Влияние давления на упругие константы и связанные с ними свойства редкоземельного интерметаллида TbNiAl Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Влияние давления на упругие константы и связанные с ними свойства редкоземельного интерметаллида TbNiAl

S. Rai, A.K. Prajapati, P.K. Yadawa

Научно-исследовательский институт физических наук Раджу Бхайя, Университет Вира Бахадура Сингха Пурванчала, Джаунпур, 222003, Индия

Исследовано влияние давления на ультразвуковые и упругие свойства тройного редкоземельного интерметаллида TbNiAl с помощью модели потенциала Леннарда-Джонса. Эта модель позволяет рассчитать упругие константы второго и третьего порядка исследуемого материала. При изучении зависимости упругих констант высшего порядка от давления было обнаружено, что константы упругости интерметаллида TbNiAl монотонно возрастают с ростом давления. Соединение TbNiAl, обладающее гексагональной структурой, сохраняет механическую стабильность при нагружении до 20 ГПа в соответствии с критерием Бор-на. Упругие параметры, такие как модуль Юнга, модуль объемного сжатия, коэффициент Пуассона и модуль сдвига, рассчитаны с помощью модели Фойгта-Ройсса-Хилла в диапазоне давлений 0-45 ГПа. Также определяли твердость, температуру плавления и анизотропию интерметаллида TbNiAl. Оценивали влияние давления на скорость и затухание ультразвуковых волн в исследуемом тройном интерметаллиде. На основе полученных данных находили температуру Дебая и теплопроводность K^ при различном давлении. Обнаружена значительная анизотропия свойств TbNiAl при нулевом давлении, которая усиливается при увеличении давления. При более высоком давлении поведение тройного интерметаллида приближается к поведению интерметаллидов без примесей. Кроме того, его пластичность выше, что подтверждается минимальным затуханием.

Ключевые слова: анизотропия, упругие свойства, редкоземельный интерметаллид, теплопроводность, ультразвуковые свойства

DOI 10.55652/1683-805X_2023_26_3_18

Effect of pressure on elastic constants and related properties of rare-earth intermetallic compound TbNiAl

S. Rai, A.K. Prajapati, and P.K. Yadawa

Department of Physics, Rajju Bhaiya Institute of Physical Sciences for Study and Research, Veer Bahadur Singh Purvanchal University, Jaunpur, 222003, India

The Lennard-Jones potential approach is used to investigate the effect of pressure on the ultrasonic and elastic properties of the rare-earth ternary TbNiAl intermetallic compound. The second- and third-order elastic constants of TbNiAl are considered using the potential model. The pressure-dependent higher-order elastic constants are studied, and it is observed that the elastic constants of the TbNiAl compound increased monotonously with pressure. The hexagonal TbNiAl compound is mechanically stable up to the pressure 20 GPa according to the Born elastic stability criteria. The Voigt-Reuss-Hill approach is used to compute such elastic parameters as Young's modulus, bulk modulus, Poisson's ratio, and shear modulus in the pressure range 0-45 GPa. Hardness, melting temperature, and anisotropy are also determined for the intermetallic TbNiAl compound. The pressure-dependent velocities and attenuation of ultrasonic waves in this ternary compound are evaluated. The computation results are also satisfactory in estimating the Debye temperature and thermal conductivity Kmin under different pressure. It is observed that TbNiAl has a significant anisotropy at zero pressure, which becomes stronger as the pressure increased. This ternary compound behaves as its purest form at higher pressure and is more ductile, which is demonstrated by the minimum attenuation.

Keywords: anisotropy, elastic properties, rare-earth intermetallic compound, thermal conductivity, ultrasonic properties

© Rai S., Prajapati A.K., Yadawa P.K., 2023

1. Введение

В последнее время растет интерес к изучению механизмов магнитного взаимодействия атомов редкоземельных металлов и сплавов. Принято считать, что формфактор не оказывает существенного влияния на магнитные явления в этих материалах и что они обусловлены косвенным обменным взаимодействием через электроны проводимости. В этом случае магнитное взаимодействие в редкоземельных соединениях должно быть чувствительным к количеству электронов проводимости. Простейшая кристаллическая структура, в которой количество электронов проводимости может меняться, — CsCl. Такая структура была найдена Cable и др. [1] во многих RX соединениях с редкоземельными элементами. Для некоторых из этих соединений проводили нейтроно-графические исследования для установления типа магнитного порядка и связи с количеством валентных электронов. Соединение TbNiAl относится к семейству редкоземельных интерметалли-дов, которые кристаллизуются в гексагональной структуре ZrNiAl.

При температуре ниже TN=45 K интерметал-лид TbNiAl обладает антиферромагнитными свойствами, а при T1 = 23 K претерпевает второй магнитный фазовый переход. Нейтронографические исследования показали, что магнитный порядок во всех магнитных фазах TbNiAl определяется вектором распространения, при этом магнитные моменты Tb направлены вдоль гексагональной оси с [2, 3]. Геометрическое ограничение, возникающее при тригональной ориентации атомов Tb в базисных плоскостях, уменьшает их магнитные моменты в 3 раза при температуре между TN и T1. При температуре ниже T1 присутствует незначительное магнитное возмущение, а при 2 K все моменты атомов Tb [4] ориентированы в одном направлении. Небольшое (0.377 при 2K) магнитное поле вдоль оси с [5-7] или другое воздействие могут легко нарушить антиферромагнитный порядок в системах TbNi(Al, In), что приведет к возникновению коллинеарной ферромагнитной структуры [8].

