Влияние эволюции структуры и уровня нагрузки на свойства кривых ползучести и восстановления, порождаемых нелинейной моделью деформирования тиксотропных вязкоупругопластичных сред Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.37, 532.517.2, 539.5

Влияние эволюции структуры и уровня нагрузки на свойства кривых ползучести и восстановления, порождаемых нелинейной моделью деформирования тиксотропных вязкоупругопластичных сред

А.В. Хохлов1,2,3, В В. Гулин1,3

1 НИИ механики МГУ им. М.В. Ломоносова, Москва, 119192, Россия 2 Московский центр фундаментальной и прикладной математики, Москва, 119991, Россия 3 Институт естественных наук СВФУ им. М.К. Аммосова, Якутск, 677027, Россия Продолжено системное аналитическое исследование свойств построенной ранее нелинейной модели сдвигового деформирования тиксотропных вязкоупругопластичных сред, учитывающей взаимовлияние процесса деформирования и эволюции структуры, анализ способности модели описывать поведение не только жидкообразных, но и твердообразных (густеющих, твердеющих, затвердевших) сред. В данной статье внимание сосредоточено на изучении свойств откликов модели на ступенчатые нагружения, в частности, кривых ползучести и восстановления и кривых циклического ступенчатого нагружения. Цель — выяснить, какие типичные для вязкоупругопластичных сред эффекты способна описывать модель и какие необычные эффекты (непривычные свойства) порождает изменение структурированности по сравнению с типичными кривыми ползучести и восстановления структурно стабильных материалов. Получена система двух нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих отклик системы на заданную программу нагружения (а не деформации, как ранее), в частности, ползучесть при постоянной нагрузке и произвольной кусочно-постоянной нагрузке. Для произвольных шести материальных параметров и возрастающей материальной функции, управляющих моделью, построено в явном виде общее решение задачи Коши для этой системы, т.е. выведены выражения в виде квадратур для деформации сдвига и структурированности как функций времени, зависящие от начальных условий и всех параметров модели и программы нагружения. Аналитически изучены базовые свойства семейства кривых ползучести и восстановления и особенности эволюции структуры в этих процессах, их зависимость не только от времени (интервалы монотонности и выпуклости, экстремумы, асимптоты и т.п.), но и от материальных параметров и функции модели, от уровня напряжения и начальной структурированности материала, а также от начальной стадии нагружения до заданного напряжения, предшествующей ползучести. В частности, доказано, что кривые ползучести всегда возрастают по времени, не имеют точек перегиба и обладают наклонными асимптотами (хотя их начальные участки могут сильно отличаться от прямолинейных), а структурированность при постоянном напряжении (на каждой стадии ступенчатого нагружения, в частности, при нулевом напряжении) всегда монотонна в отличие от других режимов нагружения, но может убывать или возрастать в зависимости от соотношения между уровнем напряжения и начальной структурированностью на каждой стадии ступенчатого на-гружения. Обнаружено, что модель может описывать непривычные, но наблюдаемые в испытаниях некоторых материалов эффекты, например различие модулей скачков деформации при нагрузке и полной разгрузке и противоположность знака остаточной деформации знаку напряжения и деформации на стадии ползучести. Найдены несколько индикаторов применимости модели, которые удобно проверять по экспериментальным данным. Исследованы отклики модели на циклическую нагрузку-разгрузку (ползучесть-восстановление), возникающие колебания структурированности и их влияние на скорость накопления пластической деформации.

Ключевые слова: тиксотропия, вязкоупругопластичность, реология, ползучесть, восстановление, полимерные системы, сдвиговое течение, степень сшитости, структурированность, скорость ползучести, индикаторы применимости DOI 10.55652/1683-805X_2024_27_5_77-103

Influence of structure evolution and load level on the properties of creep and recovery curves produced by a nonlinear model for thixotropic viscoelastoplastic media

A.V. Khokhlov1,2,3 and V.V. Gulin1,3

1 Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University, Moscow, 119192, Russia 2 Moscow Center of Fundamental and Applied Mathematics, Moscow, 119991, Russia 3 Ammosov North-Eastern Federal University, Yakutsk, 677027, Russia This paper continues the systematic analytical study of the properties of the previously constructed nonlinear shear deformation model of thixotropic viscoelastoplastic media, which takes into account the mutual influence of deformation and structural evolution. The ability of the model to describe the behavior of liquid and solid media (solidifying/solidified) is analyzed. The focus is on the response properties of the model to stepwise loading, in particular, creep and recovery curves and curves of incremental cyclic loading. The goal is to find out what typical effects of viscoelastoplastic media the model can describe and what unusual effects/properties are generated by changes in the crosslinking degree compared to typical creep and recovery curves of structurally stable materials. A system of two nonlinear differential equations is obtained which describe the response of the system to a given loading program (not deformation program, as before), such as creep under constant load and arbitrary piecewise constant load. A general solution to the Cauchy problem for this system is constructed in explicit form for six arbitrary material parameters and an increasing material function governing the model, i.e., expressions are derived as quadratures for the shear strain and crosslinking degree as functions of time, which depend on the initial conditions and all parameters of the model and loading program. An analytical study is performed for the basic properties of the family of creep and recovery curves and the structural evolution in these processes, their dependence on time (monotonicity and convexity intervals, extrema, asymptotes, etc.), on the material parameters and function of the model, on the stress level and initial crosslinking degree of the material, and on the initial stage of loading to a given stress before creep. It was proven that creep curves always increase in time, do not have inflection points and have oblique asymptotes (although their initial portions can differ considerably from straight lines), and the crosslinking degree at constant stress (at each incremental loading step, in particular, at zero stress) is always monotonic unlike other loading modes, but can decrease or increase depending on the relationship between the stress level and the initial cross-linking degree at each incremental loading step. The model is shown to describe unusual effects observed in tests of some materials, e.g., the difference in the absolute values of strain jumps during loading and complete unloading and the opposite sign of residual strain with respect to the stress and strain signs at the creep stage. Several applicability indicators of the model were found, which can be conveniently verified using experimental data. The responses of the model to cyclic loading/unloading (creep/recovery), induced oscillations of the crosslinking degree, and their effect on the rate of plastic strain accumulation were studied.

Keywords: thixotropy, viscoelastoplasticity, rheology, creep, recovery, polymer systems, shear flow, crosslinking degree, creep rate, applicability indicators

© Хохлов А.В., Гулин В.В., 2024

1. Введение

Адекватное описание нелинейных реологических эффектов, в частности тиксотропии, изучение механизмов, их порождающих, и построение определяющих соотношений течения неньютоновских вязких жидкостей и вязкоупругопластичных сред (например суспензий, гелей, полимеров в вязкотекучем состоянии или в виде расплавов и растворов, битумов и их модификаций минеральными и эластомерными наполнителями, металлов и сплавов в сверхпластичном состоянии и т.п.) с учетом происходящих в них структурных изменений важны для понимания закономерностей и моделирования огромного количества природных и технологических процессов [1-20]: движения магмы, поведения грунтов, схода селей и лавин, разнообразных технологий переработки полимеров [15-20] и других материалов (экструзии волокон, прессования, штамповки, 3Б-печати заготовок полимерами, металлами, С^С пастами и т.п.) [18, 20-23], нефтедобычи и перекачки нефти, дорожного строительства, производства лаков, красок, масел, пищевых продуктов, гемодинамики и медицинской микрофлюидики [24-26]. Например, в полимерных системах эволюция структуры (разнообразных связей между макромолекулами и надмолекулярными агрегатами), влияющая на физико-механические свойства, обусловлена, прежде всего, огромной длиной и сложной формой макромолекул, их гибкостью, многочисленными степенями свободы их сегментов, наличием межмолекулярных взаимодействий, приводящих к образованию (и разрушению) зацеплений, узлов, водородных связей, сшивок, кристаллитов и других элементов сложной пространственной (сетчатой) структуры [3-7, 9, 12, 14-19, 27-29]. Моделирование течения полимерных систем традиционно опирается на макроскопическую феноменологию и аппарат механики стабильных сплошных сред и в лучшем случае учитывает лишь влияние изменения фазового состава и структуры среды (скорости полимеризации, кристаллизации, гелеобразования и т.п.) на характер течения, но не учитывает (из-за сложности) влияние деформирования на кинетику изменения структуры [3-7, 9-17, 19, 30]. Представляется необходимым адекватно моделировать взаимное влияние этих процессов, особенности их конкуренции и эпифеномены их взаимодействия, в частности возрастание кривой течения, зависимость вязкости среды от скорости сдвига («аномалию вязкости»), температуры и давления, существова-

ние конечного предела вязкости при стремлении скорости к нулю или к бесконечности (максимальной и минимальной ньютоновских вязкос-тей) и тиксотропию (явление обратимого изотермического уменьшения вязкости при увеличении скорости сдвига и ее восстановления при уменьшении скорости) [19-30].

Данная статья — продолжение работ [31-34], посвященных формулировке одноосного прототипа нелинейного определяющего соотношения для сдвигового течения тиксотропных вязко-упругопластичных сред, учитывающего взаимное влияние процессов деформирования и эволюции структуры, его сведению к задаче Коши для системы двух нелинейных дифференциальных уравнений

^ = ае^ - 5е(в-а>, (1)

* = c [(1 - w(1 + bg (5))] (2)

для безразмерных касательного напряжения 5(0 и степени структурированности w(t) ^ > 0 — безразмерное время), аналитическому исследованию ее положения равновесия, интегральных кривых, фазового портрета и кривых течения в зависимости от всех пяти безразмерных материальных параметров а, Ь, с, а > 0, в > 0 (см. ниже), скорости сдвига V и материальной функции g(s) и выявлению основных эффектов, которые модель может или не может описывать (границ области применимости и ее индикаторов) [35-38]. Описание изотермического сдвигового деформирования материалов (паст, гелей, суспензий, полимеров в высокоэластичном и вязкотекучем состоянии, в виде расплавов и концентрированных растворов, смол, битумов, пластичных металлов и сплавов и др.) опирается на нелинейную модель Максвелла

т т

У = О+-, О -

(3)

в которой т — касательное напряжение; у = у — скорость простого сдвига (в работах [31-34] она считалась постоянной, заданным параметром). Материальные параметры О и - зависят от изменения структуры материала в процессе деформирования [31]. Будем считать, что модуль сдвига О и динамическая вязкость - зависят от одного безразмерного структурного параметра w(t): О = О^), - = w(t)е [0; 1], w(0) = Wo, Wo е [0; 1].

Под w(t) будем понимать степень структурированности [33], характеризующую, например, степень сшитости (геля) или степень кристалличности полимера (поскольку их кинетику можно описать аналогичным дифференциальным уравнени-

ем, см. (5)), или изменения в среднем размере, форме и ориентации частиц фаз в суспензиях, эмульсиях, полимерных системах и зерен в пластичных поликристаллических металлах и сплавах, пористость, образование, рост и разрушение агрегатов, кристаллитов или зерен, образование ван-дер-ваальсовых связей и сшивок между молекулами золей, гелей или растворов полимеров, в частности отношение концентрации надмолекулярных или межмолекулярных связей (зацеплений, водородных связей, сшивок и т.п.) в текущий момент времени к некоторому максимально возможному значению концентрации связей для данной температуры. Величины - = -(м) и О = О(м) в (3) должны быть неубывающими функциями от w. Можно выбрать их степенными или, следуя традициям кинетики, принять их экспоненциальными:

-(м) = , ОМ = О0в^, (4)

где -0, О0 > 0, 0 < в < а. Параметры а, в определяют скорость изменения и множество значений -(м) и О(м): -0 < -м < -0еа, О0 < О(м) < О0ев. Поскольку вязкость обычно сильнее зависит от структурированности (и от температуры), чем модуль сдвига, то в < а. Время релаксации модели Максвелла (3) Т = -/О выражается формулой Т(м) < Т0е(а-в)м, Т0 = -0/О0, и потому ограничение в < а равносильно постулированию возрастания Т(м) с ростом м; Т0 — минимальное время релаксации среды.

На данном этапе будем характеризовать текущую структуру материала только одним параметром м(^), не различая механизмы влияния разных элементов надмолекулярной структуры на вязкость (или пренебрегая ими). Пока будет важно лишь то, что материал имеет структуру, которая разрушается под действием напряжений сдвига и может восстанавливаться. Даже такой простой подход (при условии продуманной формулировки эволюционного уравнения (5) для м(1)) и понимания значимости вкладов в него разных конкретных механизмов изменения структуры) позволяет описать большое количество наблюдаемых эффектов [31-34].

Изменение структурированности происходит в результате конкуренции двух основных процессов: разрушения имеющихся сшивок (структурных связей) и образования новых. Рост напряжения ускоряет разрушение, т.е. убывание м(^) (вязкость при этом падает), а скорость образования новых сшивок можем считать постоянной (в пер-

вом приближении, при фиксированной температуре) и пропорциональной плотности возможных, но нереализованных сшивок (1 - м). Поэтому кинетическое уравнение для м(1) можно принять в виде

М = кх(1 - м) -к2g(5)м, (5)

где кь к2 > 0 — материальные параметры, задающие скорости образования и разрушения сшивок (вообще говоря, они зависят от температуры); g(s), 5 > 0, — возрастающая (нестрого) кусочно-гладкая функция такая, что g(0) = 1 и g(+да) = (роль этого ограничения указана в [31-33]), задающая зависимость скорости разрушения сшивок от безразмерного напряжения 5 = т^)/тс (тс — характерное касательное напряжение: пороговое или просто тс = сО0, се (0; 1]). Допустим случай g(s) = 1 при 5 е [0; 50]. Например, в [33, 34] и ниже для иллюстраций использованы материальные функции

g(5) = еИ, g(5) = 1 + {Из)и, и > 0,

(6)

g(5) = 1 + 1п(1 + Иу), И > 0.

