Влияние формы плазменного образования на температуру горения дугового разряда Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.9(537.52);621.362

ВЛИЯНИЕ ФОРМЫ ПЛАЗМЕННОГО ОБРАЗОВАНИЯ НА ТЕМПЕРАТУРУ ГОРЕНИЯ ДУГОВОГО РАЗРЯДА

В.П. Зимин

Томский политехнический университет Е-mail: zimin@ido.tpu.ru

Получены и проанализированы решения краевых задач о распределении плотности плазмы и уравнения горения дугового разряда для четырех форм плазменных образований. Показано, что геометрия электродов влияет на температуру горения дуги в термоэмиссионных преобразователях энергии и на их эффективность. Обсуждается влияние геометрических факторов плазменных образований на температуру горения дуги в задаче конкуренции формообразования.

Ключевые слова:

Краевая задача, уравнение амбиполярной диффузии, уравнение горения дуги, температура горения дуги, плазма, собственная функция, собственное значение, термоэмиссионный преобразователь энергии. Key words:

Boundary value problem, ambipolar diffusion equation, burn arc equation, burn arc temperature, plasma, eigenfunction, eigenvalue, thermionic converter.

Введение

Дуговой режим реализуется во многих газовых средах в разнообразных плазменных конфигурациях и используется в многочисленных технических устройствах [1]. В частности, низковольтный дуговой разряд в С8 используется в термоэмиссионном преобразователе энергии (ТЭП), который генерирует электрическую энергию непосредственно из тепловой. Для этого используются ТЭП как с плоскопараллельными, так и с цилиндрическими электродами [2]. При изучении процессов в плазме в первую очередь необходимо знать распределение плотности и температуры составляющих её частиц.

Задачу о распределении плотности плазмы в положительном столбе в радиальном направлении, перпендикулярном разряду, впервые поставил и решил В. Шоттки [3]. Он показал, что для нулевых граничных условий первого рода и учёте ионизации в зазоре решение представляется в виде функции Бесселя. Решение подобной задачи для одномерного случая в декартовой системе координат (плоскопараллельные электроды) выражается через тригонометрические функции. Температура электронов определяется из уравнения горения дуги для собственных значений задачи о распределения плотности плазмы в зазоре. В [4] данная задача решалась для моделирования параметров плазмы и расчета вольтамперных характеристик разряда в трубках с ионизованным газом. Для низковольтной дуги в С8 и плоскопараллельными электродами задача, аналогичная [4], решена в [2]. В [5, 6] получено общее выражение для условия горения дуги в С8 с произвольными граничными условиями и любого выделенного плазменного слоя в межэлектродном зазоре.

Для больших межэлектродных расстояний ТЭП при зажигании и гашении дуги в зазоре возникают плазменные неоднородности в виде светящейся пленки на электродах или светящейся сферы в за-

зоре. Эта сфера в иностранной литературе получила название ball of fire (огненный шар). Подобные явления возникают и в других газовых средах [1]. Появление пространственных неоднородностей объясняют различными причинами. Например, в [2] сферическую плазменную форму объясняют поверхностной энергией. В настоящей статье рассматривается другая причина: взаимовлияние формы плазменного образования (геометрического фактора) и температуры горения дуги. С этой целью ставятся и решаются задачи распределения плотности плазмы в зазоре для различных пространственных образований плазмы. Одновременно с этим анализируются условия горения дуги, которые позволяют получить соответствующую температуру.

Постановки краевых задач

для определения плотности плазмы

При математическом описании стационарного распределения плотности плазмы в плазменном слое предполагаются следующие допущения. Плазма слабоионизована и состоит из атомов, электронов и однократно заряженных ионов. Внешние поля отсутствуют. Имеется существенная объемная ионизация, а рекомбинационные процессы в объеме пренебрежительно малы. В этом случае диффузионное уменьшение плотности плазмы компенсируется генерацией заряженных частиц в объеме. Такое стационарное состояние плазмы описывается уравнением амбиполярной диффузии

D Ли + vionn = 0, (1)

где n - плотность плазмы; Da - коэффициент амбиполярной диффузии; von - частота ионизации в объеме плазмы; Л - оператор Лапласа. Предполагается, что коэффициенты ур. (1) не зависят от пространственных переменных и находится в удовлетворительном согласии с экспериментальными данными [1, 2, 4].

