Влияние контрионов на структуру заряженных дендримеров: компьютерное моделирование методом Монте-Карло Текст научной статьи по специальности «Химические науки»

ВЫСОКОМОЛЕКУЛЯРНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ, Серия А, 2005, том 47, № 1, с. 78-84

ТЕОРИЯ, -МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 541.64:539.2

ВЛИЯНИЕ КОНТРИОНОВ НА СТРУКТУРУ ЗАРЯЖЕННЫХ ДЕНДРИМЕРОВ: КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕТОДОМ МОНТЕ-КАРЛО1 © 2005 г. Д. Е. Гальперин*, В. А. Иванов*, М. А. Мазо**, А. Р. Хохлов*

* Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Физический факультет 119992 Москва, Ленинские горы **Институт химической физики им. H.H. Семенова Российской академии наук 119991 Москва, ул. Косыгина, 4 Поступила в редакцию 30.03.2004 г. Принята в печать 11.08.2004 г.

Динамическим континуальным методом Монте-Карло в рамках модели свободносочлененной цепи исследовано влияние контрионов на пространственную структуру заряженных дендримеров в разбавленном бессолевом растворе. Обнаружено, что с ростом длины Бьеррума набухание дендримера сменяется сжатием, обусловленным мультипольным притяжением в рассматриваемой системе, и возможна ситуация, когда заряженный дендример окажется более компактным, чем нейтральный.

ВВЕДЕНИЕ

Исследования последних лет показали, что контрионы существенно влияют на пространственную организацию как самих линейных полиэлектролитов, так и на структуру их комплексов с другими молекулами [1, 2]. При этом важную роль играет конденсация контрионов, происходящая при относительно сильном вкладе электростатических взаимодействий. В компьютерном моделировании явный учет контрионов до сих пор проводился лишь на линейных полиэлектролитах, а их влияние на структуру сверхразветв-ленных молекул не рассматривалось.

Наиболее интересный случай разветвленных полимеров - это дендримеры: регулярные сверх-разветвленные молекулы, которые обладают уникальными химическими и физическими свойствами [3,4]. Особый интерес к таким молекулам связан с тем, что они могут играть роль контрастирующих агентов [3], молекулярных контейнеров [5] и переносчиков фрагментов ДНК к ядру клеток [6]. Эти полимерные структуры состоят из ядра, повторяющихся межузловых фрагмен-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Голландского научного общества (проект 9900525).

E-mail: mazo@polymer.chph.ras.ru (Мазо Михаил Абрамович).

тов (спейсеров), узлов ветвления и концевых фрагментов. Следует отметить, что число концевых фрагментов в дендримере растет по степенному закону с увеличением его размера (числом генераций), поэтому концевые фрагменты определяют межмолекулярные взаимодействия в ден-дримерах [4] и существенно влияют на их струк-туру [4, 7]. Известен целый ряд водорастворимых дендримеров, у которых концевыми являются аминогруппы [3]. В связи с этим такие молекулы - сильные электролиты, обладающие значительным положительным зарядом на концевых группах уже при нейтральных значениях рН [8,9].

Исследования структуры нейтральных дендримеров с помощью методов аналитической теории и компьютерного моделирования проводятся уже в течение двух десятков лет [7, 10-16], тем не менее вопрос о распределении звеньев внутри молекулы дендримера продолжает обсуждаться в литературе, особенно при сравнении экспериментальных данных с предсказаниями теории и моделирования. Работы по исследованию заряженных дендримеров только начинают появляться. Путем компьютерного моделирования заряженных дендримеров методами Монте-Карло и броуновской динамики [17, 18] было показано, что рН и ионная сила раствора могут влиять на распределение внутримолекулярной плотности дендриме-

ра. Для обеих работ характерно использование приближения Дебая-Хюккеля при учете электростатических взаимодействий. В обеих работах также не учитывались явным образом контрио-ны, в результате чего мог быть упущен целый ряд эффектов. В работе [19] в рамках приближения Пуассона-Больцмана было показано, что в типичных для эксперимента условиях существенная доля контрионов может быть локализована в объеме дендримера, влияя на его конформации.