Таким образом, в модели (3)-(5) (управляемой шестью материальными параметрами кь к2, -0, О0, а > 0, в > 0 и одной материальной функцией g(s)) учитывается кинетика взаимосвязанного протекания двух сопряженных процессов: сдвигового течения и структурных изменений в материале [31-34]. Введение безразмерного времени t = ^Т0 (после упрощения обозначений и замены t на 0 [31] дает уравнения модели (3)-(5) в безразмерном виде (1), (2), где а = У-0/тс = = \>Т0О0/тс, Ь = к2/кг,с = к\Т0 — безразмерные материальные параметры: а зависит от заданной скорости сдвига V и начальной вязкости (или времени релаксации), Ь и с характеризуют борьбу процессов образования и разрушения сшивок и соотношение их скоростей с Т0. К системе (1), (2) нужно добавить начальные условия м(0) = м0 и 5(0) = 50. Параметр м0 следует рассматривать как еще один материальный параметр модели, характеризующий начальное состояние материала, т.е. результат его предыстории (он, конечно, сильно влияет на кривые деформирования, релаксации и ползучести, порождаемые определяющим соотношением).

Основные наблюдаемые у неньютоновских жидкостей (суспензий, концентрированных эмульсий, гелей, расплавов и растворов полимеров и др.) реологические эффекты — возрастание кривой течения и зависимость вязкости среды от ско-

рости сдвига («аномалия вязкости»), температуры и давления [1-20, 39-45], тиксотропия [19-30], существование конечного предела вязкости при стремлении скорости к нулю или к бесконечности (максимальной и минимальной ньютоновых вяз-костей) [1-20, 39-45], сверханомалия вязкости (наличие участка убывания на кривой течения) [42, 43, 46, 47], разбухание экструдата при выходе из канала фильеры (эффект Баруса) [3, 4, 6, 10, 14-19] и др. Обычно для аппроксимации возрастающей кривой течения среды используют простейший степенной закон. Поскольку такая зависимость не распространяется на весь диапазон скоростей сдвига, а начальная вязкость равна бесконечности (для псевдопластичных жидкостей) или нулю (для дилатантных), то за полтора столетия, начиная с работ Максвелла, Шведова, Бин-гама, Оствальда, Рейнера, Олдройда, Лоджа, Нолла, Ребиндера, предложено более сотни разных феноменологических и структурных определяющих соотношений (реологических моделей), опирающихся на методы механики сплошной среды и аппроксимирующих нелинейные зависимости напряжения (или вязкости) от скорости сдвига разных сред в определенном интервале скоростей сдвига [1-21, 26, 30, 39-58]: модели Шведова-Бингама [1], Гершеля-Балкли, Кэссона, Кросса, Кригера, Джиллеспи [20, 30, 53, 54], Бернштейна-Кирсли-Запаса [20, 30, 54], Олдройда [39], Лоджа [3], Леонова-Прокунина [7, 41, 48], Карро-Ясуда [11, 19, 20, 30], Виноградова-Покровского [4, 19, 51] и ее обобщение [51, 58], Гиезекуса [44], Менцера, Фан-Тьен-Тэннера [13, 19], Рош-Рош-модели [11, 49] и др.

Лишь немногие из сотни известных определяющих соотношений жидких сред учитывают не только их вязкость и пластичность, но и вязкоуп-ругость (столь характерную, например, для расплавов и концентрированных растворов полимеров, для жидкостей-пропантоносителей и т.п.) [3, 6, 10, 19, 20, 30, 53, 54, 56-58]. Большинство моделей носят феноменологический характер, содержат подгоночные параметры, не имеющие определенного физического смысла, не учитывают упругость жидких сред и эволюцию их микроструктуры (тем более загустения и отвердевания вплоть до проявления свойств твердых тел, как в [34] и настоящей статье). Но, например, в работах Леонова и Прокунина [7, 41, 48] построено семейство определяющих соотношений максвел-ловского типа для несжимаемых упругих полимерных жидкостей, опирающееся на квазилиней-

ную термодинамику неравновесных процессов и использующее тензор обратимых деформаций второго ранга как скрытый параметр. Лишь немногие из известных определяющих соотношений в явном виде учитывают взаимное влияние процессов деформирования и эволюции (формирования и разрушения) структуры, причем последняя в большинстве случаев описывается всего одним структурным параметром. Все модели (и модель в [42, 43]) постулируют зависимость параметра структуры от скорости сдвига, а не от напряжения (как делается в модели (3)-(5) [3134]). Пожалуй, единственным исключением является определяющее соотношение течения двухфазной смеси «двух типов структурных единиц», способных к взаимному превращению, каждая из которых — ньютоновская жидкость с известной (постоянной) вязкостью, исследованное в работе С.И. Худяева [46] (развивающей статьи [42, 43]). Это определяющее соотношение не учитывает упругость жидкости (как и в [42, 43]), содержит один структурный параметр (долю одной из фаз), а скорость разрушения этой фазы (а потому и эффективная вязкость всей системы, определяемая правилом смеси) считается зависящей от формальной линейной комбинации напряжения и квадрата скорости сдвига с произвольными коэффициентами (физический смысл этой комбинации не поясняется). В точности такое же определяющее соотношение в тех же обозначениях рассмотрено в работе [47], в которой численными расчетами проиллюстрированы некоторые его свойства (без дополнительного аналитического исследования и обсуждения физики явлений). В работах [42, 43, 46, 47] основное внимание уделяется неустойчивости течения, расслоению и образованию диссипативных структур, обусловленных наличием убывающего участка на реологической кривой («сверханомалией вязкости»), а не вопросам, исследуемым в данной статье и статьях [3134] (в дальнейшем, конечно, планируется решение краевых задач для течений сред, подчиняющихся определяющим соотношениям (3)-(5), и исследование устойчивости течений и образования неоднородностей).

Статьи [33, 34] содержат обширную библиографию, задачи исследования, обоснование актуальности модели (3)-(5) и ее анализа, полные доказательства. В данной работе обзор и библиография сокращены (и перенацелены), а во введении приведены базовые формулы, которые необходимы для дальнейшего продвижения и понимания.

Точки равновесия системы (1), (2) (при постоянной скорости сдвига) — решения системы уравнений

5 = ав™, V = ^(5), (7)

Р(5) В(5) = 1 + (5), 5 ^ 0. (8)

В( 5)

Они зависят лишь от трех параметров а, а = УП0/тс и Ь = к2/к1 и материальной функции g (и не зависят от с, G0, в из (2) и (4)). Функция В(5) зависит от величины отношения bg(5) скорости разрушения сшивок к скорости их образования в уравнении (5), она возрастает (т.к. материальная функция g(5) возрастает) и всегда В(5) > 1 + Ь > 1 (т.к. g(5) > 1); ^(5) — убывающая функция, ^(0) = (1 + Ь)-1, ^(5) ^ 0 при 5 ^ 0, поскольку g(+да) = +да. В статье [31] доказано, что при любых материальных параметрах а, Ь, а, с, п0, > 0, в > 0 и любой неубывающей материальной функции g(5) решение системы (1), (2) существует и единственно (в области »е(0; 1) и 5 > 0). Обозначим положение равновесия системы (1), (2) через (5*, V*), 5* = 5*(а, Ь, а), V* = w*(а, Ь, а). Из (7) следуют система уравнений для определения 5* и V* [31]:

1п 5*/а = а^(5*), V* = ^(5*) (9)

и оценки а < 5* < авар(а} < ава/(Ь+1), 0 < V* < (1 + Ь)-1 < 1. Функции 5*(а, Ь, а) и w*(a, Ь, а) монотонны по каждому из трех аргументов в области а, Ь, а > 0 [31]. В частности, равновесное напряжение 5*(а) — возрастающая функция а (и скорости сдвига V) на интервале а > 0, 5*(0+) = 0 и 5* (0+) = ва!(1+Ь), при а ^ да 5*(а)/а ^ 1 (если g(+да) = +да), а равновесная структурированность w*(a) убывает по а, v*(0+) = (1 + Ь)-1 и w*(+да) = 0. Функция ^(5) играет ключевую роль при анализе интегральных кривых, диаграмм деформирования [34], кривых ползучести и восстановления.

Статьи [32, 33] были посвящены доказательству устойчивости точки равновесия системы уравнений (1), (2), аналитическому исследованию зависимостей точки равновесия и равновесной кажущейся вязкости от всех материальных параметров, анализу возможных вариантов фазовых портретов и свойств интегральных и фазовых кривых модели. Для произвольных материальных параметров и материальных функций доказано, что (единственное) положение равновесия системы (1), (2) всегда устойчиво и возможны ровно три случая: положение равновесия — узел или вырожденный узел, или фокус, а случаи седла или центра не возможны [32]. Найдены критерии реа-

лизации каждого из случаев в виде явных ограничений на материальные функции, материальные параметры и скорость сдвига.

Исследованы уравнения кривой течения 5*(а) и кривой кажущейся вязкости ц = т* /V = п05*(а)/а. Доказано, что модель приводит к возрастающей зависимости 5*(а) и к убывающей кривой вязкости ц(а). Найдены пределы вязкости при скорости сдвига, стремящейся к нулю и к бесконечности [33], т.е. модель (3)-(5) описывает важнейшие качественные свойства типичных экспериментальных кривых течения и вязкости, наблюдаемых для разных псевдопластических жидкостей [130]. Проиллюстрированы поведение интегральных и фазовых кривых модели, эволюция этого поведения с ростом скорости сдвига и влияние на него немонотонности структурированности w(í).

В статье [34] исследованы свойства диаграмм деформирования с постоянной скоростью и кривых релаксации, порождаемых моделью (1), (2), и особенности эволюции структуры при этих видах нагружения в зависимости от материальных параметров и материальных функций. Тем самым начат анализ способности модели (3)-(5) (и ее обобщений) описывать поведение не только жидкооб-разных, но и твердообразных (густеющих, твердеющих, затвердевших) тиксотропных сред, описывать эффекты, свойственные твердым вязкоуп-ругопластичным материалам: релаксацию, ползучесть, восстановление, типичное поведение диаграмм деформирования, скоростное и деформационное упрочнение, течение при постоянном напряжении, высокую скоростную чувствительность и др. В статье [34] показано, что модель (3)-(5) адекватно описывает диаграммы деформирования многих пластичных твердообразных материалов, для которых свойственны течение при постоянном напряжении и высокая скоростная чувствительность предела текучести (и релаксация напряжений до нуля). Отметим, что все диаграммы деформирования, порождаемые родственным определяющим соотношением типа Максвелла (19) для структурно стабильных вязкоуп-ругопластических материалов [37, 59-62], тоже имеют горизонтальные асимптоты, зависящие от скорости деформирования. Семейство диаграмм деформирования модели (3)-(5) 5(у; а, w0) зависит от скорости сдвига а и начальной структурированности материала w0, диаграммы деформирования 5(7; а, w0) не обязательно монотонны по у и не обязательно выпуклы вверх, начальная структурированность влияет на модуль упругости

(на начальный участок диаграммы деформирования), но не влияет на асимптоту (напряжение установившегося течения). На асимптоту влияет скорость деформирования (и выбор материальных параметров и материальных функций модели). Монотонности семейства диаграмм деформирования по м0 нет. Семейство кривых релаксации модели (3)-(5) 50, зависит от м0 и начального напряжения 50 (или угла сдвига у 0 = 50/ О(м0)). Все кривые релаксации 50, м0) имеют при t ^ да общую асимптоту 5 = 0 (как и кривые релаксации, порождаемые параллельными соединениями любого числа линейных моделей Максвелла [35] или нелинейным определяющим соотношением вязкоупругопластичности (19) [60]). Семейство кривых релаксации не обязано монотонно возрастать по параметру 50 (как, например, экспериментальные кривые релаксации структурно стабильных материалов и семейства кривых релаксации, порождаемые линейной теорией вязкоупругости, нелинейными определяющими соотношениями Работнова или нелинейным определяющим соотношением (19) [35, 60, 61]). Модель (3)-(5) способна описывать как возрастание 50, по параметру 50, так и эффект немонотонности.

Важнейшие виды одноосных испытаний, позволяющие уловить и исследовать разные аспекты поведения реономных материалов, обнаружить признаки нелинейности и структурных изменений в их поведении и собрать достаточно богатую информацию для выбора и идентификации подходящих определяющих соотношений, — это испытания на деформирование с постоянной скоростью и на релаксацию (по которым строятся диаграммы деформирования и кривые релаксации) и испытания на одноосное нагружение (сдвиг, растяжение, сжатие) с постоянной скоростью 5(0 = Ы и на ползучесть при постоянной нагрузке и восстановление после полной разгрузки (обратную ползучесть) [36-38, 59, 63] для разных уровней напряжения и длительностей стадии на-гружения 5, Т > 0, т.е. изучение отклика 5, Т) материала (образца) на прямоугольный импульс напряжения

5(Г, 5, Т) = ) - -Т)], t > 0, (10) где Ъ(0 — функция Хевисайда, и выдержку при 5(0 = 0, t > Т.

Скорость простого сдвига у = у в работах [3134] считалась постоянной и включалась в безразмерный параметр а = У-0/тс. При таком нагру-

жении у(0=vt и можно исследовать не только реологическую кривую и кривую вязкости, но и диаграммы деформирования и кривые релаксации модели (3)-(5) [34]. Чтобы исследовать ползучесть или ползучесть при ступенчатом нагруже-нии, необходимо рассматривать иной режим на-гружения (постоянство напряжения s(t) при t > 0, а не у) и переписать систему (1), (2) в виде системы уравнений для угла сдвига y(t) и структурированности w(t), считая напряжение s(t) заданным. Семейства кривых ползучести y(t; S, w0) и восстановления y(t; S, w0, T), порождаемых моделью (3)-(5), зависят от начальной структурированности w0 и заданного уровня напряжения S. Основная задача данной статьи — вывести уравнения, описывающие семейства кривых ползучести и восстановления, порождаемых моделью, и закон изменения структурированности при постоянном напряжении, изучить общие свойства (интервалы монотонности и выпуклости, экстремумы, асимптоты и т.п.) кривых ползучести и восстановления от времени и от параметров w0, S и T. Кроме того, исследуем, как меняется структурированность w(t) при разных S в зависимости от материальной функции и материальных параметров модели и какие необычные эффекты (непривычные свойства кривых ползучести и восстановления) порождает непостоянство w(t) по сравнению с типичными свойствами кривых ползучести и восстановления структурно стабильных материалов.