Со структурной точки зрения интересно резкое изменение параметров решетки а и с при приближении к критическим значениям с/а « 0.5650.575 в зависимости от температуры, давления и состава. Эти значения c/a обычно не реализуются, потому что кристаллическая структура с отношением c/a из области запрещенных значений энергетически менее выгодна. Применение гидроста-

тического давления как эффективного инструмента непосредственного воздействия на межатомные расстояния в веществе задает новое направление исследований [9, 10]. Говоря о роли редкоземельных металлов в производстве и промышленном применении мишметаллов, нельзя не упомянуть об их особых механических свойствах, которые позволяют сохранять целостность конструкций высотных зданий. Благодаря хорошей спекаемости, мишметаллы и их сплавы используют для изготовления оружия и боеприпасов. Современное применение редкоземельных интерме-таллидов включает использование в производстве топлива для гетерогенных катализаторов, в высокомощных микроволновых устройствах, высокоэффективных легких электродвигателях, различных медицинских датчиках, энергосберегающих устройствах. Редкоземельные соединения используют для создания новых источников энергии, а также газификации и сжижения угля [11, 12].

Важной физической характеристикой редкоземельных интерметаллидов является затухание ультразвуковых волн, которое используют для оценки анизотропного поведения соседних атомных плоскостей. Такие физические характеристики, как плотность тепловой энергии, удельная теплоемкость и теплопроводность, определяются упругими константами высшего порядка.

Для лучшего понимания поведения тройного интерметаллида ТЬ№А1 выполнены модельные расчеты ультразвуковых, упругих и теплофизиче-ских характеристик с использованием потенциала взаимодействия при давлении 0-45 ГПа. Впервые определены характеристики упругости и механической стабильности тройного соединения ТЬ№А1 при высоком давлении. Выполнены расчеты значений коэффициента затухания ультразвука, константы упругой жесткости, акустической постоянной, времени тепловой релаксации и скорости ультразвука. Рассчитаны и проанализированы значения модуля Юнга У, модуля объемного сжатия В, модуля сдвига О, их соотношения В/О и коэффициента Пуассона тройного интерметалли-да ТЬ№А1. Полученные данные могут послужить теоретической основой для будущих исследований редкоземельных соединений.

2. Теория

Существует множество подходов к расчету упругих констант высшего порядка гексагональных материалов. В данной работе упругие константы

второго и третьего порядков определены с помощью модели потенциала взаимодействия Леннар-да-Джонса.

Обычно упругие константы п-го порядка выражают через частные производные термодинамического потенциала среды в конечных деформациях [13, 14]:

д п¥

Р , (1)

C

ijklmn..

^Мы дП„

где ^ — плотность свободной энергии; пу — компоненты лагранжевого тензора деформации. Плотность свободной энергии ^ можно выразить через деформацию п с помощью разложения в ряд Тейлора:

( ^ Л

да да 1

F = X Fn = X 1

n=0 n=0 n !

д nF

^Мы дП„

Пу Пй nmn... (2)

При этом для плотности свободной энергии запишем

F2 + F3 = 2 Cijklnijnkl + "3! Cijklmnnijnklnmn. (3)

Для интерметаллидов с гексагональной структурой в декартовой системе координат векторами базиса являются

a = a(V3/2,1/2, 0), a2 = a(0,1, 0), a3 = a(0, 0, c),

где a и c — параметры элементарной ячейки. Элементарная ячейка ГПУ-структуры исследуемого интерметаллида состоит из 6 атомов в базальной плоскости, 3 атомов снизу и 3 атомов сверху базальной плоскости. Следовательно, в окрестности первого и второго порядка находятся по 6 атомов, где r = a(0, 0, 0) и r2 = (a/(2>/3), a/2, c/2) — векторы, описывающие эти два положения атомов.

Для потенциальной энергии элементарной ячейки до атомов, следующих за ближайшими соседями, запишем

U2 + U3 = 1U(r ) + X U(rj ),

i=i j=1

(4)

где индекс I относится к атомам базисной плоскости, а индекс J — к атомам выше и ниже базисной плоскости. При равномерной деформации кристалла межатомные векторы в недеформиро-ванном (г) и деформированном состояниях (г') находятся в соотношении

(г')2 + г2 = 28,8 у Чу. = 29,

(5)

где 8, и 8. — составляющие вектора г в декартовой системе координат. Плотность энергии и можно записать с помощью 0 [15, 16]:

Un = ^ X-1 en Dn ф(г ).

2Vc n !

(6a)

Используя уравнения (4), (6), плотность энергии и можно выразить кубическим уравнением

J_

= 2V 1

"2VC

U2 + U3

X2 e?D^(ri )+X2 ej D2ф(rJ ) i=i2! j=i2!

X3r e3 D3Ф(rI )+X3 ej D3ф(rJ )

i=i3! j=i3!

(6b)

где У0 = >/3/2 а2 с — объем элементарной ячейки; Б = Л-1d/dЛ; ф(г) — потенциал взаимодействия. Плотность энергии является функцией потенциала Леннарда-Джонса, которая определяется как

/ Ч a0 b0 ф( r) = —!L+—,

' m n 7

(7)

V" г"

где а о, Ь0 — константы; т, п — целые числа; г — межатомное расстояние. Модель потенциала взаимодействия позволяет получить шесть упругих постоянных второго порядка и десять упругих постоянных третьего порядка для соединений с гексагональной структурой [13, 14]: Сп = 24.1 р4С', С12 = 5.918р4С',

С13 = 1.925р 6 С', С33 = 3.464р8С',

С44 = 2.309р4С', С66 = 9.851р4С',

С111 = 126.9 р 2 В + 8.853р 4С',

С112 = 19.168р2В -1.61 р4С',

С113 = 1.924р 4 В +1.155 р6С', (8)

С123 = 1.617р4В -1.155р6С',

С133 = 3.695 р6В, С155 = 1.539р4В,

С144 = 2.309р4В, С344 = 3.464р6В,

С222 = 101.039р 2 В + 9.007р 4С',

С333 = 5.196 р8В,

где р = с/а — осевое отношение; С' = ха/р5; В = уа3/р3; х = 1/8{[пЬ0(п - т)]/ап+4}; у = -х[6а2(т + п + 6)]-1; т, п — целые числа; Ь0 — параметр Леннар-да-Джонса.