Для полной постановки задачи необходимо задать краевые условия - условия на границе плазма-электрод или на границе плазменного образования. Для токонесущей плазмы в общем случае, краевые условия представляют сложную функцию от плотности плазмы и её производных [2, 5, 6]

/ (и, Уи)г= 0,

где Г - функция, описывающая границу плазменного образования в пространстве. В [7] показано, что без потери общности для моделирования поведения плотности плазмы можно задавать однородные краевые условия первого рода на экстраполированной границе

«г, = 0, (2)

где Ге - функция, описывающая экстраполированную границу, на которой плотность плазмы равна нулю.

Рассмотрим несколько постановок краевых задач, в которые трансформируется задача (1, 2) при задании расположения электродов и формы области, заполненной плазмой.

Задача 1. Плазменное образование имеет вид параллелепипеда, размеры которого по осям х, у и I соответственно равны х1, у1 и ^ Плоские прямоугольные электроды ТЭП могут быть ориентированы по осям одним из трех способов. Для определенности положим, что электроды имеют размеры уь 1ь и перпендикулярны оси х, т. е. межэлектродное расстояние равно х1. Задача распределения плотности плазмы в этом случае, с учетом представления оператора Лапласа в (1) в декартовых координатах, имеет вид

_ (д2и д2и д2и , . п

А ^^ + | + уг) =

(3)

«(^ = 0, у, г) = 0, и( х = хь, у, г) = 0: и(х, у = 0, г) = 0, и(х, у = уь, г) = 0, !> (4) «(х, у, г = 0) = 0, и(х, у, г = гь) = 0. _

Задача 2. Плазма находится между двумя дискообразными электродами, радиус которых ЯС; расстояние между ними 1ь. Плазменное образование имеет форму цилиндра также радиуса Яс и высотой ^ Предполагается, что по азимутальной переменной р плазма однородна. Тогда, с учетом представления оператора Лапласа в (1) в цилиндрических координатах, задача распределения плотности плазмы имеет вид

(

А,

1 _д( дп

г дг I дг

д и

' дг2

+ ^ши(г, г) = 0

(5)

(6)

и(г = Яс, г) = 0,

и(г, х = 0) = 0, и(г, х = гь) = 0.

Заметим, что, исключая тривиальное решение - равенство плотности плазмы во всем объеме нулю и то, что плотность плазмы величина положительная, неявно в краевых условиях (6) присут-

ди

ствует условие II рода: —

дг

= 0. Оно показывает,

что распределение плотности плазмы вдоль координаты г имеет экстремум (максимум) при г=0.

Задача 3. Плазма заключена между соосными цилиндрическими электродами. Радиус эмиттера равен гЕ, коллектора гс. Как и во второй задаче, высота цилиндров равна - плазма по азимуту однородна. Тогда, с учетом 'представления оператора Лапласа в (1) в цилиндрических координатах, задача распределения плотности плазмы между двумя цилиндрическими электродами имеет вид

А

1 д(гди 1 I д2и

г дг I дг ) дг2

+ v¡mи(г, г) = °

(7)

(8)

и(г = гЕ, г) = 0, и(г = гс, г) = 0. и(г, г = 0) = 0, и(г, г = гь) = 0.

Задача 4. Плазменное образование принимает форму шара с радиусом В этой задаче на вид электродов ограничения не накладываются. Считается, что межэлектродное расстояние гораздо больше а по переменным р и в плазма однородна. Тогда, с учетом представления оператора Лапласа в (1) в сферических координатах, задача распределения плотности плазмы в шаровом образовании имеет вид

А'7 I (г21 К"Т) = 0,

(9)

и(г = ) = 0. (10)

В задачах 3 и 4, как и в задаче 2 неявно задается однородное условие II рода.

Решения краевых задач для плотности плазмы

и их анализ

Все приведенные выше задачи являются линейными и однородными: правые части дифференциальных уравнений и краевые условия I рода равны нулю. Для их решения целесообразно использовать метод Фурье [8]. Представим основные выкладки решения первой задачи. Для остальных задач приведем только решение в окончательном виде.

