Обтекание входного устройства с острой передней кромкой обечайки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том VIII 197 7

№ 4

УДК 629.7.015.3.036: 533.697.2

ОБТЕКАНИЕ ВХОДНОГО УСТРОЙСТВА С ОСТРОЙ ПЕРЕДНЕЙ КРОМКОЙ ОБЕЧАЙКИ

В. О. Акинфиев

Методом Н. Е. Жуковского решена задача об обтекании несжимаемым потоком входного устройства с острой передней кромкой обечайки при наличии поднутрения. Приведены результаты расчета сопротивления по жидкой линии тока и положения критической точки течения в зависимости от расхода воздуха и геометрических параметров обечайки, а также приведено сравнение с экспериментальными данными.

В настоящее время существенно повысилась роль дозвуковых режимов полета сверхзвуковых самолетов. В связи с этим возник ряд вопросов, касающихся влияния геометрии входного устройства на его внешнее сопротивление при числах М<1. Во внешнее сопротивление входного устройства включается сопротивление по жидкой линии тока и сопротивление внешней поверхности обечайки.

Сопротивление по жидкой линии тока для воздухозаборника в виде цилиндрической трубы было получено ранее Г. И. Тагановым. Ниже приведены результаты расчета сопротивления по жидкой линии тока для воздухозаборника в виде обечайки с поднутрением. Определялось также положение критической точки течения.

1. Рассмотрим плоское входное устройство, изображенное на фиг. 1 (плоскость Z), с нанесенными на нем характерными точками. Пусть задана скорость потока на бесконечности Течение предполагается потенциальным и без-

отрывным, а газ несжимаемым и невязким. Решение задачи найдем с использованием теории функций комплексного переменного методом Н. Е. Жуковского [1].

Решение задачи в данной постановке будет получено, если удастся найти связь между плоскостью потенциала Ш и физической плоскостью /?. Для упрощения нахождения связи между плоскостями '№ V. 2, следуя методу Н. Е. Жуковского, введем две вспомогательные плоскости <■> и Ь. Переход из плоскости Z в плоскость V? осуществим последовательно следующим образом. Сначала перейдем ИЗ ПЛОСКОСТИ 2 В ПЛОСКОСТЬ «, затем ИЗ ПЛОСКОСТИ <й в плоскость Ь и,

наконец, из плоскости I в плоскость потенциала

Плоскость «, согласно методу [1], вводится с помощью преобразования:

с1№ I V I

“ = ~1пТГ^2 = -1п +/е’ <’>

где У= = | V] е~‘в — комплексная скорость; в — угол между вектором скорости V и осью х.

В ft

А*

ih

:\\\\\\\\ч

Е

Е

LV^h

В

W

\\v\\\ч v ч\Ч\'

В

Е

Е

\ \ \ \ \ \ \ ше U)a \ • ' '\ \ \ \ \ \ "а

тЬг ш

"с

ть, |_ ШЪ

шс щ шг

in

tC 1-D tf ^Ь tg ta tc

WWWWW^WWtW V-

Фиг.

Смысл введенной функции <о в том, что при обходе контура тела, образованного прямыми линиями (6 = const), действительная часть функции со изменяется, а мнимая часть нет. Поэтому плоскость « будет также состоять из набора прямых линий. Рассматривая поведение функции ю вдоль границ физической плоскости Z, получим плоскость ш, представленную на фиг. I. Точкам <»„ и о>ь плоскости со соответствуют точки а и Ь, лежащие на участке ВС и AF плоскости Z, в которых скорость потока минимальна и максимальна на рассматриваемых участках соответственно. Значение о>Е=1п-^- следует из уравнения расхода.