Значения модулей объемного сжатия и сдвига рассчитывали с помощью методов Фойгта и Ройсса [17, 18]. Для этого находили постоянное напряжение и деформацию. Средние значения, полученные с помощью этих методов, использовали для вычисления модулей В и О по методу Хилла [19]. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона определяли с использованием полученных

значений модулей объемного сжатия и сдвига [20, 21]. Для оценки У, В, О, о использовали следующие выражения [22]:

M _ C11 + C

-12

"2C33 4C13,

C _ (C11 + C12)C33 4C13 + C13,

B _ C2 fí _ 2(Cn + C12) + 4C13 + C33

br _ M, Bv _-9-

Gv _

Gr _

M + 12(C44 + C66) 30 5C2C C

44 66

(9)

2[3 BVC44C6

9GB

+ C 2(C44 + C66)]

Y _-

G + 3B:

в _ ^

B

R

B _ ^V.

gr

2 ' 3B - 2G

2(3В + О)

Анизотропные механические свойства нано-структурных материалов хорошо коррелируют со скоростью ультразвука, поскольку скорость ультразвуковых волн определяется в основном упругими постоянными второго порядка и плотностью. В зависимости от режима колебаний возможны три типа скорости ультразвука в гексагональном наноструктурном соединении: скорость продольных волн Vъ и две скорости поперечных волн VS1, Ультразвуковые скорости относительно оси г для гексагонального наноструктур-ного соединения задаются следующей системой уравнений:

VL2 _ {C33 cos2 0 + C11sin2 0-+ [(C11 sin2 0- C33 cos2 0 + C44(cos2 0- sin2 0))2

C

44

■ 4cos2 0 sin2 0(C13 + C44)2]12^(2p),

V

S1 _ {C33 cos 0 + C11 sin 0 -- [(C11 sin2 0 - C33 cos2 0

C

44

(10)

+ C44(cos2 0- sin2 0))2

+ 4cos2 0 sin2 0(C13 + C44)2]12^(2p),

Vs2 _ (C44 cos2 0 + C66 sin2 0)/p,

где VL, VSi, VS2 — скорости продольной, квазипоперечной и поперечной волн; р — плотность соединения; 0 — угол относительно оси кристалла. Для гексагонального наноструктурного кристалла средняя скорость Дебая задается уравнением [23, 24]

Vd _

1 1

1

vl vs31 vs3

-1/3

, (11)

VL VS1 V S2

Для определения температуры Дебая TD используем выражение [25]

^(6Л\)1/3

Td _-

Kb

Теплопроводность вещества km формуле [22]

(12)

рассчитывали по

k _ AM-

TD53

у2Tn2!3 •

Константу A запишем через число Грюнайзена:

(13)

A _-

2.43 -10-

(14)

1 - 0.514/ у +0.228/ у2' Обнаружена корреляция значений Си, С33 с температурой плавления Тт гексагонального соединения [26]. Температуру плавления Тт рассчитывали по формуле

Tm _354-

4.5(2Cn + C33) 3

При низких температурах электрон-фононное взаимодействие является доминирующим механизмом затухания ультразвуковых волн. При низкой температуре длина свободного пробега электронов аналогична длине свободного пробега акустических фононов, что повышает вероятность возникновения связи между свободными электронами и акустическими фононами [27]. Математическое выражение затухания ультразвука для продольных аъ и поперечных волн аэ, вызванного потерями энергии за счет электрон-фононного взаимодействия, имеет вид [15, 28]:

ат _

2гс2/2

pv3

4

_'Пе

3 е

х

2 г2

а _

2гс2/ pVs3

"Пе

(15)

(16)

где р — плотность наноструктурного соединения; / — частота ультразвуковой волны; Пе — электронная вязкость; х — вязкость при сжатии (в данном случае равна нулю); V-L, VS — скорости продольных и поперечных акустических волн соответственно:

VL =А Ь ^ = (17)

V р V р

Вязкость электронного газа пе [23, 24] определяется выражением

8

Ле

9 -1011 h 2(3л2 N )2/3 5е 2 R

(18)

где N — число молекул на единицу объема; Я — удельное сопротивление.

