Влияние коррелированных помех с неизвестной функцией распределения на способ оценки направления на объект в гидролокации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 551.465

1 2 2 3

С.В. Шостак , П.А. Стародубцев , Е.Н. Бакланов , К.А. Пичугин

Дальневосточный федеральный университет, 690600, г. Владивосток, о. Русский, кампус ДВФУ, корпус A Дальневосточный государственный технический рыбохозяйственный университет,

690087, г. Владивосток, ул. Луговая, 52б 3 Тихоокеанское высшее военно-морское училище имени С. О. Макарова, 690006, г. Владивосток, Днепровский переулок, 6

ВЛИЯНИЕ КОРРЕЛИРОВАННЫХ ПОМЕХ С НЕИЗВЕСТНОЙ ФУНКЦИЕЙ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НА СПОСОБ ОЦЕНКИ НАПРАВЛЕНИЯ НА ОБЪЕКТ

В ГИДРОЛОКАЦИИ

Рассматривается модель пространственно-временного сигнала, формируемого линейной антенной решеткой, в виде линейного векторно-матричного уравнения с использованием в качестве оценок линейных комбинаций наблюдаемых сигналов. Приводится способ оптимальной оценки направления на источник сигнала при воздействии на антенную решетку коррелированных помех с неизвестной функцией распределения.

Ключевые слова: гидролокация, диаграмма направленности, антенная решетка, обнаружение сигнала, пространственно-временной сигнал.

S.V. Shostak, P.A. Starodubtcev, E.N. Baklanov, K.A. Pechugin THE EFFECT OF CORRELATED NOISE WITH UNKNOWN DISTRIBUTION FUNCTION ON THE METHOD OF VALUATION OF DIRECTIONS

TO OBJECT IN SONAR

The model of spatiotemporal signal, produced by the linear antenna array, in the form of a linear matrix-vector equations using linear combinations as estimates of the observed signals is discussed. The article provides a way to estimate the optimum direction of the source signal when exposed to an antenna array correlated noise with an unknown distribution function.

Key words: sonar, radiation pattern, antenna array, signal detection, spatial-temporal signal.

Введение

Приемная антенна (ПА) в задачах гидролокации используется в основном для пространственной фильтрации или угловой селекции, поэтому многие работы по этим вопросам в современной гидроакустике посвящены в основном способам получения требуемых диаграмм направленности (ДН) с помощью весового суммирования сигналов отдельных элементов антенной решетки в целом.

В основе такого подхода всегда лежит предположение, что наилучшим способом, обеспечивающим повышение эффективности обнаружения сигнала, является формирование некоторой ДН ПА.

Так как волна, по определению, есть функция пространства и времени или имеется функциональная зависимость между пространственной и временной переменными, то при более общем подходе к проблеме обнаружения сигнала и определения угловых характеристик источника на форму ДН не накладывается каких-либо ограничений.

Обработка пространственно-временного сигнала обычно проводится в условиях присутствия в гидроакустическом канале шумов и помех среды. Поэтому для таких условий надо говорить только об оценке направления, и задача определения направления на источник относится к области статистической обработки.

В традиционных методах оценки направления, как правило, предполагается, что функция распределения шума известна, шумы на гидрофонах не коррелированны и имеют одинаковую дисперсию. В реальной обстановке такие предположения выполняются достаточно редко. Например, помеха от точечного отражателя/излучателя формирует на решетке коррелированную помеху, в результате чего в гидрофонах помехи становятся не только коррелированными, но и имеют различную дисперсию [1].

Целью данной работы является разработка метода несмещенной оценки направления на источник излучения (находящееся на больших дистанциях объёмное возмущение водной среды масштабным рыбным косяком) с минимальной дисперсией в условиях воздействия на линейную антенную решетку корреляционных помех с неизвестной функцией распределения.

Основная часть

В данной научной работе будем считать, что на интервале наблюдения шум (сюда входят и помехи) является стационарным процессом с нулевым средним, неизвестной функцией распределения, не обязательно белый. В качестве критерия оптимальности примем, что оценка должна быть несмещенной и с минимальной дисперсией. Это позволяет в дальнейшем рассмотреть модель пространственно-временного сигнала, формируемого линейной антенной решеткой.

Пусть в предположении плоского волнового фронта поле акустического давления формирует пространственно-временной сигнал, как показано на рис. 1.

цель

m

M -

Рис. 1. Модель формирования пространственно-временного сигнала Fig. 1. The model of formation of the space-time signal

Полагаем, что цель излучает/отражает гармонический сигнал вида

)= а • сов(2л/0? -Т),

(1)

где а - амплитуда сигнала; /0 - несущая частота; Т - начальная фаза.