В настоящей работе на простой модели одиночной молекулы дендримера с зарядами на концевых группах с помощью моделирования методом Монте-Карло проведен анализ пространственной структуры молекул с явным учетом контрионов.

МОДЕЛЬ И МЕТОД

Для моделирования молекулы дендримера использовали динамический континуальный метод Монте-Карло, апробированный в работе [20] для линейных полимерных цепей, который позволяет изучать внутреннюю структуру молекул, избегая возникновения решеточных артефактов.

В данной работе рассматривали двухцентро-вую (с двумя центрами ветвления в ядре) модель дендримера пятой генерации (в = 5), у которой функциональность всех центров ветвления равна трем, а расстояние между центрами ветвления ядра и длина межузлового фрагмента (спейсе-ра) 5 = 2 звеньям. Дендример моделировали в кубической ячейке с отталкивающими стенками, значительно превосходящей его характерный размер.

В рамках выбранной модели дендример представлялся системой "бусинок", связанных "пружинками". Каждая "бусинка" включала группу атомов и являлась центром приложения потенциалов, а "пружинки" заменяли последовательность из нескольких химических связей. В соответствии с работами [8,9] мы принимали, что все концевые звенья дендримера несут единичный положительный заряд. Для сохранения электронейтральности моделируемой системы в ней также содержались моновалентные контрионы, причем их число было равно числу концевых звеньев дендримера.

Для описанной выше модели полная энергия системы складывается из нескольких составляющих:

^ = ^bond + ^nonbond + ^Coulomb + ^wall>

где t/bond - энергия ковалентных связей в молекуле дендримера, t/nonbond - энергия объемных неэлектростатических взаимодействий между мономерными звеньями и контрионами, UCoulomb -энергия кулоновских взаимодействий, £/wall -энергия отталкивания стенок ячейки, в которой проводилось моделирование. Она равна нулю внутри ячейки и бесконечна за ее пределами, ограничивая доступный для системы объем и фиксируя концентрацию контрионов в ней.

Энергия межатомных связей дается формулой

N

¿/bond = £í/(/f) i = 1

Здесь N - число связей в молекуле, /, - расстояние между двумя соседними звеньями. Взаимодействие между соседними звеньями вдоль по цепи задается обрезанным потенциалом гармонического осциллятора:

U(l) = ks(l-l о)2, /„,„</< U(l) = oо, lül^izi^

j _ ^min ^max

/о - 2 '

где ks - коэффициент жесткости каждой "пружинки", I - расстояние между двумя соседними "бусинками" вдоль по цепи, /min и /тах - минимальная и максимальная разрешенная длина "пружинки". Потенциалы валентных углов и углов внутреннего вращения не вводились в силу выбранной нами огрубленной модели дендримера.

Объемные взаимодействия неэлектростатической природы между звеньями задаются потенциалом Морзе

^nonbond = ^Мм(Гд) < <j

UM(r)/eM = ехр[-2а(г- г^)] - 2ехр[-а(г- r^J]

1.0 х 10'

0.5 х 10

Рис. 1. Нормированные на число звеньев радиальные профили плотности молекулы нейтрального дендримера (1,3) и концевых групп (2, 4) нейтрального дендримера в хорошем (1,2) и в плохом растворителе (3,4). Т=0.4 (1,2) и I (5,4).

Параметр гтш определяет положение минимума потенциала, а - радиус взаимодействия.