Ниже используются следующие сокращения: МФ — материальная функция g(s), КП — кривые ползучести при нагружениях (10).

2. Общие свойства семейства кривых ползучести, порождаемых моделью (3)-(5)

Система дифференциальных уравнений для неизвестных функций w(t) и y(t) как функций безразмерного времени t, описывающая ползучесть при постоянном напряжении, получается при задании в (1), (2) s(t) = S = const при t > 0, т.е. при задании S = 0 и g (s(t)) = g (s) = const. В режиме ползучести напряжение известно, ищется другая пара неизвестных процессов, величина a=уп0/тс непостоянна, безразмерная функция a(t) пропорциональна переменной (размерной) скорости сдвига v, т.е. скорости ползучести v = у (t)/T0. Множитель 1/T0 появился здесь из-за того, что в переобозначениях, введенных в процессе получения

системы в безразмерной форме (1), (2), t — безразмерное время, полученное делением на Т0, а точка обозначает производную по нему, а не по физическому времени (как в исходном определении величин V и а). Тогда система (1), (2) превращается в систему двух уравнений

у а)

а = Уе-а11, а

Т

(11) (12)

1 = -сВ(у )1 + с, t > 0,

для 1({) и у(^ с параметрами У > 0, 10 е [0;1], Т = Т0тс /п0, Ь, с, а> 0. Функция В(у) = 1 + bg(s) определена в (8); она возрастает (т.к. материальная функция g(s) возрастает) и всегда В(У) > В(0) = 1 + Ь > 1 (т.к. g(s) > 1). Очевидно, искомые решения 1({) и у(^ будут зависеть от уровня напряжения У и заданных начальных значений 1(0) = 10 и у(0) = у0 (мгновенной упругой деформации).

Уравнение (12) не содержит неизвестную у(^, оно линейно, его общее решение 1=Ае—&+В-1, а решение задачи Коши с начальным условием 1(0) = 10 имеет вид

1(Г; У, 10) = [ 10 - Г(У)]е-*!р(У) + Г(У)

1е

0

- (У)

-V + Г (У )(1 - е -с""(У)). (13)

Функция Г(у) = 1/В(у) определена в (8); Г(у) — убывающая функция с множеством значений (0; (1 + Ь)-1], Г(0) = (1 + Ь)-1, Г(у) ^ 0 при у ^ ю, поскольку g(+ю) = +ю.

Подстановка (13) в уравнение (11) позволяет найти зависимость логарифма безразмерной ско-

рости ползучести от времени и напряжения у > 0: 1п а = 1п У -а1 = 1пУ + а[Г(У)- 1о]е-с^¥(У) -аГ(У). (14)

Структурированность (13) зависит от материальных параметров Ь, с и 10 (не зависит от всех остальных материальных параметров в режиме ползучести), от материальной функции g(s) и уровня напряжения У. Структурированность (13) убывает по времени при Г (У) < 10 (при достаточно больших У или при близких к единице начальных значениях 10) и возрастает при Г (У) > 10 (т.е. при достаточно малых У и 10). При t^ ю функция (13) имеет предел 1Ж= Г (У) (горизонтальную асимптоту), который зависит от материального параметра Ь, материальной функции g(s) и уровня напряжения У, но не зависит от параметра 10. Установившееся значение = Г (У) убывает с ростом У и стремится к нулю при У ^го. С увеличением У кривые опускаются вниз и меняют возрастание на убывание при У, удовлетворяющем уравнению Г (У) = 10 (при этой величине У функция 1({) — константа).

На рис. 1, а приведены графики функции Г(у) (8) для Ь = 0.1 и разных материальных функций (6) с И = 1: логарифмической (кривая 0), четырех степенных g(s) = 1 + (Иу)и, и = 1, ..., 4 (кривые 1-4) и экспоненциальной материальной функции (красная сплошная линия). Они, в частности, отражают зависимость установившейся структурированности = Г (У) от напряжения. Для иллюстрации зависимости Г(У) от параметра Ь приведены еще

Рис. 1. Графики функции Г(у) (а) и установившейся скорости ползучести г(у ) = а(го) (15) (б) для моделей с разными материальными функциями вида (6) и разными Ь (цветной в онлайн-версии)

графики Е(5) для той же материальной функции g = вИ5, но Ь = 0.1™, т = 2, ..., 5 (красные пунктирные линии, для Ь = 0.001 — штриховая). Две голубые кривые — графики Е(5) для материальной функции g(5) = 1 + (И5)05 с И = 5002 для Ь = 0.1 и Ь = 0.001 (штриховая). Большинство графиков (кроме 0, 1 и голубых) имеют точку перегиба: для функции g = вИ!1 с И < 2 это точка 5 = 1п(2И-1 - 1) - 1пЬ; для любого и > 1 Е'(0) = 0 и существует точка перегиба, а для и е (0; 1) Е'(0) = -да и Е(5) выпукла вниз на интервале 5 > 0. В пределе при и ^ да семейство функций Е(5; и) сходится к ступеньке Еда = Wo[И(5) - И(5 - 1)] (^да(5) = 0 при 5 > 1).

Функция (14) тоже монотонна по времени при t > 0, как и (13) (убывает или возрастает в зависимости от знака множителя Е(5) - w0 при экспоненте), а при t ^ да имеет предел 1п 5 -аЕ(5). Поэтому безразмерная скорость ползучести а(0 тоже монотонна по времени, а при t ^ 0+ и t ^ да имеет конечные пределы

а(0) = 5в-а\

_ (15)

а(<х>) = ехр(1п 5 - аЕ (5)) = 5в-ар (5}. Предел а(0) пропорционален 5, зависит от w0 (убывает по w0), но не зависит от материальной функции. Установившаяся скорость ползучести г = а(да), как и wда, не зависит от параметра w0, но зависит от материальной функции и уровня напряжения (нелинейно). Так как а > 0, а функция Е(5) убывает, то оба множителя в а(да) всегда возрастают по 5 (второй — как композиция двух убывающих функций). Однако всегда верна оценка 5в-а < г(5) < 5, т.к. Е(5) < 1, и потому в-аЕ(5) > в-а. Кроме того, при любых материальных параметрах и материальной функции функция г(5) при 5 ^<х> имеет асимптоту г = 5 (т.к. Е(да) = 0). Поскольку г(5) > 0 для любого 5 > 0, то модель не может описывать материалы с ограниченной ползучестью ни при каких (хотя бы и малых) уровнях напряжения. В линейной вязко-упругости пределы а(0) и а(да) могут быть бесконечными, а для линейной модели Максвелла скорость ползучести постоянна по времени и кривые ползучести имеют вид 5) = 5(С + ^) (для нелинейной модели вязкоупругопластичности типа Максвелла, исследованной в статьях [37, 59-63], кривые ползучести тоже прямолинейны, но скорость ползучести нелинейно зависит от напряжения [59]).

На рис. 1, б приведены графики установившейся скорости ползучести г(5) (см. (15)) для моде-

лей с Ь = 0.1 и теми же материальными функциями (6) с И = 1, что и на рис. 1, а: логарифмической (кривая 0), четырех степенных g(5) = 1 + (И5)и, и = 1, ..., 4 (кривые 1-4) и экспоненциальной материальных функций (красная кривая). Для иллюстрации зависимости г(5) от параметра Ь приведены еще графики г (5) для той же материальной функции g = вИ5, но Ь = 0.1т, т = 2, ..., 5 (красные пунктирные линии, для Ь = 0.001 — штриховая): скорость роста г(5) снижается с уменьшением Ь. Голубая кривая — график г (5) для материальной функции g(5) = 1 + (И5)05, И = 5002 и Ь = 0.001. Все графики г (5) стремятся к асимптоте г = 5.

На рис. 2, а приведены графики структурированности w(t) (13) при w0 = 0.5 и нескольких уровнях напряжения для двух моделей с Ь = 0.001, с = 0.25, а = 2, в = 1, = 100 и двумя материальными функциями вида (6): 1) с МФ g = вИ5, И = 1 (красные кривые 0-6) для 5 = 0, 5, 6, 7, 8, 9, 10; 2) с линейной МФ g(5) = 1 + И5, И = 100 (увеличение И позволяет понизить напряжения, чтобы сделать их сравнимыми с теми, которые выбраны для g = вИ5) для 5 = 1, 5, 10, 20, 50, 100 (кривые 7-12). Голубые кривые 7'-12' — графики w(t) для модели с МФ g(5) = 1 + (И5)05, И = 5002 для 5 = 1, 5, 10, 20, 50, 100. Штриховая красная линия 0 — график w(t) для 5 = 0 (не зависит от материальной функции). Все графики имеют горизонтальные асимптоты V = Е(5). С увеличением 5 кривые w(t) опускаются вниз и меняют возрастание на убывание при уровне напряжения, удовлетворяющем условию Е (5) = V,, (при этом уровне w(t) — константа, см. кривую 9 для линейной материальной функции при 5 = 10).

На рис. 2, б приведены графики структурированности w(t) для тех же трех моделей, что и на рис. 2, а, но при фиксированном 5 = 9 и пяти разных w0: w0 = 0, 0.1, 0.3, 0.6, 0.9. Черные кривые — графики w(t) модели с МФ g(5) = 1 + И5, И = 100, голубые — модели с МФ g(5) = 1 + (И5)0 5, И = 5002 и красные — модели с МФ g = вИ5, И = 1. Штриховые прямые — их горизонтальные асимптоты V = Е (5). Структурированность возрастает, если w0 < wда, и убывает, если w0 > wда. Для сравнения приведены графики w(t) для тех же моделей, но при 5 = 0 (пунктирные кривые); особенность рассматриваемой конкретной модели — высокий (близкий к единице) уровень равновесной структурированности wда=Е(0) = (1 + Ь)-1 при 5 = 0 и быстрый рост w(t).

О 3 6 9 12 ? О 5 *

Рис. 2. Зависимости структурированности (13) от времени (а, б) и кривые ползучести (в, г) с разными 5 и w0 для трех моделей с разными материальными функциями (черные, красные, голубые кривые): а — структурированность при w0 = 0.5 и разных напряжениях; б — структурированность при 5 = 9 и разных w0 = 0.0, 0.1, 0.3, 0.6, 0.9; в — кривые ползучести при w0 = 0.5 и разных напряжениях; г — при 5 = 9 и разных w0 = 0.0, 0.1, 0.3, 0.6, 0.9, 1.0 (цветной в онлайн-версии)

Формула (13) для структурированности при ползучести показывает, что выдержка при постоянном напряжении постепенно (и быстро) стирает любое различие в начальной структурированности w0 (рис. 2, б). Действительно, для двух разных значений w0 = wш разность структурирован-ностей стремится к нулю при t ^ да экспоненциально:

w(t; 5, Wo2) - w(t; 5, Wo1) = [Wo2 - Wo1]e-cí/F(5}

< К2 - Wol]e-c(1+Ь)' < в-с(1+Ь>', (16)

функция Е(У)/с — время релаксации в этом затухании различий в структурированности (чем больше 5, тем быстрее затухание, т.к. функция В(5) возрастает; В(0) = 1 + Ь).

Уравнение семейства кривых ползучести у; 5, w0), порождаемых моделью, может быть

получено интегрированием по (безразмерному) времени выражения для а = у ^)/Т, вытекающего из (14):

У = Та = Т ехр(1п 5 -а[w0 - Е(5)]в~^р(5) - а^(5)) = Т5в-ар (5) ехр(а(Е (5) - w0)e(5)), УС^; 5, Wo) = у(0; 5, Wo) + Т5в-аЕ(5)У(t; 5, Wo), (17)

УСt; 5, w0) = }ехр(а(Е(5) - w0)e~ст/р 0

где у(0; 5, w0) — начальный угол сдвига при мгновенном нагружении (10):

У(0; 5, Wo) = т/О(Wo) = ) = ТУвÍЗwo.

Проанализировать общие свойства семейства кривых ползучести 5, w0) можно без вычисления квадратуры (17) непосредственно по урав-

нениям (11)—(13). Из (11) следует, что а(0 > 0, т.е. у(0 > 0, и значит, для любого уровня напряжения У > 0 кривая ползучести у(^ У, 10) всегда возрастает по времени (как и для всех структурно стабильных материалов). Дифференцирование (11) по времени дает а = -Уа1е-а1 и позволяет определить знак у^) (он совпадает со знаком а): у(0 > 0 равносильно условию ) < 0, у^) < 0 равносильно условию ) > 0. Но в силу (13)

) = с(1 - В10)е~сВг и знак ) (и потому знак у^) тоже) сохраняется на всем интервале t > 0, и этот знак зависит только от знака 1 -10 В(У), т.е. знака величины Г (У) -10: 1(0 > 0 и у^) < 0 при Г (У) > 10, а если Г (У) < 10, то ) < 0 и у^) > 0.

Таким образом, для любых материальных функций и материальных параметров кривая ползучести у(^ У, 10) всегда возрастает по времени, никогда не имеет точек перегиба. В зависимости от величин 10, У и материальных параметров модели возможны три случая:

1) если Г (У) > 10 (при достаточно малых 10 и У), то структурированность монотонно возрастает к предельному значению = Г (У) (кривые 0-2 на рис. 2, а), а кривая ползучести у(^ У, 10) выпукла вверх на всем интервале t > 0, т.е. определяющее соотношение описывает замедление ползучести, но скорость ползучести стремится не к нулю, а кг = у(<х>) = Т5е~ар (У) (пределы и г не зависят от 10);

2) если Г (У) = 10, то структурированность 1(0 = 10 не меняется при t > 0, а кривая ползучести у(^ У, 10) является прямой линией с угловым коэффициентом г (подынтегральная функция в (17) равна 1), т.е. определяющее соотношение в точности моделирует установившуюся ползучесть на всем интервале t > 0 тогда и только тогда, когда 10 и У связаны зависимостью 10В(У) = 1, обращающей правую часть уравнения (12) в ноль при t=0;

3) если Г (У) < 10 (при достаточно большом У), то 1(0 убывает при t > 0 к пределу = Г (У), а кривая ползучести у(^ У, 10) выпукла вниз на всей полуоси t > 0, т.е. модель описывает стадию ускоряющейся ползучести, но скорость растет ограниченно и стремится к пределу у(го) = ТУе~ар (У).

