CC BY
57
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том XIII 19 8 2
№2
УДК 629.7.015.3.036.533.697.2
, ВЛИЯНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ВОЗДУХОЗАБОРНИКА С ЦЕНТРАЛЬНЫМ ТЕЛОМ НА СОПРОТИВЛЕНИЕ ПО ЖИДКОЙ ЛИНИИ ТОКА ПРИ ЕГО ОБТЕКАНИИ НЕСЖИМАЕМЫМ ГАЗОМ
В. О. Акинфиев
Представлены результаты численного расчета сопротивления по жидкой линии тока Схж плоского воздухозаборника с центральным телом при его безотрывном обтекании потоком невязкого несжимаемого газа. Показано, что наличие у воздухозаборника центрального тела и обечайки с поднутрением приводит к изменению Схж по сравнению с воздухозаборником, выполненным в виде плоского канала без центрального тела- Предложен простой способ пересчета Сх ж при изменении геометрии воздухозаборника. При этом показано, что наиболее существенное влияние на Сд;Ж оказывают изменения таких геометрических параметров воздухозаборника, как вынос и высота клина, угол поднутрения обечайки. Решение задачи выполнено с использованием методов теории аналитических функций.
В настоящее время существенно повысилась роль дозвуковых режимов полета сверхзвуковых самолетов. В связи с этим возник ряд вопросов, касающихся влияния геометрии входного устройства на его внешнее сопротивление, которое складывается из сопротивления по жидкой линии тока СхЖ и силы, приложенной к обечайке (подсасывающей силы). Силу, приложенную к обечайке, вследствие наличия отрыва потока с ее острой передней кромки, рассчитать невозможно. ‘Можно предположить, что влияние этого отрыва потока не вносит существенных изменений в СхЖ, по крайней мере при малых углах поднутрения обечайки. Обоснование такого предположения лежит в способе определения С,ж, который для плоского канала без центрального тела определяется только параметрами невозмущенного потока. При определении Схж для воздухозаборника со сложной формой обечайки и центральным телом (рис. 1) необходимо учесть две силы, приложенные к участкам АЛ и ЕР поверхности воздухозаборника. Отрыв потока с острой передней кромки обечайки не может оказать заметного влияния на силу, приложенную к участку ЕЕ поверхности воздухозабор-
У////,'У///Л
tj tf tf te ti t/f tg tc tp
7ШШ РТЪЗШТТ/
W„ Wjj Wc Wj, W,-,, >,
W,
w,
Wr
Рис. 1
ника, а при небольшом угле поднутрения обечайки —и на силу, приложенную к участку AL.
Наличие у воздухозаборника центрального тела и обечайки с заданным углом поднутрения, не равным нулю, должно внести изменения в поведение Сх ж. В работе [1] исследовалось влияние только поднутрения обечайки. В данной работе рассматривается более общая задача, учитывающая влияние центрального тела при наличии поднутрения у обечайки. Решение задачи ищется с использованием методов теории аналитических функций (см., например, [2]).
1. Рассмотрим воздухозаборник, изображенный на рис. 1 (плоскость Z) с нанесенными на нем характерными точками. Пусть набегающий поток невозмущен и имеет на бесконечности скорость Voo. Рассмотрим задачу о безотрывном плоском течении несжимаемого и невязкого газа около изображенного воздухозаборника. Для решения сформулированной задачи введем вспомогательную плоскость t (рис. 1). Рассмотрим поведение комплексной
v_ dz I vL 1 .