Считаем, что антенная решетка расположена в дальней зоне, когда волновой фронт сигнала является плоским, как представлено на рис. 1. В таком случае сигнал на т -м гидрофоне

запаздывает относительно (т - 1)-го на величину — в1пр, где — - расстояние между гидро-

с

фонами, с - скорость звука в воде. Тогда на отдельном гидрофоне формируется информаци-

онный сигнал

¿•(т, I) = а • сов

(

( ( — \ > 2л/0'1 I--вт <р0 • т I - Т

= а • сов

(

2л /0 ? - 2л

— .

\

— 81ПР0

\Л0

\ \ т-Т

(2)

/ у

где Л - длина волны.

После аналого-цифрового преобразования сигналов в каждом канале выражение (2) приобретает вид

s(m,п) = а •

сов

2л/о п - 2л

( — . >

Л

Л

-втро

т-Т

(3)

где п = 0 + N -1 - номер отсчета в области времени;

/о = /о/ ; /л - частота дискретизации. / / Л л

В реальной обстановке информационный сигнал (3) приходит на антенную решетку в аддитивной смеси с шумом гидроакустического канала а>(т, п). В результате на выходе гидрофона формируется сигнал

х(т,п)= 5(т,п)+с (т,п),

(4)

где со (т, п) - шумовая составляющая, которая включает и помехи. Перепишем выражение (4) в развернутом виде:

х (т, п )= а •

сов

2 л/о п - 2л

( — л

—втро

Л

л

т -Т

+ с

(т, п ) =

= а • сов (2л /0 п) • сов (2 л 50 т - Т) + а • в1п (2 л /0 п) • в1п (2 л 50 т - Т) + с (т, п),

о — •

где &0 = ~~ 8тРо.

Л

Раскрывая изменение сигнала во времени (по переменной n), получим

х (m,0)= a • cos (2ж f 0 • 0)• cos (2ж30 m - Y) + a • sin (2 ж f 0 • 0)• sin (2ж30 m - + a (m,0) x (m,1)= a • cos (2ж f 0 4)cos (2ж30 m - T)+ a • sin (2ж f 0 4)sin (2ж30 m - x¥)+a (m,1)

x (m, N -1)= a • cos (2жf0 •(N -1))cos (2 ж. m -¥) +

+ a • sin (2 ж f0 •(N -1))-sin (ж. m-T)+a(m, N -1)

Выражение (6) несложно представить в векторно-матричной форме

X m = H '•9'm+ Wm ,

(6)

(7)

где

х (да,0) " 1 0

Xm = х (да,1) ; h' = cos(2^/0 -1) sin(2^/0 -1)

х (да, N -1) cos (2nf0 (N -1) sin (2^/0 (N -1

em =

a • cos (2я"|90 да -Y) a • sin (2^"i90 да -Y)

= a

cos (2ж30 да -Y) sin (2ж30 да -Y)

; W =

' m

c (да,0) c (да,1)

c(m, N -1)

Из соотношения (7) следует, что информацию об амплитуде сигнала а и направлении на источник ср0 несет вектор ^ при искажающем воздействии шумового вектора Wm . Для получения последующих результатов представим пространственно-временной сигнал, сформированный антенной решеткой, в общем векторно-матричном виде, в результате чего образуются следующие выражения:

X =

X,

:(0, 0)

х (0, N -1) х (1, 0 )

х (1, N -1) х (M -1,0 ) х (M -1, N -1)

(8)

H=

сов

(N-1)) sin((N-1))

cosí

(2 л/(N-1)) sm(/(N-1))

сов

((/o (N - 1)) sin( 2л fo ( N - 1) )

(9)

e =

eM-1 .

cos(2л30 • 0-Y) sin (2л90 • 0 -Y)

cos (2л90 •(M - 1)-Y) sin (2л90 •(M - 1)-Y)

(10)

Ж =

W

'' M-1

a

(0,0)

a(0, N -1) a(M-1,0)

(11)

с(М-1, N -1)

^_у_^

ММ х1

Окончательно в компактном виде модель пространственно-временного сигнала решетки можно записать

X = H-e + W,

(12)

где X - вектор измерений размерностью (MN х 1); Н - матрица связи размерностью (ш х 2М); 9 - вектор параметров размерностью (2М х1); W - вектор шума размерностью (Ш х 1).

В выражении (12) вектор X является вектором сигналов, измеренных на гидрофонах, Н -известная матрица.

Из выражения (12) видно, что модель формирования сигнала в антенной решетке представляется в виде линейного векторно-матричного уравнения, где искомой величиной является вектор 9. Для оценки 9 в подобного рода моделях применимы методы линейного оценивания, когда оценки вычисляются как линейные комбинации взвешенных с определенными весами, которые необходимо определить, наблюдаемых сигналов [2, 3]. К достоинствам таких оценок относится возможность получать несмещенные оценки, а также то, что они не требуют точного знания статистик шума, а только моменты до второго порядка включительно.

