CC BY
10Влияние инвестиций на динамику объема выпуска дуопольного рынка
Губарева Елена Алексеевна,
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и информатики, ФГБОУ ВО «Государственный университет управления» E-mail: gubel@inbox.ru
Известные модели дуопольного рынка (Курно, Бертран и др.) имеют одну общую особенность, а именно, производственные мощности обеих фирм таковы, что могут обеспечить любой, необходимый для реализации выбранной фирмой стратегии, выпуск. Интересным же представляется изучение динамики дуопольного рынка при нарушении этого условия. В работе предложены модели, учитывающие факт того, что производственных мощностей может и не хватить для реализации выбранной стратегии. Рассматривается два подхода к решению этой проблемы. В одной модели рассматривается случай, когда изменение объёма выпуска происходит не в полном объёме, а частично. Также представлена модель динамики дуопольного рынка, которая учитывает инвестиционные процессы. Рассматривается влияние выбора управляющих параметров на итог конкурентной борьбы и на установление равновесия на рынке.
Ключевые слова: дуополия, игра, инвестиции, динамика, равновесие.
Одним из видов рыночной структуры является олигополия. На олигопольном рынке несколько фирм, производящих однородный продукт, удовлетворяют совокупный спрос покупателей. При этом фирмы конкурируют друг с другом, а вступление на этот рынок других фирм затруднено. Существование большого числа моделей ценообразования на олигопольном рынке объясняется тем, что каждая из них отражает определенный алгоритм взаимодействия стратегий соперников, различающихся концепциями формирования ожиданий олигополиста относительно поведения конкурентов. Многие из этих видов взаимодействия могут быть эффективно описаны и исследованы в терминах теории игр [1]. Такое стратегическое взаимодействие как лидерство по объему выпуска, лидерство в ценообразовании образуют последовательную игру, в то время как одновременное установление объемов выпуска, одновременное установление цены образуют одновременную игру [1]. Возможен и сговор между фирмами, когда фирмы совместно устанавливают цены и объемы выпуска, максимизирующие их суммарную прибыль. Одной из центральных проблем всех этих стратегий является вопрос равновесия и его устойчивость.
Как известно, равновесие по Нэшу определяет такой набор выбранных стратегий, при котором выбор каждого игрока является оптимальным при заданном выборе стратегий другими игроками. Устойчивость по Нэшу для двух совместно работающих фирм означает такую ситуацию, когда обе фирмы могут работать, придерживаясь данной стратегии, и ни одной из фирм невыгодно отходить от неё, если другая продолжает ее придерживаться.
В известной модели дуополии, построенной Ж. Бертраном [2], предполагается, что продавцы устанавливают свои цены, ориентируясь на тот факт, что цена, ранее назначенная его конкурентом, остается неизменной. От фирмы, которая назначила более низкую цену, требуется полностью удовлетворить спрос на рынке, так как товар на рынке покупается по низшей цене, а товар по высшей цене не покупается совсем. Товар обеих фирм продается поровну, если конкуренты назначают одинаковые цены. Если себестоимость товара для обеих фирм одинакова (равна с), то производство будет работать циклами, и эти циклы у обеих фирм совпадают. В случае, когда р = р1 = р2 = с равновесие на рынке будет устойчиво по Нэшу. Если же р = рг = р2 > с, то и эта ситуация является равновесной, но не будет устойчивой по Нэшу.
сз о
со £
m Р
сг
от А
=Е
о. в
Не менее известна модель дуополии, разработанная О. Курно. В её основе заложен принцип конкуренции, при которой объектами выбора являются объемы выпуска, а не цены. Каждая из фирм на основе информации о спросе на рынке и с целью максимизации своей прибыли выбирает объем выпуска, в предположении, что конкурент будет продолжать следовать выбранной стратегии, то есть со стороны конкурента объем предложения останется неизменным [2].
Если прибыль фирм определяется соотношениями
1 = (а - Ь(х + у))х - (т1 + пгх) (1)
и
12 = (а - Ь(х + у))у - (т2 + п2у), (2)
где Р = а - Ь(х + у) - функция спроса на рынке, а
С1 = т1 + п1х и С2 = т2 + п2у - соответствующие
функции полных затрат, то максимум прибыли первой фирмы достигается на линии реакции
а - п1
2х + у = &, где & =-
Ь
а максимум прибыли второй фирмы на линии реакции
а - п2
х + 2у = Л2. где Л2 =
Ь
Динамика предложения дает равновесное решение (равновесие Курно)
хк = (2& -Л2)/3 , ук = (2& -Л1)/3 , (3)
которое для «покупателя» более выгодно, чем объём предложения в случае чистой монополии. Как известно, равновесие Курно устойчиво по Нэ-шу.
Если же конкуренты пошли на сговор и стали действовать из условия максимизации суммарной прибыли, определяя между собой объемы выпусков и распределяя между собой полученную таким образом прибыль, то в этом случае происходит смещение из точки Курно на линию
х + у = Л /2 (& = Л2 = Л).
