CC BY
30
удк 666.972
Д.А. Шляхин
ФГБОУ ВПО «СГАСУ»
ВЛИЯНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ВНЕШНЕЙ ЦЕПИ НА ФОРМУ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ИМПУЛЬСА ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПРОЧНОСТИ БЕТОНА УДАРНО-АКУСТИЧЕСКИМ МЕТОДОМ
Рассмотрены нестационарная осесимметричная задача электроупругости для пье-зокерамического цилиндра с аксиальной поляризацией материала, который является преобразователем энергии в измерительных приборах ударно-акустического метода контроля качества бетонных конструкций. Новое замкнутое решение построено путем последовательного использования методов конечных интегральных преобразований Фурье по аксиальной координате и обобщенный алгоритм по радиальной переменной.
Ключевые слова: ударно-акустический метод, электроупругость, пьезокерамиче-ский цилиндр, осесимметричная динамическая задача.
ударно-акустический метод определения упругих свойств бетона основан на преобразовании энергии удара бойка о поверхность преграды в электрический импульс, полученный с помощью пьезокерамического элемента, включенного в конструкцию ударника [1]. как правило, в качестве пьезоэлектрического преобразователя используется сплошной цилиндр с аксиальной поляризацией материала. в результате деформирования пьезокерамического тела на его электродированных поверхностях появляются свободные заряды, которые в свою очередь оказывают влияние на исследуемый элемент за счет появления дополнительной электрической индукции. таким образом, электроупругое состояние внутри образца и на его границе представляет собой суперпозицию волн, возникающих за счет механического напряжения и свободных электрических зарядов. для упрощения описания данного процесса, в котором наблюдается многократное проявление прямого и обратного пьезоэффектов, при формулировке граничных условий обычно используется случай подключения образца к измерительному устройству с большим входным электрическим сопротивлением [2, 3]. Это приводит к уменьшению количества свободных зарядов на электродированных поверхностях, и в результате их влиянием на пьезо-керамический элемент пренебрегают.
целью настоящего исследования является подтверждение корректности данного допущения и анализ влияния электрической проводимости измерительного устройства на амплитудные значения, а также форму индуцируемого электрического импульса.
Постановка задачи. Пусть сплошной цилиндр выполнен из пьезокерамического материала с наведенной аксиальной поляризацией и занимает в цилиндрической системе координат (/;,(),г4 ) область О : {о < /; < Ь, 0 < 6 < 2л, 0 < г, < /г}. Рассматривается случай, когда в результате действия жесткого штампа известны перемещения торцевых электродированных поверхностей исследуемого элемента ±W1* (7). При этом одна из плоскостей заземлена, а другая подключена к измерительному прибору с электрической проводимостью У*. цилиндрические неэлектродированные поверхности принимаются свободными от механических напряжений.
в результате кинематического воздействия на электродированных поверхностях появляются свободные заряды, и решение настоящей начально-краевой задачи электроупругости осуществляется при действии известных механических перемещений + II] (/) и неизвестного электрического потенциала ф* (';•'.).
© Шляхин Д.А., 2012
133
ВЕСТНИК
5/2012
Система дифференциальных уравнений, граничные и начальные условия рассматриваемой динамической задачи теории электроупругости в безразмерной форме имеют вид [2]
С55 д2и (С,з + С55) д2Ж (<?31 + е,5) 32ф З2^
V и +-
С„ &2
-У;»' + -
С,,
- + -
дгдг
дгдг дГ
,
(1)
с«„,„. с33 д2ж , (с13 + с55) эс/ 2 а2ф а2^
а 2 Ф 2 д. 2
дг дг дг
,
Йг
52
г = 0, Ь : V (г,0, г )= V, (г), Г (г, Ь, г )=-Ж, (г),
е15 дФ
(2)
С55 Г дЖ ди
дг дг J е33 дг
ф( г ,0, г) = о, ф (г, ¿, г) = ф1 (г, г);
ди С,
г = 1,0 : а.