Представим решение ур. (3) в виде

и(х y, г) = илих (хХ (уК (11)

где пА - максимальное значение плотности плазмы в области определения. Подставляя (11) в (3), получим

( 32.. , ч Л

А.

илиг (уК (г)

д их (х) . дх2

+илих ( х )иz(г)

+илих (х)иг (у)

д \ ( у)

ду2 д \ ( г )

дг2 J

+ ^оиилих (Фу (уК (г) = 0. Разделив все слагаемые в правой части (12) на функцию Ддп^п^п^^О, окончательно получим

(12)

г=0

1

д пхО) 1

д 2пг (у)

пх (х) дх пг (у) ду

1 д Ч(2) , V,

п1(2) дг

| юп _ 0

Д„ ~ '

(13)

1 д2 пх (х)

пх (х) дх2

_-К

1 д2 пг (у)

пт (у) дУ2

_-К

1 д2пг( 2) п1(2) дг 2

_-А2

(15)

а для суммы этих констант выполняется равенство

к +х _■

д„

(16)

Решая каждое из ур. (15), получим пх (х) _ Бт^х), п (у) _ зт(Ау у),

п2 (г) _ 8т(Аг). (17)

Чтобы решения вида (17) удовлетворяли краевым условиям (14), необходимо выполнение равенств

К —, К _—, К _ —. (18)

х1 уь 2Ь

Тогда решение краевой задачи (3), (4) окончательно запишем в виде

п(х, у, г) _ пАпх(х)пу(у)пг (г) _

Б1П

уь

-у

Б1П

(19)

V

юп

д„

л 2 л 2 л

V хь У V уь У V 2Ь У

(20)

п(г, г) _ пАпк(г)пг(г) _ ^

'в г Л

V Кс У

Б1П

(21)

где /0(..), в - функция Бесселя нулевого порядка и значение её первого корня. Уравнение горения дуги для плазмы, находящейся между двумя дискообразными электродами, имеет вид

Проводя аналогичные действия с (4), краевые условия для ур. (13) запишем в виде

пх (х _ 0) _ 0, пх (х _ хь) _ О,

п¥ (у _ 0) _ 0, пт (у _ уь) _ 0, > (14)

п1(2 _ 0) _ 0 п1 (2 _ 2ь ) _ ,

Три первых члена в (14) зависят от разных переменных, но каждый член - только от одной: х, у, г, соответственно. В свою очередь четвертый член правой части ур. (13) - положительная константа. Поэтому ур. (13) имеет решение тогда, когда каждый из трех первых членов равен своей константе

Д„

'в У

V ^ У

Л2

л

(22)

Решение задачи 3, ур. (7), (8), записывается в виде

п(г, г) _ пАпг (г)пг (г) _

' Т.. Г , .. ЛЛЛ ( _ л

_ пА ^0

2В

л

б1П —г

V г у

(23)

а уравнение горения дуги для плазмы, находящейся между двумя цилиндрическими электродами, запишется как

V

юп

д

(

2в

л2

/Л2

л

(24)

Наконец, решение задачи 4, ур. (9), (10), представляется в виде

(

Б1П

п(г) _ пАпБ (г) _ пА

V Ъ

(25)

я.

и уравнение горения дуги для шаровой плазменной области принимает вид

V

юп

д.

л2 л

V Ъ У

(26)

а из (16) с учетом (18) получаем уравнение горения дуги для задачи 1

2

Величины К, К К называют собственными значениями, а соответствующие им функции (17) -собственными функциями. Легко получить решение задачи 1 с меньшим числом переменных, например для х и у. В этом случае из решения (19) отбрасывается собственная функция и^г^т^л/г^г), а из ур. (20) - третий член в правой части.

Решение задачи 2, ур. (5), (6), имеет вид

В лабораторных исследованиях используются ТЭП как с плоскопараллельными, так и с цилиндрическими электродами [2, 9]. Для промышленных прототипов термоэмиссионных элементов в большинстве случаев применяют цилиндрические электроды. Но при моделировании характеристик прототипов используют в основном характеристики, полученные для ТЭП с плоскопараллельными электродами. Оценим изменение температуры горения дуги при переходе от плоскопараллельной геометрии электродов преобразователя к цилиндрической.

