Упрощенная модель трения авторов представлена в виде [6]
А, = х0 - [х0 (1/2)(1 + sign(х^)!1/2)^ + sign(\^ - ^0));
2 (1)
МТ = - КтА(1 -у(А/А0)2),
где А - угол предварительного смещения (ПС); х0 - относительная скорость (входной параметр для модели трения) - это либо а, либо ¡3 ; А 0 -граница ЗПС для трения ; МТ - момент сил трения (выход для модели трения) по одной из осей подвеса; КТ - коэффициент линейного компонента жесткости в ЗПС; у - коэффициент нелинейного компонента жёсткости в ЗПС.
Модель трения Дала с учетом ЯПС представлена в виде [2]
А = *о -|хо |(АД0) . (2)
Модель трения Лу Гре имеет вид [3,4]:
А = Хо - |*о |(а/(А0 + А )) , (3)
где - коэффициент «демфирования». Модель трения Блимана-Сорина имеет вид [5]
А1 = к1*о - к3 |*о |(А1/А0 ) , 134
У2 = к2хо - к41хо |(У2/У0 ) ^ = С1Х1 + С2Х2 ,
(4)
где к1...4, С1, С2 - коэффициенты, подбираемые для обеспечения максимального подобия циклических характеристик трения для теоретической и экспериментальной моделей.
Результаты теоретических и экспериментальных исследований
Дифференциальные уравнения прецессионного движения ГМВ с моделью (1) для трения имеют вид:
Нас - mglp = - Ыу - ту; Ир + mgla = МУ + тх;
гх = -^0(1 -у(У^Уа0)2); му =-КрУр(1 -у(хр/Ур0)2);
Уа = 011 - I1 + ^'М0Уа )][1 + | - Уа0 ]^4};
М У
У
р
+ ,
- [1 + ^ЧРУр)][1 + - У/0 ] /4}
(5)
где тх, ту - прочие моменты сил возмущения.
На рис. 1 для ГМВ представлены экспериментальные, а также расчетные траектории, полученные по уравнениям (5) с моделью трения (1).
а
б
Рис. 1. Траектории прецессионного движения: а - экспериментальные; б - расчетные
Из экспериментов следует, что в области макродижений ГМВ совершает прецессионные колебания с частотой mgl/H в соответствии с известной теорией. В области микродвижений (в ЗПС) малые эллипсы 1,2,3,4 и излом кривых на рис. 1 («угловатость»), теорией работы ГМВ [9] не описаны. В работе установлено, что причиной их является наличие упругих моментов трения в ЗПС. Амплитуды колебаний после момента времени t=90 с лежат в пределах (3-5) и (8-10) угл. с при их периодах 7-9 с и времени затухания до 160 с. Период прецессионных колебаний примерно
в 10-15 раз больше периодов колебаний от упругих компонентов трения. Значение границы микродвижений ^ о определено величиной
= 0.0004 рад.
Для моделей Дала и Лу Гре при параметрах, идентичных модели (1), получены картины траекторий движений, показанные на рис. 2. Имеют место затухающие колебания с удалением от зон застоя.
а б
Рис. 2. Траектория прецессионного движения: а - для модели Дала; б - для модели Лу Гре
Для модели Блимана, при аналогичных условиях, получается картина движения рис. 3, для нее циклическое трение по рис. 6 подобрано подобно модели (2).
а б
Рис. 3. Модель Блимана: а - траектория движения; б - циклическое трение
Анализ результатов приводит к следующим выводам.
Непосредственно из рис. 3 видно, что модель Дала дает увеличение нелинейного демпфирования, особенно в пределах ЗПС, где реально должна проявляться в первую очередь упругость. В случае малой маятни-ковости в ГМВ возможны смещение и даже уход вследствие колебаний внутри зоны (нелинейное детектирование). Аналогично из рис. 2 следует, что и модели Лу Гре присуще нелинейное демпфирование, что подтверждено уменьшением количества циклов колебаний по сравнению с моделью Дала.
Из рис.3 следует, что модель Блимана-Сорина применительно к ГМВ не воспроизводит колебаний в ЗПС даже при корректной картине циклического гистерезиса трения (см. рис. 3). При этом для ее реализации требуется задание более семи параметров для каждого конкретного режима движения, а при смене режима требуется новая идентификация параметров. Указанные свойства, возможно, объясняются тем, что модели, описанные в [3-5], предназначались для описания трения в парах «твёрдое покрытие - пневматик».
Из сравнения результатов следует, что для рассмотренных моделей трения наиболее соответствующей эксперименту, а также упрощенной модели авторов (1) следует считать модель Дала.
Авторы использовали для аналитических целей упрощенное выражение для предварительного смещения, полученное из (1) для одного аналитического выражения сигнатуры, в виде
Его характеристика подобна модели Дала, но не приводит к дополнительному демпфированию и уходу. Комбинирование её с моделью Дала позволяет устранить главный недостаток последней, а именно двойную крутизну возврата. Это получается при описании ЗПС в виде:
где д - малое число, соответствующее точности модели, 3= 0,01... 0,05.