При более высокой температуре преобладающими механизмами затухания ультразвуковой волны являются фонон-фононное взаимодействие (потери Ахиезера) и термоупругие потери. Затухание, вызванное потерями Ахиезера, выразим уравнением

_ 4л2тЕ0(Б/3)

с \ а

f2

(19)

УАкК 2Р^ Здесь / — частота ультразвуковой волны; Е0 — плотность тепловой энергии. Мерой преобразования акустической энергии в тепловую считается акустическая постоянная Б, которая задается выражением

3(3 Е0 <( у / )2 >-<у />2 СУТ)

D =

E0

(20)

где CV — удельная теплоемкость на единицу объема материала; Т — температура; у/ — параметр Грюнайзена; /, / — режим и направление распространения волны. При прохождении ультразвуковых волн через материал равномерное распределение решеточных фононов нарушается. Время, необходимое для восстановления равновесия тепловых фононов, называется временем тепловой релаксации т и определяется выражением [16, 29]

тт 3к (21)

2

CvVD

где тъ, т8 — время тепловой релаксации для продольной и поперечной волн соответственно; к —

Таблица 1. Параметр базисной плоскости а, осевое отношение р и плотность р интерметаллида ТЬ№А1 при разном давлении

P, ГПа a, нм Р Плотность, г/см3

0 0.7000 0.554 4.904

5 0.6923 0.553 5.063

10 0.6890 0.550 5.179

15 0.6846 0.546 5.316

20 0.6833 0.540 5.409

25 0.6778 0.539 5.540

30 0.6756 0.535 5.640

35 0.6690 0.534 5.810

40 0.6668 0.532 5.907

45 0.6611 0.532 6.057

теплопроводность наноструктурного соединения. Термоупругие потери (af2)th учитываются с помощью следующего уравнения:

f \ а

f2

= 4^2 <у j >

j\2.

kT

Ah

2pVl

Для общего затухания запишем

г \ а

f2

г \ а

S tot

f2

+

f \ а

Zth

f2

+

Jl

а

f2

(22)

(23)

/s

где (а// V — термоупругие потери; (а// )ъ, (а/2^ — коэффициенты затухания ультразвука для продольной и поперечной волн соответственно.

3. Обсуждение результатов

3.1. Упругие константы высшего порядка

В данной работе упругие константы (шесть констант второго порядка и десять констант третьего порядка) рассчитаны с помощью модели потенциала взаимодействия. Значения параметров решетки а (параметр базисной плоскости) и р (осевое отношение), а также плотности р изучаемого соединения приведены в табл. 1 при разных значениях давления [30]. Величина Ь0 принимается равной 3.93 • 10-61 эрг • см7.

Графическое представление рассчитанных значений упругих констант второго и третьего порядков приведено на рис. 1 и 2.

Интерметаллид ТЬ№А1 имеет самые высокие значения упругих постоянных, которые связаны с параметром жесткости. Кривые на рис. 1 показывают, что упругие константы второго порядка увеличиваются с давлением. Упругие константы третьего порядка принимают отрицательные значения, которые также увеличиваются с ростом давления, как видно из рис. 2. Через упругие кон-

Рис. 1. Зависимость упругих постоянных второго порядка интерметаллида ТЬ№А1 от давления (цветной в онлайн-версии)

Рис. 2. Зависимость упругих постоянных третьего порядка интерметаллида TbNiAl от давления (цветной в онлайн-версии)

станты второго порядка вычисляют затухание ультразвуковых волн и связанные с ним свойства. Высокие значения констант упругости интерметаллида TbNiAl указывают на улучшенные механические свойства по сравнению с другими соединениями.

Для гексагонального соединения с затуханием (19) должно выполняться правило устойчивости Борна-Хуанга [31] (рис. 3):

C44 > 0, CÎ1 - |C12 > 0,

(C1i + Ci2)C33 - 2C132 > 0,

(24)

где

C ij Cij P

(P = 1, 3, 5), C'12 = C12+P, C13 = C13 + P. Поскольку значения указанных упругих констант положительны, интерметаллид TbNiAl удовлетворяет условиям механической устойчивости Борна-Хуанга, что свидетельствует о повышении его механической устойчивости в заданном диапазоне давлений.

Изменение значений C44 - P интерметаллида TbNiAl в зависимости от давления показано на

Рис. 4. Зависимость С44 - P интерметаллида TbNiAl от давления

рис. 4. Упругая постоянная С'44 уменьшается в рассматриваемом диапазоне давлений. При давлении выше 20 ГПа критерий С'44 > 0 не выполняется, что свидетельствует о потере механической устойчивости TbNiAl. Отсутствие экспериментальных/теоретических данных для упругих постоянных второго и третьего порядков не позволяет сравнить полученные результаты. Однако значение, полученное для модуля объемного сжатия интерметаллида TbNiAl (153.09 ГПа), практически совпадает со значением, рассчитанным Ha-vela и др. (153 ГПа) [30]. Это позволяет считать упругие постоянные высшего порядка, полученные в данной работе, вполне обоснованными. Кривые на рис. 1 и 2 свидетельствуют о том, что значения упругих постоянных второго и третьего порядков по модулю увеличиваются с ростом давления. Как видно из рис. 2, упругие константы третьего порядка принимают отрицательные значения, что указывает на напряженное состояние твердого тела.

Значения констант Фойгта и Ройсса (M и С2), B (ГПа), G (ГПа), Y (ГПа) для редкоземельного

5-М—i-1-1-1-1-1-1-10 10 20 30 40

Давление, ГПа

Рис. 3. Зависимость M, C2, BR, BV, GV, GR, Y интерметаллида TbNiAl от давления (цветной в онлайн-вер-сии)

40

o-i-1-1-

0 15 30 45

Давление, ГПа

Рис. 5. Зависимость твердости HV, температуры плавления Tm интерметаллида TbNiAl от давления (цветной в онлайн-версии)

Таблица 2. Универсальный показатель анизотропии Au, анизотропия в процентах AG, AB, показатели анизотропии поперечных волн A1, A2, A3 и коэффициент Пуассона о интерметаллида TbNiAl при различном давлении

Давление, ГПа Au AB Ag Ai A2 A3 g

0 50.98 0.90 0.76 0.12 0.12 2.07 0.19

i5 55.36 0.91 0.77 0.11 0.11 2.08 0.19

30 57.98 0.91 0.78 0.11 0.11 1.30 0.19

45 59.49 0.91 0.78 0.11 0.11 1.30 0.19

интерметаллида TbNiAl при различном давлении рассчитаны по формулам (9) и представлены в виде графиков на рис. 3.