скорости £ =* - ~ ~p=^ gt(P, где <p — угол между вектором ско-
рости V и осью х в плоскости Z, и комплексного потенциала течения W (см. рис. 1) на введенной вспомогательной плоскости t, т. е. найдем функции \{t) и W(t). С помощью этих функций можно осуществить обратный переход в плоскость Z и найти решение задачи. - -
Определим сначала поведение комплексной скорости'I на вспомогательной плоскости t. Следует заметить, что согласно общей теории три точки плоскости t можно выбрать произвольно. Пусть ЭТО будут ТОЧКИ ti = 0, tA= Ь tD — OО. Функция \ на плоскости t должна в точках tB, tc, tF принимать нулевые значения. Следовательно, первые члены разложения в ряд функции |(/) в окрестности каждой из этих точек должны иметь следующий вид:
£ (*в) ~ (t—М1+Аа *«, Hfc)— tc)k\ Z(tf)~(t — tp)ks
В точках *-£ = 0, ^л==1 и (е плоскости t функция Е(0 имеет полюсы. Следовательно, первые члены разложения в ряд функции ;(£) в окрестности каждой из этих точек должны иметь следующий вид: ^(0) — 1 /***, 5(1)~1/(*—1), 1/(* —б?)*1, где значения кх
и 62 выписаны выше. Воспользуемся выписанными выражениями функциии £(£) в окрестности характерных точек для нахождения поведения функции £(/) во всей вспомогательной плоскости I. Составим выражение для ?(£) в виде
Нетрудно убедиться в справедливости такого представления. Действительно, выписанное выражение для Ц1) обладает нулями и полюсами в указанных выше характерных точках. Кроме того, выписывая поведение £(/) на различных участках контура воздухозаборника, можно убедиться в том, что направление вектора скорости совпадает с контуром воздухозаборника. Следует заметить, что при г -► оо комплексная скорость Е(0 согласно выражению (1) стремится к единице.
Найдем теперь поведение комплексного потенциала УУ на плоскости t. Функцию №(£) можно представить в виде
+ ' (2)
где Сх и С2 — неизвестные постоянные.
Проинтегрировав выражение (2), найдем (£) в виде
1 - *0) 1п (< — <о)] + С2. (3)
Определим константу Сг. Для этого совершим обход в плоскости I точки Ьо по окружности бесконечно малого радиуса с помощью соотношения (3) и обход образа этой же точки в плоскости 1^. Полученные приращения АН? приравняем. В результате проделанных операций определим константу Сх:
V и
(4)
Константу С2 в соотношении (3) можно не определять, так как для окончательного решения требуется производная й№1(11} которую легко получить из соотношения (3). С учетом выражения (4) запишем ее в следующем виде:
<№ К л 1 1
» <*> , {5)
<И я 1—
Перейти в физическую плоскость г, имея функции Е(*) и й\У/сН [см. выражения (I) и (5)], можно следующим образом:
аг <1Уг , 1 6/А /сч
Выражение для коэффициента давления ср = ——— имеет вид
(7)
Имея соотношения (6) и (7) с учетом (1) и (5), можно утверждать, что общее решение сформулированной задачи об определении поля течения около изображенного на рис. 1 воздухозаборника найдено в параметрическом виде, где роль параметра играет координата точки в плоскости Следует заметить, что в выписанном общем решении (6) — (7) участвуют пять характерных точек плоскости t(tE, tF, Ьв, *в, $с), координаты которых пока неизвестны. Эти неизвестные пять точек плоскости £ определяются заданной геометрией воздухозаборника' и коэффициентом расхода воздуха. В качестве геометрических характеристик рассматриваемого воздухозаборника выберем (см. рис. 1 плоскость 2) /гн, /гв, НкУ хк. За характерный линейный размер возьмем высоту Н0. Отнесем введенные выше геометрические характеристики к Н0 и запишем их в виде кн, кв, Нк, хк. Коэффициент расхода воздуха / представляет собой отношение Задавая указанные геометри-
ческие параметры и коэффициент расхода воздуха /, можно однозначно определить положение пяти неизвестных точек в плоскости I. Система уравнений для нахождения положения этих точек, записанных в виде интегральных соотношений, имеет следующий'цид:
где выражение для dZ берется по формуле (6) с учетом соотношений (1) и (5). Система уравнений (8) решалась методом последовательных приближений на ЭВМ для следующей геометрии_возду-
9 = 13°. в диапазоне коэффициентов расхода воздуха /=0,25-4-0,74. Начальное приближение для решения системы уравнений (8) при заданном коэффициенте расхода воздуха / определялось путем нескольких контрольных расчетов. При переходе к другому коэффициенту расхода в качестве начального приближения выбиралось предыдущее решение. Решение считалось найденным, если погрешность в определении положения каждой из пяти искомых точек в плоскости I не превышала 0,001.