_+и+Си дЖ+,дф
дг С11 С11 дг е33 дг
= 0,
(3)
о
С, с,,
дРУ ди
— + —
V дг дг у
^ е15 5ф ^
е33 <?г
^ 1=_С11е11 дФ , (дж| = 0
е33 дг е33 \ дг дг
и( 0, г, < ос, И'(р,г,г)<оо, (р(0,г,г)< сс: г = 0: и (г, г,0) = и 0 (г, г ), и (г, г,0) = и0 (г, г); V (г, г,0) = ¡0 (г, г), V (г, г,0) = ¡0 (г, г);
где {и, и 0, и0, V, ¡1, ¡0, ¡0 } = {и *, и;, и0*, V *, , ж; , ¡0*}/ь;
(ф,ф, } = {ф*,ф* К/(ЙС„ ); {г, г, ь}={г_, г0, к}/Ь ; г = г,Ь~1 ^ Сп/ р
(4)
; а
У ,к
и0 * — соответственно компоненты тензора механических напряжений и вектора перемещений (у, к = г,6,г); Вг, ф0 — радиальная компонента вектора индукции и потенциал электрического поля; го — время; — известные аксиальные перемещения торцов цилиндра; и0,и0, ¡0,¡0 — известные в начальный момент времени пе-
ремещения, скорости перемещений; р, Ст
, е11, е 33 — объемная плотность, модули
упругости, пьезомодули и компоненты вектора диэлектрической проницаемости
/ —\ д2 1 д 1 анизотропного электроупругого материала (т, я = 1,1); V;2 =--1-----,
дг2 г дг г2
V \ = V + = ^ +1
г дг г
Точка в формуле (4) и ниже означает дифференцирование по времени.
Построение общего решения. Решение осуществляется методом интегральных преобразований, используя последовательно синус- и косинус- преобразования Фурье с конечными пределами по переменной г и обобщенное конечное преобразование (КИП) [2] по радиальной координате г. При этом каждый раз предварительно необходимо выполнять процедуру стандартизации (приведение граничных условий по соответствующей координате к однородным). На первом этапе для этой цели вводим
новые функции w(r, г, г), -^(г, г) , связанные с ш(г, г), о (г, г,г) следующими соотношениями:
Ш(г,г,г) = Н1(г, г,г) + w(г, г,г), ф(г,г,г) = Н2 (г,г,г) + с(г,г,г), (5)
2
ь
где H (r, z, t) = ^1 - 2 zjw (t) , H2(r, z, t) = Zф1(r, t) .
В результате подстановки (5) в (1)—(4) получаем новую начально-краевую задачу относительно функций и (г, г, г), ^(г, г, г), х (г, г, г) с однородными граничными условиями по координате г. При этом дифференциальные уравнения (1), граничные условия (3) становятся неоднородными с правыми частями В1 + В3, Ы1 + Ы3, а в начальных условия (4) вместо Ш0, Ш0 следует считать w0, w0:
з3 ôrôz
е., дН. N2=- 15 -- = е33 or
°33
С, ,8]] (3//
dt2
&
ь33
or
г w = W - H W = W - H
, rv0 rr о -»-<11,=^ ^о ci-0 i | t= 0
Применяем к краевой задаче в стандартной форме относительно функций и (г, г, г), w(r, г, г), х (г, г, г) синус- и косинус-преобразования Фурье с конечными пределами по переменной г, используя следующие трансформанты и соответствующие формулы обращения:
и1: (г, П,г)= |с\и(г, (/>)& , и (г,2,1) = ^ (г,и,/) сое/„г,
п=0
jn = n Р / Z, Q „ =
(и = 0)
[Ь /2, (и * 0).
Повторяя процедуру стандартизации по переменной г и используя обобщенный метод конечных интегральных преобразований, получаем окончательные выражения для функций и,, и1 , ф , . Структурный алгоритм данного метода разделения переменных и решение аналогичной задачи приведены в [2].
Разность потенциалов между электродированными торцевыми плоскостями к(/ ) определяется с помощью равенства
где Y ■■
д п f D
dt -Y*
rdr
г I = = L
-»''•'О),
(6)
2ке;
-лУрС,,; В2 — аксиальная компонента вектора индукции.