Теперь совершим переход из плоскости <о в плоскость t, выбранную в виде верхней полуплоскости. Три точки этой полуплоскости можно выбрать произвольно. Пусть этими точками будут точки tc, tF и tA. Используя интеграл Кристофеля—Шварца, отображение плоскости со на плоскость t можно- получить с помощью следующего преобразования: >

J (f-1)

(2)

где С] и с2 — неизвестные константы, которые необходимо определить. Проинтегрировав выражение (2), получим

где

= Cj [A In t + В In (t — tB) + С In (t — 1)] + c2>

t a tb

A =

£ =

(3>

(4)

Определим теперь неизвестные «1 и с2 в выражении (2). Для этого совершим обходы трех точек сов, со^, и>р в плоскости ш и соответствующих им трех точек 2д, ?А и ^ в плоскости Ь с помощью формулы (3), приравняем соответственные изменения Дш и получим систему трех уравнений:

Вс\ =1 + 62 — 62, 1

Сс1 = - 1, (5)

АС1 = — 8;, }

где 5, и 52 — внутренний и внешний углы обечайки, отнесенные к я. Подставляя в систему (5) значения А, В и С по формулам (4) и разрешив ее, найдем

С1 = — ®2> А — 81/62,

в = А.~ - 1 , с=1/в2. (6)

°2

Подставляя найденные значения коэффициентов (6) в выражение (3), получим

<о = (1 ■+ 81 + 82) 1п (1 — Ьв) — В] 1п ^ ■— 1п — 1) + с2. (7)

Для определения неизвестной с2 представим ее в виде с2 = с2 + 1с’2 и ис-

пользуем условие ®(^£>) = 0, откуда легко найдем

- . 4 + о _

С2~тЛ2. е — ± П + 5,—' (8)

(*в + ^)1+5г

Таким образом осуществляется переход из плоскости м в плоскость t.

V <12

В дальнейшем нам понадобится значение безразмерной скорости --------------------, кото-

а'ц/

рая связана с плоскостью <о выражением (см. [1]):

Л2 ет. (9)

<147

Выпишем значение безразмерной скорости на участке обечайки АВ и на участке обечайки АР

Л (1-0

(10)

Теперь совершим переход из плоскости ( в плоскость потенциала IV. Для этого необходимо построить плоскость потенциала. В критической точке течения А линия тока ИА разделяется на две линии тока АРЕ и АВСО, причем этим линиям тока соответствует один и тот же расход, вследствие чего на плоскости потенциала появится вырез. Если линию тока ЭЕ принять за линию тока нулевого расхода, а линию тока ЭА за линию тока заданного расхода, то плоскость потенциала № представится так, как она изображена на фиг. 1. Используя интеграл Кристофеля—Шварца, отображение плоскости t на плоскость осуществляется с помощью преобразования:

+ (12)

где и к2 — неизвестные постоянные, которые необходимо определить.

Проинтегрировав выражение (12) и определив постоянную таким же способом, как определялась постоянная с1 при отображении плоскости <д на плоскость (, получим окончательное выражение для потенциала

(13)

Выражение для координаты в плоскости 2 можно записать следующим образом:

Л2 (Ш а2==1Г\У~йГ

* Константу £2 нет необходимости определять, так как для решения потребуется не сам потенциал а его производная 6.'№!<И, которая не содержит £2.

где — безразмерная скорость, выражение для которой уже получено

|см. выражения (9), (10) и (11)], а легко получить из (13):

<Ш _ I 1 _ 1 . 1 — 0 - <£>)\ (|?)

<И х \t-to t — tE^\t — tDf■ (1—^) /'

На участках обечайки АБ и Л/7 величина будет иметь один и тот же

вид:

/___1 _ 1 , 1 (*р-*я)(*р + 0\ б

^ 71 “Ь (^ + ^/))2 +0 /

Коэффициент давления р можно получить из уравнения энергии

= 1_р^=1_____________!_____= 1-_______!_____(17)

Ю (^оэ/Ю2 {У^аг/ачру к ;

Выражение (14) совместно с (17) дает общее решение задачи в параметрическом виде, где роль параметра играет переменная Ь.