Механические свойства, такие как твердость, хрупкость, сжимаемость, ударная вязкость, пластичность и сцепление, оценивают с помощью упругих постоянных второго порядка. Для разработанных материалов оценивают температуру плавления, которая является важным параметром тройных соединений. В данной работе исследовано изменение температуры плавления Tm интерметаллида TbNiAl в зависимости от давления. Полученные значения представлены на рис. 5, из которого видно, что с ростом давления температура плавления увеличивается. Для описания анизотропии упругих свойств используют универсальный показатель анизотропии Au, анизотропию в процентах AB, AG и показатели анизотропии поперечных волн A1, A2, A3, значения которых приведены в табл. 2 [32, 33].

Согласно табл. 2 в рассматриваемом диапазоне давления процент анизотропии AB больше, чем Ag, что указывает на то, что модуль сдвига более ориентирован, чем модуль объемного сжатия. В табл. 2 также показаны значения показателей анизотропии поперечных волн A1, A2, A3 для различных значений давления. Материал является изотропным, если A1 = A2 = A3 = 1, в противном случае кристаллическая структура анизотропна. Соглас-

1

+ Су{1)

+ Ео(2)

2

Давление, ГПа

Рис. 6. Зависимость E0 и CV интерметаллида TbNiAl от давления (цветной в онлайн-версии)

но табличным данным мы имеем дело с анизотропным кристаллом. В работах Ranganathan и др. [34] и Panda и др. [35] высокая анизотропия монокристалла определяется отклонением универсального показателя анизотропии Ли от нуля при различном давлении.

3.2. Ультразвуковая скорость и связанные с ней параметры

В данной работе изотропные механические свойства материала с гексагональной структурой определяются скоростью ультразвука. Рассчитывали скорости ультразвука VL, VS, VD в интерме-таллиде TbNiAl при различных значениях давления. С использованием физической константы рассчитывали CV и плотность тепловой энергии E0 (рис. 6). В табл. 3 приведены значения акустических постоянных Dl, Ds и минимальной теплопроводности kmin при различном давлении.

Согласно табл. 3 значения DL интерметаллида TbNiAl больше, чем DS в рассматриваемом диапазоне давления. Это означает, что в тепловую энергию преобразуется больше энергии поперечных ультразвуковых волн, чем энергии продольных ультразвуковых волн.

На рис. 7-10 показано изменение скоростей ультразвуковых волн в зависимости от угла их распространения 9 относительно оси z кристалла. Скорости VL и VS2 в интерметаллиде TbNiAl увеличиваются с ростом угла при всех значениях давления (рис. 7 и 9 соответственно), а скорость

Таблица 3. Теплопроводность kmin и акустическая постоянная DL, DS интерметаллида TbNiAl при различном давлении

Давление, ГПа DL Ds k, эрг/(см • с • K)

0 52.41 3.641 0.1453

15 59.82 4.590 0.1662

30 73.86 6.580 0.1773

45 80.11 7.510 0.2056

Рис. 7. Зависимость ^ интерметаллида ТЬ№А1 от 9 Рис. 10 Зависимость интерметаллида ТЪМАЛ от 9

(цветной в онлайн-версии) (цветной в онлайн-версии)

2.2

1.4

1.0

-•- 0 ГПа (7) 4^

—■— 15 ГПа (2)

30 ГПа (5)

45 ГПа (4) у

............................Ф.......7

0е

20е

40е

60е

80° 0

Рис. 8. Зависимость интерметаллида ТЬ№А1 от 9 (цветной в онлайн-версии)

10

6-

4-

0

♦ 0 ГПа (7) ■ 15 ГПа (2) -^30 ГПа (5) 45 ГПа (4) 4 . 3 -. 7

0е

20е

40е

60е

80° 0

Рис. 9. Зависимость интерметаллида ТЬ№А1 от 9 (цветной в онлайн-версии)

Рз1 имеет минимум при угле 15° и достигает максимума при угле 90° (рис. 8). При учете упругих постоянных второго порядка и плотности возникает нерегулярная зависимость скорости ультра-

звуковой волны от ее направления. Полученные кривые аналогичны кривым скорости от направления для других гексагональных интерметаллических материалов [36, 37]. Таким образом, зависимость свойств интерметаллического тройного соединения с гексагональной структурой от угла распространения ультразвуковых волн вполне обоснована.

На рис. 10 показано изменение средней скорости Дебая в зависимости от угла 9 относительно оси г кристалла. Скорость в интерметалли-де ТЬ№А1 увеличивается с ростом угла и достигает максимума при 9 = 90°, поскольку рассчитывается с помощью РЪ, Рзь [38, 39]. Соответственно, скорости ультразвуковых волн влияют на среднюю скорость Дебая. Значительное увеличение скоростей ультразвуковых волн приводит к максимальному значению при 90°. Ультразвуковая волна, распространяющаяся под углом 90° к оси г кристалла, имеет максимальную среднюю скорость.

