CC BY
112
УДК 53.072; 537.226.4; 548.537.611
ВЛИЯНИЕ ГАРМОНИЧЕСКИХ СОСТАВЛЯЮЩИХ СИГНАЛА НА ФОРМУ ПЕТЛИ ГИСТЕРЕЗИСА
© 2012 А.А. Лукичёв
Институт геологии и природопользования ДВО РАН, г. Благовещенск
Поступила в редакцию 23.03.2012
В работе рассмотрено влияние гармонических составляющих, появляющихся в отклике слабо нелинейной системы при гармоническом воздействии на форму петли гистерезиса. Найдена зависимость формы петли линейного гистерезиса от 2-4-й гармоник. Найдена зависимость искажения от номера и фазы гармоники. Показана применимость полученных результатов для описания гистерезисных зависимостей реальных нелинейных материалов.
Ключевые слова: петля гистерезиса, гармоники, нелинейные материалы.
Известно, что гистерезис обусловлен запаздыванием отклика системы любой природы на внешнее воздействие. Это явление хорошо известно в физике, технике, экономике, социологии, биологии и других отраслях науки. Любая система на внешнее воздействие реагирует не мгновенно, но петли гистерезиса представляют интерес, прежде всего, для систем с нелинейным откликом. В физике гистерезисные зависимости чаще всего применяются для изучения свойств нелинейных материалов: ферромагнетиков и диэлектриков. Нас интересует физическое применение петли гистерезиса.
В настоящее время имеется достаточно много математических моделей гистерезисных зависимостей [1-3]. Имеющиеся модели гистерезиса построены на решении нелинейных дифференциальных уравнений, либо на введении нелинейных гистерезисных членов в линейные уравнения. Подобным образом построены модели Прайсаха, Джилеса-Атертона, Хаузера и другие. Использование нелинейных уравнений приводит к значительному усложнению модели из-за того, что трудно получить универсальное решение и интерпретировать результаты. В случае линейного уравнения сложно найти достаточно простую добавку, которая не приводила бы к значительным математическим трудностям и позволяла бы воспроизвести параметры петли. Если гистерезисный член прост, как, например, функция Прайсаха и подобные ей [3], то здесь требуется задание параметров петли, т.е. такой подход позволяет получить только полуэмпирические модели.
Реальные системы с запаздыванием могут описываться петлями гистерезиса самой разно-
Лукичёв Александр Александрович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории керамического материаловедения. E-mail: [email protected]
образной формы. Исчерпывающей классификации петель гистерезиса в настоящее время нет. В работе [4], например, приведено 6 различных типов петель, которые далеко не отражают разнообразие гистерезиса для реальных материалов.
В работе [5] предложен метод построения петли гистерезиса, как параметрической зависимости функции отклика системы от функции внешнего воздействия У(Ь)=/(Х(Ь)). При этом считается, что система близка к линейной и с достаточной точностью описывается линейным уравнением, решение которого известно. Нелинейные явления учитываются введением в линейное решение дополнительной нелинейной функции. Если известен вид нелинейной функции, этот метод позволяет легко воспроизвести классическую петлю гистерезиса, описывающую насыщение магнитной или диэлектрической проницаемости. В [5] авторы рассмотрели единственный вид нелинейности - ограничение амплитуды в результате насыщения физического параметра материала под действием внешнего поля, или нелинейность типа "насыщение". В настоящей работе рассматривается влияние произвольных нелинейных искажений на форму петли. Рассматриваем колебания близкие к гармоническим, для учёта нелинейности вводится сумма гармонических составляющих порядка выше первого. Природу нелинейности здесь не рассматриваем.
Любую систему с гистерезисом можно представить в виде очевидной блок-схемы, показанной на рис. 1. Имеется входное воздействие Х(Ь), на которое система, с передаточной функцией Ж (а, X ()), даёт отклик У () = Ж • X (). Передаточная функция определяется свойствами системы и зависит от амплитуды и частоты входного сигнала, а так же от свойств самой системы. Петля гистерезиса представляет собой параметрическую зависимость Y(t)=f(X(t)).
Рис. 1. Блок-схема системы с гистерезисом
Будем рассматривать реакцию системы, близкой к линейной, на гармоническую входную функцию вида
X (t) = X0-sin(>-1). (1)
Здесь Xg - амплитуда входного воздействия, t - время. Отклик системы в общем случае будет состоять из основной гармоники на частоте входного сигнала и суммы гармонических составляющих с более высокими частотами, т.е. функция отклика может быть представлена в виде ряда Фурье:
Y(t) = Yo + Y.ancos(n■ w-t+pan) + -sin(ww-t+Pbn) ,(2)
n n
где Yg - постоянная составляющая, n (1, 2, 3...) -номер гармоники, an, bn -амплитудные коэффициенты, (pan, (Pbn - отставание по фазе составляющих n-й гармоники. Для простоты будем
считать (Pal = фЪ\ = Van = Pbn = P.
