Влияние локализации колебаний на отслоение пленки от основания Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЛИЯНИЕ ЛОКАЛИЗАЦИИ КОЛЕБАНИЙ НА ОТСЛОЕНИЕ ПЛЕНКИ ОТ ОСНОВАНИЯ*

А. К. Абрамян1, Н. М. Бессонов2, Д. А. Индейцев3,

Ю. А. Мочалова4, Б. Н. Семенов5

1. ИПМаш РАН,

д-р техн. наук, вед. науч. сотр., andabr33@yahoo.co.uk

2. ИПМаш РАН,

д-р физ.-мат. наук, вед. науч. сотр., nickbessonov@yahoo.com

3. С.-Петербургский государственный университет,

д-р физ.-мат. наук, профессор, dmitry.indeitsev@mail2.ipme.ru

4. ИПМаш РАН,

канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр., yumochalova@yandex.ru

5. С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, bsemenov@ramler.ru

1. Введение. В современных конструкциях в качестве защитных или усиливающих элементов часто используются тонкослойные покрытия, связанные с основной конструкцией. При деформировании таких многослойных конструкций на границе раздела основание — покрытие из-за различия их физико-механических свойств могут возникать значительные напряжения, приводящие к разрушению или отслоению покрытия. По проблемам деламинации многослойных конструкций при статических и динамических (ударных) нагрузках имеется обширная библиография. Следует назвать основополагающие работы Черепанова Г. П. [1-2] и Болотина В. В [3-5], а также публикации зарубежных авторов [6-8]. И если воздействие статических или ударных нагрузок на возникновение и развитие отслоения в многослойных конструкциях достаточно полно исследовано, то разрушение такого типа при нестационарных (вибрационных) нагружениях изучено намного меньше. Особый интерес к последним связан с тем, что даже малые переменные воздействия могут приводить к локализации колебаний в окрестности неоднородностей (включения, дефекты, конструктивные особенности и т.д.) [9] и сопровождаться возникновением и ростом дефектов, что оказывает существенное влияние на надежность и работоспособность конструкции в целом.

Примером таких конструкций с покрытиями, в которых наблюдаются разрушения типа отслоения, являются лопасти ветряных двигателей, распространение которых связано с возросшим интересом к альтернативным источникам энергии. В последнее время в связи с увеличением мощности ветряных двигателей повысились требования к таким его элементам, как лопасти ротора.

В процессе работы ротора наблюдались случаи отслоения верхнего покрытия лопасти, представляющего собой тонкую пленку, на некотором участке ее длины. Для оценки работоспособности конструкции важно знать дальнейший сценарий поведения такой пленки с появившимся участком отслоения. Причин возникновения и развития таких дефектов несколько: это и ветровая нагрузка, и стационарные колебания, возникающие в лопастях во время работы.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №10-01-00814).

© А. К. Абрамян, Н. М. Бессонов, Д. А. Индейцев, Ю. А. Мочалова, Б. Н. Семенов, 2011

В рамках этой работы исследуются возможность локализации колебаний на дефектах типа трещины—отслоения и влияние локализации на развитие дефектов. Предложена модель, позволяющая проанализировать условия дальнейшего роста отслоения и остановки его роста.

2. Постановка задачи. Учитывая, что обычно толщина тонкослойного покрытия много меньше характерных размеров основания, в качестве первого приближения заменим покрытие, прикрепленное к основанию, пленкой на упругом основании.

Основная цель работы состоит в том, чтобы показать, что в силу наличия неоднородности в упругом основании (для части длины пленки коэффициент упругого основания равен нулю) при действии нестационарной гармонической нагрузки часть энергии распространяющейся волны будет локализована в области неоднородности. При этом, в зависимости от параметров пленки и упругого основания, возможен различный сценарий поведения пленки: неограниченный рост длины зоны отслоения или рост отслоения с последующей остановкой роста.