Пограничный случай 2 реализуется при У = У, где У = У(Ь, 10) — решение уравнения Г (У) = 10 (т.е. (У) = 10). Оно имеет одно решение У > 0 при любом 10 е (0; (1 + Ь)-1), т.к. функция Г (У)

убывает, ее множество значений (0; (1 + Ь)-1] и Г (У) ^ 0 при У ^<х>. Для материальной функции вида (6) уравнение для критического напряжения У легко решается: 1 + ЬеИу = 1/10, У = И-1 х 1п[(1 - 10)/(Ь10)] или 1 + Ь(1 + (Иу)и) = 1/4, У = И-1(1 -10 -Ь10)1/"ф10у1/". Если же 10 > (1 + Ь)-1, то уравнение не имеет решений в интервале У > 0, при любом У имеет место случай 3, а случаи 2 и 1 не реализуются. На рис. 1, а приведены кривые 1 = Г(У) для материальной функции (6), разделяющие в плоскости параметров (У, 10) зоны разного поведения кривых ползучести для моделей с этими материальными функциями и совпадающие с графиком обратной функции для

У( 10).

Таким образом, модель (3)-(5) может описывать как материалы с выпуклыми вниз кривыми ползучести (при 10 > (1 + Ь)-1), так и материалы, у которых с увеличением У кривые ползучести меняют выпуклость вверх на выпуклость вниз при некотором уровне напряжения У = У. Модель подходит для моделирования материалов, склонных к установившейся ползучести, и может описывать смену выпуклости кривых ползучести с ростом уровня напряжения, но не может описывать ползучесть материалов, у которых наблюдаются кривые с точками перегиба (со всеми тремя стадиями ползучести), и материалов с ограниченной ползучестью при некоторых (хотя бы малых) уровнях напряжения.

На рис. 2, в приведены семейства кривых ползучести (17) при 10 = 0.5 и нескольких уровнях напряжения для тех же трех моделей с Ь = 0.001, с = 0.25, а = 2, в = 1, G0 = 100, что и на рис. 2, а: 1) с МФ g = еИу, И = 1 (красные кривые 1-6) для напряжений У = 3, 5, 7, 8, 9, 10; 2) с линейной МФ g(s) = 1 + Иу, И = 100 для У = 1, 5, 10, 15, 20 (кривые 1'-5'); 3) с МФ g(s) = 1 + (Иу)0 5, И = 5002 для У = 1, 5, 10, 15, 20 (голубые кривые 1"-5"). Все кривые ползучести неограниченно возрастают по времени, семейство КП у^; У, 10) возрастает по У, и КП меняют выпуклость вверх на выпуклость вниз при У = У: для этого напряжения КП — прямая линия (кривые 3 и 3' ), а 1(0 — константа (см. кривую 9 на рис. 2, а).

На рис. 2, г приведены кривые ползучести (17) тех же трех моделей, но при фиксированном У = 9 и разных 10 = 0.0, 0.1, 0.3, 0.6, 0.9, 1.0 (кривые 0-5, 0'-5' , 0"-5" для каждой из моделей). Видно, что красные КП для материальной функции g = ек!1 растут гораздо быстрее. Ниже будет

показано, что все кривые ползучести любой модели имеют наклонные асимптоты (18) при t ^ да и их угловые коэффициенты не зависят от w0.

Существование предела у (да) = г необходимо для существования наклонной асимптоты у кривой ползучести, но не достаточно: еще требуется существование предела у(0 - Н при t ^ да. В силу (17) и формулы г = ТУгв"аF(5) его существование равносильно сходимости несобственного интеграла

да

I = | [ехр(а( Е (5) - w0)в"cB (5} т) - Щт.

0

При Е(5) = w0 подынтегральная функция тождественно равна нулю. В остальных случаях интеграл тоже сходится по признаку сравнения: т.к. при t ^ да функция х^) = а[ Е (5) -w0]e"cB (5 стремится к нулю, то ехр(а[Е(5) - w0]e"cBÍ) -1 = ехр х - 1 ~ x(t), а интеграл от последней функции по полуоси [0, +да) сходится (он положителен при Е(5) > w0, равен нулю при 5 = 5 и отрицателен при 5 > 5). Поэтому любая кривая ползучести модели обладает наклонной асимптотой

У(^ 5, Wo) = п + У0 + г1, (18)

у0 = Т5в-вWo, г(5) = Т5в"аЕ}.

Угол наклона г (5) монотонно возрастает: г'( 5) = Тв~ар(5}(1 -а5Е'(5)), т.е. г'(5) > Те?"аЕ> 0, поскольку Е '(5) = -В У В2 =-Ь^( 5)/В2 <0. Для любой материальной функции г(0) = 0, а при 5 ^ да г(5) ~ Т5в0 = Т5, причем прямая у = Т5 является асимптотой графика г(5).

В вырожденном случае, когда а = 0 (а материальная функция g произвольная), г(5) = Т5, из (17) получим I(^ 5, Wo) = t и у^; 5, Wo) = У0 + П, у0 = Т5в"вм'0, т.е. ползучесть с постоянной скоростью, пропорциональной 5, как у линейной модели Максвелла. Конечно, этого следовало ожидать, поскольку модель с а = 0 распадается на классическое (линейное) уравнение Максвелла (3) и дополнительное уравнение для структурированности (5), зависящее от 5. Уменьшение а ослабляет влияние структурированности на процесс деформирования (ведь вязкость и модуль сдвига в (3), (4) становятся менее чувствительными к w(t)), и при а ^ 0 оно постепенно отключается, и семейство кривых ползучести все меньше отличается от кривых ползучести линейной модели Максвелла.

На рис. 3 приведены кривые ползучести (17) и графики структурированности w(t), порожденные

тремя моделями с теми же двумя материальными функциями, что и на рис. 2, и теми же материальными параметрами, но с а = 9 (а не а = 2) при уровнях напряжений 5 = 5, 6, 7, 8, 9, 10 и при трех начальных структурированностях w0 = 0.0, 0.5, 1.0 (голубые, черные штриховые и красные кривые): на рис. 3, а, б — для модели с экспоненциальной МФ g = вИ5, И = 1; на рис. 3, в, г — для модели с линейной МФ g(y) = 1 + И5, И = 100; на рис. 3, д, е — для модели с МФ g(y) = 1 + (И5)0 5, И = 5002.

Существенное увеличение показателя а в (4) (до а = 9) вызывает большое увеличение вязкости при той же структурированности и более быстрое ее возрастание с ростом V. Поэтому голубые кривые ползучести на рис. 3, а, в, соответствующие w0 = 0, сильно отличаются от прямолинейных, приобретают привычный для твердых тел вид ограниченных кривых ползучести с горизонтальной асимптотой (математически это не так, асимптота (18) наклонная, но угол наклона мал и на начальном участке не заметен), т.е. определяющее соотношение способно описывать не только установившуюся и ускоряющуюся ползучесть (как на рис. 2, в, г). Это связано с тем, что низкая начальная структурированность быстро нарастает при выбранных умеренных напряжениях и материал густеет и твердеет (см. голубые графики на рис. 3, б, г). Однако чем выше напряжение, тем ниже асимптота w(t) (рис. 3, б), тем меньше степень «твердения», и голубые кривые ползучести при 5 = 9, 10 на рис. 3, а снова приобретают форму, близкую к кривой установившейся ползучести. Если же начальная структурированность велика, то, как доказано выше, w(t) убывает под действием напряжения и тем быстрее, чем выше 5 (см. красные кривые для w0 = 1 на рис. 3, б, г), и кривые ползучести (при достаточно большом 5) приобретают ускоренный рост (рис. 3, а), хотя при малых напряжениях деформации практически не росли (заметная ползучесть отсутствовала). Семейства кривых ползучести на рис. 3, д во многом схожи с кривыми ползучести для линейной материальной функции на рис. 3, в, поскольку структурированность ведет себя похоже и отличается только асимптотами V = Е(5) и тем, что на рис. 3, е все функции w(t) с Wo = 0.5 убывают, а не возрастают, как на рис. 3, г.

Рисунок 4 иллюстрирует влияние длительности начальной стадии нагружения t\ (с постоянной скоростью) до заданного уровня 5 (ранее нагру-

0 1 2 3 4 г 0 1 2 3 4 Г

Рис. 3. Кривые ползучести и структурированность 1{() для напряжений У = 5, 6, 7, 8, 9, 10 и трех начальных состояний 10 = 0.0, 0.5, 1.0 (голубые, черные штриховые и красные кривые), порожденные двумя моделями с теми же материальными параметрами, но с а = 9, и с теми же тремя материальными функциями, что и на рис. 2: а, б — для модели с МФ g = еИу, И = 1; в, г — для модели с МФ g = 1 + Иу, И = 100; д, е — для модели с МФ g = 1 + (Иу)0 5, И = 5002 (цветной в онлайн-версии)

Рис. 4. Влияние длительности начальной стадии нагружения t1 (с постоянной скоростью) до заданного уровня У на кривые ползучести и структурированность w(t): а — кривые ползучести для У = 5 и t1 = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0, порожденные моделями с теми же материальными параметрами и материальными функциями g = е У, И = 1 (красные кривые 1-5) и

g = 1 + Иу, И = 100 (черные кривые 1'-5'), что и на рис. 2; б- кривые ползучести этих моделей при У = 9, штрих-

пунктирные линии 0 и 0' — кривые ползучести при t1 = 0; в — графики структурированности w(t) для этих моделей при тех же параметрах нагружения: t1 = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0, У = 5 или У = 9; г — те же кривые ползучести, что и на рис. 4, а, б, каждая, из которых сдвинута на t1 влево для совмещения моментов начала ползучести при заданном У (цветной в онлайн-версии)

жение считалось мгновенным, т.е. Ц = 0). На рис. 4, а, б приведены кривые ползучести и структурированность порожденные теми же двумя моделями, что и на рис. 2, с теми же материальными параметрами и материальными функциями g=еИу, И = 1 (красные кривые 1-5) и g(y) = 1 + Иу, И = 100 (черные кривые 1' -5') для десяти программ нагружения с t1 = 0.5, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0 и напряжениями У = 5 или У = 9. Начальное значение ^(0) = 0.1 фиксировано, Ь = 0.001, с = 0.25, а = 2, в = 1, 00 = 100. Для сравнения приведены кривые ползучести при мгновенном нагружении с рис. 2 (штрих-пунктирные линии 0 и 0'). На рис. 4, в совмещены графики структурированнос-

ти соответствующие всем этим кривым ползучести (для десяти программ нагружения для каждой из двух материальных функций). Пучки кривых, соответствующие У = 9, лежат ниже, чем для У = 5, семейства монотонно возрастают по t1, все монотонно возрастают по t за исключением случая У = 9 для модели с экспоненциальной материальной функцией (кривые 1-5).

В сущности, начальная стадия нагружения влияет на стадию ползучести только через начальные условия для стадии ползучести = и То = у(^), зависящие от t1, У и ^(0). Так как предел wx = ^(У) (горизонтальная асимптота не зависит от w0 и у0, то он не зависит и от дли-

тельности начальной стадии нагружения (рис. 4, в). Выдержка при постоянном напряжении постепенно стирает любое различие в длительности начальных стадий нагружения в силу (16). Любая кривая ползучести монотонно возрастает по времени и при t ^ да обладает асимптотой (18) с угловым коэффициентом r(У), не зависящим от w0 и от длительности начальной стадии нагружения. Асимптоты кривых ползучести с фиксированным У и разными t1 параллельны друг другу, но не совпадают: чем больше t1, тем ниже кривая ползучести и ее асимптота. На рис. 4, в приведены те же кривые ползучести, что и на рис. 4, а, б, каждая из которых сдвинута на t1 влево для совмещения моментов начала ползучести при заданном напряжении J (начальные стадии отрезаны), кривые ползучести для t1 = 0 (без сдвига) выделены голубым цветом, при J = 9 нет монотонности по t1 = 0.

Основные доказанные утверждения про кривые ползучести подытоживает теорема 1.

