CC BY
56
Вестник Челябинского государственного университета. 2011. № 39 (254). Физика. Вып. 12. С. 63-66.
АСТРОФИЗИКА
Р. Р. Исаев, Р. Н. Измаилов
влияние квадрупольного момента солнца на гравиметрические эксперименты
Сплюснутость Солнца вызывает квадрупольный момент д. Этот факт был использован в попытке интерпретировать аномальное гравитационное ускорение космических аппаратов «Пионер 10/11» в направлении Солнца. В данной работе исследуется поправка на значения д в различных гравиметрических экспериментах Солнечной системы в рамках пространства-времени Эреца-Розена.
Ключевые слова: квадрупольный момент, пространство-время Эреца-Розена, гравитационное линзирование.
I. Введение. Анализ данных, полученных с космических аппаратов «Пионер 10/11», предполагает существование очень слабого, дальнодействующего аномального ускорения, ар = (8,74± 1,33)х 10-8 см/с2, в направлении Солнца [1-2] на расстоянии от 20 до 60 а. е. Оно названо аномальным, т. к. это ускорение не рассчитывается обычным гравитационным ускорением, вызванным действием Солнца. Попытка решения данной проблемы, с использованием метрики Эреца-Розена, была проделана Х. Кеведо [3]. Исследование показало, что квадрупольный момент Солнца вызывает ускорение акоторое имеет тот же порядок, что и величина постоянного ускорения «Пионера», только на расстоянии нескольких астрономических единиц. В то время как анализ всегда приводил к желаемому свойству притягивающей аномалии, качественное расхождение результатов между ар и а увеличивается с расстоянием и указывает, что объяснение аномального ускорения не удовлетворяет расстояниям, на которых были произведены измерения для спутника «Пионер 10/11».
Целью данной работы является расчёт эффектов, касающихся метрики Эреца-Розена, которая является наиболее подходящей, т. к. при q = 0 переходит в метрику Шварцшильда.
II. метрика эреца-Розена. Наиболее подходящим решением для исследования эффекта массового квадрупольного момента является решение Эреца-Розена [4], которое выводится из решения Шварцшильда с включённым в него произвольным квадрупольным моментом. В сферических координатах (, г, 0, ф) и в экваториальной плоскости 0 = — решение
задано как:
ds2 =-(1 - —) в2^ Ж2 + г
+(1 - —)-1 в2 ч( -¥) Жг2 + г2 в~2 ^ Жф2, (1)
г
где т — шварцшильдовская масса; q — безразмерная константа; у и у в общих функциях г и 0. Поверхностный член описывает сфероидальную конфигурацию, сплюснутую для q < 0 и вытянутую для q > 0. Для простоты ограничимся вычислениями в экваториальной плоскости, где эти функции принимают вид [3]
¥(/) = ~
3г 6г
----+ 2
1п
+ 3
Иг) --— 0 10 г4
, (2)
(3)
т
до главного порядка — . Таким образом, для
г
вычислений можно принять у0(г) = 0. При q = 0 получаем решение Шварцшильда в экваториальной плоскости. Разница в том, что в отличие от ограниченной чёрной дыры Шварцшильда, метрика Эреца-Розена имеет сингулярность при г = 2т, хотя является асимптотически плоской с компонентом % который при разложении принимает вид
1 -—9
15
ґ \2
т
г
(4)
Используя спецификацию монопольного момента Герока—Хансена [5], опишем монополь
как т и квадруполь как — ат3. Для Солнца,
15
постньютоновское выражение для % содержа-
щее квадрупольныи член, представлено как
"V2
г
V У
Р2 (С08 0)
Р2 (СО8 0) =
3С082 0-1
2 :
(5)
где J2 — квадрупольный момент массы Солнца, связанный с д; P2(cos0) — полином Лежандра; Я0 — усреднённый радиус Солнца и т — масса Солнца.