Заметим, что если в пленке существуют только распространяющиеся волны, то влияние волновых процессов на поведение зоны отслоения незначительно, так как возбуждаемый волновой процесс «быстро» затухает. Ситуация меняется, если в пленке-волноводе возможна локализация волн в области дефекта. Известно, что при отсутствии диссипации локализованные колебания на определенных частотах могут не затухать бесконечно долго [9] и, таким образом, оказывать существенное влияние на поведение зоны отслоения. Существование стоячих волн, локализованных в области зоны отслоения, означает, что соответствующая спектральная задача имеет не только непрерывный, но и дискретный спектр собственных частот.

В настоящей работе рассматривается простейшая математическая модель поведения такой пленки при действии поперечной нестационарной гармонической нагрузки.

Пленка лежит на упругом винклеровском основании, моделирующем элемент лопасти, к которому она прикреплена. В рамках данной модели не исследуется зарождение отслоения, то есть считается, что в начальный момент времени существует участок пленки, оторванный от упругого основания длины 2lo.

При этом рассматривается случай, когда отслоение возникает не близко к краям лопасти, что подтверждается натурными наблюдениями. На отслоившемся участке натяжение пленки отличается от натяжения пленки на упругом основании, а при колебании отслоившегося участка взаимодействие пленки с упругим основанием носит характер одностороннего контакта, то есть взаимодействие пленки с основанием имеет релейную характеристику. Эти два фактора значительно усложняют построение решения, поэтому на данном этапе моделирования предполагаем, что натяжение постоянно по всей пленке, и отслоившийся участок не взаимодействует с упругим основанием. Учет виброударных нагрузок в области отслоения и изменения натяжения пленки будет рассмотрен на следующем этапе моделирования.

В качестве простейшей модели рассмотрим случай, когда задача может быть сведена к одномерной, и зона отслоения расположена на участке —lo < x < lo, —ж < y < ж, а сила приложена на линии x = xp, —ж <y< ж. Тогда задача сводит ся к задаче о колебаниях струны на упругом основании, жесткость которого k[x, l(t)] переменна: на отслоившимся участке струны жесткость основания равна 0, а на остальной части струны ко. Уравнение, описывающее перемещение струны на упругом основании под действием приложенной в точке x = xp нагрузки, имеет вид

putt — Tuxx + k[x, l(t)]u = P(t)S(x — xp), —ж < x < ж,

и, их ^ 0 при |х| ^ ж. (1)

Здесь р — погонная плотность струны, и — вертикальное смещение струны, Т — сила натяжения невозмущенной струны, Р(£)£(х — хр) —возбуждающая сила. Предполагаем, что в начальный момент времени при £ = 0 имеется участок пленки, длиной 2/о, отслоившийся от упругого основания. В качестве критерия отслоения выбираем деформационный критерий следующего вида: при достижении хотя бы в одном из концов отслоившегося участка критического значения смещения Д происходит рост отслоения со скоростью в (см. рис.1). Уравнение, описывающий рост области отслоения, имеет вид [8]

I = |{я[и(м)и=1_м - Д] +яКм)и+(0 — Л]}- (2)

Здесь /-(£) —координата левого конца отслоения, /+(£) —координата правого конца отслоения, 2/(£) = /- + /+ —длина области отслоения, и(х,£) —перемещение точки струны с координатой х в момент времени £, Н — функция Хевисайда, в — коэффициент, определяющий скорость роста отслоения, Д — критическое перемещение, при котором происходит отрыв пленки от упругого основания.

Р^)б(х-хр) х~р х

Рис. 1. Схема отслоения пленки.