Для улучшения реализации переключающих свойств в этом выражении первая скобка с дробью может иметь увеличенную степень п > 5.9.
Например,
Выражение не приводит к дополнительному демпфированию и смещению главной оси ГМВ. На рис.4 показаны результаты моделирования поведения ГМВ для моделей (1) и (8).
(6)
(8)
а
б
Рис. 4. Результаты моделирования: а - модель (1); б - модель (2)
Из сравнения рис. 4 видно практически полное, с точностью до 1 %, совпадение результатов, что гораздо выше точности определения параметров трения. Это обеспечивает адекватность эксперименту при применении моделей (7), (8) как для исследований, так и для построения алгоритмов компенсации трения в гироприборах.
Заключение
Определено опытным путём, что в ГМВ с кардановым подвесом имеют место не только прецессионные колебания от маятниковости, но также колебания от упругих компонентов моментов сил трения, присущих ЯПС. Частоты этих колебаний в 10-15 раз выше частот прецессионных колебаний, амплитуды лежат в пределах 3-10 угл. с после 90 с времени , а длительность - в пределах 150-200 с. Максимальные моменты сил трения по осям подвесов наружной и внутренней рамок карданова подвеса составили при включённом гиромоторе значения 0.4-0.5 и 0.25-0.3 Н*см.
Построены упрощенные модели моментов сил трения с учётом явления предварительного смещения на основе модели авторов [6], а также уравнения движения ГМВ с этими моделями. Произведенное по указанным уравнениям математическое моделирование показало адекватность результатов моделирования эксперименту.
Выявлены применительно к описанию микродвижений (т.е. в ЗПС) ГМВ некоторые недостатки моделей трения Блимана, Лу Гре и в меньшей степени - модели Дала. Именно им присуще увеличенное демпфирование гистерезисной природы, не позволяющее адекватно воспроизводить процессы в малом, и явление нелинейного детектирования, дающего погрешность. Видимо, указанные недостатки вызваны тем, что модели, представленные в [3-5], предназначены для описания трения преимущественно в автомобилях и соответственно для изучения их макродвижений.
Отметим, что в гировертикали с радиальной коррекцией учёт ЯПС в трении мало влияет на динамику прибора: макродвижения описываются так же, как при учёте кулонова трения; микродвижения очень быстро затухают из-за влияния радиальной коррекции. Статические погрешности несколько меньше, чем обычно рассчитывают в этих приборах, и это зависит от соотношений между величинами коэффициентов передачи радиальной коррекции и маятниковости.
Список литературы
1. Малогабаритные гироскопические инклинометры: Проблемы, тенденции развития, результаты разработок и внедрения / Я.И. Биндер [и др.]. Гироскопия и Навигация, 2006. 3(54). С. 19-29.
2. Dahl P. A solid friction model. Aerospace Corp., El. Segundo. CA, Tech. Rep. TOR - 0158 (3107-18) - 1, 1968.
3. A New Model for Control of Systems with Friction / Canudas de Wit C.a.l. // IEEE Transactions on Automatic Control. 1995. Vol.40. №3. P.419-424.
4. Olsson, H., Astrom, K.J., Canudas deWit, C., Gafvert, M., Lischinsky, P.: Friction Models and Friction Compensation. European Journal of Control. 1998. №4(3). P. 176-195.
5. Bliman P.A., Sorine M. Models de frottements secs pour les applications embargues. Applications on contact pnen // Actes des Journess Europeans de Frottement JEE'95, Villeneuve d'Astq (France). 1995. №12.
6. Захаров Ю.А., Плотников П.К. Модель силы трения и ее приложение к решению некоторых задач механики // Изв. РАН. МТТ, 1992.№6. С.56-65.
7. Климов Д.М. Затухание собственных колебаний гироскопа в кардановом подвесе с сухим трением / /Докл. АН СССР, 1958. Т.123.
8. Андронов В.В., Журавлёв В.Ф. Сухое трение в задачах механики. М.: Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2010. 184 с.
9. Павловский М.А. Теория гироскопов. Киев: Вища школа, 1986.
303с.
P.K. Plotnikov, Yu.A. Zaharov
THE FLEXIBLE OSCILLATIONS IN THE GIROPENDULUM APPLIED BY THE INFLUENCE OF PHENOMENON OF PRELIMINARY SHIFT IN THE FRICTION.
Perfection of a design of the gear disk bunker loading device for the purpose of maintenance of reliable loading of subjects ofprocessing of the form of bodies of rotation with implicitly expressed asymmetry of endfaces on the basis of application of a ring orienta-tor is considered.
Key words: the gear disk bunker loading device, a processing subject, asymmetry of end faces.
Получено 10.09.12