Принимая 0 = п/2, из уравнения (4) и (5) мы получаем
(6)
Измеренные значения сплюснутости видимой формы Солнца составляют ^ < 3^105 [6]. Возьмём принятое на данный момент значение ^ < 2,2240-7 [7].
III. эффект гравитационного замедления времени. Уравнения движения для света в метрике (1) имеют вид
1 -
2т
^ 77
— = Е; Л
2„-2ду ^Ф = і.
1 -
Г Є
2т
(7)
(8)
,29¥
+
1 2т
г
V ’ у Л-1 Ґ
а-2ЧУ
&
\2
+
&г
\2
+ г2 е~2т
& ф
\2
= 0. (9)
Последнее уравнение вытекает из g^v№Uv = 0, где и = , ДХ = шД1, т — масса покоя
ах’ 0 ’ о
пробной частицы. Определяя параметр влияния
] 2
Ь как Ь2 = —-Е2
где
I
тп
и Е —
сохраняющийся угловой момент и энергия соответственно. Подставляя (5) и (6) в уравнение (7), получаем
_1_ Ь2
\2
Кс1 А,,
+ (г) ,
(10)
где «эффективный потенциал» Wef.f(г) представлен в виде
^^(г) = 4т
1 -
2т
,4«
1
(11)
&
Подставляя —— из (5) в (8), получаем а к
& _ ± 1 &г Ь
' 2т > -1 в~2^
V г У
(12)
Знак «±» означает, что радиус может увеличиваться или уменьшаться. Приведённые выше функции раскрываются как
^ (13)
о-2^ ^ у __ 2дт 2дт ;
15г3 5г4 ’
5г4
(14)
отсюда следует, что член д связан только при
т
главном члене
Следовательно, эффект слишком мал для того, чтобы обнаружить его в настоящее время. Время путешествия ^г, г1) от возвратной точки гх к радиусу г равно
Г 1
Ґ (г, г1) = J Ф —
/1 2т ^ -1 е-2«^
V г У
і - ^^(г)
Ь
(15)
и полное время путешествия составит
(А? )полное , Г1 ) + 2 ( Г )• (16)
Раскрывая подынтегральное выражение до
3
т
порядка —^, определим новую переменную ш г
как
_ ь
ю
(17)
Интегрируя по ё<х>, преобразуем результат в значении переменной г. Для того чтобы избавиться от Ь в полученном выражении, воспользуемся соотношением
1
что даст нужный уровень точности:
(18)
, 3т
Ь ~ г1 + т +-------------------------+
2Г
_5___________2д_
2г12 15г2
т
Конечным результатом будет выражение
, , і 2 2 г + \1>
і (г, г ) = у] г - г + 2т 1п ------------— +
3
+т
г + г
+
дт
2(5г3г13 - 3г5г1 - 2гг15) 15г;3 (г2 - г12)
(20)
плюс члены более высокого порядка.
IV. эффект отклонения света. Уравнение движения света вокруг Солнца, с разложениями в (13) и (14), даёт следующее решение:
й2и „ 2 2ды2 т3
- + и = 3ти -:
5Ь
(21)
где и = — . Это уравнение может быть переписа-г
но в следующем виде: й 2п
+ и — Зам
где константа а задана как
/
а = т
1 -
2дт2
15Ъ2
(22)
(23)
Таким образом, искривление луча света задаётся как
15п
8
ґ \2
т
8дт3
15Ь3
(24)
т. е. в случае сжатия искривление увеличивается, вытянутости — уменьшается. Поправочный
член в
Ґ д ^ (4т 120
\2
раз меньше, чем главный
4т „ „ _-б
член первого порядка. При Я = Ь,-------= 8,5 х 10
Ь
т
радиан, J = 2,22^10 7 и — = 2,12х 10
*с
Солнца, получаем д = — J2
для
= 3,7 х 105
Тогда значение поправочного члена составляет
8дт
15Ь3
= 1,89 х10 12 радиан, что на 4 порядка
меньше, чем обычное шварцшильдовское искривление? и уменьшает его на это значение. Шварцшильдовская поправка 2-го порядка
равна
15п
Г8",
= 2,6 х 10 11 радиан. Таким
образом, квадрупольный момент на один порядок меньше, чем отклонение 2-го порядка.