Термоэмиссионное преобразование энергии наиболее эффективно при межэлектродных расстояниях й порядка долей мм. Тогда при у1, ZL>>d можно ограничиться одномерным рассмотрением плазменных процессов в межэлектродном зазоре. В этом случае для плоскопараллельных электродов условие горения дуги с учетом (20) запишется как

юп

д

л2 л

(26)

а для цилиндрических электродов с учетом (24) - в виде

' 2.. Л2

V

юп

д„

2в

.=2,405.

г

Частота ступенчатой ионизации в С8 равна [9] У = пауе (Те) о-0 (Те), (28)

где па - плотность атомов цезия в плазме; -е(Те) -тепловая скорость электронов с температурой горения дуги Те; о-0(Те)=1,44-1012-ехр(-е£0/кТе) - сечение ступенчатой ионизации; е - заряд электрона; к - постоянная Больцмана; Е0=3,21 эВ.

Температура горения дуги определяет затраты на ионообразование. Чем меньше температура, тем характеристики преобразователя больше приближаются к идеальным [8]. Из (28) следует, что - (Те) и ум~ехр(-еЕ0/кТе), но вторая зависимость более сильная и следует учитывать только её. Давление насыщенных паров цезия в преобразователях с различными типами электродов полагаем равным и учтем, что й=хь=гс-гЕ. Делим ур. (27) на (26) с учетом (28) и, выполнив ряд преобразований, получим зависимость

А^ =-

еЕ01 к - 21п(^,/я)ТеХ ' ^

где ТеХ - температуры горения дуги для ТЭП с плоскопараллельными электродами; АТе1=Те1-ТеХ -приращения температуры горения дуги для преобразователя с цилиндрическими электродами. Для характерных температур горения дуги в цезии ТеХ=2000 и 2500 К [9] приращение температуры АТе1 составляет 95 и 151 К соответственно, т. е. порядка 5...6 %.

Таким образом, принимая во внимание температуру горения дуги, при прочих равных условиях, ТЭП с плоскопараллельными электродами более эффективен, чем с цилиндрическими.

Проведем анализ задачи конкуренции формообразования: каким образом зависит температура горения дуги от геометрических факторов плазменного образования. Данная задача решается аналогичным образом, как и предыдущая. Для этого получим оценки температуры горения дуги для равноо-бъемных плазменных образований задач 1, 2, 4. Указанные в задачах плазменные образования возьмем в виде шара, цилиндра, у которого диаметр равен высоте, и куба. Объем каждого из этих образований равен К=4,189 см2, а их геометрические размеры 1=1 см, ^=21=1,747 см, хь=у1=1ь=1,612 см.

Если задавать температуру горения дуги для образования в виде шара, то, используя (20), (22) и (26), для образований в виде куба и цилиндра можно получить формулы, аналогичные (29). Положим для плазменного образования в виде шара температуру горения Те=2500 К. Тогда приращение температуры горения дуги для плазменного тела в виде цилиндра равно 15 К. Приращение температуры горения дуги для плазменного тела в виде куба на 25 К, т. е. оба приращения порядка 1 %. Различие температур горения дуги для указанных форм плазменных тел мало для того, чтобы одна из форм получила при их физическом формировании преимущество перед другими. По-видимому, на конкурен-

цию форм влияют и другие геометрические факторы. Излучение плазменного тела существенно зависит от площади его поверхности. Так, для выбранных выше параметров, отношение поверхности плазменного тела к его объему для шара, цилиндра и куба равны 3,0:3,4:3,7. И для этого фактора наблюдается такая же упорядоченность, как и для температуры горения дуги. Эти два фактора уже выявляют преимущество шаровидного плазменного образования. Возможно, что существенную роль на форму образований оказывают форма электродов и величина межэлектродного расстояния.