График рассчитанных значений времени тепловой релаксации в зависимости от направления ультразвуковых волн показан на рис. 11. На кривых видно обратное поведение тх3к/(СуР^) по сравнению с РЪ. Очевидно, на время тепловой релаксации интерметаллидов ТЬ№А1 влияет к. Время тепловой релаксации соединения с гексагональной структурой находится в пикосекундном диапазоне [38, 39]. Наименьшее время релаксации при распространении волны под углом 90° указывает на наименьшее время восстановления равномерного распределения тепловых фононов за счет фонон-фононного взаимодействия и тепловой релаксации.

S 3

5 2'

2 1

m

о

♦ 0 ГПа (У)

- 15 ГПа (2)

-^30 ГПа (3)

45 ГПа (4)

1

п .

з ïï^

4

i i i i i i i i

oc

20e

40e

60e

80° e

Рис. 11. Время релаксации в зависимости от 0 относительно оси z интерметаллида TbNiAl (цветной в он-лайн-версии)

3.3. Ультразвуковое затухание в результате фонон-фононного взаимодействия и тепловой релаксации

При расчете затухания ультразвуковых волн предполагается, что волна распространяется вдоль оси 2 интерметаллида ТЬ№А1. С помощью уравнений (15), (16) рассчитан коэффициент затухания, деленный на квадрат частоты (а//2)^ для продольной (а//2)ь и поперечной волн (а//2^ при условии ют << 1 для различных значений давления. Термоупругие потери (а//2)^ рассчитаны с помощью уравнения (22) [24, 29]. На рис. 12, 13 представлены значения затухания продольных и поперечных волн, а также полное затухание в тройном интерметаллиде ТЬ№А1 в зависимости от давления.

Очевидно, что потери энергии по Ахиезеру (а//2)^ пропорциональны Д Е0, т, V-3 (уравнения (15), (16)). На рис. 6 показано, что Е0 и V увеличиваются с давлением. Следовательно, потери по Ахиезеру в редкоземельном интерметаллиде ТЬ№А1 преимущественно зависят от Е0 и к.

Рис. 12. Зависимости (af2)L, (af2)S, (af2) tot интерметаллида TbNiAl от давления (цветной в онлайн-вер-сии)

Рис. 13. Зависимость (a/f )th интерметаллида TbNiAl от давления

Как следствие, при уменьшении теплопроводности затухание ультразвуковой волны усиливается. В результате именно фонон-фононное взаимодействие влияет на затухание ультразвуковой волны. В виду отсутствия литературных данных сравнение результатов для затухания ультразвуковой волны не может быть выполнено.

Рисунки 12 и 13 показывают, что термоупругие потери в интерметаллиде ТЬ№А1 существенно ниже, чем потери Ахиезера. Основным механизмом затухания продольных и поперечных ультразвуковых волн является фонон-фононное взаимодействие. Ключевыми факторами, влияющими на общее затухание, являются теплопроводность и плотность тепловой энергии. Таким образом, при более высоком давлении тройные интерметаллиды ТЬ№А1 ведут себя как интерме-таллиды без примесей. Кроме того, они более пластичны, о чем свидетельствует минимальное затухание. В результате интерметаллические соединения ТЬ№А1 имеют наименьшее количество примесей при атмосферном давлении.

4. Выводы

Упругие, механические и теплофизические свойства интерметаллида ТЬ№А1 исследованы с помощью модели потенциала Леннарда-Джонса в диапазоне давлений от 0 до 45 ГПа. На основе анализа полученных результатов можно сделать следующие выводы.

Предложенный метод теоретической оценки упругих постоянных высшего порядка применим к редкоземельным тройным интерметаллическим соединениям. Установлено, что с ростом давления упругие постоянные, скорости ультразвуковых волн, теплопроводность кт\П и время тепловой релаксации увеличиваются.

Редкоземельный интерметаллид TbNiAl имеет механическую устойчивость до 20 ГПа. Соотношение B/G указывает на то, что гексагональное соединение TbNiAl является пластичным как при атмосферном, так и при повышенном давлении и что пластичность тройного соединения увеличивается с увеличением давления.

Кроме того, интерметаллид TbNiAl характеризуется значительной анизотропией при 0 ГПа, которая усиливается по мере увеличения давления. Обнаружено, что давление влияет на температуру Дебая и температуру плавления. Твердость HV плавно увеличивается с ростом давления.

Время тепловой релаксации т для редкоземельных соединений TbNiAl находится в пикосе-кундном диапазоне, что повышает устойчивость их гексагональной структуры. Поскольку т имеет наименьшее значение при распространении ультразвуковых волн под углом 0 = 90° во всем диапазоне давления, время восстановления равномерного распределения фононов будет минимальным при распространении волны в этом направлении.

Полное затухание ультразвука происходит преимущественно благодаря фонон-фононному взаимодействию, которое определяет теплопроводность.

При более высоком давлении тройной интер-металлид TbNiAl ведет себя как интерметаллид без примесей. Кроме того, он имеет более высокую пластичность, что подтверждается минимальным затуханием ультразвуковых волн.

Результаты работы могут быть полезны для создания технологии обработки и неразрушаю-щих испытаний редкоземельных тройных интер-металлидов. Полученные данные могут служить теоретической основой для исследований тепло-физических особенностей различных редкоземельных интерметаллидов.

Работа выполнена в рамках гранта университета Вира Бахадура Сингха Пурванчала (133/ VBSPU/IQAC/2022, 23-03-2022, код 50) и научно-исследовательского гранта Департамента высшего образования штата Уттар-Прадеш, а также при финансовой поддержке Совета по научным и промышленным исследованиям и Комиссии по университетским грантам Индии (исследовательская стипендия 1500/CSIR-UGC NET, декабрь 2017).