V. Влияние на прецессию перигелия планет. Используя (7), (8) и (9), уравнение движения g = —т0 для массивных пробных частиц с
энергией Е и угловым моментом I, приводим к приближённому уравнению движения:
где
й и т 2
—^ + и = —+ Зри , й ф2 Ї2
в = т 1 +
дт
Ї5І2
(25)
(26)
в котором отброшены члены порядка выше, чем
2
у д, и и их произведений.
Для оценки влияния д на прецессию сделаем следующее. Решение нулевого порядка — это эллипс Кеплера:
12
и0 = — (1 + Є С08 Ф), Р
где р =— = а (1 - в2) и
т ' '
е
(27)
экстренситет.
Обычный метод возмущений ведёт к решению
'і -
р ,,
\ РА
(28)
Условия для перигелия (минимальное значение г)
ф ~ 2пп
',+36'
(29)
где п натуральное положительное целое число. Это приводит к смещению перигелия за один цикл вращения
6пР 6пт
5ф = -
Р
6пт
1 +
дт 15 р
3пЯ2
а(1 - е2) 2 а2 (1 - е2 )2
(30)
Первый член описывает смещение Меркурия на 43,03" за 100 лет, тогда как полное смещение с поправкой на общую теорию относительности и сплюснутость Солнца равно 42,56"±0,94" [2]. Точное значение J2 в настоящее время не измерено, однако точно известен порядок пропорциональный 10-7.
VI. Заключение. В работе было вычислено влияние д с проверкой гравиметрических расчётов Солнца, таких как гравитационное линзирование, прецессия планет и задержка по времени.
Квадрупольная поправка отклонения света равна 1,89-Ш-12 радиан. Коррекция отклонения в
ближайшем будущем может быть проверена с повышенной точностью (однако можете рассмотреть критическое обсуждение текущих измерений), неточность в измерениях прецессии исключает коррекцию на нынешних уровнях точности. Интересно, что в метрике пространства-времени Эреца-Розена потенциа-
лы g , и член второго порядка
2
m
vr У
исчезают
из (24), однако заменяются квадрупольным членом на порядок ниже. В связи с его отсутствием, метод возмущений даёт член
второго порядка
'15л v
\2
m
в выражении для
отклонения световой линии.
Список литературы
1. Anderson, J. D. Indication, from Pioneer 10/11, Galileo, and Ulysses Data, of an Apparent Anomalous, Weak, Long-Range Acceleration / J. D. Ander-
son, P. A. Laing, E. L. Lau, A. S. Liu, M. M. Nieto, S. G. Turyshev // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81. P. 2858-2861.
2. Anderson, J. D. Study of the anomalous acceleration of Pioneer 10 and 11 / J. D. Anderson, P. A. La-ing, E. L. Lau, A. S. Liu, M. M. Nieto, S. G. Turyshev // Phys. Rev. D. 2002. Vol. 65. P. 082004.
3. Quevedo, H. Multipole moments in general relativity. Static and stationary vacuum solutions // Fortschr. Phys. 1990. Vol. 38. P. 733-840.
4. Zeldovich, Ya. B. Relativistic Astrophysics / Ya. B. Zeldovich, I. D. Novikov. Chicago : University of Chicago Press, 1971.
5. Geroch, R. Multipole Moments. II. Curved Space // J. Math. Phys. 1970. Vol. 11. P. 16654271665435.
6. Dicke, R. H. Solar Oblateness and General Relativity / R. H. Dicke, H. M. Goldenberg // Phys. Rev. Lett. 1967. Vol. 18. P. 313-316.
7. Kuhn, J. R. The Sun’s shape and brightness / J. R. Kuhn, R. I. Bush, X. Scheick, P. Scherres // Nature. 1998. Vol. 392. P. 155-157.
8