MNX2M

Обобщенный метод линейного оценивания основан на выражении

в = А • X ,

(13)

где А - неизвестная матрица весов, которую требуется определить.

Как известно, основным требованием к методам оценивания является требование выделения некоторых величин из зашумленных данных насколько можно точнее [2, 3, 4]. К такому требованию относится требование несмещенности оценки

E

(14)

где Е - оператор математического ожидания.

Из-за наличия шума при оценке в снова формируется случайный процесс, и тогда метод линейного оценивания дает

E

в

= E [ AX ] = E [ A (Ив + W )] = E [ АИв- AW ] = AHE [в] + AE [W ] = AH в + AE [W ]. (15)

Так как ранее было положено, что среднее значение шума равно нулю, т.е. Е [Ж ] = 0, то матрица А должна удовлетворять условию

А • Н = I, (16)

где I - единичная матрица.

Получим теперь выражение для дисперсии вектора оценки в) через ковариационную матрицу

E

(в? - в) (в? - в) = E [(AX - в) (AX - в) ] = E Г( AH6 + AW - в) (AH6 - AW - в

где т - операция транспортирования. С учетом условий (16) получим

E

Т г" ~~

(в?-в)(в-в) = E (AW)(AW)T = E[AWWTAT ] = AE[WWT ]AT = ACWAT, (17)

где - ковариационная матрица шума.

Кроме требования несмещенности другим требованием к оценке является оценивание с минимальной дисперсией. Для этого необходимо найти матрицу весовых коэффициентов А, которая давала бы минимальное значение (17) с учетом условий (16). Эта задача на поиск условного минимума, и решение ее получено в [2-5] на основе теоремы Гаусса-Маркова, из которой следует, что если данные измерений есть общая линейная модель вида

X = H-в + W,

(18)

где Н - известная (MN х 2М) матрица, в есть (2М х1) вектор параметров для оценивания, Ж есть (MN х 1) произвольно распределенный шумовой вектор с нулевым средним и известной (MN х MN) ковариационной матрицей СЖ, то наилучшей линейной несмещенной оценкой

для 0 является

в = ( ИТСШИ)-1 ИТСЩ X. При этом дисперсия оценки в определяется выражением

уаг (в ) = ( ИТСЩ И)-1, а минимальная дисперсия оценки отдельного параметра вт

(19)

(20)

уаг

(вт ) = \(ИТС- 1И )

(21)

Для нашего случая получили, что

А = ( ИТСЩ И)-1 ИТСЩ\

(22)

В частном случае, если Ш - белый шум с ковариационной матрицей

С — /т т

(23)

где сш - дисперсия шума, то СЩ —• Т,

сш

и тогда выражение оценки (19) приобретает вид

в — (ИТ С 1И ) • ИТС-1X:

V1

ИТ —Т • И

V сш

• И1

( 1 V1

Vеш

X — (ит И ) • ИТХ (24)

т.е. сводится к стандартной процедуре наименьших квадратов.

Множитель СЩ в (19) проводит предварительное предотбеливание данных до усреднения, т. е. выравнивает шумовой вклад каждого гидрофона. Тогда, если Ш имеет гауссовское распределение, то в результате вектор в так же будет распределен по нормальному закону с ковариационной матрицей вида (22).

Как показывает (10), вектор в состоит из ряда косинусов и синусов, искаженных шумом, который приведен к белому. Последовательности косинусов и синусов в в являются функциями, где в качестве аргумента выступает номер гидрофона, а постоянная величина

П й ■ й

■90 —— имеет смысл пространственной частоты, т.е.

Л)

008 (2 л <90 т - ф) — 008 э1п (2л<90 т - ф) — 8ш

( ( 2л

й .

\

\

\

((

2л

VЛ0

81П^0

т-Ф

й .

/

Л '

т-Ф

(25)

тт

В результате задача оценки направления на источник сводится к оценке пространственной частоты ,0 гармонического колебания на фоне белого шума с минимальной дисперсией. Вектор оценок параметров (19) с помощью (м х 2M) матрицы

D =

"1 j 0 0 — 0"

0 0 1 J — 0

0 ■ ■ ■ 1 j _

(26)

M х2M

где у = л/^Т - мнимая единица,

несложно преобразовать в комплексный вид

7 = В-в. (27)

Далее вектор 7 легко представляется в виде комплексного сигнала переменной т

z(m) = a •

a • exp

f f

2n

V v

d

\

Y

m - ¥

+

s(m) = a • exp [j(ln30 m - V)]+s(m),

(28)

где е(т) - шумовая составляющая с дисперсией и^ и ковариационной матрицей ст? -1.