*В
гв
| dZ соэ {ък,х) J dZ + J dZ соз (кк2) = А®,
*е ' *I '
(8)
хозаборника: /гн = 0,15, /гв=0,10, 8Н=18°, 8В = 13°, хк—— 1,7,//А=0,10,
Для вычисления силы сопротивления по жидкой линии тока воспользуемся тем свойством, что сила сопротивления, приложенная к линии тока ОАВСО (включающей жидкую линию тока ИА и твердый контур АВСО), равна нулю (так как рассматривается безотрывное течение несжимаемого невязкого газа). Следовательно, силу СхЖ можно представить в виде
Схж~ — {Схав 4- Схвс), (9)
где Схав и Схвс — проекции на ось л: сил. приложенных к участкам контура АВ и ВС.
Эти силы нетрудно получить, интегрируя распределение давления ср вдоль указанных участков контура воздухозаборника:
СхАВ---------^ Ср эш (тс&а)»
1А
(с
СхВС — ~~р! ^ Ср <^2 51П (^э), *в
(10)
где с и dZ берутся по формулам (6) и (7) с учетом соотношений (1) и (5).
Расчет СлЖ по формулам (9) —(10) проводился на ЭВМ. Его результаты приведены на рис. 2/ Там же для сравнения приведена
кривая Схж(/) для воздухозаборника в виде плоского канала без центрально™ тела, для которого сила сопротивления по жидкой линии тока ПА определяется простым соотношением СхЖ~( 1 — /)2.
Положение критической точки относительно передней кромки обечайки нетрудно найти, интегрируя соотношение (6) от 1а до /в.
Результат интегрирования представлен на рис. 3. Там же для сравнения показано положение критической точки для воздухозаборника в виде плоского канала без центрального тела. Решение этой задачи нетрудно получить, положив в формуле (1), определяющей поведение комплексной скорости Е(0, &! == = &д = 0.
После несложных преобразований решение указанной задачи при-
— і водит к формуле ^кр = = — (/— 1п/— 1).
Сопоставление двух кривых,1 представленных на рис. 3, показывает, что наличие у воздухозаборника центрального тела и обечайки с поднутрением приводит к тому, что критическая точка
Рис. з
располагается на передней кромке обечайки ^кр=0^при коэффициенте расхода воздуха/< 1. Расход, при котором 2кр = 0, можно строго определить, положив tA — Расчет воздухозаборника указанной выше формы показал, что критическая точка располагается на кромке обечайки при /=0,74. При /> 0,74 критическая точка переместится на верхнюю поверхность обечайки.
2. Для расчета обтекания воздухозаборника другой формы необходимо решение всей задачи провести заново, т. е. заново определить положение пяти точек в плоскости t. Процесс этот довольно трудоемок. Кроме того, форма представленного воздухо-
заборника определяется семью параметрами, что еще более усложняет параметрическое численное исследование задачи.