Для задач идентификации и диагностики важную роль играют характерные особенности распределения параметров плазмы, в частности, плотности плазмы. Из анализа задач 1-4 и полученных решений (19), (21), (23), (25) можно заключить, что для рассмотренных форм плазменных образований имеются три характерные собственные функции: пх'(х)=^\п(пх/х1), пя'(г)=10(№/Яс) и

п8'(г)=8т(яг/Ду)/(яг/Ду), нормированные на пА. На рис. 1 изображены данные функции (1 - пХ (х), 2 - пК(г), 3 - п5'(г)) для параметров, хь=1 см, 1=1=0,5 см. Для удобства сравнения функций зависимость пх (х) сдвигалась влево на х£/2, что не меняло её характерное поведение. На рис. 2 представлены первые производные этих функций.

Рис. 1. Характерные собственные функции, описывающие плотность плазмы в дуговом разряде

Если поведение функций различается мало, то их дифференциальные характеристики имеют существенное различие в приграничных областях (рис. 2). При значениях |г|>0,35, что соответствует области изменения плотности плазмы п/пА<0,4, имеется немонотонное поведение производных собственных функций пк (г) и п8 (г).

Область значений п/пА<0,4 реализуется при малых и средних токах, проходящих через термоэмиссионный преобразователь [9]. Поэтому производные указанных функций могут быть использованы для диагностики параметров экспериментального распределения плотности плазмы, в том числе формы плазменного образования.

-0,6 -0,4 -0,2 0,0 0,2 0,4 0,6

X, г, см

Рис. 2. Производные характерных собственных функций плотности плазмы в дуговом разряде

Выводы

1. Получены решения краевых задач о распределении плотности плазмы различных пространственных форм и уравнения горения дуги, позволяющие определить ее температуру. Реше-

ния представляют произведения собственных функций; уравнения горения дуги - композицию собственных значений. Плотность плазмы формируют три характерные собственные функции. Две из них, связанные с цилиндрической и сферической системами координат, имеют области немонотонного поведения первых производных. Это можно использовать для идентификации и диагностики параметров плазмы.

2. Исследовано влияние формы электродов и плазменных образований на температуру горения дуги в Сз:

• Для термоэмиссионного преобразователя с цилиндрическими электродами по сравнению с плоскопараллельными температура горения дуги выше на 90...150 К.

• Отличие по температуре горения для плазменных образований различной формы не превышает 1 %. На конфигурацию плазменных образований существенно влияют геометрия и близость расположения электродов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Грановский В. Л. Электрический ток в газах. Установившийся ток / под ред. Л.А. Сена и В.Е. Голанта. - М.: Наука, 1971. - 543 с.

2. Физические основы термоэмиссионного преобразования энергии / И.П. Стаханов, В.П. Пащенко, А.С. Степанов, Ю.К. Гуськов; под ред. И.П. Стаханова. - М.: Атомиздат, 1973.- 374 с.

3. Schottky W Diffusionstheorie der positiven Saule // Physikalische Zeitschrift. - 1924. - Bd. 25. - S. 635-640.

4. Грановский В.Л. Электрический ток в газах. Т. 1. Общие вопросы электродинамики газов. - М.; Л.: Гос. изд-во технико-теор. лит-ры, 1952. - 432 с.

5. Зимин В.П. Алгоритм расчета вольт-амперных характеристик термоэмиссионного преобразователя с постоянной температурой электронов / Ред. журн. «Известия вузов. Физика». -Томск, 1984. - № 7. - 36 с. - Деп. в ВИНИТИ 21.03.1984, № 1571-84.

6. Зимин В.П. Исследование функций для управляющего параметра краевой задачи диффузии плотности плазмы // Известия Томского политехнического университета. - 2008. - Т. 313. -№ 4. - С. 86-92.

7. Лошкарев А.И. Аналитическая модель дугового режима и ее использование для оптимизации рабочих параметров ТЭП // Журнал технической физики. - 1972. - Т. 42. - Вып. 10. -С. 2127-2136.

8. Араманович И.Г., Левин В.И. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1964. - 287 с.

9. Термоэмиссионные преобразователи и низкотемпературная плазма / Ф.Г. Бакшт, Г.А. Дюжев, А.М. Марциновский и др.; под ред. Б.Я. Мойжеса и Г.Е. Пикуса. - М.: Наука, 1973. - 480 с.

Поступила 11.03.2010 г.