Теорема 1. Пусть a, b, с, a, n0, G0 > 0, в > 0, w0 е [0; 1], а материальная функция g(j) непрерывна и кусочно дифференцируема при j > 0, не убывает и g(0) = 1. Если s(t) = J = const при t > 0 (режим ползучести), У > 0, то эволюция структурированности w(t; J, w0) и кривые ползучести y(t; J, w0) описываются системой дифференциальных уравнений (11), (12), выражаются явными формулами (13), (17), в которых B(J) = 1 + bg (J), F (J) = 1/ B (J), и обладают следующими свойствами:

1) структурированность w(t; J, w0) монотонна по времени, убывает по J и возрастает по w0; при t ^ да функция (13) имеет предел w^ = F(J) (горизонтальную асимптоту), который зависит от материального параметра b, материальной функции g(j) и уровня напряжения J, но не зависит от начальной структурированности w0 и от длительности начальной стадии нагружения (рис. 4) и стремится к нулю при У ^<х>;

2) выдержка при постоянном напряжении постепенно стирает любое различие в начальной структурированности w0 и в длительности начальных стадий нагружения (рис. 4): по (16) разность структурированностей убывает экспоненциально, повышение J ускоряет затухание;

3) кривая ползучести y(t; У, w0) (17) всегда неограниченно возрастает по времени;

4) при t ^ да любая кривая ползучести обладает асимптотой (18) с угловым коэффициентом

г (У) = ТУе-аГ(3) (не зависящим от 10 и от длительности начальной стадии нагружения), г (У) возрастает по У и имеет линейную асимптотику г (У) ~ Т У при У ^<х>; асимптоты кривых ползучести с фиксированным У и разными длительностями начальной стадии нагружения t\ параллельны друг другу, но не совпадают: чем больше тем ниже кривая ползучести и ее асимптота;

5) безразмерная скорость ползучести а(() монотонна по времени, а при t ^ 0+ и t ^ ю имеет конечные пределы (15); начальная скорость а(0) пропорциональна У, убывает по 10, но не зависит от материальной функции, а равновесная скорость ползучести а(<х>) = г/Т > 0, как и равновесная структурированность 1ю, не зависит от 10, но зависит от материальной функции £(у) и напряжения (нелинейно);

6) если Г (У) < 10 (т.е. при достаточно больших У), то структурированность 1(Р, У, 10) монотонно убывает, а кривые ползучести у(^ У, 10) выпуклы вниз на всем интервале t > 0 (скорость ползучести возрастает), т.е. модель описывает стадию ускоряющейся ползучести, но скорость растет ограничено и стремится к пределу у(<х>) = г;

7) если 0 < 10 < у(1 + Ь) и У = У, где У = У(Ь, 10) — (единственное) решение уравнения Г(У) = 10, то структурированность 1(0 = 10 не меняется при t > 0, а кривая ползучести (17) — прямая линия у^) = у0 + г (ЗУ, где у0 и г вычисляются по формуле (18), т.е. определяющие соотношения (3)-(5) моделируют установившуюся ползучесть на всем интервале t > 0 тогда и только тогда, когда У = У;

8) если 0 < 10 < 1/(1 + Ь) и Г (У) > 10 (т.е. У < У), то структурированность монотонно возрастает, а кривые ползучести у^; У, 10) выпуклы вверх на всем интервале t > 0 (скорость ползучести убывает);

9) если 10 > 1/(1 + Ь), то уравнение Г (У) = 10 не имеет корней в интервале У > 0, и при любом У имеет место случай 4 и все кривые ползучести выпуклы вниз (а случаи 5 и 6 не реализуются);

10) модель может описывать как материалы с выпуклыми вниз кривыми ползучести (при 10 > 1/(1 + Ь)), так и материалы, у которых с увеличением У кривые ползучести меняют выпуклость вверх на выпуклость вниз при некотором уровне напряжения У = У, но не может моделировать материалы, у которых наблюдаются кривые ползучести с точками перегиба (со всеми тремя

стадиями ползучести) и материалы с ограниченной ползучестью при некоторых (хотя бы малых) уровнях напряжения.

3. Родственное нелинейное определяющее соотношение вязкоупругопластичности типа Максвелла и его возможности

Отметим, что модель (3)-(5) родственна физически нелинейному определяющему соотношению типа Максвелла

гу (0 = 2 г^ )[оу ^) - Oo(t)5у ] + 3 e(t )5у ,(19)

г

8(t) = Мо = Е(о^)) + п-1 \У (о(т))ёт,

e(t) = М0О0 = Е0-1Г0 (00 (t)) + п-1 /У, (00 (х))ах,

0

с четырьмя произвольными (возрастающими) материальными функциями Г(х), У(х), Г0(х), У0(х) и параметрами Е, п, Е0, п0 > 0 для структурно стабильных материалов, исследованному в цикле статей [37, 59-61, 62 и др.]. Оно связывает истории изменения тензоров деформаций г(0 и напряжений о(0 в точке тела в предположении отсутствия взаимного влияния шаровых и девиаторных частей тензоров е = г - г01 и 8 = о - о01 (независимости объемной деформации е(0 от касательных напряжений и интенсивности напряжений о = (1.5УуУу)0'5, а деформаций сдвига и интенсивности деформаций г = (2/3еуеу)а5 — от среднего напряжения о0(0) и пренебрегая влиянием третьих инвариантов тензоров. Одномерный прототип определяющего соотношения (19) получается из классической линейной модели Максвелла заменой линейных упругого и вязкого элемента на нелинейные, управляемые материальными функциями Г(х) и У(х) соответственно, т.е. опирается на разложение полной деформации в сумму упругой и вязкопластической компонент.

Определяющее соотношение (19) обобщает (включает) классические степенные модели вязкого течения и ползучести, реологические модели Гершеля-Балкли и Шведова-Бингама и частные случаи моделей Соколовского-Малверна, Гуре-вича и УБО (обзор и библиографию по этим темам см. в работах [37, 59-61]). Нелинейные интегральные операторы М и М0 управляют процессами формоизменения и объемной деформации (не влияющими друг на друга). Модули упругости Е, Е0 и коэффициенты вязкости п, п0 выделены

из материальных функций для удобства учета влияния температуры в форме E=E(T), n = n(T), E0=E0(T), По = По(Т) [48] и обезразмеривания времени с помощью параметра xr = ц/E. В столь общей форме определяющее соотношение (19) исследованию не подвергалось до выхода статей [37, 59-62]. В них доказано, что определяющее соотношение (19) (при определенных ограничениях на свои материальные функции) хорошо описывает более десятка базовых эффектов, типичных для структурно стабильных вязкоупруго-пластических твердых материалов, обладающих высокой чувствительностью к скорости нагружения, выраженной площадкой текучести и склонностью к установившейся ползучести (а не только для жидких вязкоупругих сред). В частности, определяющее соотношение (19) пригодно для описаний кривых нагружения и разгрузки разных форм [37], циклического нагружения, рэтчетинга, разных эффектов при ползучести [59, 62-75] и сверхпластическом деформировании [76-87], возрастания деформативности, скоростной чувствительности и скоростей диссипации, релаксации, ползучести и рэтчетинга с ростом температуры [61, 64-69]. Определяющее соотношение (19) способно описывать и эффект разносопротивляемос-ти материалов ползучести при растяжении и сжатии при одинаковом мгновенном модуле на растяжение и сжатие, свойственный, например, титановым и алюминиево-магниевым сплавам [7о-73] и многим другим материалам. Обнаруженные в [37, 59-62] свойства и возможности определяющего соотношения (19) (и его недостатки, ограничения применимости [60]) служат ориентирами для дальнейшего исследования свойств и индикаторов применимости модели (3)-(5) (в частности, семейств кривых нагружения и разгрузки [37], релаксации и ползучести с учетом начальной стадии нагружения [35, 60], ползучести при ступенчатом нагружении [59, 63, 74], которые она порождает) и ее обобщений.

Кривые ползучести и восстановления, порождаемые определяющим соотношением (19) при одноосном сдвиге, — ее отклики на прямоугольный импульс нагрузки (10) с параметрами T > 0, S > 0. Подстановка (10) в (19) дает семейство кривых ползучести и восстановления

|r(s)t + cF(S), t <T, s(t; S, T) = <! W (20)

' ' 1 p(S, T), t > T, v 7

r(S) = n"V(S), p(s,T) = n"V(S)T. (21)

Если V(У) Ф 0, то все кривые ползучести линейны по времени при t> 0, т.е. при любых материальных функциях определяющее соотношение (19) моделирует только ползучесть с постоянной скоростью (как и линейная модель Максвелла), скорость | r (S)| возрастает с ростом |S|. Так как V(У) > 0 и возрастает, то кривая ползучести (20) возрастает по t (при S > 0) и по У, что и наблюдается в испытаниях стабильных материалов. Выраженная стадия ползучести с постоянной скоростью характерна для многих пластичных металлов, полимеров в вязкотекучем состоянии и для материалов в состоянии сверхпластичности. Кривые ползучести полимеров имеют стадию установившейся ползучести лишь при достаточно высоких температурах, когда полимер находится в вязкотекучем состоянии. Определяющее соотношение (19) не способно описывать стадии замедленной и ускоренной ползучести, свойственные многим материалам.

Скачок деформации в точке t = T равен —cF(g), c=ET1, при t > T деформация становится постоянной и равной накопленной за время T деформации ползучести p(s, T). При полной разгрузке исчезает только упругая деформация е(+0) = cF (S), а вся накопленная деформация ползучести оказывается необратимой, пластической. Именно такое поведение демонстрируют многие металлы (и другие материалы) при достаточно высоких температурах [64-69]. Таким образом, определяющее соотношение (19) не описывает «обратную ползучесть», т.е. процесс постепенной релаксации накопленной деформации с выходом на некоторый постоянный уровень при больших значениях времени, как это наблюдается в испытаниях многих материалов. Определяющее соотношение (19) описывает только мгновенное восстановление (предельный, идеализированный случай) упругой деформации, «высокоэластичная» компонента деформации, обеспечивающая постепенность убывания, полностью отсутствует в модели (19). Остаточная деформация p(s, T) пропорциональна длительности стадии нагруже-ния T, зависит только от материальной функции V (как и скорость ползучести r (S )) и возрастает с ростом S. В силу (20) след, оставленный финитным импульсом нагрузки (10), не стирается никогда, т.е. память модели (19) не затухающая, а «перманентная» (permanent memory). Это свидетельствует о том, что определяющее соотношение (19), возможно, способно описывать не толь-

ко вязкоупругость, но и вязкопластичность. Эта гипотеза подтверждается наличием у диаграмм деформирования, порождаемых определяющим соотношением (19) при постоянной скорости деформации, горизонтальных асимптот, т.е. участков течения при постоянном напряжении (без последующего упрочнения), как это наблюдается у материалов в состоянии сверхпластичности [7687] (для них характерны как раз ползучесть с постоянной скоростью и отсутствие восстановления после разгрузки).

4. Кривые ползучести и восстановления модели (3)-(5)

Кривые ползучести и восстановления, порождаемые моделью (3)-(5), — ее отклики на прямоугольный импульс нагрузки (10) с параметрами Т > 0, У > 0. На первой стадии отклик модели описывается формулами (13), (17), исследованными выше, а на второй (при У = 0, после полной разгрузки) деформация постоянна в силу (11) и отличается от деформации ползучести (17) при t=Т на величину скачка при мгновенной разгрузке [у](Т; У, Wо):

У, Wо, Т) = у(0; У, Wо) + ТУе~ар(У)У(Т; У, Wо) + [у](Т; У, Wо) = р(У, Wо, Т), t > Т, (22) где функция У (^ У, w0) вычисляется по формуле

(17),

__т

[у](Т;у, щ) = - ( (

О (щ(Т))

= -Утс(О0евщ(Т ))"1 = -ТУе"вщ(Т), (23) щ(Т) = [щ0 - Е(У)]е-сТ!р(У) + Е(У) (см. (13) и (4)). Величина щ(Т) = щ(Т; У, щ0) убывает по У, возрастает по щ0, убывает по Т при Е(У) < щ0 (при достаточно больших У или при близких к единице щ0) и возрастает по Т при Е(У) > щ0 (теорема 1). По (23) модуль [у](Т; У, щ0), наоборот, возрастает по У, убывает по щ0, возрастает по Т при Е(У) < щ0 и убывает по Т при Е(У) > щ0.

При t > Т структурированность (по (12) с У = 0, Е(0) = (1 + Ь)-1) меняется по закону вида (13): щ(Г; У, Щ0, Т) = (1 + Ь)-1 + [щ(Т) - (1 + Ь)-1]е-с(1+Ь)('-Т), t > Т. (24) Зависимость функции (24) от параметров У, щ0, Т точно такая же, как зависимость от них щ(Т): она убывает по У, возрастает по щ0, убывает по Т при Е(У) < щ0 и возрастает по Т при Е(У) > щ0.

Структурированность (24) монотонно убывает по времени, если 1(Т) > (1 + Ь)-1 (при достаточно малых У или при близких к единице начальных значениях 10) и возрастает при 1(Т)(1 + Ь) < 1 (т.е. при болших У или малых 10), в частности возрастает при Г (У) > 10 (т.к. Г (У)(1 + Ь) < 1). При t ^ ю функция (24) имеет предел 1(ю) = (1 + Ь)-1 (асимптоту), который не зависит от материальной функции £(у), уровня напряжения У, параметра 10 и длительности стадии ползучести Т. Если структурированность конкретного материала наделена конкретным физическим смыслом и может быть измерена (оценена) в результате анализа структуры (по данным микроскопии, томографии, металлографии, порометрии и т.п.) после испытания на восстановление, то по этой формуле можно определить параметр Ь.

Таким образом, при полной разгрузке исчезает только упругая деформация [у](Т; У, 10), а вся накопленная деформация ползучести оказывается необратимой, пластической. Именно такое поведение демонстрируют многие металлы (и другие материалы) при достаточно высоких температурах [64-69]. Модель (3)-(5), как и определяющее соотношение типа Максвелла (19) для структурно стабильных материалов, не описывает «обратную ползучесть», т.е. процесс постепенной релаксации накопленной деформации с выходом на некоторый постоянный уровень при больших значениях времени, как это наблюдается в испытаниях многих материалов [59, 62, 64-69]. Модель (3)-(5) описывает только мгновенное восстановление упругой части деформации (предельный, идеализированный случай) и изменение структурированности 1(() при нулевом напряжении. В отличие от кривых ползучести и восстановления, порождаемых определяющим соотношением (19), остаточная деформация р(З,10, Т) (22) уже не пропорциональна длительности стадии нагруже-ния Т и не обязательно возрастает с ростом У (как у определяющего соотношения (19)). В силу (20) след, оставленный импульсом нагрузки (10), не стирается никогда, т.е. память модели (3)-(5) (как и определяющего соотношения (19)) не затухающая, а «перманентная», модель неспособна описывать материалы с затухающей памятью [88]. Это свидетельствует о том, что модель (3)-(5) (как и определяющее соотношение (19)) способна описывать не только вязкоупругость, но и

вязкопластичность. Эта гипотеза подтверждается наличием у диаграмм деформирования, порождаемых моделью (3)-(5) при постоянной скорости деформации, горизонтальных асимптот [34], т.е. участков течения при постоянном напряжении (без последующего упрочнения), как это наблюдается у материалов в состоянии сверхпластичности [76-87] (для них характерны как раз неограниченная ползучесть и отсутствие восстановления после разгрузки).