в случае использования измерительного прибора с большим входным сопротивлением (у * ^ 0) V(г) определяется по формуле [2]
(7)
а функция ф, (г,/) из следующего граничного условия
(8)
D | , = 0.
z|z =Z
При небольшом сопротивлении вольтметра непосредственно используется равенство (6), которое при наличии выражений для и, Ш, ф, а также условия Ф1 (г, г) = V (г) принимает вид интегро-дифференциального уравнения. Его решение осуществляется с помощью преобразования Лапласа по переменной г.
ВЕСТНИК
5/2012
Численные результаты расчета. В качестве примера рассматривается пьезоке-рамический цилиндр (L = 1) состава ЦТС-19 [2] при известном законе изменения аксиальной компоненты вектора перемещений его торцевых плоскостей:
W1 (í) = Л sin (0;).
где А0 — амплитудные значения перемещений; 6 = л/7 ; Т— период действия нагрузки в виде заданных перемещений.
На рис. 1 показаны графики изменения разности потенциалов V(t) во времени при различных значениях безразмерного коэффициента электрической проводимости измерительного устройства Y. Цифрами 1—3 обозначены результаты для случаев, когда Y соответственно равен: 1, 0,5, 0, и данные зависимости определены с помощью равенства (6). Штриховой линией показан график, полученный с помощью приближенной формулы (7), а пунктирной — характер изменения кинематического воздействия W1 (t).
V(t) / ^о
* 3
—---- 2 ' ' "" - - 1
1
0.5
t
о
о
4
8
1 2
1 6
Рис. 1. Изменения разности потенциалов ¥(1) во времени при различных значениях электрической проводимости измерительного устройства
Следует отметить, что уменьшение параметра У приводит к росту амплитудных значений электрического импульса и увеличению периода его действия. В случае, когда Y = 0 и результаты, полученые по точному (кривая 3) и приближенному (штриховая линия) соотношениям, практически совпадают. Это позволяет сделать вывод о том, что в задачах прямого пьезоэффекта при подключении электроупругой системы к измерительному устройству с большим входным сопротивлением без большой погрешности можно пользоваться электрическим граничным условием, означающим отсутствие нормальной (относительно электродированной поверхности) компоненты вектора электрической индукции (8).
На рис. 2 приведены зависимости амплитудных значений ¥(1) от высоты цилиндра при различных параметрах 9. Цифрами 1, 2 отмечены результаты соответственно для 9, равного 0,2, 0,4. Полученные значения показывают, что при данном динамическом воздействии высота цилиндра практически не оказывает влияния на максимальную величину электрического импульса. вместе с тем увеличение параметра 9 (уменьшение периода действия нагрузки) вследствие более полного проявления инерционных характе рис т ик электроупругой системы приводит к росту амплитудных значений.
¥ (1) / Л0
-
2
/ 1
Рис. 2. Изменение амплитудных значений ¥(1) от высоты цилиндра при различных параметрах 9
0.5
0.4
L
0.8
2
6
2
В заключение следует отметить, что построенный в настоящей работе алгоритм позволяет оптимизировать работу преобразователей путем подбора их геометрических размеров и состава пьезокерамического материала, а также выбора характеристик внешнего воздействия.
Библиографический список
1. Choi S.-B., Han Y.-M. Piezoelectric actuators: control applications of smart materials. N.-Y. CRC Press, 2010. 280 p.
2. СеницкийЮ.Э., Шляхин Д.А. Нестационарная осесимметричная задача электроупругости для толстой круглой анизотропной пьезокерамической пластины // Известия РАН. МТТ. 1999. № 1. С. 78—87.
3. Шульга М.О. Визначення електрорушшно! сили п'езоелектричних перетворювачгв при мехашчних навантаженнях // Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine. 2009. № 1. С. 70—74.
Поступила в редакцию в апреле 2012 г.