Заряды в системе точечные и расположены в центрах масс всех концевых звеньев дендримера и контрионов. Электростатические взаимодействия задаются кулоновским потенциалом без экранировки:

U,

Coulomb

= X

N,.h + М

исШ = 1ъквт

1в =

4к£0егквТ

Здесь - заряд частицы с номером /, е — элементарный заряд, кБ - постоянная Больцмана, во - диэлектрическая проницаемость вакуума, ег - диэлектрическая проницаемость раствора, Гу - расстояние между центрами масс двух частиц, Ыс(1 -число концевых звеньев дендримера, М - число контрионов в системе, М = в силу электронейтральности системы в целом. Длина Бьеррума /в определяет вклад электростатических взаимодействий. Так как /в ~ , изменение длины Бьеррума можно трактовать как изменение диэлектрической проницаемости среды.

Выбирая параметры равными: ем/квТ = 1.0, а = 24, а внутренние единицы длины таким образом, что гт;„ = 0.8, с высокой степенью точности

можно считать, что и^ 1) = 0. Это позволяет использовать алгоритм связанного списка [21] для быстрого составления таблицы взаимодействующих частиц с линейным размером ячейки, равным единице, что значительно повышает производительность программы. При выборе параметров /гшп = 0.4, /тах = 1, к5 = 10 вероятность пересечения связей дендримера во время случайного перемещения звеньев пренебрежимо мала, и делать эту проверку не надо, что также заметно повышает скорость счета. Естествен вопрос о сопоставлении внутренних программных единиц длины с реальными. Сравнивая радиус инерции 1.4 нм, экспериментально измеренный для дендримера полипропиленимина пятой генерации в хорошем растворителе в работе [14], с полученным нами в ходе моделирования = 3.7, делаем вывод о том, что одна внутренняя единица длины равна -0.38 нм. Поскольку средняя длина "пружинки" в нашей модели 10 ~ 0.7, одна "пружинка" соответствует двум связям С-С молекулы.

Растворитель рассматривался как диэлектрическая среда и входил в модель только через его температуру Т и диэлектрическую проницаемость (или длину Бьеррума /в). Здесь и далее под Т подразумевается температура в энергетических единицах, т.е. квТ. При расчетах нейтральных молекул дендримера длину Бьеррума /в выбирали равной нулю (отсутствие электростатических взаимодействий), а температуру варьировали от 0.4 (плохой растворитель) до 1 (хороший растворитель). При расчетах заряженных дендримеров температуру фиксировали (Т= 1), а длину Бьеррума варьировали от 0 до 10 (очень сильный вклад электростатических взаимодействий).

Молекулу дендримера, радиус которой независимо от варьируемых параметров не превышал /?тах = 6 в единицах длины нашей модели (рис. 1), помещали в центр кубической ячейки с отталкивающими стенками и длиной ребра £ = 64; в ячейку также помещали контрионы, таким образом, система оставалась электронейтральной. Объемная доля дендримера в системе составляла (р ~ ~ 2 х 10~4, что соответствует предельно разбавленному раствору, когда вероятность сближения любой пары молекул дендримера мала и среднее расстояние между ними значительно превышает радиус взаимодействия.

Выборку конформаций проводили в каноническом ансамбле. Каждое новое положение макромолекулы получали из предыдущего смещением произвольно выбранного звена цепи ("бусинки") на произвольно выбранный вектор Аг = (Ах, Ау, Аг}, где Ах, Ау, Аг выбирали равномерно из интервала -0.25 < Ах, Ау, Аг < +0.25. Вероятность такого перехода определяется изменением потенциальной энергии А и в соответствии со стандартным алгоритмом Метрополиса.

Систему первоначально уравновешивали в течение 105 шагов Монте-Карло, которые впоследствии не учитывали при усреднении наблюдаемых величин. Критерием установления равновесия выбирали отсутствие "дрейфа среднего" на временных зависимостях энергии системы и радиуса инерции дендримера. Далее проводили усреднение по 103 конформациям, записанным через 103 шагов Монте-Карло. За время моделирования смещение центра масс дендримера было незначительно, и стенки не оказывали влияния на конформации молекулы.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ Нейтральная молекула дендримера

Прежде чем рассматривать модель дендримера с зарядами на концевых группах, посмотрим, как влияет качество растворителя на свойства нейтральной молекулы.