При этом суммарная прибыль фирм возрастает, а суммарное предложение продукции на рынке падает. Данное равновесие не является устойчивым по Нэшу, так как любое смещение из точки, лежащей на этой прямой, приводит к уменьшению прибыли хотя бы одного товаропроизводителя.
Все эти модели имеют одну общую особенность. Производственные мощности обеих фирм таковы, что могут обеспечить любой, необходимый для реализации выбранной стратегии, выпуск. Интересным представляется изучение динамики дуопольного рынка при нарушении этого условия.
Например, пусть в модели Курно первая фирма не располагает ресурсами для увеличения выпуска с х1 = (& - у{)/2 до х2 = (& - у2) / 2 . В этом случае можно провести увеличение на некоторое Ах, которое больше нуля, если изменяемое значение
(4)
х < (& - у)/ 2, и меньше нуля, если х > (Л1 - у)/ 2. Можно записать дифференциальное уравнение
= «1(& - у - 2х),
где а1 - коэффициент реакции первого производителя (0 < а1 < 1). Аналогичное уравнение получим и для второй фирмы:
бу
= а2 (Л2 - х - 2у), где 0 < а2 < 1.
Модель, заданная системой дифференциальных уравнений
|х = а (¿1 - у - 2х),
1 у = «2 (¿2 - х - 2у)
будет являться модификацией классической модели Курно, в которой каждая фирма стремится увеличить свою прибыль.
Точка равновесия этой системы дифференциальных уравнений:
хе = (2& -Л2)/3 , уе = (2Л2 -Л1)/3 . (5)
Она совпадает с точкой равновесия Курно (3) в классической модели. А так как собственные значения матрицы системы дифференциальных уравнений
-2а-1 -а,1 ^ -а-2 -2а2 ]
при любых значениях коэффициентов реакции а1 и а2 различны и отрицательны, то точка равновесия является устойчивым узлом [3], а значит, при любых начальных условиях системы все фазовые траектории динамики рынка сходятся в точку равновесия Курно.
Более сложной является модель динамики дуопольного рынка, которая учитывает инвестиционные процессы. Если динамика производственных фондов К1 первой фирмы задается дифференциальным уравнением
где ц1 - коэффициент выбытия фондов, 11 - прибыль фирмы, - доля прибыли, идущая на развитие производства (0 < < 1), то умножая обе части уравнения на коэффициент фондоотдачи а1 (х = а1К1) и подставляя значение прибыли 11 первой фирмы (1), получим дифференциальное уравнение
= 51а1 ((а - Ь(х + у))х - (т1 + п1х)) - ц1а1К1,
Л(а1К1)
&
которое может быть преобразовано к виду
- в1а1т1. (6)
— = ьаЬх -(х + у) + &--
& 11 ^ 1 э1а1Ь
Здесь С1 = т1 + п1у - функция полных затрат первой фирмы.
Аналогичное уравнение можно получить и для второй фирмы
— = s2a2by I -(x + y) + d2--
dt 22 I 2 s2a2b
- s2a2m2, (7)
где ц2 - коэффициент выбытия производственных фондов K2, I2 - прибыль второй фирмы (2), s2 - доля прибыли, идущая на развитие производства (0 < s2 < 1), a2 - коэффициент фондоотдачи ( y = a2K2 ), C2 = m2 + n2y - функция полных затрат второй фирмы.
Заданная таким образом динамика дуопольного рынка будет зависеть от двух управляющих параметров s1 и s2, выбор которых определяется
целями стратегического взаимодействия фирм. Поведение решений этой системы дифференциальных уравнений зависит и от ее начального состояния ( x0, y0 ) .
Если постоянные издержки фирм равны нулю, то динамика дуопольного рынка будет описываться системой дифференциальных уравнений
x = s1a1bx I -( x + y) + d1 - -
M-1
Sjajb
y = s2a2by -(x + y) + d2--
| S2^2b
(8)
Фазовый портрет системы дифференциальных уравнений (7) совпадает с фазовым портретом модели биоценоза [4].
Если технологические коэффициенты обеих фирм одинаковы
(d1 = d2 = d, ц = ц2 = Ц, «1 = а2 = а) и при этом
s1 ф s2, то независимо от начального состояния одна фирма (для которой si (i = 1,2) больше) вытеснит с рынка конкурента. Единственный способ достичь равновесия - это выбрать s1 = s2. Тогда развитие дуопольного рынка будет описываться фазовой кривой y = ( y0/ x0 ) x, где ( x0, y0 ) - состояние
системы в начальный момент времени. При этом равновесие устанавливается в ущерб максимизации своей прибыли обеими фирмами.
