Научная статья на тему 'Влияние формы плазменного образования на температуру горения дугового разряда'

Влияние формы плазменного образования на температуру горения дугового разряда Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
155
30
Поделиться
Ключевые слова
краевая задача / уравнение амбиполярной диффузии / уравнение горения дуги / температура горения дуги / плазма / собственная функция / собственное значение / термоэмиссионный преобразователь энергии / boundary value problem / ambipolar diffusion equation / burn arc equation / burn arc temperature / plasma / eigenfunction / eigenvalue / thermionic converter

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Зимин Вячеслав Прокопьевич

Получены и проанализированы решения краевых задач о распределении плотности плазмы и уравнения горения дугового разряда для четырех форм плазменных образований. Показано, что геометрия электродов влияет на температуру горения дуги в термоэмиссионных преобразователях энергии и на их эффективность. Обсуждается влияние геометрических факторов плазменных образований на температуру горения дуги в задаче конкуренции формообразования.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Зимин Вячеслав Прокопьевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Boundary value problem solutions on plasma density distribution and arc discharge combustion equation for four forms of plasma formations have been obtained and analyzed. It was shown that electrode geometry influences the arc burning temperature in thermionic converters and their efficiency. The influence of plasma formation geometric factors on the arc burning temperature in the problem of modeling competition is discussed.

Текст научной работы на тему «Влияние формы плазменного образования на температуру горения дугового разряда»

УДК 533.9(537.52);621.362

ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ ПЛАЗМЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ НА ТЕМПЕРАТУРУ ГОРЕНИЯ ДУГОВОГО РАЗРЯДА

В.П. Зимин

Томский политехнический университет Е-mail: zimin@ido.tpu.ru

Получены и проанализированы решения краевых задач о распределении плотности плазмы и уравнения горения дугового разряда для четырех форм плазменных образований. Показано, что геометрия электродов влияет на температуру горения дуги в термоэмиссионных преобразователях энергии и на их эффективность. Обсуждается влияние геометрических факторов плазменных образований на температуру горения дуги в задаче конкуренции формообразования.

Ключевые слова:

Краевая задача, уравнение амбиполярной диффузии, уравнение горения дуги, температура горения дуги, плазма, собственная функция, собственное значение, термоэмиссионный преобразователь энергии. Key words:

Boundary value problem, ambipolar diffusion equation, burn arc equation, burn arc temperature, plasma, eigenfunction, eigenvalue, thermionic converter.

Введение

Дуговой режим реализуется во многих газовых средах в разнообразных плазменных конфигурациях и используется в многочисленных технических устройствах [1]. В частности, низковольтный дуговой разряд в С8 используется в термоэмиссионном преобразователе энергии (ТЭП), который генерирует электрическую энергию непосредственно из тепловой. Для этого используются ТЭП как с плоскопараллельными, так и с цилиндрическими электродами [2]. При изучении процессов в плазме в первую очередь необходимо знать распределение плотности и температуры составляющих её частиц.

Задачу о распределении плотности плазмы в положительном столбе в радиальном направлении, перпендикулярном разряду, впервые поставил и решил В. Шоттки [3]. Он показал, что для нулевых граничных условий первого рода и учёте ионизации в зазоре решение представляется в виде функции Бесселя. Решение подобной задачи для одномерного случая в декартовой системе координат (плоскопараллельные электроды) выражается через тригонометрические функции. Температура электронов определяется из уравнения горения дуги для собственных значений задачи о распределения плотности плазмы в зазоре. В [4] данная задача решалась для моделирования параметров плазмы и расчета вольтамперных характеристик разряда в трубках с ионизованным газом. Для низковольтной дуги в С8 и плоскопараллельными электродами задача, аналогичная [4], решена в [2]. В [5, 6] получено общее выражение для условия горения дуги в С8 с произвольными граничными условиями и любого выделенного плазменного слоя в межэлектродном зазоре.

Для больших межэлектродных расстояний ТЭП при зажигании и гашении дуги в зазоре возникают плазменные неоднородности в виде светящейся пленки на электродах или светящейся сферы в за-

зоре. Эта сфера в иностранной литературе получила название ball of fire (огненный шар). Подобные явления возникают и в других газовых средах [1]. Появление пространственных неоднородностей объясняют различными причинами. Например, в [2] сферическую плазменную форму объясняют поверхностной энергией. В настоящей статье рассматривается другая причина: взаимовлияние формы плазменного образования (геометрического фактора) и температуры горения дуги. С этой целью ставятся и решаются задачи распределения плотности плазмы в зазоре для различных пространственных образований плазмы. Одновременно с этим анализируются условия горения дуги, которые позволяют получить соответствующую температуру.