Используя метод построения петли гистерезиса предложенный в [5] будем рассматривать влияние на форму петли каждой гармонической составляющей по отдельности. Рассмотрим влияние второй гармоники. Функцию отклика, учитывающую вторую гармонику представим в виде: Y(t) = Yi ■sinW/ + p) + ka cos(2w-/ + p) + kb -sin(2w-/ + p), (3) здесь Y1 -амплитуда первой гармоники, ka, kb -амплитудные коэффициенты. Далее принимаем
Y-1-
На рис. 2 показаны петли гистерезиса для различных сочетаний амплитудных коэффициентов ka, kb и при различных фазах. В работе [5] рассматривался гистерезис для линейного осциллятора и в качестве характеристических точек были выбраны резонансная частота и частоты выше и ниже резонансной. Выбранным значениям частоты соответствуют фазы: ниже точки резонанса р < п/ 2 , на резонансной частоте P2 = п/2 и частоте, выше резонансной, P3 > п/2 [6]. Ниже мы будем использовать эти значения фазы для определения характеристических точек. Сигнал отклика запаздывает по отношению к входному воздействию, поэтому фаза отклика всегда отрицательна. Здесь и далее для удобства мы указываем абсолютное значение фазы.
Петли гистерезиса для сигнала отклика с ко-синусоидальной второй гармоникой (ka=±0,1; kb=0) показаны на рис. 2а и 2б. Значение коэффициента ka=±0,1 выбираем произвольно, поскольку нас интересует только форма петли. Как
Рис. 2. Влияние второй косинусоидальной и синусоидальной гармоник на форму петли гистерезиса при различных фазах функции отклика
видно из рисунков, косинусоидальная вторая гармоника приводит к боковым петлям типа "месяц". В точке резонанса (р~ л/2 ) петля превращается в эллипс, несимметричный относительно 0У, или в треугольник с существенно скруглёнными углами. Синусоидальная вторая гармоника (&д=0; &ь=±0,1) для точек р < л/2, Рз > л/2 приводит к петле типа "капля", острый конец которой может быть направлен как вниз, так и вверх (рис. 2в, 2г), в зависимости от знака коэффициента &ь. В точке р~л/2 петля превращается в несимметричный эллипс, повёрнутый на угол р относительно эллиса для коси-нусоидальной гармоники. Для всех графиков на рис. 2 правую петлю можно получить из левой поворотом на угол л/2.
Рассмотрим влияние третьей гармоники. Функцию отклика, учитывающую третью гармонику представим виде:
У(г)=Г0 -8т(|» • г+р)+ка ео8(3® • г+р)+кь-8т(3® • г+р). (4)
На рис. 3 показаны петли гистерезиса для различных сочетаний амплитудных коэффициентов в характеристических точках. Петли гистерезиса для сигнала отклика с косинусоидаль-ной второй гармоникой (&д=±0,1; кь=0) показаны на рис. 3а, 3б. Как видно из рисунков, для косинусоидальной гармоники на частотах ниже и выше резонансной получаются петли типа "веретено" и "гантель". При р = л/2 петля превра-
Рис. 3. Влияние третьей косинусоидальной и синусоидальной гармоник на форму петли гистерезиса при различных фазах функции отклика
щается в фигуру, которую можно назвать как скруглённый прямоугольник. Петля несимметрична относительно осей координат.
Синусоидальная третья гармоника (£д=0; &ь=+0,1) приводит к боковым петлям, близким по форме к классической петле с нелинейностью типа "насыщение". В точке (р = л!2 для положительной гармоники петля превращается в скруглённый ромб, для отрицательной гармоники в скруглённый прямоугольник.
Аналогично, используя соотношение У (г)=У0 ■ 8т(б» • г+ф)+ка со8(4® • г+ ф)+кь ■ $,т(4ю ■ г+ф) ,(5) находим петли для четвёртой гармоники. Как видно из рис. 4, четвёртая гармоника приводит к существенному искажению петель. Боковые петли для косинусоидальной гармоники представляют собой сильно искажённые петли типа "насыщение" ("туфля"), для синусоидальной - комбинация из петель второго и третьего порядка. Центральная петля имеет вид скруглённого пятиугольника.
Учёт гармоник более высокого порядка представляется нецелесообразным, поскольку на практике амплитуда этих гармоник, как правило, невелика.