При определенных условиях возможна локализация колебаний на участке с начальным отслоением 2/о (см. [9]), и амплитуда колебаний на концах зоны отслоения в какой-то момент времени может превысить критическое значение предельного смещения Д, что приводит к росту зоны отслоения. Увеличение длины отслоившегося участка пленки, в свою очередь, оказывает влияние на локализацию колебаний в области дефекта, а именно, может произойти переход к другим формам локализованных колебаний. Поэтому необходимо совместное решение системы уравнений (1) и (2) при начальных условиях

/|(=0 — /0; и? и(|(=0 — 0 (3) и граничных условиях для любых фиксированных £

и, их ^ 0 при |х| ^ ж. (4)

Таким образом, получили связную задачу о нестационарных колебаниях струны на упругом основании и росте зоны отслоения от упругого основания участка этой струны, описываемую системой уравнений (1)—(4).

3. Установившиеся колебания струны. Локализованные моды. Рассмотрим сначала случай, когда длина области отслоения постоянна 2/ — 2/о. Соответствующая спектральная задача и(х,£) — -у(х)е1ш* принимает вид

Т"Ухх — [к(х) — рш2]V — 0, —ж < х < ж,

V, vx ^ 0 при |х| ^ ж. (5)

Здесь ш — частота, к — ко [Н(х + /о) — Н(х — /о)]. Погонную плотность струны считаем постоянной. Введем следующие обозначения: с = у/Т/р— скорость звука в струне, шь = \/ко/р — частота отсечки.

Данная спектральная задача является частным случаем задачи о колебаниях струны с распределенным упруго-массовым включением, которая подробно рассмотрена в [9]. Было показано, что задача (5) наряду с непрерывным спектром собственных частот колебаний, начинающимся с частоты отсечки шь, имеет дискретный спектр, лежащий до частоты отсечки и состоящий из конечного числа собственных частот. Соответствующие дискретному спектру собственные формы колебаний, так называемые локализованные (ловушечные) моды, локализованы в области включения и не уносят энергию на бесконечность.

Симметричные локализованные моды, соответствующие собственным частотам ш8П, которые определяются дисперсионным соотношением

I о

і ап — ш с

у/шь~ш2

имеют вид

008 71Ж, |х| < /о

008 71/0 е 7о|ж 1о1, |х| > /0

где 71 = ш/с, 70 = у/ш\ - ш2/с.

(6)

(7)

Антисимметричные локализованные моды определяются спектром частот, найденным из дисперсионного соотношения

и имеют вид

/о ш

іап — ш = — -

у/^'ь ~ 1

8ІП 71/0 е-7о|х-(о1, X > /0,

= ^ 8ІП71х, |х| < /о,

[— 8ІП 71/0 е7о|ж+го1, х< —/0.

(8)

(9)

Схема определения корней частотных уравнений (6) и (8) представлена на рис. 2. Абсциссы точек пересечения кривых, определяющих правые и левые части частотных

ш

у! =

2

с

а

У

уравнений, дают искомые значения собственных частот при известных параметрах шь, с, /о. Заметим, что первой собственной частоте соответствует симметричная локализованная мода, второй — антисимметричная и т. д. Число собственных частот, лежащих до частоты отсечки, определяется параметрами волновода и длиной области отслоения.

Собственные функции, соответствующие частотам непрерывного спектра ш > шь (будем называть их бегущими модами), определяются следующим образом: для симметричных форм

(7^ соз70ж — з1п70ж, х > 1о,

<, = < с! сов 71Ж!

|ж| < /о,

(10)

С{ со5^0х + 8Ш7оЖ, х < 1о',

для антисимметричных форм

С“ соз70ж + з1п70ж, х > 1о

= < Са Бт 71ж,

< /о,

Здесь

(11)

—С“ соз70ж + йт701, х < 1о

С"

С{

вт^/о вт71/о + хсо870/о 00371/0 сов^010 8Ш71/о — хвт^/о 00371/0 ’ 8П170/о 00871^0 + ХС0870/о вШ71/о Х8Ш70/о в1п71/о — С08 70/о 008 71^0 ’

С2

са

сое 70/овт 71/0 — хэт^о/о 00371/0 к

хэт^о/о вт71/о — со8 70/о 00371/0 ’

7о = Vй2 “ ШИС1 к = 7о/71-

Можно показать, что найденные собственные функции (7)—(9) и (10)—(11) ортогональны в смысле обобщенных функций [10].