Постановки краевых задач

для определения плотности плазмы

При математическом описании стационарного распределения плотности плазмы в плазменном слое предполагаются следующие допущения. Плазма слабоионизована и состоит из атомов, электронов и однократно заряженных ионов. Внешние поля отсутствуют. Имеется существенная объемная ионизация, а рекомбинационные процессы в объеме пренебрежительно малы. В этом случае диффузионное уменьшение плотности плазмы компенсируется генерацией заряженных частиц в объеме. Такое стационарное состояние плазмы описывается уравнением амбиполярной диффузии

D Ли + vionn = 0, (1)

где n - плотность плазмы; Da - коэффициент амбиполярной диффузии; von - частота ионизации в объеме плазмы; Л - оператор Лапласа. Предполагается, что коэффициенты ур. (1) не зависят от пространственных переменных и находится в удовлетворительном согласии с экспериментальными данными [1, 2, 4].

Для полной постановки задачи необходимо задать краевые условия - условия на границе плазма-электрод или на границе плазменного образования. Для токонесущей плазмы в общем случае, краевые условия представляют сложную функцию от плотности плазмы и её производных [2, 5, 6]

/ (и, Уи)г= 0,

где Г - функция, описывающая границу плазменного образования в пространстве. В [7] показано, что без потери общности для моделирования поведения плотности плазмы можно задавать однородные краевые условия первого рода на экстраполированной границе

«г, = 0, (2)

где Ге - функция, описывающая экстраполированную границу, на которой плотность плазмы равна нулю.

Рассмотрим несколько постановок краевых задач, в которые трансформируется задача (1, 2) при задании расположения электродов и формы области, заполненной плазмой.

Задача 1. Плазменное образование имеет вид параллелепипеда, размеры которого по осям х, у и I соответственно равны х1, у1 и ^ Плоские прямоугольные электроды ТЭП могут быть ориентированы по осям одним из трех способов. Для определенности положим, что электроды имеют размеры уь 1ь и перпендикулярны оси х, т. е. межэлектродное расстояние равно х1. Задача распределения плотности плазмы в этом случае, с учетом представления оператора Лапласа в (1) в декартовых координатах, имеет вид

_ (д2и д2и д2и , . п

А ^^ + | + уг) =

(3)

«(^ = 0, у, г) = 0, и( х = хь, у, г) = 0: и(х, у = 0, г) = 0, и(х, у = уь, г) = 0, !> (4) «(х, у, г = 0) = 0, и(х, у, г = гь) = 0. _

Задача 2. Плазма находится между двумя дискообразными электродами, радиус которых ЯС; расстояние между ними 1ь. Плазменное образование имеет форму цилиндра также радиуса Яс и высотой ^ Предполагается, что по азимутальной переменной р плазма однородна. Тогда, с учетом представления оператора Лапласа в (1) в цилиндрических координатах, задача распределения плотности плазмы имеет вид

(

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

А,

1 _д( дп

г дг I дг

д и

' дг2

+ ^ши(г, г) = 0

(5)

(6)

и(г = Яс, г) = 0,

и(г, х = 0) = 0, и(г, х = гь) = 0.

Заметим, что, исключая тривиальное решение - равенство плотности плазмы во всем объеме нулю и то, что плотность плазмы величина положительная, неявно в краевых условиях (6) присут-

ди

ствует условие II рода: —

дг

= 0. Оно показывает,

что распределение плотности плазмы вдоль координаты г имеет экстремум (максимум) при г=0.

Задача 3. Плазма заключена между соосными цилиндрическими электродами. Радиус эмиттера равен гЕ, коллектора гс. Как и во второй задаче, высота цилиндров равна - плазма по азимуту однородна. Тогда, с учетом 'представления оператора Лапласа в (1) в цилиндрических координатах, задача распределения плотности плазмы между двумя цилиндрическими электродами имеет вид

А

1 д(гди 1 I д2и

г дг I дг ) дг2

+ v¡mи(г, г) = °

(7)

(8)

и(г = гЕ, г) = 0, и(г = гс, г) = 0. и(г, г = 0) = 0, и(г, г = гь) = 0.