В работе [6] проведено решение задачи оценки амплитуды, частоты и начальной фазы гармонического сигнала вида (28) на фоне белого гауссовского шума методом максимального правдоподобия. Представленные результаты показывают, что наилучшим методом оценки частоты является метод периодограммы [5,6], который для нашего случая имеет вид

2

- (29)

J_

M

M-1

£z(m)• exp(- j2,3 • m)

m=0

где | |- абсолютное значение (модуль) выражения. Подставим в (29) информационную часть (28):

J_

M

M -1

£a • exp [ j'(2^<9o m - V) exp(- j2n3m)

m=0

M

aM£exp [- j 24*-% )-m]-exp (- jV)

m=0

(30)

.OL

M

M-1

£ exp

- j2,| 3--^-sln^o m

Л0

2

Несложно заметить, что в случае , = ,0 = - 8тс0 (30) имеет максимальное значение.

Л

И, следовательно, оценка пространственной частоты ,0, соответственно и угла ср0, опреде-

2

2

m=0

ляется выбором частоты 3 , для которой периодограмма достигает максимального значения. При этом неравенство Рао-Крамера дисперсии оценки 30 имеет вид [2, 6, 7]

Уаг (3 )-т^Ц-г — ^^-—-т6^, (31)

^ а2 • М (И2 - 1)(2л)2 (м 2 -1) (И2-1)

J

где q = — отношение сигнал/шум.

Выражение (31) показывает, что граница Рао-Крамера оценки пространственной частоты обратно пропорциональна отношению сигнал/шум и уменьшается обратно пропорционально третьей степени числа гидрофонов в линейной антенной решетке, что делает рассмотренный способ достаточно помехоустойчивым [8].

Заключение

Таким образом, в настоящей работе получен способ оптимальной оценки направления на источник сигнала для линейной антенной решетки при воздействии на нее коррелированных помех с неизвестной функцией распределения. При этом в отношении шума предполагается, что его плотность вероятности неизвестна, но он может быть описан первым и вторым моментами [9-10]. Сформированный антенной решеткой пространственно-временной сигнал в работе описан в виде линейной модели (7), которая включает и шумовую составляющую. В рамках данной модели (10) представляет вектор параметров, который несет информацию о направлении и который требуется предварительно оценить. Требования несмещенности и минимума дисперсии оценки реализованы на основе теоремы Гаусса-Маркова в виде матрицы весовых коэффициентов, которыми взвешиваются сигналы на выходе отдельных гидрофонов, в результате чего «отбеливается» шумовая составляющая пространственно-временного сигнала и минимизируется ее дисперсия.

Список литературы

1. Монзинго, Р.А. Адаптивные антенные решетки / Р.А. Монзинго, Р.А. Миллер. - М.: Радио и связь, 1986.

2. Манелис, В.Б. Адаптация защитного интервала OFDM-сигнала к изменяющимся канальным условиям / В.Б. Манелис, И.В. Каюков // Радиолокация. Навигация. Связь: материалы Междунар. науч.-техн. конф., 2008.

3. Зелкин, Е.Г. Синтез антенн на основе атомарных функций / Е.Г. Зелкин, В.Ф. Кравченко. - М.: Радиотехника, 2003.

4. Kay S. Fundamentals of Statistical Signal Processing: Estimation Theory. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. - 1993.

5. Haykin S. Adaptive Filter Theory. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. - 1986.

6. Hayes M.H. Statistical DIGITAL SIGNAL PROCESSING AND MODELING. JOHN WILEY & SONS, INC., New York. - 1996.

7. Марпл - мл., С.Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения / С.Л. Марпл -мл. - М.: Мир, 1996.

8. Рабинер, Л. Теория и применение цифровой обработки сигналов / Л. Рабинер, Б. Го-улд. - М.: Мир, 1978. - 848 с.

9. Кривошеев В.И. Современные методы цифровой обработки сигналов (цифровой спектральный анализ). Учебно-методический материал по программе повышения квалификации «Современные системы мобильной цифровой связи, проблемы помехозащищенности и защиты информации». - Нижний Новгород, 2006. - 117 с.

10. Kay S. Modern Spectral Estimation. Theory and Application. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. - 1988.

Сведения об авторах:

Шостак Сергей Васильевич, кандидат технических наук, доцент, e-mail: servash@mail.ru;

Стародубцев Павел Анатольевич, доктор технических наук, профессор, e-mail: spa1958@mail.ru;

Бакланов Евгений Николаевич, доцент, e-mail: baklanoven@mail.ru;

Пичугин Константин Александрович, доцент, e-mail: pka2004@yandex.ru.