На рис. 5, а приведены кривые ползучести и восстановления модели с b = 0.001, с = 0.25, а = 2, в = 1, G0 = 100 и экспоненциальной материальной функции g = ehs, h = 0.1 (в сущности, той же модели, что и на рис. 2, только h в 10 раз меньше) при фиксированных T = 3 и Т = 70 и разных w0 = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 1.0 (кривые 0-5, стрелка на рис. 5 указывает направление смещения кривых с возрастанием параметра w0). С увеличением w0 (и начальной жесткости) деформации понижаются и меняется выпуклость кривых ползучести на интервале t < 3 (при больших w 0 скорость ползучести становится возрастающей — кривые 4, 5). Для сравнения пунктиром нанесены кривые ползучести и восстановления для Т = 10. На рис. 5, б приведены соответствующие графики структурированности w(t) для Т = 70, Т = 10 (пунктирные линии) и Т = 90 (штриховые) при тех же значениях w0. Особенность рассматриваемой конкретной модели — высокий (близкий к единице) уровень равновесной структурированности w(w) = F(0) = (1 + b)-1 при Т = 0 и быстрый рост w(t) при Т = 0 и всех достаточно малых напряжениях (см. пунктирные линии, а также рис. 2, б). Для Т = 10 все w(t) монотонно возрастают при t > 0 и излом в момент T = 3 на них практически неразличим. С ростом напряжения кривые ползучести и восстановления поднимаются выше, w(t) опускаются ниже, убывают быстрее на стадии ползучести, различие в w(t) стирается быстрее, и на стадии восстановления w(t) быстрее стремится к асимптоте w(w) = (1 + b)-1, хотя точка излома ниже. Хорошо видно, как с ростом Т возрастание всех w(t) меняется на немонотонность (для больших w0) и угол излома в момент T = 3 возрастает.

На рис. 5, в приведены семейства кривых ползучести и восстановления той же модели при фиксированном w0, T = 3 и разных уровнях напряжения: Т = 10, 30, 50, 70, 80, 90 (голубым цветом для w0 = 0, красным — для w0 = 1). С ростом Т

Рис. 5. Кривые ползучести и восстановления (а, в) и графики (б, д) модели с Ь = 0.001, с = 0.25, а = 2, в = 1, О0 = 100 и материальной функцией g = еИу, И = 0.1, при Т = 3 и разных У и щ0: а — кривые ползучести и восстановления при У = 70 или У = 10 (пунктиром) и разных щ0: щ0 = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 1.0 (кривые 0-5); б — графики щ(() для У = 70 и 10 (пунктирные линии) и У = 90 (штриховые) при тех же значениях щ0; в, г — кривые ползучести и восстановления и графики щ(() при фиксированном щ0 (голубые для щ0 = 0, красные для щ0 = 1) для разных напряжений У = 10, 30, 50, 70, 80, 90 (цветной в онлайн-версии)

кривые ползучести и восстановления смещаются вверх, кривые ползучести меняют выпуклость вверх на выпуклость вниз при уровне напряжения У = У, удовлетворяющем условию Е(У) = щ0 (при этом уровне кривая ползучести — прямая линия, а — константа, см. кривую 3 ' на рис. 2, а). На рис. 5, г приведены соответствующие графики щ(^) для тех же напряжений и щ0 = 0.0, 0.7, 1.0. С увеличением У кривые щ(^) на стадии ползучести опускаются вниз (стрелка на рисунке указывает направление смещения кривых с возрастанием параметра У) и меняют возрастание на убывание при У = У

На рис. 6, а, б приведены двойные кривые ползучести и восстановления (отклик на два цикла

нагружения-восстановления) и графики той же модели, что и на рис. 5 (а = 2, в = 1) при фиксированных Т = 3 и У = 50 и разных щ0: щ0 = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 1.0 (цвета кривых как на рис. 5, начиная с голубого для щ0 = 0); а на рис. 6, в, г — для У = 70. На рис. 6, д, е приведены двойные кривые ползучести и восстановления и графики щ(^) для модели с а = 3 и в = 0 (модели, в которой отключена зависимость модуля сдвига от щ) для У = 50.

Из-за изменения структуры и модуля сдвига (4) в процессе ползучести, которое описывает модель (3)-(5) с в > 0, модуль скачка деформации при разгрузке [у](Т; У, щ0) (23) может отличаться от начального скачка при мгновенном нагруже-нии у(0; У, щ0) = т/О(щ0) = Т Уе-вЩ) (этот эффект

Рис. 6. Двойные кривые ползучести и восстановления у(^ и графики при разных 10: а, б — для той же модели, что и на рис. 5 (а = 2, В = 1) при У = 50; в, г — при У = 70; д, е — для модели с В = 0, а = 3 при У = 50 (цветной в онлайн-версии)

иногда наблюдается в испытаниях материалов [74], но его не способны описывать линейная теория вязкоупругости и нелинейное определяющее соотношение (19), зато способно нелинейное со-

отношение наследственности Работнова [59, 74]). Отношение модулей скачков

= |[У](Т;3,10)1 = О(щ) = е-р(1(Т)-10) 4 у(0; 3,10) О ЫТ))

Рис. 7. а-в — графики деформации для модели с b = 0.001, c = 0.25, а = 7, ß = 1, G0 = 100 и материальной функции g = e s, h = 1, для разных w0 = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 1.0 (кривые 0-5 разных цветов) при циклическом нагружении с T = 3 и тремя амплитудами напряжения: S = 50 (а), 70 (б) и 80 (в); г — графики w(t) в этих процессах циклического нагружения для S = 50 (верхний пучок) и S = 80 (цветной в онлайн-версии)

больше единицы при w(T) < w0 (когда структурированность (13) на стадии ползучести с S > 0 убывает, т.е. при F(s) < w0, см. пп. 7 теоремы 1) и меньше единицы при w(T) > w0 (когда структурированность (13) возрастает при t е (0; T), т.е. при F(S) > w0). Оба случая видны на рис. 5, а. Для вырожденной модели (3)-(5) с ß = 0 (рис. 6, д) q = 1. По формуле (13) изменение структурированности при ползучести

w(T) - W0 = [ w0 - F (s )]e-cB (s )T + F (s) - w0

= (F (s) - W0)(1 - e-cTF (s)).

Некоторые сочетания материальных параметров могут привести к тому, что в определенном диапазоне напряжений и длительностей стадии

нагружения (10) после полной разгрузки может возникнуть деформация противоположного знака (знаку напряжения и деформации на стадии ползучести). Это происходит, если убывание структурированности (и модуля сдвига (4)) на стадии ползучести значительно и скачок деформации при разгрузке (23) достаточно велик: больше накопленной деформации y(T). Для этого достаточно, например, увеличить материальный параметр а или ß (рис. 7).

В этом случае при повторных нагружениях и при отнулевом циклическом нагружении возможно накопление деформации противоположного знака (рис. 7, а), т.к. за время отдыха w(t) возрастает, структура укрепляется, делая среду относи-

тельно жесткой, затем под нагрузкой она ломается (тем быстрее, чем больше S, рис. 7, в), что приводит к смене знака деформации при разгрузке.

На рис. 7, а-в приведены графики деформации для модели с Ь = 0.001, с = 0.25, а = 7, в = 1, О0 = 100 и экспоненциальной материальной функции g=вИз, И = 0.1 (отличие от модели рис. 5 только в величине а = 7) для разных = 0.0, 0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 1.0 (кривые 0-5 разных цветов) при циклическом нагружении с Т = 3 и тремя амплитудами напряжения: У = 50, 70 и 80. При S = 50 и = 1.0 минимальные деформации уп (п — номер цикла) становятся отрицательными уже на первом цикле разгрузки (рис. 7, а) и далее убывают, для = 0.7 (синяя кривая) становятся отрицательными на седьмом цикле разгрузки и монотонно убывают, для ^о = 0.5 (оранжевая кривая) минимальные деформации сначала возрастают на втором цикле, а потом монотонно убывают и у15 < 0; для малых (вплоть до = 0) после нескольких первых циклов тоже происходит монотонное убывание с выходом уп в отрицательную область. При нагружении с амплитудой У = 70 (рис. 7, б) процесс накопления отрицательных деформаций идет гораздо быстрее. Совсем иная картина (тренд) наблюдается при нагружении с У = 80 (рис. 7, в): при = 0.7 и = 1.0 минимальные деформации меньше нуля в нескольких первых циклах, но далее уп возрастает и становится положительной; а при < 0.5 уп возрастает и у1 > 0. На рис. 7, г совмещены графики в этих процессах циклического нагру-жения для У = 50 (верхний пучок) и У = 80 (ниж-

ний пучок с большей амплитудой и значительно меньшим средним значением).

На рис. 8, а приведены графики деформации при таком же циклическом нагружении с амплитудой У = 30 для модели с а = 2, а не а = 7 (той же модели, что на рис. 5 и 6). Они совсем не похожи на рис. 7, а, б: уп всегда положительна и быстро возрастает.

Эффект возникновения при разгрузке деформации противоположного знака невозможен для структурно стабильных материалов и моделей, их описывающих, и его обнаружение в испытаниях свидетельствует о структурных изменениях в материале. Он невозможен и для модели (3)-(5) с в = 0, т.е. с не зависящим от модулем сдвига, т.к. для нее всегда модуль скачка деформации при разгрузке [у](Т; У, ^0) равен скачку у(0; У, ^0) = т/О(^0) = УУ при нагрузке (рис. 6, д, е). На рис. 8, б приведены графики у(?) для модели с в = 0, а = 3 (рис. 6, в) при циклическом нагружении с амплитудой У = 30.

Анализ кривых ползучести и восстановления модели (3)-(5) позволяет понять, почему эффект возникновения при разгрузке деформации противоположного знака возможен и наблюдается, например, в испытаниях на ползучесть и восстановление такого материала как дентин зубов человека: этот эффект обнаружен впервые в испытаниях на ползучесть и восстановление при сжатии при нагружении дентина до напряжений в диапазоне от 0.1 до 0.4 от его предела прочности, проведенных совместно с Д.В. Зайцевым в 2023 г. в Уральском федеральном университете. Данные

Рис. 8. Графики у(^) при циклическом нагружении с Т = 3 и амплитудой у = 30: а — для модели с а = 2, в = 1; б — для модели с в = 0, а = 3 (цветной в онлайн-версии)

испытаний показывают, что под действием постоянной нагрузки дентин не только ползет, но в нем происходят структурные изменения, приводящие к уменьшению жесткости образцов (поворот, ра-зориентация и изгиб канальцев-трубок, минерализованных гидроксиапатитом кальция, и отростков одонтобластов, увеличение податливости их соединений с матрицей из волокон коллагена, наполненной наночастицами гидроксиапатита, разрывы боковых ответвлений канальцев, интегрирующих их минерализованные стенки в своеобразную сеть-каркас, зарождение микротрещин в матрице и т.п.), хотя никаких признаков этих изменений не видно на макроуровне и их можно выявить только рентгеноскопией.

Основные доказанные свойства стадии восстановления кривых ползучести и восстановления подытоживает теорема 2.

Теорема 2. В предположениях теоремы 1 кривые восстановления (22), (23) и структурированности при нулевой нагрузке (24) для нагружений вида (10) обладают следующими свойствами:

1) деформация (22) при t > Т постоянна и отличается от деформации ползучести (17) в момент t=Т на величину скачка при мгновенной разгрузке (23); модель не описывает процесс постепенной релаксации деформации — лишь мгновенное восстановление ее упругой части;

2) модуль скачка деформации при разгрузке [у](Т; У, щ0) возрастает по У, убывает по щ0, возрастает по Т при Е(У) < щ0 и убывает по Т при

Р (У) > Щ0;

3) модули скачков при разгрузке и в момент нагрузки t=0 могут (сильно) отличаться: их отношение

= 1М(Т;У, щ0)1 = О (щ0) = е-в(щ(Т )-*0) 4 у(0; У, щ0) О (щ(Т)) (щ(Т) вычисляется по (23)) больше единицы, если Е(У) < щ0 (когда структурированность (13) на стадии ползучести с У > 0 убывает) и меньше единицы при Е(У) > щ0 (когда щ(0 возрастает при t е (0; Т));

4) в определенном диапазоне напряжений и длительностей стадии нагружения (10) после полной разгрузки может возникнуть деформация противоположного знака (знаку напряжения и деформации на стадии ползучести); это происходит, если убывание структурированности (и модуля сдвига (4)) на стадии ползучести значительно и скачок деформации при разгрузке (23) больше накопленной деформации у(Т);

5) при t> Т структурированность при нулевой нагрузке У, щ0, Т) меняется по закону (24), она убывает по У, возрастает по щ0, убывает по Т при Е(У) < щ0 и возрастает по Т при Е(У) > щ0; она монотонно убывает по времени, если щ(Т) > (1 + Ь)-1 (при достаточно малых У или при близких к единице начальных значениях щ0) и возрастает при щ(Т)(1 + Ь) < 1 (т.е. при больших У или малых щ0), в частности возрастает при Е (У) > щ0;

6) при t ^ да структурированность (24) имеет предел щ(да) = (1 + Ь)-1, который не зависит от материальной функции g(s), параметра щ0, напряжения У и длительности стадии ползучести Т; выдержка при нулевом напряжении стирает различие в структурированности: для любых двух щ0 =

разность структурированностей (24) Щ(Г; У, Щ02, Т) - щ(Г; У, Щ0!, Т)

= [Щ02 - Щ01]е-с(1+Ь)('-Т) стремится к нулю при t ^ да экспоненциально.