Задача 4. Плазменное образование принимает форму шара с радиусом В этой задаче на вид электродов ограничения не накладываются. Считается, что межэлектродное расстояние гораздо больше а по переменным р и в плазма однородна. Тогда, с учетом представления оператора Лапласа в (1) в сферических координатах, задача распределения плотности плазмы в шаровом образовании имеет вид

А'7 I (г21 К"Т) = 0,

(9)

и(г = ) = 0. (10)

В задачах 3 и 4, как и в задаче 2 неявно задается однородное условие II рода.

Решения краевых задач для плотности плазмы

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и их анализ

Все приведенные выше задачи являются линейными и однородными: правые части дифференциальных уравнений и краевые условия I рода равны нулю. Для их решения целесообразно использовать метод Фурье [8]. Представим основные выкладки решения первой задачи. Для остальных задач приведем только решение в окончательном виде.

Представим решение ур. (3) в виде

и(х y, г) = илих (хХ (уК (11)

где пА - максимальное значение плотности плазмы в области определения. Подставляя (11) в (3), получим

( 32.. , ч Л

А.

илиг (уК (г)

д их (х) . дх2

+илих ( х )иz(г)

+илих (х)иг (у)

д \ ( у)

ду2 д \ ( г )

дг2 J

+ ^оиилих (Фу (уК (г) = 0. Разделив все слагаемые в правой части (12) на функцию Ддп^п^п^^О, окончательно получим

(12)

г=0

1

д пхО) 1

д 2пг (у)

пх (х) дх пг (у) ду

1 д Ч(2) , V,

п1(2) дг

| юп _ 0

Д„ ~ '

(13)

1 д2 пх (х)

пх (х) дх2

_-К

1 д2 пг (у)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

пт (у) дУ2

_-К

1 д2пг( 2) п1(2) дг 2

_-А2

(15)

а для суммы этих констант выполняется равенство

к +х _■

д„

(16)

Решая каждое из ур. (15), получим пх (х) _ Бт^х), п (у) _ зт(Ау у),

п2 (г) _ 8т(Аг). (17)

Чтобы решения вида (17) удовлетворяли краевым условиям (14), необходимо выполнение равенств

К —, К _—, К _ —. (18)

х1 уь 2Ь

Тогда решение краевой задачи (3), (4) окончательно запишем в виде

п(х, у, г) _ пАпх(х)пу(у)пг (г) _

Б1П

уь

Б1П

(19)

V

юп

д„

л 2 л 2 л

V хь У V уь У V 2Ь У

(20)

п(г, г) _ пАпк(г)пг(г) _ ^

'в г Л

V Кс У

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Б1П

(21)

где /0(..), в - функция Бесселя нулевого порядка и значение её первого корня. Уравнение горения дуги для плазмы, находящейся между двумя дискообразными электродами, имеет вид

Проводя аналогичные действия с (4), краевые условия для ур. (13) запишем в виде

пх (х _ 0) _ 0, пх (х _ хь) _ О,

п¥ (у _ 0) _ 0, пт (у _ уь) _ 0, > (14)

п1(2 _ 0) _ 0 п1 (2 _ 2ь ) _ ,

Три первых члена в (14) зависят от разных переменных, но каждый член - только от одной: х, у, г, соответственно. В свою очередь четвертый член правой части ур. (13) - положительная константа. Поэтому ур. (13) имеет решение тогда, когда каждый из трех первых членов равен своей константе

Д„

'в У

V ^ У

Л2

л

(22)

Решение задачи 3, ур. (7), (8), записывается в виде

п(г, г) _ пАпг (г)пг (г) _

' Т.. Г , .. ЛЛЛ ( _ л

_ пА ^0

л

б1П —г

V г у

(23)

а уравнение горения дуги для плазмы, находящейся между двумя цилиндрическими электродами, запишется как

V

юп

д

(

л2

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

/Л2

л

(24)

Наконец, решение задачи 4, ур. (9), (10), представляется в виде

(

Б1П

п(г) _ пАпБ (г) _ пА

V Ъ

(25)

я.

и уравнение горения дуги для шаровой плазменной области принимает вид

V

юп

д.