Из температурной зависимости среднеквадратичного радиуса инерции было установлено набухание молекулы дендримера с повышением температуры, таким образом, его поведение качественно совпадает с поведением линейной молекулы при изменении качества растворителя. Температура Т = 1 соответствует в нашей модели хорошему растворителю, Т= 0.4 - плохому, такие же значения были установлены для линейных молекул полимера в работе [20]. Однако рост радиуса инерции с повышением температуры

2 2

(Rg)Sood/(Rg)Poor~ 3 незначителен по сравнению с линейными полимерами, и молекула дендримера остается компактной даже в хорошем растворителе. Из анализа результатов работы [22] следует, что для дендримера полиамидоамина пятой генерации это отношение равно двум, что свидетельствует о более высокой гибкости субцепей в нашем случае.

На рис. 1 изображены радиальные профили локальной плотности звеньев дендримера в целом фац(г) и его концевых групп ф(еггаО), нормированные на число звеньев. В случае плохого растворителя фац(г) остается постоянной в радиальном направлении от центра молекулы до ее границы. Такой же профиль характерен и для глобулярной фазы линейного полимера. Вид функции фац(г) дендримера в хорошем растворителе характеризуется резким максимумом вблизи центра масс и сравнительно широким плато. Наличие плато свидетельствует об однородном распределении плотности звеньев в объеме молекулы и компактности ее структуры. Косвенным экспериментальным подтверждением наличия максимума плотности в центре молекулы в реальных системах может служить работа [23], в которой изучали образование коллоидных частиц внутри молекулы дендримера и, в частности, было показано, что образующаяся частица находится в стороне от центра дендримера. На периферии молекулы наблюдается плавный спад функции фа|,(г), который можно объяснить анизодиаметри-ей молекулы дендримера.

Отдельного рассмотрения требует вопрос о локализации концевых групп в объеме дендримера. Нами было установлено, что основная их часть находится на периферии молекулы: при Т = 1 величина А = (/^ (СПТ| - „Ьо1е ~ 0.11,

где Кгт и №,ю1е - радиусы инерции концевых и всех звеньев молекулы дендримера соответственно, что качественно совпадает с результатами работ [16, 22]. Однако, несмотря на это локальная плотность звеньев последней (пятой) генерации существенно превышает локальную плотность звеньев всех остальных генераций уже практически в самом центре молекулы (рис. 1). Это обусловлено как высокой гибкостью субцепей в нашей модели, так и тем, что общее число звеньев каждой последующей генерации вдвое превышает число звеньев предыдущей. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами моделирования других авторов [7, 11, 14—16] и экспериментальными данными [14, 22].

Заряженная молекула дендримера

Влияние электростатического взаимодействия на конформации заряженной молекулы дендримера в разбавленном бессолевом растворе исследовали в хорошем растворителе: Т= 1.

к

Рис. 2. Зависимость среднего квадрата радиуса инерции, нормированного на число звеньев, от длины Бьеррума для молекулы дендримера пятой генерации (<3 = 5) в хорошем растворителе (Т= 1).

ф/М

Рис. 3. Нормированные на число звеньев радиальные профили плотности молекулы заряженного дендримера (1,3) и концевых групп заряженного дендримера (2,4). /в = 10 (1,2) и 1 (3,4).

Измеряли зависимость среднеквадратичного радиуса инерции дендримера от длины Бьеррума /в (рис. 2). Было показано, что кулоновское отталкивание между одноименно заряженными концевыми группами дендримера действительно приводит к набуханию молекулы. Однако уже при /в > 1 (длина Бьеррума в воде при нормальных условиях составляет /в ~ 1.8 в единицах длины нашей модели или 0.7 нм) набухание сменяется сжатием.