Если x0 > y0 , то в состоянии равновесия прибыль первой фирмы будет больше и наоборот. Однако, если возможен выбор s1 = s2 = 2ц /(bad),
то суммарная прибыль фирм будет максимальной и равной суммарной прибыли в классической модели картели. Если s1 = s2 = 3ц/ (bad), то суммарная прибыль фирм равна суммарной прибыли фирм в точке равновесия Курно. Такое равновесие будет устойчиво по Нэшу только в случае выбора s1 = s2 = 1, то есть когда вся полученная прибыль инвестируется в производство.
Если технологические коэффициенты разные и такие, что при s2 = 1 найдется значение s1
( 0 < s1 < 1 ), при котором выполняется соотноше-
ние
di -
М-1
> d2 - -
^2
, -2 , то первая фирма при
51а1Ь S2a2b
любом начальном состоянии системы полностью вытеснит с рынка своего конкурента.
Для анализа системы в случае ненулевых постоянных издержек представим систему в виде
в1т1
x = B1x(A1 - x - y) -
y = B2 yA - x - y) - ^m2:
(9)
где A = di -
В, = si a ib i = 1,2 .
s,a '
Предположим, что технологические коэффициенты обеих фирм одинаковы и s1 = s2
( A = A2 = A, В = B2 = В ). В этом случае, если начальные объёмы выпусков фирм были одинаковыми (x0 = y0 ), то фазовая кривая динамики дуопольного рынка будет иметь вид y = x. На этой прямой расположены точки равновесия системы дифференциальных уравнений (9), которые определяются системой
x = 0,
y = 0,
m
y = a - x--,
J bx
m
x = A - y--.
by
(10)
При этом на рынке либо устанавливается неустойчивое равновесие, либо обе фирмы погибают.
Выбор управляющих параметров
s1 = s2
который
будет читывать начальные условия, приводит к установлению неустойчивого равновесия на рынке. Так, если система (10) имеет единственное решение (одна точка равновесия (хе, уе)), то
A
xe = ye = 4 и при xo > xe
на рынке устанавливается
неустойчивое равновесие, а при х0 < хе обе фирмы погибают. Исходя из этого условия, выбор параметра s = s1 = s2 определяется соотношением
А d ц
х0 > —, то есть х0 > —- , . 0 4 0 4 4sab
Если у0 < х0 (х0 < у0) , то вторая (первая) фирма при равных управляющих параметрах будет вытеснена с рынка. Однако фирма сможет изменить игру в свою пользу, если она выберет пара-
метр s2 =
ab(d - A2) '
s2 < 1 из системы
m
yo=A1- x - bx '
m
или
x = A2 - yo- — byo
m
y0 = A1- x - bx
m=A2
2x
В общем случае, при ненулевых постоянных издержек проведение анализа соответствующей системы дифференциальных уравнений (6) и (7) и изучение различных стратегий развития дуо-
сз о со от m Р от
от А
=Е
польного рынка можно получить используя компьютерные расчеты.
Таким образом, в работе представлена модель динамики дуопольного рынка, учитывающая инвестиционные процессы. Кроме того, показано, что посредством модели можно исследовать выбора управляющих параметров на итог конкурентной борьбы и на установление равновесия на рынке.
Литература
1. Петросян Л.А., Зенкевич Н.А., Семина Е.А. Теория игр. - М.: ВЫСШАЯ ШКОЛА, 1998. - 296 с.
2. Тироль Ж. Рынки и рыночная власть: теория организации промышленности: В 2 т. СПб.: Экономическая школа, 2000. -543 с.
3. Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: «Наука», 1980. -352 с.
4. Лебедев В.В. Математическое моделирование социально-экономических процессов. - М.: ИЗОГРАФ, 1997. - 223 с.
INFLUENCE OF INVESTMENTS ON THE DYNAMICS OF THE OUTPUT VOLUME OF THE DUOPOLE MARKET
Gubareva E.A.
State University of management
The well-known models of the duopole market (Cournot, Bertrand, etc.) have one common feature, namely, the production capacities of both firms are such that they can provide any output necessary for the implementation of the strategy chosen by the firm. It seems interesting to study the dynamics of the duopole market when this condition is violated. The paper proposes models that take into account the fact that production capacity may not be enough to implement the chosen strategy. Two approaches to solving this problem are considered. In one model, the case is considered when the change in the volume of output occurs not in full, but in part. Also presented is a model of the dynamics of the duopole market, which takes into account investment processes. The influence of the choice of control parameters on the outcome of competition and on the establishment of equilibrium in the market is considered.
Keywords: duopoly, game, investment, dynamics, balance. References
1. Petrosyan L.A., Zenkevich N.A., Semina E.A. Game theory. -M.: VYS-SHAYA SCHOOL, 1998, 296 p.
2. Tyrol J. Markets and market power: the theory of industrial organization: In 2 volumes. St. Petersburg: School of Economics, 2000. - 543 p.
3. Fedoryuk M.V. Ordinary differential equations. M.: "Science", 1980. - 352 p.
4. Lebedev V.V. Mathematical modeling of socio-economic processes. - M.: IZOGRAPH, 1997. - 223 p.
Q.
e