л2 л

V Ъ У

(26)

а из (16) с учетом (18) получаем уравнение горения дуги для задачи 1

2

Величины К, К К называют собственными значениями, а соответствующие им функции (17) -собственными функциями. Легко получить решение задачи 1 с меньшим числом переменных, например для х и у. В этом случае из решения (19) отбрасывается собственная функция и^г^т^л/г^г), а из ур. (20) - третий член в правой части.

Решение задачи 2, ур. (5), (6), имеет вид

В лабораторных исследованиях используются ТЭП как с плоскопараллельными, так и с цилиндрическими электродами [2, 9]. Для промышленных прототипов термоэмиссионных элементов в большинстве случаев применяют цилиндрические электроды. Но при моделировании характеристик прототипов используют в основном характеристики, полученные для ТЭП с плоскопараллельными электродами. Оценим изменение температуры горения дуги при переходе от плоскопараллельной геометрии электродов преобразователя к цилиндрической.

Термоэмиссионное преобразование энергии наиболее эффективно при межэлектродных расстояниях й порядка долей мм. Тогда при у1, ZL>>d можно ограничиться одномерным рассмотрением плазменных процессов в межэлектродном зазоре. В этом случае для плоскопараллельных электродов условие горения дуги с учетом (20) запишется как

юп

д

л2 л

(26)

а для цилиндрических электродов с учетом (24) - в виде

' 2.. Л2

V

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

юп

д„

.=2,405.

г

Частота ступенчатой ионизации в С8 равна [9] У = пауе (Те) о-0 (Те), (28)

где па - плотность атомов цезия в плазме; -е(Те) -тепловая скорость электронов с температурой горения дуги Те; о-0(Те)=1,44-1012-ехр(-е£0/кТе) - сечение ступенчатой ионизации; е - заряд электрона; к - постоянная Больцмана; Е0=3,21 эВ.

Температура горения дуги определяет затраты на ионообразование. Чем меньше температура, тем характеристики преобразователя больше приближаются к идеальным [8]. Из (28) следует, что - (Те) и ум~ехр(-еЕ0/кТе), но вторая зависимость более сильная и следует учитывать только её. Давление насыщенных паров цезия в преобразователях с различными типами электродов полагаем равным и учтем, что й=хь=гс-гЕ. Делим ур. (27) на (26) с учетом (28) и, выполнив ряд преобразований, получим зависимость

А^ =-

еЕ01 к - 21п(^,/я)ТеХ ' ^

где ТеХ - температуры горения дуги для ТЭП с плоскопараллельными электродами; АТе1=Те1-ТеХ -приращения температуры горения дуги для преобразователя с цилиндрическими электродами. Для характерных температур горения дуги в цезии ТеХ=2000 и 2500 К [9] приращение температуры АТе1 составляет 95 и 151 К соответственно, т. е. порядка 5...6 %.

Таким образом, принимая во внимание температуру горения дуги, при прочих равных условиях, ТЭП с плоскопараллельными электродами более эффективен, чем с цилиндрическими.

Проведем анализ задачи конкуренции формообразования: каким образом зависит температура горения дуги от геометрических факторов плазменного образования. Данная задача решается аналогичным образом, как и предыдущая. Для этого получим оценки температуры горения дуги для равноо-бъемных плазменных образований задач 1, 2, 4. Указанные в задачах плазменные образования возьмем в виде шара, цилиндра, у которого диаметр равен высоте, и куба. Объем каждого из этих образований равен К=4,189 см2, а их геометрические размеры 1=1 см, ^=21=1,747 см, хь=у1=1ь=1,612 см.

Если задавать температуру горения дуги для образования в виде шара, то, используя (20), (22) и (26), для образований в виде куба и цилиндра можно получить формулы, аналогичные (29). Положим для плазменного образования в виде шара температуру горения Те=2500 К. Тогда приращение температуры горения дуги для плазменного тела в виде цилиндра равно 15 К. Приращение температуры горения дуги для плазменного тела в виде куба на 25 К, т. е. оба приращения порядка 1 %. Различие температур горения дуги для указанных форм плазменных тел мало для того, чтобы одна из форм получила при их физическом формировании преимущество перед другими. По-видимому, на конкурен-

цию форм влияют и другие геометрические факторы. Излучение плазменного тела существенно зависит от площади его поверхности. Так, для выбранных выше параметров, отношение поверхности плазменного тела к его объему для шара, цилиндра и куба равны 3,0:3,4:3,7. И для этого фактора наблюдается такая же упорядоченность, как и для температуры горения дуги. Эти два фактора уже выявляют преимущество шаровидного плазменного образования. Возможно, что существенную роль на форму образований оказывают форма электродов и величина межэлектродного расстояния.