Литература

1. Cable J.W., Koehlar W.C., Wollan E.O. Magnetic order

in rare-earth intermetallic compound // Phys. Rev. -

1964. - V. 136. - P. 240-242. - https://doi.org/10.1103/ PhysRev.136.A240

2. Javorsky P., Burlet P., Shekovsky P., Arons R.R., Res-souche E., Lapertot G. Neutron diffraction study of magnetic ordering in RNiAl compounds // Phys. B. Condens. Matter. - 1997. - V. 234. - P. 665-666. - https://doi.org/ 10.1016/S0921-4526(96)01080-0

3. Kitazawa H., Donni A., Keller L., Tang J., Fauth F., Ki-do G. Magnetic structures of the rare-earth platinum aluminides RPtAl (R = Ce, Pr, Nd) // J. Solid Chem. -1998. - V. 140. - P. 233-241. - https://doi.org/10.1006/ jssc.1998.7881

4. Soderberg O., Brown D., Aaltio I., Oksanen J., Syren J., Pulkkinen H., Hannula S.P. Microstructure and properties of Ni-Mn-Ga alloys produced by rapid solidification and pulsed electric current sintering // J. Alloys Compnd. -2011. - V. 509. - P. 5981-5987. - https://doi.org/10. 1016/j .j allcom.2011.02.16

5. KlicperaM., Javorsky P., Puente Orench I. Development of magnetic order in the TbNi(Al, In) series and magneto-crystalline anisotropy in TbTX compounds // Phys. Rev. B. - 2011. - V. 84. - P. 224414-8. - https://doi.org/10. 1103/PhysRevB.84.224414

6. Javorsky P., Prchal J., Klicpera M., Kastil J., MisekM. Pressure influence on magnetic properties of TbNiAl // Acta Phys. Polon. A. - 2014. - V. 126. - P. 280-281. -https://doi.org/10.12693/APhysPolA.126.280

7. Mao H.K., Bell P.M., Shaner J. W., Steinberg D.J. Specific volume measurements of Cu, Mo, Pd, and Ag and calibration of the ruby R1 fluorescence pressure gauge from 0.06 to 1 Mbar // J. Appl. Phys. - 1978. - V. 49. -P. 3276-3282. - https://doi.org/0021-8979/78/4906-3276 $01.10

8. Ishii Y., KosakaM., Uwatoko Y., AndreevA.V., Sechovsky V. Ferromagnetism induced in UCoAl under uniaxial pressure // Phys. B. Condens. Matter. - 2003. - V. 334. - P. 160166. - https://doi.org/10.1016/S0921-4526(03)00041-3

9. Prchal J., Javorsky P., Rusz J., de Boer F., Divis M., Kitazawa H., Donni A., Danis S., Sechovsky V. Structural discontinuity in the hexagonal RTAl compounds: Experiments and density-functional theory calculations // Phys. Rev. B. - 2008. - V. 77. - P. 134106. - https://doi.org/ 10.1103/PhysRevB.77.134106

10. Prchal J., Klicpera M., Dolezal P., Kastil J., Misek M., Javorsky P. Pressure effect on the isostructural transition in RNiAl compounds (R = Tb and Gd) // J. Phys. Conf. Ser. - 2014. - V. 500. - P. 032013. - https://doi.org/10. 1088/1742-6596/500/3/032013

11. Jha A.R. Applications of Rare Earth Intermetallic Compounds, Hydrides, and Ceramics. - New York: Taylor & Francis Group, 2014.

12. Singh N.K., Suresh K.G., Nirmala R., Nigam A.K., Malik S.K. Magnetic and magnetocaloric properties of the in-termetallic compound TbNiAl // J. Magnetism Magnetic Mater. - 2006. - V. 302(2). - P. 302-305. - https://doi. org/10.1016/j.jmmm.2005.09.023

13. Jaiswal A.K., Yadawa P.K., Yadav R.R. Ultrasonic wave propagation in ternary intermetallic CeCuGe compound // Ultrasonics. - 2018. - V. 89. - P. 22-25. - https://doi.org/ 10.1016/j.ultras.2018.04.009

14. Panday D.K., Yadawa P.K., Yadav R.R. Ultrasonic properties of hexagonal ZnS at nanoscale // Mater. Lett. -2007. - V. 61. - P. 5194-5198. - https://doi.org/10.1016/ j.matlet.2007.04.028

15. Yadawa P.K., Singh D., Panday D.K., Yadav R.R. Elastic and acoustic properties of heavy rare-earth metals // Open Acoustics J. - 2009. - V. 2. - P. 61-67. - https://doi.org/ 10.2174/1874837600902010061

16. Donald T.M., Glen A.S. High Lattice Thermal Conductivity Solids in High Thermal Conductivity of Materials. -Springer, 2006. - P. 37-43.

17. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik (Mitausschluss der Kristalloptik). - Leipzig-Berlin: B.G. Teubner, 1928.

18. Reuss A. Berechnung der Fließgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitätsbedingung für Einkristalle // ZAMM-J. Appl. Math. Mech. - 1929. - V. 9. - P. 49. -http://dx.doi.org/10.1002/zamm.19290090104

19. Hill R. The elastic behaviour of a crystalline aggregate // Proc. Phys. Soc. A. - 1952. - V. 65. - P. 349-354. -https://doi.org/10.1088/0370-1298/65/5Z307

20. Turkdal N., Deligoz E., Ozisik H., Ozisik H.V. First-principles studies of the structural, elastic, and lattice dynamical properties of ZrMo2 and HfMo2 // Phase Transit. -2017. - V. 90. - P. 1-12. - https://doi.org/10.1080/ 01411594.2016.1252979.