5. Дальнейшие направления развития базовой модели и ее приложения

Модель (3)-(5) (после формулировки в трехмерном случае, дальнейшего исследования, детального сопоставления с данными экспериментов и необходимых обобщений, в частности, учета влияния тепловыделения и теплообмена и введения дополнительных структурных параметров и уравнений для учета кинетики основных физико-химических процессов) будет применяться для описания испытаний битумов и их модификаций минеральными и эластомерными наполнителями [89-92], расплавов термопластов (полиэтиленов, полиамидов, полифениленсульфида, полиэфир-эфиркетона и др.), углеродно-кремниевых паст для 3Б-печати [22, 23] и для решения краевых задач в технологиях переработки полимеров (в частности, твердофазной плунжерной экструзии, формования нитей методом экструзии расплава и вытяжки) [14-19] и задач моделирования сверхпластического деформирования металлов и сплавов с учетом эволюции нескольких параметров структуры (среднего размера, формы и ориентации зерен, доли большеугловых границ, уровня неравновесности границ зерен, плотности диспер-соидов, степени сегрегации на границах зерен легирующих элементов, облегчающих зерногранич-ное скольжение и т.п.) [76-87]. Модель (3)-(5) будет применяться и для решения задач ползучести с учетом накопления поврежденности и кинетики

химических превращений под влиянием агрессивной среды. В этом случае вполне возможно трактовать величину 1 - V! как скалярный параметр поврежденности [65-69, 73, 93-95], причем его не только можно считать монотонно возрастающим в процессе ползучести (положив в уравнении (5) к\ = 0 или достаточно малым), когда в силу (4) модуль сдвига и вязкость будут монотонно убывать в процессе ползучести (поврежденность накапливается — материал деградирует), но и учитывать процесс залечивания поврежденности под влиянием разных факторов (например, под воздействием электрического тока в металлах и сплавах или под воздействием повышенных температур, как происходит в углерод-углеродных композитах, в которых нагрев замедляет и залечивает по-врежденность, вызванную облучением нейтронами). С целью расширения класса описываемых эффектов и области применимости модель (3)-(5) удобно использовать как элемент более сложных гибридных моделей в сочетании с определяющим соотношением (19).

6. Заключение

В статье продолжено системное аналитическое исследование свойств нелинейной реологической модели сдвигового деформирования тиксотроп-ных вязкоупругопластичных сред (3)-(5), учитывающей взаимное влияние процесса деформирования и эволюции структуры, предложенной и анализируемой в статьях [31-34]. В данной статье внимание сосредоточено на анализе способности модели описывать поведение не только жидкооб-разных, но и твердообразных (густеющих, твердеющих, затвердевших) сред, на изучении свойств откликов модели на ступенчатые нагру-жения, в частности, свойств кривых ползучести и восстановления и кривых циклического ступенчатого нагружения. Получена система двух нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих отклик системы на заданную программу нагружения (а не деформации, как ранее), в частности, ползучесть при постоянной нагрузке и произвольной кусочно-постоянной нагрузке. Построено в явном виде (в квадратурах) общее решение задачи Коши для нее, т.е. выведены выражения для деформации сдвига и структурированности как функций времени, зависящие от начальных условий и всех параметров модели и программы нагружения. Полученные уравнения семейств кривых ползучести и восстановления

имеют вид (17), (22), эволюции структурированности — (13), (24). При произвольных шести материальных параметрах и (возрастающей) материальной функции, управляющих определяющими соотношениями (3)-(5), аналитически изучены базовые свойства семейств кривых ползучести и восстановления, порождаемых моделью, и особенности эволюции структуры при в условиях постоянства напряжения (на каждой стадии ступенчатого нагружения), найдены несколько индикаторов применимости модели, которые удобно проверять по экспериментальным кривым ползучести и восстановления материалов. Выяснено, какие необычные эффекты (непривычные свойства кривых ползучести и восстановления) порождает изменение структурированности по сравнению с типичными кривыми ползучести и восстановления структурно стабильных материалов. Исследованы отклики модели на циклическую нагрузку-разгрузку (ползучесть-восстановление), возникающие колебания структурированности и их влияние на скорость накопления пластической деформации.

Так как семейства кривых ползучести и восстановления у(^; У, w0) зависят от заданного уровня напряжения У и начальной структурированности то исследованы общие свойства зависимости кривых ползучести и восстановления не только от времени (интервалы монотонности и выпуклости, экстремумы, асимптоты и т. п.), но и от напряжения и начального состояния структуры, от материальных параметров и функции модели, а также от начальной стадии нагружения, предшествующей ползучести. Основные результаты о свойствах кривых ползучести и восстановления у(^; У, w0), скорости ползучести и структурированности м>(1, У, w0) (13) и (24) собраны в теоремах 1 и 2. Доказано, что кривые ползучести (17) всегда возрастают по времени и имеют наклонные асимптоты (хотя на начальной стадии могут сильно отличаться от прямолинейных и даже напоминать ограниченные кривые ползучести с горизонтальной асимптотой), а структурированность (13) всегда монотонна (в отличие от других режимов нагружения), но может и убывать, и возрастать в зависимости от соотношения между Т = Т0 т0/ п0 = т0/ О0 и w0. Причем те же условия управляют выпуклостью кривых ползучести вверх или вниз: при некоторой критической нагрузке У = У, £ = £ (Ь, w0), кривые ползучести меняют выпуклость вверх на выпуклость вниз, а

структурированность (13) сменяет убывание на возрастание. Тем самым, в частности, доказано, что модель (3)-(5) не может описывать ползучесть материалов с кривыми ползучести с точками перегиба (со всеми тремя стадиями ползучести) и материалов с ограниченной при t ^ да ползучестью при некоторых (хотя бы малых) уровнях напряжения. Модель не описывает постепенное восстановление после полной разгрузки («обратную ползучесть», «упругое последействие»): вся накопленная деформация ползучести оказывается необратимой, пластической, модель описывает только мгновенное восстановление упругой части деформации и монотонное изменение структурированности материала (24) при У = 0, ее стремление при t ^ да к пределу щ(<х>) = 1/(1 + Ь), не зависящему от напряжения на стадии ползучести, ее длительности и достигнутой деформации. Вместе с тем модель может описывать такие непривычные (но наблюдаемые в испытаниях некоторых материалов) эффекты, как различие модулей скачков деформации при нагрузке и полной разгрузке [74] и противоположность знака остаточной деформации знаку напряжения и деформации на стадии ползучести. Первый эффект не способны описывать линейная теория вязкоупру-гости и нелинейное определяющее соотношение (19), но способно нелинейное определяющее соотношение наследственности Работнова [74], а второй эффект невозможен для структурно стабильных материалов и всех трех упомянутых определяющих соотношений, и его обнаружение в испытаниях свидетельствует о структурных изменениях в материале.

В результате проведенного анализа установлена способность модели описывать поведение не только жидкообразных [31-33], но и твердообраз-ных (густеющих, твердеющих, затвердевших) тиксотропных вязкоупругопластичных сред: эффектов ползучести и накопления остаточных деформаций, ряда типичных свойств экспериментальных кривых ползучести и восстановления, релаксации и диаграмм деформирования с постоянной скоростью (изученных ранее в [34]), скоростного и деформационного упрочнений, течения при постоянном напряжении и др.

Финансирование

Работа выполнена при поддержке Минобрнау-ки России в рамках программы Московского центра фундаментальной и прикладной математики

по соглашению № 075-15-2022-284 (введение,

п. 1, 2, 4) и программы № FSRG-2024-0004 (п. 3, 5).

Литература

1. Bingham, E.C., Fluidity and Plasticity, New York, 1922.

2. Reiner, M., Rheology, in Encyclopedia of Physics. Vol. 6, Berlin: Springer, 1958, pp. 434-550.

3. Lodge, A.S., Elastic Liquids: An Introductory Vector Treatment of Finite-Strain Polymer Rheology, London: Academic Press, 1964.

4. Виноградов, Г.В., Малкин, А.Я., Реология полимеров, MocKBa: Химия, 1977.

5. Бибик, Е.Е., Реология дисперсных систем, Ленинград: Изд-во Ленинград. ун-та, 1981.

6. Larson, R.G., Constitutive Equations for Polymer Melts and Solutions, Boston: Butterworth, 1988.

7. Leonov, A.I. and Prokunin, A.N., Non-Linear Phenomena in Flows of Viscoelastic Polymer Fluids, London: Chapman and Hall, 1994.

8. Macosko, C., Rheology: Principles, Measurements and Applications, New York: VCH, 1994.

9. Rohn, C.L., Analytical Polymer Rheology, Munich: Hanser Publishers, 1995.

10. Huilgol, R.R. and Phan-Thien, N., Fluid Mechanics of Viscoelasticity, Amsterdam: Elsevier, 1997.

11. Larson, R.G., Structure and Rheology of Complex Fluids, New York: Oxford Press, 1999.

12. Gupta, R.K., Polymer and Composite Rheology, New York: Marcel Dekker, 2000.

13. Tanner, R.I., Engineering Rheology, Oxford: Oxford University Press, 2000.

14. Han, C.D., Rheology and Processing of Polymeric Material. Vols. 1-2, Oxford: Oxford University Press,

2007.

15. Graessley, W.W., Polymeric Liquids and Networks: Dynamics and Rheology, London: Garland Science,

2008.

16. Denn, M.M., Polymer Melt Processing, Cambridge: Cambridge University Press, 2008.

17. Kamal, M., Isayev, A., and Liu, S., Injection Molding Fundamentals and Applications, Munich: Hanser, 2009.

18. Leblanc, J.L., Filled Polymers, Boca Raton: CRC Press, 2010.

19. Malkin, A.Y. and Isayev, A.I., Rheology: Conceptions, Methods, Applications, Toronto: ChemTec Publ., 2012.

20. Mewis, J. and Wagner, N., Colloidal Suspension Rheology. Cambridge Series in Chemical Engineering, Cambridge: Cambridge University Press, 2012.

21. Barnes, H.A., Thixotropy—A Review, J. Non-Newtonian FluidMech, 1997, vol. 70, no. 1-2, pp. 1-33.

22. Lewis, J.A., Smay, J.E., Stuecker, J., Cesarano, J., Direct Ink Writing of Three-Dimensional Ceramic Structures, J. Am. Ceram. Soc, 2006, vol. 89, pp. 35993609.

23. Held, A., Puchas, G., Müller, F., and Krenkel, W., Direct Ink Writing of Water-Based C-SiC Pastes for the Manufacturing of SiSiC Components, Open Ceramics,

2021, vol. 5, p. 100054.

24. Teng, H.X. and Zhang, J.J., Modeling the Thixotropic Behavior of Waxy Crude, Indust. Eng. Chem. Res, 2013, vol. 52, no. 23, pp. 8079-8089.

25. Bao, Y. and Zhang, J., Restart Behavior of Gelled Waxy Crude Oil Pipeline Based on an Elasto-Viscoplastic Thixotropic Model: A Numerical Study, J. Non-Newtonian FluidMech., 2020, vol. 284, p. 104377.

26. Owens, R.G., A New Microstructure-Based Constitutive Model for Human Blood, J. Non-Newtonian Fluid Mech, 2006, vol. 140, no. 1-3, pp. 57-70.

27. Tucker, C.L. and Moldenaers, P., Microstructural Evolution in Polymer Blends, Annu. Rev. Fluid Mech., 2002, vol. 34, pp. 177-210.

28. Малкин, А.Я., Куличихин, В.Г., Структура и реологические свойства высококонцентрированных эмульсий. Современный взгляд, Успехи химии, 2015, т. 84, № 8, с. 803-825.

29. Kulichikhin, V.G. and Malkin, A.Y., The Role of Structure in Polymer Rheology: Review, Polymers,

2022, vol. 14, article 1262, pp. 1-34. https://doi.org/ 10.3390/polym14061262

30. Varchanis, S., Makrigiorgos, G., Moschopoulos, P., Dimakopoulos, Y., and Tsamopoulos, J., Modeling the Rheology of Thixotropic Elasto-Visco-Plastic Materials, J. Rheology, 2019, vol. 63, no. 4, pp. 609-639.

31. Stolin, A.M. and Khokhlov, A.V., Nonlinear Model of Shear Flow of Thixotropic Viscoelastoplastic Continua Taking into Account the Evolution of the Structure and Its Analysis, Moscow Univ. Mech. Bull, 2022, vol. 77, no. 5, pp. 127-135. https://doi.org/10.3103/S00271330 22050065

32. Хохлов, А.В., Точка равновесия и фазовый портрет модели течения тиксотропных сред, учитывающей эволюцию структуры, Вестник Московского университета. Сер. 1: Математика. Механика, 2023, № 4, c. 30-39. https://doi.org/10.55959/MSU0579-936 8-1-64-4-5

33. Хохлов, А.В., Гулин, В.В., Анализ свойств нелинейной модели сдвигового течения тиксотропных сред, учитывающей взаимное влияние эволюции структуры и процесса деформирования, Физ. мезо-мех, 2023, т. 26, № 4, с. 41-63. https://doi.org/10. 55652/1683-805X_2023_26_4_41

34. Khokhlov, A.V. and Gulin, V.V., Families of StressStrain, Relaxation, and Creep Curves Generated by a Nonlinear Model for Thixotropic Viscoelastic-Plastic Media Accounting for Structure Evolution. Part 2. Relaxation and Stress-Strain Curves, Mech. Compos. Mater, 2024, vol. 60, no. 2, pp. 259-278. https://doi.org/ 10.1007/s11029-024-10197-z

35. Khokhlov, A.V., Analysis of Properties of Ramp Stress Relaxation Curves Produced by the Rabotnov Non-Linear Hereditary Theory, Mech. Compos. Ma-

ter., 2018, vol. 54, no. 4, pp. 473-486. https://doi.org/ 10.1007/s11029-018-9757-1

36. Хохлов, А.В., Свойства семейства диаграмм деформирования, порождаемых нелинейным соотношением Ю.Н. Работнова для вязкоупругопластич-ных материалов, Изв. РАН. МТТ, 2019, № 2, с. 2947. https://doi.org/10.1134/S0572329919020077

37. Khokhlov, A.V., Applicability Indicators and Identification Techniques for a Nonlinear Maxwell-Type Elastoviscoplastic Model Using Loading-Unloading Curves, Mech. Compos. Mater., 2019, vol. 55, no. 2, pp. 195-210. https://doi.org/10.1007/s11029-019-0980 9-w

38. Хохлов, А.В., Анализ влияния объемной ползучести на кривые нагружения с постоянной скоростью и эволюцию коэффициента Пуассона в рамках линейной теории вязкоупругости, Вестник Самарского гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2019, т. 23, № 4, с. 671-704. https://doi.org/10.14498/vsgtu 1710

39. Oldroyd, J.G., Non Newtonian Effects in Steady Motion of Some Idealized Elastico-Viscous Liquids, Proc. Roy. Soc. Lond. A, 1958, vol. 245, pp. 278-297.