Для задач идентификации и диагностики важную роль играют характерные особенности распределения параметров плазмы, в частности, плотности плазмы. Из анализа задач 1-4 и полученных решений (19), (21), (23), (25) можно заключить, что для рассмотренных форм плазменных образований имеются три характерные собственные функции: пх'(х)=^\п(пх/х1), пя'(г)=10(№/Яс) и

п8'(г)=8т(яг/Ду)/(яг/Ду), нормированные на пА. На рис. 1 изображены данные функции (1 - пХ (х), 2 - пК(г), 3 - п5'(г)) для параметров, хь=1 см, 1=1=0,5 см. Для удобства сравнения функций зависимость пх (х) сдвигалась влево на х£/2, что не меняло её характерное поведение. На рис. 2 представлены первые производные этих функций.

Рис. 1. Характерные собственные функции, описывающие плотность плазмы в дуговом разряде

Если поведение функций различается мало, то их дифференциальные характеристики имеют существенное различие в приграничных областях (рис. 2). При значениях |г|>0,35, что соответствует области изменения плотности плазмы п/пА<0,4, имеется немонотонное поведение производных собственных функций пк (г) и п8 (г).

Область значений п/пА<0,4 реализуется при малых и средних токах, проходящих через термоэмиссионный преобразователь [9]. Поэтому производные указанных функций могут быть использованы для диагностики параметров экспериментального распределения плотности плазмы, в том числе формы плазменного образования.

-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6

X, г, см

Рис. 2. Производные характерных собственных функций плотности плазмы в дуговом разряде

Выводы

1. Получены решения краевых задач о распределении плотности плазмы различных пространственных форм и уравнения горения дуги, позволяющие определить ее температуру. Реше-

ния представляют произведения собственных функций; уравнения горения дуги - композицию собственных значений. Плотность плазмы формируют три характерные собственные функции. Две из них, связанные с цилиндрической и сферической системами координат, имеют области немонотонного поведения первых производных. Это можно использовать для идентификации и диагностики параметров плазмы.

2. Исследовано влияние формы электродов и плазменных образований на температуру горения дуги в Сз:

• Для термоэмиссионного преобразователя с цилиндрическими электродами по сравнению с плоскопараллельными температура горения дуги выше на 90...150 К.

• Отличие по температуре горения для плазменных образований различной формы не превышает 1 %. На конфигурацию плазменных образований существенно влияют геометрия и близость расположения электродов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1. Грановский В. Л. Электрический ток в газах. Установившийся ток / под ред. Л.А. Сена и В.Е. Голанта. - М.: Наука, 1971. - 543 с.

2. Физические основы термоэмиссионного преобразования энергии / И.П. Стаханов, В.П. Пащенко, А.С. Степанов, Ю.К. Гуськов; под ред. И.П. Стаханова. - М.: Атомиздат, 1973.- 374 с.

3. Schottky W Diffusionstheorie der positiven Saule // Physikalische Zeitschrift. - 1924. - Bd. 25. - S. 635-640.

4. Грановский В.Л. Электрический ток в газах. Т. 1. Общие вопросы электродинамики газов. - М.; Л.: Гос. изд-во технико-теор. лит-ры, 1952. - 432 с.

5. Зимин В.П. Алгоритм расчета вольт-амперных характеристик термоэмиссионного преобразователя с постоянной температурой электронов / Ред. журн. «Известия вузов. Физика». -Томск, 1984. - № 7. - 36 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.03.1984, № 1571-84.

6. Зимин В.П. Исследование функций для управляющего параметра краевой задачи диффузии плотности плазмы // Известия Томского политехнического университета. - 2008. - Т. 313. -№ 4. - С. 86-92.

7. Лошкарев А.И. Аналитическая модель дугового режима и ее использование для оптимизации рабочих параметров ТЭП // Журнал технической физики. - 1972. - Т. 42. - Вып. 10. -С. 2127-2136.

8. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1964. - 287 с.

9. Термоэмиссионные преобразователи и низкотемпературная плазма / Ф.Г. Бакшт, Г.А. Дюжев, А.М. Марциновский и др.; под ред. Б.Я. Мойжеса и Г.Е. Пикуса. - М.: Наука, 1973. - 480 с.

Поступила 11.03.2010 г.