Влияние эффектов дисперсии и запаздывания в механике при больших градиентах параметров Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.533.2

ВЛИЯНИЕ ЭФФЕКТОВ ДИСПЕРСИИ И ЗАПАЗДЫВАНИЯ В МЕХАНИКЕ ПРИ БОЛЬШИХ ГРАДИЕНТАХ ПАРАМЕТРОВ

ГАЛАЕВ О.Ю., КОНОНЕНКО В. А., ПРОЗОРОВА Э.В.

Санкт-Петербургский государственный университет,

198504, г. Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский проспект, 28

АННОТАЦИЯ. Анализируется возможность описания неравновесных процессов в газе и жидкости при больших градиентах физических параметров. Исследуется влияние эффектов дисперсии и запаздывания в процессах возбуждения молекул в разреженном газе. Выполнены оценки времен релаксации и запаздывания для структурных молекул. Численно исследуется влияние малых возмущений вертикальной компоненты скорости на продольную скорость в модифицированной задаче Фолкнера-Скан с учетом изменения момента количества движения в элементарном объеме.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: момент количества движения, законы сохранения, несимметричный тензор напряжений, пограничный слой.

ВВЕДЕНИЕ

В работе предлагается включить в модель два типа новых эффектов: нелокальные эффекты и дисперсионные, т.е. рассматривается влияние нелокальности во времени и в пространстве и влияние момента количества движения на процессы, происходящие в газе и жидкости. Каждый из эффектов рассматривается отдельно. Роль запаздывания наблюдается в экспериментах с ударными волнами в разреженном газе, в лазерах на многоатомных газах, в химических реакциях. Влияние запаздывания связано с характером определения производных как предела, в то время как среда дискретная. Этот вопрос о связи дискретности среды с ее описанием с помощью механики сплошной среды является важным. Роль момента количества движения проявляется во всех процессах, связанных с неравномерным распределением частиц. Ранее были получены модифицированные уравнения энергии, движения, неразрывности и момента количества движения для бесструктурных частиц, учитывающие эффекты изменения момента количества движения в элементарном объеме. Уравнения следовали из модифицированного уравнения Больцмана. Это уравнение следовало из модифицированного уравнения Лиувилля. Для твердого тела использовалась классическая феноменологическая теория, но изменялась трактовка [1]. Тензор напряжений в предложенной системе уравнений получался несимметричным. Была установлена необходимость использования уравнения для момента количества движения в явном виде. В результате в систему уравнений сплошной среды добавлялись слагаемые с третьей производной в уравнении движения и второй производной в уравнении неразрывности. Как известно, уравнения для макропараметров могут быть получены из уравнения Больцмана методом Чепмена-Энскога [2]. Качественные и количественные оценки влияния использования в методе Чепмена-Энскога при вычислении локально-равновесной функции распределения макропараметров (плотности, скорости и температуры), вычисленных по нулевому приближению (из уравнений Эйлера), без дальнейшей коррекции результатов с использованием уравнений Навье-Стокса. На существование проблемы согласования макропараметров указывал Гильберт при решении уравнения Больцмана методом разложения в ряд по малому параметру. Нами был предложен алгоритм согласования макропараметров для локально равновесной функции распределения.

Поскольку считается где в - макропараметр,

3/2

/ (Г, X, /о (/, X, Х) = ПI ехр |-2Тс2\, (с2 = с2 + с2 + Сз2 ) = (Х-«)2

в то время как

( т„2 V

/ = /о

рт дгт

1 Н---- С:С,--1- С

2ркТ } ркТ

1 тс

V - 5кТ ,

и величины определяются через полную функцию распределения. Здесь и далее, / - одночастичная функция распределения, I - время, х ^ — координаты, ы}- - скорости, -

вязкость, р - плотность, Т - температура, ц - тепловой поток, Р^ - тензор вязких давлений,