Выйти из затруднения можно следующим образом. Разложим в ряд по геометрическим параметрам воздухозаборника какую-либо его характеристику. Пусть, например, этой характеристикой будет СХж, а разложение в ряд ограничим линейными членами. Для упрощения записи введем обозначения — ЬР^=.хъ Ьо = х3, tв — x4, (с — хь. Решение задачи об обтекании рассматриваемого воздухозаборника, а значит и СхЖ> зависит от расположения пяти точек в плоскости Ь
Сх ж=*РЛ*\у х2, хг, ХА, хъ). (11)
От зависимости (И) нужно перейти (в линейном приближении) к зависимости
СX ж ^в> ^н)*
(12)
Для выполнения такого перехода требуются дополнительные уравнения:
_/ — Ф1 (Хи *2, X» Хь);
~Нк = Ф2(х1, х2> х3, Х4, х5);
— Фз(^1, Хо, ^8> ■**» Х5)‘, (^З)
\ = Ф4 (-*1» -*2» *3» -«4» хь);
/?н = 05(^1, х21 х%, .£4, х§),
Функции Ф,- в системе уравнений (13) определяются путем разрешения системы уравнений (8) относительно /, Ик, хк, кв, Ън и имеют вид интегральных соотношений. Из выражения (12) следует
жа^+^а^+жак+жак- (14)
Для определения производных в выражении (14) воспользуемся уравнениями (13), дифференцирование которых приведет к следующему матричному соотношению:
дФг дФ{ дФ, дФх аФ,
дх1 дх2 дх3 дх4 дхь
дФ2 дФ2 дФ2 дФ2 дФ2
дхх дх2 дх3 дх1 дхь
дФ3 дФ3 дФг дФ3 дФ3
дхх дх2 дх3 дx^ дхъ
дФь дФА дФ1 дФ1 дФ1
дхх дх2 дх3 дх1 дхь
дФь дФь дФ6 дФь дФь
дхг дх2 дх3 дх5
/ \ йхх \
' йхъ
* X бх з
/ йхь
^ <*хъ ^
(15)
Дифференцирование соотношения (11) приводит к выражению
ЛСХЖ — йх1.
1=1
Подставляя вместо с1х1 их значения, найденные из соотношения (15), и выделяя коэффициенты при ^/, (1Нк, йхк, йкн, получим искомые производные СхЖ по геометрическим параметрам воздухозаборника и коэффициенту расхода воздуха /:
<)Ф1 £}<&! дФ! дФ] д®! \— 1
дГ2
а/ дйк дхк
дЪ алв
\ алн
где символы „ —1“ и „Т“ означают обращение и транспонирование матрицы. *
Зависимость Схж от угла клина, внутреннего и внешнего углов обечайки имеет явный вид. Поэтому производные по указанным углам получить нетрудно.
Результаты расчета производных (рис. 4) показали, что на СхЖ существенное влияние оказывают такие геометрические параметры
дх1 дх2 дхг а** дх6
аф3 дФ2 дФ2 СЬ 0 ю дФ3
дх\ дх2 дхг дх± дх5
аФ3 дФэ аФ3 аФ3 дФ3
дхх дх2 дхъ дх± дхъ
аФ4 дФ± дФ4 аФ4 аФ4
дхх дх2 дх3 дх4 дхь
аФ5 дФь аФ5 аФ5 дФь
дхх дх2 дх3 дх4 дхъ
/4
Схж/д^н
/
' / °' 5 ' / 1^хт/дН„
Рис. 4
воздухозаборника, как хк, Нк> Ав, йн. При этом увеличение высоты (//*) и выноса (хк) центрального тела приводит к уменьшению Схж. [Необходимо помнить, что если_ точка Е (см. рис. 2, плоскость Z) лежит левее точки В, то д:А<0, а если правее, то хк > 0.] Влияние изменения формы обечайки носит более сложный характер.
Изменение угла клина, а также внутреннего и внешнего углов обечайки приводит к ничтожно малому изменению СХЖУ которым можно пренебречь. Пересчет СхЖ при изменении формы воздухозаборника нетрудно провести по следующей формуле:
С,* —С,ж0 + -с-ж- Д -%■*- А-** + -д(^ж А\ + дС,-ж ■А К
ХШ <Шг * 1 4 ал, '
где значения С*ж0 берутся с графика рис. 2.
Данный способ пересчета СжЖ справедлив при небольших изменениях формы воздухозаборника, поскольку в представленном выше разложении отброшены члены более высоких порядков. Контрольный расчет показал, что при изменении геометрических параметров воздухозаборника на 10% разница в СхЖ, подсчитанных по приближенной и точной формулам, не превышает 5%.
ЛИТЕРАТУРА
1. Акинфиев В. О. Обтекание входного устройства с острой передней кромкой обечайки. „Ученые записки ЦАГИ\ т. VIII, № 4, 1977.
2. Гуревич М. И. Теория струй идеальной жидкости. М., „Наука*, 1979.
Рукопись поступила 14}Х 1980 г.