40. Coleman, B.D., Makrovitz, A., and Noll, W., Visco-metric Flows of Non-Newtonian Fluids. Theory and Experiment, Berlin: Springer, 1966.

41. Leonov, A.I., Non-Equlibrium Thermodynamics and Rheology of Viscoelastic Polymer Melts, Rheol. Acta, 1976, vol. 15, pp. 85-98.

42. Столин, А.М., Худяев, С.И., Бучацкий, Л.М., К теории сверханомалии вязкости структурированных систем, Докл. АН СССР, 1978, т. 243, № 2, с. 430433.

43. Столин, A.M., Худяев, С.И., Образование пространственно-неоднородных состояний структурированной жидкости при сверханомалии вязкости, Докл. АН СССР, 1981, т. 260, № 5, с. 1180-1184.

44. Giesekus, H., A Simple Constitutive Equation for Polymer Fluids Based on the Concept of Deformation Dependent Tensorial Mobility, J. Non-Newtonian Fluid Mech, 1982, vol. 11, no. 1, pp. 69-109.

45. Brady, J.F. and Morris, J.F., Microstructure of Strongly Sheared Suspensions and Its Impact on Rheology and Diffusion, J. Fluid Mech, 1997, vol. 348, pp. 103-139.

46. Худяев, С.И., Ушаковский, О.В., Пространственная неоднородность и автоколебания при течении структурированной жидкости, Мат. моделирование, 2002, т. 14, № 7, с. 53-73.

47. Беляева, Н.А., Неоднородное течение структурированной жидкости, Мат. моделирование, 2006, т. 18, № 6, с. 3-14.

48. Leonov, A.I., Constitutive Equations for Viscoelastic Liquids: Formulation, Analysis and Comparison with Data, Rheology Ser., 1999, vol. 8, pp. 519-575.

49. Verbeeten, W.M.H. and Peters, G.W.M., Differential Constitutive Equations for Polymer Melt: The Extend-

ed Pom-Pom Model, J. Rheol, 2001, vol. 45, no. 4, pp. 821-841.

50. Stickel, J.J. and Powell, R.L., Fluid Mechanics and Rheology of Dense Suspensions, Annu. Rev. Fluid Mech, 2005, vol. 37, pp. 129-149.

51. Pokrovskii, V.N., The Mesoscopic Theory of Polymer Dynamics, Springer, 2010.

52. Mueller, S., Llewellin, E.W., and Mader, H.M., The Rheology of Suspensions of Solid Particles, Proc. R. Soc. A, 2010, vol. 466, no. 2116, pp. 1201-1228.

53. De Souza Mendes, P.R. and Thompson, R.L., A Critical Overview of Elasto-Viscoplastic Thixotropic Modeling, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 2012, vol. 187-188, pp. 8-15.

54. Larson, R.G., Constitutive Equations for Thixotropic Fluids, J. Rheology, 2015, vol. 59, no. 3, pp. 595-611.

55. Divoux, T., Fardin, M.A., Manneville, S., and Le-rouge, S., Shear Banding of Complex Fluids, Annu. Rev. Fluid Mech, 2016, vol. 48, pp. 81-103.

56. Datta, S.S., Ardekani, A.M., Arratia, P.E., et al., Perspectives on Viscoelastic Flow Instabilities and Elastic Turbulence, Phys. Rev. Fluids, 2022, vol. 7, article 080701, pp. 1-80. https://doi.org/10.1103/PhysRev Fluids.7.080701

57. Fraggedakis, D., Dimakopoulos, Y., and Tsamopou-los, J., Yielding the Yield Stress Analysis: A Thorough Comparison of Recently Proposed Elasto-Visco-Plas-tic (EVP) Fluid Models, J. Non-Newtonian Fluid Mech., 2016, vol. 236, pp. 104-122.

58. Pyshnograi, G., Merzlikina, D., Filip, P., and Pivokon-sky, R., Mesoscopic Single and Multi-Mode Rheologi-cal Models for Polymeric Melts Viscometric Flows Description, WSEAS Trans. Heat Mass Transfer., 2018, vol. 13, pp. 49-65.

59. Хохлов, А.В., Кривые длительной прочности нелинейной модели вязкоупругопластичности типа Максвелла и правило суммирования поврежденно-сти при ступенчатых нагружениях, Вестник Самарского гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2016, т. 20, № 3, с. 524-543. https://doi.org/10.14498/ vsgtu1512

60. Хохлов, А.В., Нелинейная модель вязкоупругопла-стичности типа Максвелла: свойства семейства кривых релаксации и ограничения на материальные функции, Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки, 2017, № 6, с. 31-55. https://doi.org/10.18698/1812-3368-2017-6-31-55

61. Хохлов, А.В., Нелинейная модель вязкоупругопла-стичности типа Максвелла: моделирование влияния температуры на кривые деформирования, релаксации и ползучести, Вестник Самарского гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017, т. 21, № 1, с. 160-179. https://doi.org/10.14498/vsgtu1524

62. Khokhlov, A.V., Possibility to Describe the Alternating and Non-Monotonic Time Dependence of Pois-son's Ratio during Creep Using a Nonlinear Maxwell-

Type Viscoelastoplasticity Model, Russ. Metallurgy (Metally), 2019, no. 10, pp. 956-963. https://doi.org/ 10.1134/S0036029519100136

63. Хохлов, А.В., Анализ общих свойств кривых ползучести при циклических ступенчатых нагружениях, порождаемых линейной теорией наследственности, Вестник Самарского гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017, т. 21, № 2, с. 326-361. https://doi.org/10.14498/vsgtu1533

64. Качанов, Л.М., Теория ползучести, Москва: Физ-матгиз, 1960.

65. Кеннеди, А.Дж., Ползучесть и усталость в металлах, Москва: Металлургия, 1965.

66. Работнов, Ю.Н., Ползучесть элементов конструкций, Москва: Наука, 1966.

67. Бугаков, И.И., Ползучесть полимерных материалов, Москва: Наука, 1973.

68. Betten, J., Creep Mechanics, Berlin: Springer-Verlag, 2008.

69. Локощенко, А.М., Ползучесть и длительная прочность металлов, Москва: Физматлит, 2016.

70. Соснин, О.В., О ползучести материалов с разными характеристиками на растяжение и сжатие, ПМТФ, 1970, № 5, с. 136-139.

71. Никитенко, А.Ф., Соснин, О.В., Торшенов, Н.Г., Шокало, И.К., О прочностных особенностях титановых сплавов, ПМТФ, 1976, № 6, с. 118-122.

72. Горев, Б.В., Рубанов, В.В., Соснин, О.В., О построении уравнений ползучести для материалов с разными свойствами на растяжение и сжатие, ПМТФ, 1979, № 5, с. 121-128.

73. Никитенко, А.Ф., Ползучесть и длительная прочность металлических материалов, Новосибирск: НГАСУ, 1997.

74. Хохлов, А. В., Анализ и сравнение свойств кривых релаксации и ползучести при ступенчатых нагружениях, порождаемых нелинейным определяющим соотношением Работнова и линейной теорией вяз-коупругости, Композиты и наноструктуры, 2024, т. 16, № 1, с. 20-55. https://doi.org/10.36236/1999-7590-2024-16-1-20-55

75. Хохлов, А.В., Гибридизация определяющего соотношения линейной вязкоупругости и нелинейной модели вязкоупругопластичности типа Максвелла и анализ сценариев эволюции коэффициента поперечной деформации при ползучести, Физ. мезомех., 2024, т. 27, № 1, с. 20-48. https://doi.org/10.55652/ 1683-805X_2024_27_1_20-48

76. Соснин, О.В., Горев, Б.В., Любашевская, И.В., Высокотемпературная ползучесть и сверхпластичность материалов, ПМТФ, 1997, т. 38, № 2, с. 140145.

77. Nieh, T.G., Wadsworth, J., and Sherby, O.D., Super-plasticity in Metals and Ceramics, Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1997.

78. Padmanabhan, K.A., Vasin, R.A., and Enikeev, F.U., Superplastic Flow: Phenomenology and Mechanics, Berlin: Springer-Verlag, 2001.

79. Segal, V.M., Beyerlein, I.J., Tome, C.N., Chuvil'de-ev, V.N., and Kopylov, V.I., Fundamentals and Engineering of Severe Plastic Deformation, New York: Nova Science Publ. Inc., 2010.

80. Zhilayev, A.P. and Pshenichnyuk, A.I., Superplasticity and Grain Boundaries in Ultrafine-Grained Materials, Cambridge: Cambridge Int. Sci. Publ., 2010.

81. Чувильдеев, В.Н., Щавлева, А.В., Нохрин, А.В., Пирожникова, О.Э., Грязнов, М.Ю., Лопатин, Ю.Г., Сысоев, А.Н., Мелехин, Н.В., Сахаров, Н.В., Копылов, В.И., Мышляев, М.М., Влияние размера зерна и структурного состояния границ зерен на параметры низкотемпературной и высокоскоростной сверхпластичности нано- и микрокристаллических сплавов, Физика твердого тела, 2010, т. 52, № 5, с. 1026-1033.

82. Валиев, Р.З., Жиляев, А.П., Лэнгдон, ТДж., Объемные наноструктурные материалы: фундаментальные основы и применения, Эко-Вектор, 2017.

83. Ovid'ko, I.A., Valiev, R.Z., and Zhu, Y.T., Review on Superior Strength and Enhanced Ductility of Metallic Nanomaterials, Progr. Mater. Sci., 2018, vol. 94, pp. 462-540.

84. Шарифуллина, Э.Р., Швейкин, А.И., Трусов, П.В., Обзор экспериментальных исследований структурной сверхпластичности: эволюция микроструктуры материалов и механизмы деформирования, Вестник ПНИПУ. Механика, 2018, № 3, с. 103-127.

85. Трусов, П.В., Швейкин, А.И., Многоуровневые модели моно- и поликристаллических материалов: теория, алгоритмы, примеры применения, Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2019.

86. Mikhaylovskaya, A.V., Kishchik, A.A., Kotov, A.D., Rofman, O.V., and Tabachkova, N.Y., Precipitation Behavior and High Strain Rate Superplasticity in a Novel Fine-Grained Aluminum Based Alloy, Mater. Sci. Eng. A, 2019, vol. 760, pp. 37-46.

87. Mochugovskiy, A.G., Mosleh, A.O., Kotov, A.D., Khokhlov, A.V., Kaplanskaya, L.Y., and Mikhaylovskaya, A.V., Microstructure Evolution, Constitutive Modelling, and Superplastic Forming of Experimental

6XXX-Type Alloys Processed with Different Thermo mechanical Treatments, Materials, 2023, vol. 16, no. 1, article 445, pp. 1-18. https://doi.org/10.3390/ma1601 0445

88. Хохлов, А.В., Асимптотика кривых ползучести, порожденных нелинейной теорией наследственности Работнова при кусочно-постоянных нагруже-ниях, и условия затухания памяти, Вестник Московского университета. Сер. 1: Математика. Механика, 2017, № 5, с. 26-31.

89. Rossi, C.O., Spadafora, A., Teltayev, B., Izmailo-va, G., Amerbayev, Y., and Bortolotti, V., Polymer Modified Bitumen: Rheological Properties and Structural Characterization, Colloids Surf. A. Physicochem. Eng. Asp, 2015, vol. 480, pp. 390-397.

90. Zhang, M., Hao, P., Dong, S., Li, Y., and Yuan, G., Asphalt Binder Micro-Characterization and Testing Approaches: A Review, Measurement, 2020, vol. 151, pp. 107255-107269.

91. Porto, M., Caputo, P., Loise, V, Shanin, E., Teltayev, B., and Rossi, C., Bitumen and Bitumen Modification: A Review on Latest Advances, Appl. Sci, 2019, vol. 9, article 742, pp. 1-35.

92. Гордеева, И.В., Дударева, Т.В., Красоткина, И.А., Горбатова, В.Н., Никольский, В.Г., Зверева, У.Г., Обухов, А.Г., Исследование устойчивости битумов к пластическим деформациям при высоких температурах, Нефтехимия, 2023, т. 63, № 3, с. 314-328.

93. Горев, Б.В., Банщикова, И.А., К описанию процесса ползучести и разрушения упрочняющихся материалов по кинетическим уравнениям со скалярным параметром поврежденности, Вестн. Самар. гос. тех. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2009, № 2(19), с. 90-98.

94. Горев, Б.В., Любашевская, И.В., Панамарев, В.А., Иявойнен, С.В., Описание процесса ползучести и разрушения современных конструкционных материалов с использованием кинетических уравнений в энергетической форме, ПМТФ, 2014, т. 55, № 6, с. 132-144.

95. Банщикова, И.А., Напряженно-деформированное состояние и длительность до разрушения вращающихся дисков при ползучести, Вестник ПНИПУ. Механика, 2018, № 4, с. 20-32.

Поступила в редакцию 02.12.2023 г., после доработки 24.01.2024 г., принята к публикации 07.03.2024 г.

Сведения об авторах

Хохлов Андрей Владимирович, к.т.н., внс НИИ механики МГУ, внс МЦФПМ, внс СВФУ, [email protected] Гулин Вячеслав Владимирович, асп. МГУ, мнс СВФУ, [email protected]