Об авторе: Шляхин Дмитрий Аверкиевич — кандидат технических наук, доцент кафедры сопротивления материалов и строительной механики, ФГБОУ ВПО «Самарский государственный архитектурно-строительный университет» (ФГБОУ ВПО «СГАСУ»),
443001, Российская Федерация, г. Самара, ул. Молодогвардейская, д. 194, 8 (846) 263-00-91, d-612-mit2009@yandex.ru.
Для цитирования: Шляхин Д.А. Влияние характеристик внешней цепи на форму электрического импульса при определении прочности бетона ударно-акустическим методом // Вестник МГСУ. 2012. № 5. С. 133—138.
D.A. Shlyakhin
INFLUENCE OF CHARACTERISTICS OF AN EXTERNAL CIRCUIT ON THE SHAPE OF AN ELECTRIC IMPULSE IN THE COURSE OF IDENTIFICATION OF THE CONCRETE STRENGTH BY THE SHOCK-ACOUSTIC METHOD
The axis-symmetric non-stationary problem of electric elasticity of a piezoceramic cylinder with axial polarization of the material, acting as a converter of energy in the course of the application of the shock-acoustic method of the quality control of concrete structures is considered in the article. The new closed solution represents a consecutive application of methods of finite integral transformations including the Fourier transformation based on the axial coordinate and a generalized algorithm based on the radial variable. Standardization and transformation of boundary conditions into homogeneous ones are performed at each stage.
Measurements of electric impulses are taken by a voltmeter that has an electrode coating, and operates as an ideal conductor with negligible mass. The voltmeter is attached to the surface of the cylinder. Simplified electric boundary conditions are used to describe the electric elastic state of the sample under research.
More accurate correlations designated to describe the application of a high conductivity voltmeter are considered in this paper to identify the difference of potentials between the electrode planes.
Numerous analyses of the research results have proven that the conductivity of the measuring device produces a significant influence on the shape and the maximal intensity of the electric impulse. However, the stress-strained state of the cylinder is changed insignificantly. Besides, dependence of oscillations and shapes of the solid piezoceramic cylinder on electric boundary conditions has been analyzed. The influence of the geometric dimensions of the cylinder on the values of the electric field in the piezoceramic material has been the subject of research.
Key words: shock-acoustic method, electric elasticity, piezoceramic cylinder, axis-symmetric dynamic load.
References
1. Choi S.-B., Han Y.-M. Piezoelectric Actuators: Control Applications of Smart Materials. New York, CRC Press, 2010, 280 p.
ВЕСТНИК 5/2012
2. Senitskiy Yu.E., Shlyakhin D.A. Nestatsionarnaya osesimmetrichnaya zadacha elektrouprugosti dlya tolstoy krugloy anizotropnoy p'ezokeramicheskoy plastiny [Non-stationary Axis-symmetric Problem of Electric Elasticity for a Thick Circular Anisotropic Piezoceramic Plate]. Izvestiya RAN. Mekhanika tverdykh tel. [Bulletin of the Russian Academy of Sciences. Mechanics of Solids]. 1999, no. 34(1), pp. 66—74.
3. Shul'ga M.O. Viznachennya elektrorushiynoi sili p'ezoelektrichnikh peretvoryuvachiv pri mekhanichnikh navantazhennyakh [Determination of Piezoelectric Transducers of Electric Forces in the course of Mechanical Loading]. [Reports of the National Academy of Sciences of the Ukraine]. 2009, no. 1, pp. 70—74.
About the author: Shlyakhin Dmitriy Averkievich — Candidate of Technical Sciences, Associated Professor, Department of Strength of Materials and Structural Mechanics, Samara State University of Architecture and Civil Engineering (SSUACE), 194 Molodogvardeyskaya st., Samara, 443001, Russian Federation; d-612-mit2009@yandex.ru; +7 (846) 263-00-91.
For citation: Shlyakhin D.A. Vliyanie kharakteristik vneshney tsepi na formu elektricheskogo impul'sa pri opredelenii prochnosti betona udarno-akusticheskim metodom [Influence of Characteristics of an External Circuit on The Shape of an Electric Impulse in The Course of Identification of the Concrete Strength by the Shock-Acoustic Method]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 5, pp. 133—138.