Определим теперь сопротивление по жидкой линии тока. Для этого запишем уравнения импульса, энергии и расхода для газа, заключенного между сечениями оо и 1 (см. фиг. 1):

V! Н + р1 Н - рУ ^ Л - р^к = Л

У2 У\

Р —2~ + Роа = Р ~2 + Р1 '

Р'/ооЛ = РК1 Я-

(18)

Здесь сила /•' (в проекции на ось х) приложена к жидкой линии ИА и участку АР. Силу Т7 можно определить из системы (18):

„ л_ „ _ ^сопрж ^сопр ДР _______ (/-ДЛ — I)3 ,10ч

«с ж + --- —— + — ---------73------------------------------------ -==- , (1У>

Я<х> “о Яхп0 I д/г

где /= Л/Я0 — коэффициент расхода воздуха и ДЛ = ДЛ///0- Из выражения (19) видно, что, зная схАР , можно легко определить коэффициент схж.

Для определения схАР проинтегрируем выражение (17) вдоль участка АР (см. (14)); .

схАР = I рйг в!п (*8,) = (1 -------!------\ — —- <И вш (п5,). (20)

‘А

Л2

Выражения для —^ ■ и —были получены в формулах [(11), (8) и (16)].

2. Расчет сх ж проводился на ЭЦВМ. Результаты расчета (фиг. 2) показали, что коэффициент сопротивления жидкой линии практически не зависит от угла поднутрения обечайки 8] в диапазоне 8! ■= 0—15° и слабо зависит от величины поднутрения ДЛ в диапазоне значений коэффициента расхода /=0,2—1. В случае, когда ДЛ = 0 (8] = 82 = 0) схАр = 0 и схж = (/ — I)2 [см. (19)], получается

известная формула Г. И. Таганова при числе М = 0. Необходимо заметить, что сумма проекций сил на горизонтальное направление, приложенных к жидкой ИА и участкам обечайки <48 и ВС, которые определяют внешнее обтекание, равна нулю. В реальных условиях эта сила не равна нулю, а представляет собой внешнее сопротивление входного устройства. Отличие этой силы от нуля в реальных условиях объясняется наличием отрыва с острой передней кромки обечайки.

Представляет интерес положение критической точки течения. Используя выражение (14), положение критической точки вдоль обечайки можно записать в следующем виде:

(в

XX

1.0

0,5

кр

0,2

0,1

7°; Ьг=10°

\ \ \\ 6 Л=0,08 Л0'1'

0,2 0,4 0,6 0,8 f

f=o.

5, = 15 °І S2=20°

С 2

0,4

0,6

8

о,

кр

0,2

0,1

*-кр

0,2

0,1

\ \ 10°І 52=15°

\\ \\ Yv V йП=0,08

У'

0,2 0,4 О,В 0,8 /

\ \S<- 15° ;Ьг=20°

\\ V & h = 0,08 /С°>»

\X \\

0,1

Фиг. 2

й h

----Sf= $2 =0 (формула (22))

Фиг. 3

Выражения для №г и (для участка АВ) были получены в форму-

лах (10), (8) и (16). Расчет положения критической точки (фиг. 3) проводился на ЭЦВМ. Критическая точка А при изменении коэффициента расхода / от 1 до О двигается из точки В в точку Р (см. фиг. 1). Продвинуться за точку Р критической точке А не удается, так как в противном случае изменилась бы упорядоченность точек при обходе границ. Для случая, когда внутренний и внешний углы обечайки равны нулю, выражение (21) имеет следующий вид:

^кр = 4^ = — (/— 1п/— 1). (22)

Щ я

В этом случае критическая точка при изменении коэффициента расхода / от 1 до 0 передвигается с передней кромки обечайки в бесконечность.

На фиг. 4 приведено сравнение распределения коэффициента давления по внутренней поверхности обечайки, полученное в результате расчета и эксперимента, проведенного на осесимметричном воздухозаборнике с диаметром по входу й = 216 мм при скорости ^ = 40 м/с. Вследствие большого значения Л течение можно считать близким к плоскому, чем и объясняется удовлетворительное совпадение результатов расчета и эксперимента.

ЛИТЕРАТУРА

1. Жуковский Н. Е. Собрание сочинений, т. 2. М., — Л., ГИТТЛ, 1949.

2. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., .Наука", 1965.

Рукопись поступила 91VIII 1976 г.