4. Нестационарная задача: разложение по собственным формам. Как и

раньше предполагаем, что длина области отслоения постоянна и равна 2/о. Пусть г* (ж) —локализованные моды (собственные функции), соответствующие дискретным собственным частотам ш* (г = 1, 2,..., N), гш (ж) —бегущие моды (семейство собственных функций), соответствующие частотам непрерывного спектра.

Тогда решение (1) будем искать в виде разложения по собственным функциям спектральной задачи (5) [10]:

N /> ^

(ж,4)=^ г*(ж)ф (4) + / гш (ж)яш (4)аш.

»=1 •'“ь

(12)

Здесь я*(4) и яш (4) —неизвестные функции, так называемые обобщенные координаты.

Подставляя (12) в (1), умножая на собственные функции, интегрируя по ж и используя дисперсионные соотношения (6) и (8), получаем

, 2 _ Яг(1)

Яг + ^г Яг

. г ч , п = 0, * = 1, 2,..., N.

м, ч^ч*и=о > , , , ,

Яш + ш Яш =

Яш(1)

мш '

Яш ,Яш |4=0 = 0.

(13)

(14)

а

г

ж

ш

к

Здесь Qi — обобщенные силы, действующие на формах дискретного спектра, — обоб-

щенные силы, действующие на формах непрерывного спектра, и Мі, М2 —обобщенные массы, которые определяются следующим образом:

/ — ^

V2(ж)аж;

/ — ^

V2 (ж)аж.

Решая систему уравнений (13)—(14), получим следующее выражение для прогиба струны:

N

и(х,г) = У2 [ йіпші(і-т)С2і(т)<1т+ [ [ в1пи;(г - т)(^ш{т)&т&и]. (15)

і=1 Мі ші]о ]шъ Мш ш ./о

Итак, решение уравнения (1) получено в форме разложения по локализованным и бегущим модам струны с распределенным включением. Используя лемму Римана—Лебега можно показать, что интеграл, определяющий разложение по непрерывному спектру в формуле (15), стремится к нулю при £ ^ ж, и при больших £ решение задачи (1) определяется только локализованными формами колебаний:

V-(ж) I

«(ж,г) —>■ -т)С}^т)<1т, £ —>■ оо. (16)

М- ш- ]о

Таким образом, внешнее воздействие приводит к локализации волн в области отслоения участка пленки, и при отсутствии в системе диссипации эти локализованные волны могут существовать бесконечно долго.

5. Отслоение пленки. После того, как проведен анализ локализации колебаний на дефекте фиксированной длины, перейдем к исследованию исходной задачи (1)—(4) об отслоении пленки, то есть о росте первоначального отслоения.

Пусть в начальный момент времени область отслоения пленки от основания равна 2/о. Предполагаем, что значение /о таково, что существует единственная собственная частота шо < ш&, и ей соответствует симметричная собственная форма, определяемая выражением (7). Тогда решение исходной задачи (1)—(4) будем искать в виде

и(ж,£) = v0(ж, I) д0(£). (17)

Замечание. В разложении (12) оставлено только первое слагаемое, соответствующее локализованной моде, таким образом, переходные процессы, связанные с распространением бегущих волн, не учитываются.

Так как предполагается существование первой симметричной формы колебаний, будем считать, что /+ = /_ и уравнение (2), описывающее рост области отслоения, запишется в виде

^ = [ЗН и(х,г)\х=т - Д . (18)

Длина зоны отслоения меняется во времени, и теперь симметричная форма vо(ж,/)

зависит от времени и задана на переменном интервале, а именно

v0(ж, /) = сов Аж Н (/ — ж) + сов А/е г(ж_г)Н(ж — /), 0 < ж < ж,

где Л = —о/с. Подставляя (17) в уравнение колебаний струны (1), умножая полученное уравнение на «о (ж, /) и интегрируя по ж, получаем довольно сложное нелинейное уравнение относительно до>(£) и /(4). Отбрасывая нелинейные слагаемые, получаем следующее уравнение для определения обобщенной координаты до>(£):

& + —2(l)qo =

Qo(t) Mo ’

q°,q°lt=o =

где

—2(l)

2-2

p+tt

r+tt

v2 dx + c2 / voX dx

о,

/

r+tt

v^ dx.