X - сила. Уравнение Больцмана инвариантно относительно выбора макропараметров. Следовательно, совпадение уравнений Навье-Стокса и построенных уравнений носит формальный характер, порядки аппроксимации и параметры, входящие в локально-равновесную функцию распределения, различаются. Следовательно, при построении первого приближения в методе Чепмена-Энскога (уравнений Навье-Стокса) представляется необходимым уточнять значения плотности, скорости и температуры. Поэтому в уравнениях первого порядка появятся слагаемые, отвечающие за уточнение макропараметров. Отбрасывать их нельзя в силу их определений в кинетической теории. Однако после факторизации формальный вид функции равновесия не меняется, но макропараметры отвечают макропараметрам уравнения Навье-Стокса. Формальный вид уточненного значения вязкости не меняется. Полевое описание (механика сплошной среды) подразумевает переход от дискретной среды к сплошной с устремлением расстояний между атомами (молекулами) к нулю. В разреженном газе возникает нестандартная ситуация, когда для описания производных мы применяем предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Получается, что для записи производной по времени мы в условиях конечной длины свободного пробега (разреженный газ) учитываем только высокоскоростные составляющие, так как медленные столкновения не успевают произойти. Поэтому возникает необходимость использования второго члена ряда Тейлора для включения в работу остальных компонент или использовать среднее значение производной по времени, т. е. мы должны взять средние значения по времени для всех слагаемых в уравнениях, по пространству в силу вывода определяются средние значения. Анализ значений таких производных выполнен в [4]. Для конечной длины пробега молекул, когда число Кнудсена порядка единицы, в интеграле столкновений также необходимо принимать во внимание «запаздывание». Актуальным становится вопрос о влиянии дискретности среды при рассмотрении вопросов релаксации для сложных молекул. Дополнительное слагаемое вычисляется, так как, учитывая порядки величин, в дополнительном интеграле можно использовать локально-равновесные функции распределения. Последнее означает, что можно найти новое ядро уравнения Навье-Стокса. Во всех случаях в классической теории рассматривается предельный случай, когда объем-точка, но материальная точка (частица) -простейшая физическая модель в механике — идеальное тело, размерами и вращением которого можно пренебречь. Можно также считать размеры тела бесконечно малыми по сравнению с другими размерами или расстояниями в пределах допущений исследуемой задачи. Вывод законов сохранения в классической механике базируется на интегральных законах сохранения, стягивающихся в точку. Во второй классической теории переход к законам сохранения осуществляется путем использования для плотности суммы дельта функций от разности (х^ — х) [5], аналогично выстраиваются законы сохранения для количества движения и энергии. Элементарный объем может или сам вращаться вокруг оси инерции или быть вовлеченным во вращательное движение. В том и другом случаях поток

плотности через границу меняется на величину ^ .(г — г) + --- за счет поворота

элементарного объема. Вклад остальных компонент мал, принимая во внимание малость объема и отсутствие вращения на оси. Таким образом, переход от дискретной среды и обратно осуществляется без учета объемного распределения физических величин, точка статическая. Аналогичная ситуация наблюдается в квантовой механике. Некоторые из вопросов для функции распределения плотности вероятности, связанные с переходом от квантовой механики к классической, обсуждаются. Возможно, что лучшим вариантом теории сплошной среды является дискретный подход (через запись законов сохранения для элементарной ячейки в интегральной форме), что требует дополнительного исследования. Для твердого тела запаздывание, скорее всего, связано с тем, что в теории пластичности работают высокоэнергетические хвосты функции распределения. Они и определяют как предвестники ударной волны, так и разрушение материалов при равновесных условиях. Высокоэнергетические молекулы всегда присутствуют, их может быть мало, но тогда процессы происходят медленно. Ранее были построены решения в виде ряда измененной задачи Блазиуса и доказана сходимость получающихся рядов для различных вариантов уравнения неразрывности. Кроме того, были получены численные решения тех же задач [6]. Численно исследовалось влияние малых возмущений вертикальной компоненты скорости на продольную скорость в модифицированной задаче Блазиуса. Методом малого параметра изучалось взаимодействие нестационарного оператора и дисперсии.

Важным полученным результатом являлся факт усиления роли вертикальной компоненты скорости на профиль продольной скорости внутри пограничного слоя при учете в уравнении неразрывности второй производной. Возмущение вертикальной скорости может привести к образованию перегибов профиля продольной скорости, что сказывается на его устойчивости. Дополнительным важным фактором, влияющим на профиль скорости в пограничном слое, является перепад давления по продольному направлению. Для определения взаимодействия перепада давления и дисперсии численно в данной работе решается задача Фолкнера-Скан с измененным уравнением неразрывности. В силу повышения порядка уравнений при задании граничных условий необходимо задавать дополнительные значения функций на стенке и внешней границе. Приводятся новые результаты исследования влияния вихревого возмущения скорости на внешней границе. В работе [7] экспериментально наблюдалось полосчатое течение при некоторых возмущениях на внешней границе. В настоящей работе такое течение наблюдалось в расчетах. Использовалась схема направленных разностей второго порядка аппроксимации, язык С++.