Это вызвано в первую очередь конденсацией контрионов, за счет которой эффективно нейтрализуется отталкивание заряженных групп дендримера. В пределе больших значений длины Бьеррума /в ~ 10 радиус инерции заряженной молекулы оказывается даже меньше, чем незаряженной, что объясняется возникновением мультипольного притяжения между зарядами в системе.

Как видно из рис. 3, профили локальной плотности при различных значениях /в характеризуются плотным ядром и сравнительно широкой областью, в которой плотность постоянна. Из них также видна роль мультипольного притяжения, за счет которого в случае сильного взаимодействия плотность заряженного дендримера оказывается несколько выше, а размер несколько меньше, чем у нейтрального. Особый интерес представляет профиль плотности дендримера при /в ~ 1. В этих

ф/М

Рис. 4. Нормированные на число звеньев радиальные профили плотности заряженных концевых групп молекулы (1,3) и контрионов (2, 4). /в = Ю (1,2) и 1 (3,4).

условиях локальная плотность оболочки незначительно превышает плотность основной части молекулы, в результате чего внутри ее образуется своего рода полость.

Изучали также пространственную локализацию зарядов в системе, как связанных (заряженных концевых групп дендримера), так и свободных (контрионов). При малых значениях /в пространственное распределение контрионов имеет вид разреженного облака, окружающего дендри-мер и занимающего значительную часть ячейки.

С ростом /в контрионы все сильнее удерживаются внутри дендримера электростатическим взаимодействием. Максимум профиля плотности контрионов смещен ближе к центру дендримера относительно максимума плотности зарядов дендримера, и при значениях /в ~ 1 контрионы стремятся заполнить образовавшуюся внутри дендримера полость. При больших /в ~ 10 профиль плотности контрионов повторяет профиль плотности зарядов дендримера, что указывает на полную конденсацию контрионов в системе (рис. 4).

ВЫВОДЫ

В рамках континуального метода Монте-Кар-ло и модели "шариков на пружинках" исследованы нейтральные и заряженные молекулы дендримера в бессолевом растворе. Электростатические взаимодействия задавались кулоновским потенциалом, при этом вклад контрионов во взаимодействия учитывался явным образом.

Показано, что с ростом длины Бьеррума до определенного значения дендример набухает за счет электростатического отталкивания между одноименно заряженными концевыми группами. При этом становится ненулевой вероятность кон-формаций дендримера, в которых вокруг плотного ядра возникает слой с плотностью меньшей, чем плотность оболочки. При /в ~ 1 контрионы стремятся заполнить этот слой. Однако и в этом случае плотность концевых групп, локализованных внутри дендримера, остается велика. При дальнейшем увеличении /в происходит значительная конденсация контрионов и молекула начинает сжиматься. При больших значениях /в заряженный дендример оказывается более компактным даже по сравнению с нейтральным. Это можно объяснить корреляционными эффектами и мультипольным притяжением.

Таким образом, становится очевидным, что контрионы существенно влияют на конформаци-онное поведение и характерные размеры заряженных дендримеров, а длина Бьеррума, или диэлектрическая проницаемость среды, - еще один важный параметр (помимо качества растворителя и температуры), регулирующий происходящие в системе процессы.

Авторы благодарны А. Милчеву за предоставленные фрагменты кода компьютерной програм-

мы, а также К.Б. Зельдовичу и E.H. Говорун за участие в обсуждении результатов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kramarenko E.Yu., Khokhlov A.R., Yoshikawa К. // Macromolecules. 1997. V. 30. № 11. P. 3383.

2. Khohklov A.R., Zeldovich K.B., Kramarenko E.Yu. // Proc. of the NATO ASI "Electrostatic Effects in Soft Matter and Biophysics" / Ed. by Holm C., Kekicheff P., Podgornik R. Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 2001.