Предполагаем, что Л/ = —о [/(і) — /о]/с ^ 1. Тогда нетрудно показать, что —2(/) = —2 + о[(Л/)2], / = /(і) — /0.

Заменяя в последнем уравнении — (/) на —о, получаем, что исходная задача сводится к следующей системе уравнений:

•• і 2 Qo(t) . | п яо + ^ояо — —^—, qo,qo\t=0 - о,

Mo

vo(l, — o)qo(t) — А , l(t))|t=o = lo.

(19)

(20)

Рассмотрим сначала самый простой пример внешнего воздействия, а именно, колебания, вызванные импульсной возбуждающей силой, P(t) = P^(t). В этом случае обобщенная сила определяется как

Q0(t) = P0 cos Л/ e-Y0(xp-l) J(t).

Обобщенная масса не зависит от возбуждающей силы и имеет вид

M0 (t) = р [/ + sin 2Л//2Л + cos Л//70].

Тогда решение уравнения (19) может быть записано в виде

Poe Yo (xp l) qo(t) = -----—-------- cosA/ sin—o^-

Mo—o

Подставляя (2І) в (20) получаем

Po є cos2 Al

———------------sin u>ot — A

Mo(l) —o

l(t)|t=o = lo,

(2І)

(22)

где е = e №(Xp-0. Считаем, что сила приложена таким образом, что е < 1. Будем искать решение уравнения (22) приближенно. Так как | sin —0t| < 1, из (22) следует, что необходимое условие роста области отслоения имеет вид

Po є cos2 Al Mo(l) -О

> А.

(2З)

Тогда, если /о таково, что условие (23) не выполняется (амплитуда колебаний струны не достигает критического значения), то рост зоны отслоения не возможен. Если начальные условия таковы, что неравенство (23) выполняется, то линейный рост зоны

— tt

— tt

отслоения со скоростью в начинается с момента времени £ = ^, который может быть приближенно определен выражением

sin ^01 =

AuoMq(Io) P0 £ cos2 A10

l(t) = 10 + в t H (t — £i).

Длина зоны отслоения растет до того момента времени £ = £2, пока аргумент функции Хевисайда (22) не обратится в ноль. Рост зоны отслоения возобновляется в момент времени £ = £3, который может быть найден из выражения

А ^0 Mq (I2)

Р0£ cos2 A12

Такой ступенчатый рост зоны отслоения продолжается пока l(t) не достигнет некоторого критического значения. Действительно, с ростом длины зоны отслоения уменьшается амплитуда колебаний струны и, таким образом, существует момент времени tk и соответствующая длина l = Ik, при которых условие (22) перестает выполняться, и рост области отслоения прекращается.

Заметим, что аналогичная картина наблюдается и для случая, когда возбуждающая сила является гармонической, то есть имеет вид P(t) = P0 sin vt, где v — частота. В этом случае решение уравнения (19) приближенно определяется как

^ cos AA(t)

q0{t) = Р0е [ COS' у ^ sin u(t - т) sin—ordr. Jq M0 (t )

(24)

'0 Mq (t )

Как и для случая импульсной нагрузки, можно получить, что моменты времени t^, определяющие периоды роста зоны отслоения, находятся из уравнения

q0(t) cos Al = А.

Итак, приближенное аналитическое решение задачи, построенное на основе только симметричной собственной формы (7), описывает ступенчатый рост отслоения со скоростью, определяемой величиной параметра в. Анализ уравнения (20), описывающего рост отслоения, показывает, что возможны различные режимы роста, определяемые поведением аргумента функции Хевисайда в (20).