ЭФФЕКТЫ ЗАПАЗДЫВАНИЯ

В кинетической теории при рассмотрении роли запаздывания следует разобраться с вопросом, что меряют в эксперименте: мгновенные значения или осредненные. Если эксперимент имеет дело со средними величинами, то важно выбрать время и масштабы осреднения. При согласованных временах в этом случае учитывать запаздывание не надо, кроме случаев соизмеримости времен релаксации и запаздывания, в противном случае надо иметь в виду следующее:

Длина пробега молекул 1-й группы относительно молекул ]-й группы равна в

1 ('

классической механике Я, • = -.

4 01]П] д1]

Средняя длина пробега молекул Я = -—к ('п'-.

г?ч,}=1.аЦ п'п] 3']

Средняя скорость молекул д~= Среднее время ' = 3.

С учетом сказанного уравнение Больцмана можно записать в виде

ЭI

+ с,.

э г

+ с,.

= а/ + _а2 / ^с ас а2 с

Э г Э/ Р Э/ = I

Э Г Э ^ _ т Э с {

а/ я + С£ а. 1 а а/ _у. . ' _ 1 а/

а. ^ а. - а' у т асг

А" = МсК сХ / (^ х, X) | / (t, х, X) + о | А/|Э/-А+ = ЖСхсХ'| /(^х,X')/(^х,4') + о-Э

= 4,

gbdbd еС Х1

I ^' Ь' СЬ' се' с

I = А" - А+

5/ 5/ _52 /

57 ~ 57 + т527

~ /'а.х.п _

В формулах выбраны средние значения, хотя можно расчет вести для индивидуальных скоростей и рассматривать их сумму. Аналогично вычисляются значения со штрихом, так как молекула должна долететь за время свободного пробега, причем длина свободного пробега и время пробега молекулы до столкновения и после могут быть разными (т, т',1, I'), также могут отличаться значения падающих и набегающих молекул (с индексом один).

/Л-/'Я « /А-/'Л' +т+т/1+т1/$+я+//1 + Я1/+1 + ■■■-

__' +/' ^ _ _ _1' _ V _

т ас 61 -1/ ас ■ 1 а= 61 11 а=6 ■ В общем случае данную формулу нужно выписывать в указанном виде, но при малых градиентах для простого газа можно ограничиться одним временем и одной длиной пробега. Однако для структурного газа, например, на высотах более 120 км время свободного пробега при трех числах Маха, т.е. время запаздывания 10_8с и более, что может быть соизмеримым с временем релаксации. На самом деле выражение можно упростить, учитывая порядки величин. Тогда

5/0 5/0 5/0 5/

//1-/'Л'~ //1-/'/1 + т-^г/О+т!/0^! б0 + 1151/0 +■■■ -

а/'

/Г - т1/

0 а/!1

I' ар /1'0

-] ' а/1 ^ ./Г ' Я1

ас ас а= 1 а=

Интегралы вычисляются и можно найти соответствующие ядра уравнения Навье-Стокса. При малых и средних градиентах время свободного пробега одно и длина свободного пробега одна для однокомпонентного газа. Значительные отличия будут при рассмотрении взаимодействия газов с сильно различающимися свойствами. Так для некоторых органических молекул время релаксации и время запаздывания при средних длинах свободного пробега соизмеримы (приблизительно 10_9 - 10_8 с). Квантовая теория развита преимущественно в рамках одномерных моделей [8, 9]. Конечно, влияние момента в любых одномерных моделей не отследить. Для них момент как бы внешняя сила. В квантовой теории также обращаются с частицами как с точками. При исследовании ограничиваются замкнутыми системами. Преимущественно рассматриваются парные взаимодействия или система невзаимодействующих частиц. При рассмотрении одновременно нескольких частиц ограничиваются аддитивностью экстенсивных величин, если нет заряженных частиц. Фактически каждая частица находится достаточно далеко друг от друга. Данные методы используются при расчетах потенциалов металлов и при рассмотрении равновесных условий взаимодействия атомов металла с газом. Кроме сил

очень важной характеристикой является также характер расположения частиц и связанное с

ним действие момента количества движения. Особенно важным действие момента

оказывается при больших градиентах в присутствии заряженных частиц. При расчете

потенциалов момент не учитывается. При наличии взаимодействий (например, между

физическими полями различных типов) независимость квантов утрачивается. Квантовая

теория таких полей недостаточно разработана. Момент количества движения сохраняется

для замкнутой системы и для центральных сил, но в общем случае закон нужно выстраивать.

Однако, в задаче о распаде частиц с дефектом массы после распада, рассматриваются только

закон сохранения энергии и импульса. В квантовой механике отдельно макрозакон

сохранения момента количества движения не выписывается. Для одиночных частиц

учитывать его не требуется, но для взаимодействующих частиц требуется учет. Его

получают векторным умножением уравнения для количества движения на вектор г [4].