Анализ графиков на рис. 2-4 позволяет сделать следующие выводы. Количество углов у центральной петли на единицу превышает номер
Рис. 4. Влияние четвертой косинусоидальной и синусоидальной гармоник на форму петли гистерезиса при различных фазах функции отклика
гармоники. Для гармоник порядка выше 2 у боковых петель количество точек перегиба на единицу меньше номера гармоники (рис. 3, рис. 4). Боковые остроконечные петли с острыми концами наблюдаются для чётных синусоидальных гармоник и нечётных косинусоидальных. Центральные петли, несимметричные относительно обеих координатных осей, наблюдаются для нечётных гармоник, кроме первой.
Для заторможенных колебаний фаза изменяет -ся в пределах 0 <ф<п! 2 [6]. В этом случае, изменение формы сводится к уширению малофазной (левой) петли с одновременным снижением амплитуды отклика [6]. К сожалению, в этом случае затруднено определение вида искажений, поскольку невозможно построить центральную петлю.
Для подтверждения полученных выше теоретических результатов были сняты петли гистерезиса для произвольного стального стрежня в линейном (ненасыщенном) режиме в диапазоне частот 20 Гц - 500 кГц. Частотная зависимость магнитной проницаемости стали имеет довольно сложный вид с большим количеством резонансных пиков. На низких частотах для большинства пиков наблюдается линейный гистерезис с петлями, близкими к правильному эллипсу. На частотах выше 100 кГц получен пик. у которого заметно влияние нелинейных искажений.
На рис. 5 показаны петли гистерезиса для пика с резонансной частотой 130 кГц. Форма петли соответствует показанной на рис. 3в, т.е. третьей положительной синусоидальной гармонике. Для боковых петель заметна незначительная клино-видность вниз. Это означает, что также присутствует первая положительная синусоидальная гармоника (рис. 2в), но её амплитуда невелика.
Форма петли существенно зависит от амплитуды тока намагничивания, при низких токах петля превращается в правильный эллипс.
В настоящей работе автор не ставил целью найти всё многообразие петель гистерезиса, здесь в большей степени показан метод анализа петель гистерезиса,
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Выше было рассмотрено влияние гармоник совпадающих по фазе с основной. Но фаза гармоники может быть любой. Очевидно, что форма петли зависит от фазы. Постепенное увеличение фазового сдвига для косинусоидальной положительной функции приводит к постепенной трансформации формы петли от показанной на рис. 3а к 3г, далее к 3б и 3в. Здесь получены петли только синусоидальной входной функции, очевидно, что для косинусоидальной функции будет получен тот же набор петель. Если одновременно имеются косинуоидальная и синусоидальная гармони-
ки, то форма петель будет либо близка к показанным на рис. 2-4, либо будет иметь вид комбинации из каких либо двух петель, показанных на рисунках. Комбинация левых петель, показанных на рис. 3а и 3в даёт классическую петлю гистерезиса, свойственную материалам с нелинейностью типа "насыщение". Для того, чтобы определить тип нелинейности необходимо измерение гистерезиса в особой точке р = п/2.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Красносельский М.А., Покровский А.В. Системы с гистерезисом. М.: Наука, 1983. 275 с.
2. Hauser H., Fulmek P.L., Gr^ssinger R. Hysteresis modeling and measurement for two-dimensional particle assembles //J. of magnetism and magnetic materials, Vol. 242-245, 2002. Pp. 1067-1069.
3. Bottauscio O., Chiampi M., Chiarabaglio D., Repetto M. Preisach-type hysteresis models in magnetic field computation //Physica B, Vol. 275, 2000. Pp.24-39.
4. Lapshin R.V. Analytical model for the approximation of hysteresis loop and its application to the scanning tunneling microscope // Rev. Sci. Instr. Vol. 66, № 9, 1995. Pp. 4718-4730.
5. Лукичёв А.А., Ильина В.В. Простая математическая модель петли гистерезиса для нелинейных материа-лов//Известия Самарского научного центра РАН. 2011. Т.13. № 4. С. 39-44.
6. Лукичёв А А., Ильина В.В. Различные режимы вынужденных колебаний линейного осциллятора с затуханием и исследование спектральных функций // Известия Самарского научного центра РАН. 2008. Т.10. № 3. С. 782-790.
INFLUENCE OF HARMONIC COMPONENTS ON THE HYSTERESIS LOOP SHAPE
© 2012 A.A. Lukichev
Institute of Geology and Nature management FEB RAS, Blagoveshchensk
In this paper the influence of harmonic components on the hysteresis loop shape for weakly non-linear systems is considered. The dependence of the hysteresis loop shape on 2-4-th order harmonic is found. The dependence of the hysteresis loop shape disturbance on the harmonics order and phase is considered. The obtained results applicability for the non-linear materials hysteresis dependence description is shown. Key words: hysteresis loop, harmonic components, non-linear materials.
Alexander Lukichev, Candidate of Physics and Mathematics, Senior Research Fellow at the Ceramic Material Science Laboratory. E-mail: [email protected]