Было проведено численное моделирование исходной задачи (1)-(4). Движение возбуждалось гармонической силой. Результаты численного моделирования роста отслоения при различных значениях параметров в = 0.2,0.1,0.05 и А = 2 • 10-6 приведены на рис. 3.

Анализ численных результатов показывает возможность локализации колебаний на дефекте типа отслоения при определенной нагрузке и параметрах задачи, а также три возможных случая развития отслоения: 1) отсутствие роста отслоения при больших значениях критического перемещения А, когда амплитуда перемещений не достигает критического значения, 2) рост отслоения до определенной величины, а затем остановка (рис. 3), 3) при очень маленьких значениях А практически

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 t*

Рис. 3. Поведение границы области отслоения.

и

неограниченный рост отслоения. Таким образом, наблюдается хорошее качественное совпадение численного решения системы уравнений (1)—(4) с приближенным аналитическим решением.

6. Заключение. Наблюдаемые при эксплуатации реальных конструкций отслоения тонкослойных элементов, вызванные динамическими или вибрационными нагрузками, приводят к разрушению конструкций. Поэтому проблемы, связанные с выяснением причин подобных разрушений, представляют большой практический интерес. В рамках данной работы на примере отслоения струны от упругого основания показана возможность локализации колебаний на дефекте типа отслоения и проанализировано влияние этой локализации на процесс роста зоны отслоения. Рассмотренная задача является лишь первым приближением достаточно сложной проблемы. Предложена упрощенная постановка рассматриваемой проблемы. При построении приближенного аналитического решения учтена лишь первая симметричная форма колебаний. В дальнейшем необходим учет и несимметричной формы, а также перестройка колебаний при росте отслоения. Выбран наиболее простой критерий роста зоны отслоения, не учитывающий реальную реологию в окрестности границ отслоения. Вполне естественно обобщение полученных результатов на случай отслоения двумерной пленки, балки и тонкой пластины.

Однако даже упрощенная модель позволяет объяснить наблюдаемые в конструкциях с тонкослойными покрытиями разрушения, вызванные локализацией колебаний на различного рода дефектах, при сравнительно низком уровне нагрузок.

Литература

1. Черепанов Г. П. Механика разрушения композиционных материалов. М.: Наука, 1983. 264 с.

2. Черепанов Г. П. Механика разрушения многослойных оболочек. Теория трещин расслаивания // Прикладная математика и механика. 1983. Т. 47. Вып. 5. С. 832-845.

3. Болотин В. В. О динамическом распространении трещин // Прикладная математика и механика. 1992. Т. 56. Вып. 1. С. 150-162.

4. Болотин В. В. Дефекты типа расслоений в конструкциях из композитных материалов // Механика композит. материалов. 1984. №2. С. 239-255.

5. Болотин В. В. Межслойное разрушение композитов при комбинированном нагружении // Механика композит. материалов. 1988. №3. С. 410-418.

6. Рос С. С. Jr., Illg W., Garber D. P. Hidden impact damage in thick composites // Rev. of Progress in Quantitative Nondestructive Evaluation. Vol. 5. 1986. P. 1215-1226.

7. Joshi S. P., Sun G. T. Impact induced fracture in a laminated composite // J. of Composite Materials. 1985. Vol. 19, N 1. P. 51-66.

8. Andrews M. G., Massabo R., Gavicchi A., Gox B. N. Dynamic interaction effects of multiple delaminations in plates subject to cylindrical bending // Int. J. of Solids and Structures. 2009. Vol. 46. P. 1815-1833.

9. Индейцев Д. А., Кузнецов Н. Г., Мотыгин О. В., Мочалова Ю. А. Локализация линейных волн. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007. 342 с.

10. Бабич В. М., Григорьева Н. С. Ортогональные разложения и метод Фурье. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1983. 240 с.

Статья поступила в редакцию 7 октября 2010 г.