^.¡о й (г х V) Нр

—— = — V • Ь,но это не верно, так как -;-^г х——.

аЬ аЬ аЬ

Частично учет момента происходит при решении задач методом молекулярной динамики. Принцип причинности и принцип конечности скорости распространения взаимодействий требуют, чтобы дифференциальные уравнения, описывающие фундаментальные поля, принадлежали к гиперболическому типу. Несмотря на кажущийся первый порядок уравнений для волновой функции и для уравнений движения (для скорости), в совокупности мы в действительности имеем уравнения второго порядка и формально мы можем определить скорость и импульс [10, 11].

=о,

V2 дг2

й[ ~ ^ . й[ ^

— = ЬФ, кЬ - функция Гамильтона или I к— = НФ. аь ^ аь

Плотность р(х',х) = Ь ¥* ) Y(q,x)dq,

функция распределения по Вигнеру

г 1 г гир я Л г 1т , 1т' |,3п

В механике сплошной среды ранее были получены уравнения с учетом момента количества движения [6]. Из обсуждения следует необходимость учета момента и в квантовой механике, т.е. брать в качестве независимых переменных кроме координаты и импульса момент количества движения. Это будет малая поправка, но для некоторых вариантов, имеющих много взаимодействующих компонент, она может играть определяющую роль. Например, в процессах самоорганизации. Для этого

необходимо добавить слагаемое, соответствующее оператору момента • (х; ■др).

д=' \ д=]/

д ( д2[ \

Следовательно, для волновой функции • — Цх; V и рассматривать вместо функции

Р{х,у,г,р=,,ру,р2) функцию Р(х,у,г, рх ,ру,р2, ур2 — гру ,хр2 — гр= , хру —урх). В одномерном варианте влияние указанных переменных прослеживаться не будет. Использование классического варианта приводит к линейной зависимости моментов, что может реализоваться только при дополнительных условиях

ЗАДАЧА ФОЛКНЕРА-СКАН С ИЗМЕНЕННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

Как следует из предыдущих работ, законы сохранения с учетом момента количества движения выглядят следующим образом

Эр Эри1 Э ( Эри1 ^

ЭI Э х^ Э х^

х

1 Эх1 J

0.

Эр ui Э

+

Э t Э х.

Р uiu , + Р, + х.

Л

Э х.

а7 р

1

— ЛГ + —u

2

2

+

Э х

Ри,

у

3 ЛГ + 1 и2 22

X,-

т

Р = 0.

+ икрк] + я,

+

+

э

э

Эх, г Эх

Ри,

3 ЛГ + 1 и2 22

+ иъРщ + я,

Здесь t — время, хг. — координаты, и, — скорости, V — вязкость, р - плотность, Г -температура, я — тепловой поток, Р.. — тензор вязких давлений, X — сила. Система дополняется законом сохранения момента

Эг - Эг - Эг - Э I - \

—хр +—хр +—хр + х.-(Р. )= ЫТ.

Эх Эу ^ Эz ^ . Эх/ ^ Т

Используемые в настоящее время законы сохранения в механике жидкости и газа и в теории упругости не совпадают. В механике жидкости и газа не рассматриваются эффекты деформации элементарного объема. В теории упругости рассматриваются кручение и изгиб элементарного объема. Таким образом, в теории упругости используется более общая форма закона сохранения. Расчетам турбулентных течений как и их моделям посвящено много работ [9, 10]. Здесь прослеживаются некоторые эффекты, которые нет возможности получить в рамках традиционных постановок задач. Рассмотрим пограничный слой при поступательном движении цилиндра со скоростью на внешней границе (Ц"е = с'/") с учетом вклада моментных слагаемых. Эта задача содержит в себе как частный случай решение для пластины с однородным внешним потоком и интересно как пример ускоренного (т>0) или замедленного (т <0) движения во внешнем потоке.

С с Л2„Л

Эи Эи ТТ Эи и— + V— = ие—' Эх Эу е Эх

Эи Эv Э Эv л — + — +—у— = 0 Эх Эу Эу Эу

е

Эу

Эи

т—

Эу,

э

+—

V-

Э2и

эу I эУ

с граничными условиями п п +и

и = 0, V = 0, ~ —

ду

и= и,

= 4=

У = 0;

У

т,

х > 0; и = ие, х = 0, ие = ах

а = сопбЬ, т = сопбЬ.

Возмущение на границе задавалось в виде: Ди= £ — при у ^ т. £ выбиралось малым. Вихревое значение бралось с

предыдущего слоя или задавалось постоянным. Приведены результаты расчетов с £ = 0,001. По вертикальной оси отложены на рис. 1 значения безразмерной продольной скорости при Т" = 0,5, т = 0 по горизонтальной оси - безразмерные значения координаты. Нормировка на значения основной скорости.