21. Weck P.F., Kim E., Tikare V., Mitchell J.F. Mechanical properties of zirconium alloys and zirconium hydrides predicted from density functional perturbation theory // Dalton Trans. - 2015. - V. 44. - P. 18769-18779. -https://doi.org/10.1039/C5DT03403E

22. Yadav N., Singh S.P., Maddheshiya A.K., Yadawa P.K., Yadav R.R. Mechanical and thermophysical properties of high-temperature IrJRe1-J alloys // Phase Transit. -2020. - V. 93. - P. 883-894. - https://doi.org/10.1080/ 01411554.20201813290

23. Singh D., Panday D.K., Yadawa P.K., Yadav A.K. Attenuation of ultrasonic waves in V, Nb and Ta at low temperatures // Cryogen. - 2009. - V. 49. - P. 12-16. -https://doi.org/10.1016/j.cryogenics.2008.08.008

24. Yadawa P.K. Computational study of ultrasonic parameters of hexagonal close-packed transition metals Fe, Co, and Ni // Arab. J. Sci. Eng. - 2012. - V. 37. - P. 255262. - https://doi.org/10.1007/s13369-011-0153-6

25. Pillai S.O. Solid State Physics: Crystal Physics. - New Age International Publisher, 2005. - P. 100-102.

26. Fine M.E., Brown L.D., Marcus H.L. Elastic constants versus melting temperature in metals // Scripta Metallurg. - 1984. - V. 18. - P. 951-956. - https://doi.org/10. 1016/0036-9748(84)90267-9

27. Panday D.K., Panday S. Ultrasonics: A Technique of Material Characterization. - Sciyo Croatia: Sciyo Publisher, 2010. - P. 397-430.

28. Yadawa P.K. Elastic and acoustic properties of hexagonal intermetallic ternary compound // J. Pure Appl. Ultrasonics. - 2018. - V. 40. - P. 16-21.

29. Rai S., Chaurasiya N., Yadawa P.K. Elastic, mechanical and thermophysical properties of single-phase quaternary ScTiZrHf high-entropy alloy // Phys. Chem. Solid State. - 2021. - V. 22. - P. 687-696. - https://doi.org/10. 15330/pcss.22.4.687-696

30. Havela L., Divis M., Sechovsky V., Andreev A.V., Honda F., Oomi G., Meresse F., Heathman S. U ternaries with ZrNiAl structure-lattice properties // J. Alloys Compnd. - 2001. - V. 322. - P. 7-13. - https://doi.org/ 10.1016/S0925-8388(01)01176-8

31. Zhang G., Zhao Y.X., Hao Y.J., Zhang L. Structural, elastic, electronic and thermodynamic properties of ZrB2 under high-pressure: First-principle study // World Sci. -

2018. - V. 32. - P. 1-15. - https://doi.org/10.1142/ S0217979218502004

32. Suetin T.V., Shien I.R. Electronic and mechanical properties, phase stability, and formation energies of point defects of niobium boronitride Nb2BN // Phys. Solid State. - 2017. - V. 59. - P. 1459-1469. - https://doi.org/ 10.1134/S1063783417080285

33. Guechi A., Merabet A., Chegaar M., Bouhemadou A., Guechi N. Pressure effect on the structural, elastic, electronic and optical properties of the Zintl phase KAsSn, first principles study // J. Alloys Compnds. - 2015. -V. 623. - P. 219-228. - https://doi.org/10.1016/j.jallcom. 2014.10.114

34. Ranganathan S.I., Ostoja-Starzewski M. Universal elastic anisotropy index // Phys. Rev. Lett. - 2008. - V. 101. -P. 1-4. - https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.101.055504

35. Panda K.B., Ravi Chandran K.S. Determination of elastic constants of titanium diboride (TiB2) from first principles using FLAPW implementation of the density functional theory // Comput. Mater. Sci. - 2006. - V. 35. - P. 134150. - https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.101.055504

36. Yadawa P.K. Ultrasonic characterization of ceramic material titanium diboride // Ceramics-Silikaty. - 2011. -V. 55. - P. 127-133.

37. Singh S.P., Singh G., Verma A.K., Yadawa P.K., Ya-dav R.R. Ultrasonic wave propagation in thermoelectric ZrX2 (X = S, Se) compounds // Pramana. J. Phys. -

2019. - V. 93. - P. 1-9. - https://doi.org/10.1007/s12043-019-1846-8

38. Yadawa P.K. Behaviour of ultrasonic velocities and elastic constants in Ag-Zn alloys // Adv. Mater. Lett. -2011. - V. 2. - P. 157-162. - https://doi.org/10.5185/ amlett.2010.12190

39. Yadawa P.K. Effect of temperature dependence ultrasonic velocities and attenuation of GaP nanowires // J. Theor. Appl. Phys. - 2016. - V. 10. - P. 1-7. - https://doi.org/ 10.1007/s40094-016-0216-x

Поступила в редакцию 05.07.2022 г., после доработки 26.08.2022 г., принята к публикации 01.09.2022 г.

Сведения об авторах

Sachin Rai, Senior Research Fellow, Researcher, Purvanchal University, India, drsrphyjrf@gmail.com

Aadesh Kumar Prajapati, Senior Research Fellow, Researcher, Purvanchal University, India, aadeshbhu83@gmail.com

Pramod Kumar Yadawa, Ph.D., Dr., Assoc. Prof., Founder Director, Purvanchal University, India, pkyadawa@gmail.com