3. Hedstrand D.M., Tomalia D.A., Wilson L.R. // Encyclopedia of Polymer Science and Engineering. New York: Wiley, 1990.

4. Bosman A.W., Janssen H.M., Meijer E.W. I I Chem. Revs. 1999. V. 99. № 7. P. 1665.

5. Kim Y., Zimmerman S.C. //Current Opinion in Chemical Biology. 1998. V. 2. № 6. P. 733.

6. EsfandR., Tomalia D.A. // Drug Discovery Today. 2001. V. 6. № 8. P. 427.

7. Mazo MA., PerovN.S.. Gusarova E.B., Zhilin PA., Bala-baev N.K. I I Russ. J. Phys. Chem. 2000. V. 74. Suppl. 1. P. S52.

8. Van Duijvenbode R.C., Borcovec M., Koper G.J.M. // Polymer. 1998. V. 39. № 12. P. 2657.

9. Kabanov V.A., Zezin А.В., Rogacheva V.B., Gulyae-va Z.G., Zansochova M.F., Joosten J.G.H., Brack-man J.C. // Macromolecules. 1998. V. 31. № 15. P. 5142.

10. De Gennes P.G., HervetH. //J. Phys. Lett. France. 1983. V. 44. №9. P. L351.

11. Lescanec R.L., Muthukumar M. // Macromolecules. 1990. V. 23. № 8. P. 2280.

12. Boris D., Rubinstein M. // Macromolecules. 1996. V. 29. №22. P. 7251.

13. Мазо M.A. II Физика кластеров. Пущино: Отдел научно-технической информации Пущинского научного центра РАН, 1997. С. 160.

14. Scherrenberg R., Coussens В., Van Vliet P., Edouard G., Brackman J., De Brabander £'., Mortensen К. I I Macromolecules. 1998. V. 31. № 2. P. 456.

15. Lyulin A.V., Davies G.R., Adolf D.B. //Macromolecules. 2000. V. 33. № 9. P. 3294.

16. Lyulin A.V., Davies G.R., Adolf D.B. //Macromolecules. 2000. V. 33. № 18. P. 6899.

17. Welch P., Muthukumar M. // Macromolecules. 1998. V. 31. №17. P. 5892.

18. JltojiuH C.B., JltoAUH A.B., HapuHCKuà A.A. // Bbico-KOMOJieK. coe«. A. 2004. T. 46. № 2. C. 321.

19. Zeldovich K.B., Govorun E.N., Khokhlov A.R. // Macro-mol. Theory and Simul. 2003. V. 12. P. 705.

20. Milchev A., Paul W., Binder F. // J. Chem. Phys. 1993. V. 99. № 6. P. 4786.

21. Allen M., Tildesley D. Computer Simulation of Liquids. Oxford: Oxford Univ. Press, 1987.

22. Topp A., Bauer B.J., Klimash J.W., Spindler R., Toma-lia D.A., Amis E.J. // Macromolecules. 1999. V. 32. № 21. P. 7226.

23. Groehn F., Bauer B.J., Akplau YA., Jackson C.L., AmisEJ. // Macromolecules. 2000. V. 33. № 16. P. 6042.

The Effect of Counterions on the Structure of Charged Dendrimers: Computer-Assisted Monte Carlo Simulation

D. E. Gal'perin*, V. A. Ivanov*, M. A. Mazo**, and A. R. Khokhlov*

* Faculty of Physics, Moscow State University, Leninskie gory, Moscow, 119992 Russia *'*Semenov Institute of Chemical Physics, Russian Academy of Sciences, ul. Kosygina 4, Moscow, 119991 Russia

Abstract—The effect of counterions on the spatial structure of dendrimers in dilute salt-free solutions was studied by the link-cell Monte Carlo method in terms of the freely jointed model. It was found that as the Bjer-rum length increases, dendrimer swelling changes for shrinking due to multipole attraction in the system; thus, it may happen that a charged dendrimer will be more compact than the neutral one.