Профиль горизонтальной составляющей скорости, т = 0, х = 0.5

вертикальная координата

Рис. 1. Значения безразмерной продольной скорости с

),001

Э

2

На рис. 2, 3 - значения вертикальной скорости при = 0,5, т=0 и при = 0,5, т=0,5. На рис. 4 - профиль вертикальной скорости при = 0,5, т = -0,07. На рис. 5 представлена полосчатая структура линий тока.

Профиль ■•ртмшкжой с ос I-валяющ* и с порос г* т - 0 , - О 5

Т-1-1-1-1-1-1-1-г

(«I_I_I_I_I_■_I_I_■_I_

о э 4 в в ним 11 п :

КМрдДО'П«

Рис. 2. Значения вертикальной скорости при тш = 0,5, т=0

Профиль вертикальной составляющей скорости, т = 0.5, = 0.5

Рис. 3. Значения вертикальной скорости при т№ = 0,5, т=0,5

Профиль вертикальной составляющей скорости, т = -0.07, = 0.5

^ ' _|_х_I_X_X_X—

Рис. 5. Полосчатая структура линий тока

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе предлагается уточнение уравнений сплошной среды и уравнения Больцмана с учетом дисперсии и запаздывания. Анализируется возможность описания дискретных сред в рамках механики сплошной среды. Устанавливается роль дисперсии и запаздывания в физико-химических процессах релаксационного типа. Приводятся результаты численного решения модифицированной задачи Фолкнера-Скан при сложных внешних граничных условиях. Доказана возможность существования полосчатых структур внутри пограничного слоя, что может оказаться существенным для управления химическими реакциями на поверхности твердого тела.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Прозорова Э.В. О моделях механики сплошной среды // Международный научный журнал "Проблемы нелинейного анализа в инженерных системах". Казань i КАИ, 2013. Вып. 1(39), т. 19. С. 31-44.

2. Прозорова Э.В. Влияние дисперсии в неравновесных задачах механики сплошной среды // Электронный журнал "Физико-химическая кинетика в газовой динамике. М. i МГУ, 2012. Т. 13.

URL: httpi//www.chemphys.edu.ru/pdf/2012-10-30-001 .pdf (дата обращения 08.12.2014).

3. Коган М.Н. Динамика разреженного газа. М. i Наука, 1967. 440 с.

4. Елизарова Т.Г. Квазигазодинамические уравнения и методы расчета. М. i Научный Мир, 2007. 352 с.

5. Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. М. i Наука, 1971. 414 с.

6. Прозорова Э. В. Математическое моделирование процессов механики с большими градиентами. СПб. i СПбГУ, 2005. 339 с.

7. Joung Ho Lee and Hyung Jin Sung. Structures in Turbulent layers subjected to adverse pressure gradients // J. Fluid Mech. 2009. V. 639. Р. 101-139.

8. Липанов А.М., Кисаров Ю.Ф., Ключников И.Г. Численный эксперимент в классической гидромеханике турбулентных потоков. Екатеринбург i УрО РАН, 2001. 162 с.

9. Волков К.Н., Емельянов В.Н. Течения газа с частицами. М. i Физматлит, 2008. 600 с.

10. Вигнер Е. Этюды о симметрии. М. i Мир, 1971. 318 с.

11. Ферми Э. Квантовая механика. М. i Мир, 1968. 367 с.

12. Lazic I. Atomic scale simulation of oxide and metal film growth i Doctoral Thesis, Delft University of Technology, 2009. 125 p.

INFLUENCE OF THE DISPERSION AND DELAY IN MECHANICS FOR GREAT GRADIENTS OF PARAMETERS

Galaev O.Y., Kononenko V.A., Prozorova E.V. Saint-Peterburg State University, Peterhof, St. Petersburg, Russia

SUMMARY. The possibility for the writing of nonequilibrium processes in gas, liquid or solid at great gradients is considered. It is numerically investigated the influence of the small perturbations of vertical velocity on profile of longitudinal velocity for the Falkner-Skan modified equation if variation of angular moment is considered.

KEYWORDS: angular momentum conservation laws, conservation law, unbalanced stress tensor, boundary layer.

Галаев Олег Юрьевич, студент СПбГУ Кононенко Василий Александрович, аспирант СПбГУ

Прозорова Эвелина Владимировна, доктор физико-математических наук, профессор, Математико-механический факультет СПбГУ, e-mail: e.prozorova@spbu.ru