Влияние давления на срезе гиперзвукового сопла на течение внутри сопла Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том VIII 1 977 №5

УДК 533.6.011.55

ВЛИЯНИЕ ДАВЛЕНИЯ НА СРЕЗЕ ГИПЕРЗВУКОВОГО СОПЛА НА ТЕЧЕНИЕ ВНУТРИ СОПЛА

Ю. Н. Ермак

Проведен расчет течения вязкого газа в гиперзвуковом плоском тонком сопле при наличии умеренного взаимодействия ламинарного пограничного слоя с невязким течением. Исследовано влияние давления на срезе сопла на течение внутри сопла.

В работе [1] при исследовании гиперзвукового обтекания плоской пластины вязким газом при наличии сильного и умеренного вязкого взаимодействия ламинарного пограничного слоя с невязким потоком было открыто явление передачи возмущений вверх по потоку на длину порядка длины самой пластины в случае „го-рячей“ стенки.

Таким образом, при обтекании плоской пластины при наличии сильного взаимодействия пограничного слоя с невязкой частью течения, кроме известного автомодельного решения [2], существует однопараметрическое семейство неавтомодельных решений. Это семейство решений включает решения с давлением более низким, чем в автомодельном решении и более высоким, которому соответствует интегральная кривая, приходящая в точку отрыва потока. Законы подобия для таких течений были подтверждены экспериментально [3].

Аэродинамические трубы являются важным средством аэродинамических исследований. Взаимодействие гиперзвукового пограничного слоя с невязким течением существенно влияет на течение в ядре потока гиперзвуковых сопл.

Зона дозвуковых скоростей пограничного слоя занимает достаточно большую часть поперечного сечения сопла. Так как возмущения давления могут распространяться вверх по дозвуковому течению, то течение в сопле может зависеть от изменения давления на его срезе. Для расчета течения в гиперзвуковых соплах были предложены методы последовательных приближений [4 — 6], применяющиеся при исследовании задач слабого и умеренного взаимодействия гиперзвукового пограничного слоя с невязким потоком. В этом случае значение давления на срезе сопла вычисляют, и, таким образом, не представляется возможным исследовать влияние давления на срезе на течение в сопле.

Дальнейшие шаги в исследовании течения в тонких гиперзву-ковых соплах, когда угол раскрытия сопла а—1/М2) где М2 — число М течения на срезе сопла, связаны с последовательным применением методов сращиваемых асимптотических разложений. В работах [7 — 9] предложена новая постановка задачи для расчета течения вязкого газа в тонких гиперзвуковых соплах, которая позволила изучить распространение возмущений вверх по потоку на режиме умеренного взаимодействия ламинарного пограничного слоя с невязкой частью течения.

Однако использование в работе [7] метода Польгаузена для описания течения в пограничном слое привело к завышению влияния давления на срезе на течение в сопле. Поэтому в работе [9] для исследования течения в пограничном слое на стенках плоского тонкого гиперзвукового сопла использовался конечно-разностный метод решения.

1. В соответствии с оценками работы [9] введем следующие переменные и асимптотические разложения для течения в невязком гиперзвуковом ядре потока тонкого плоского сопла:

Здесь г, 6 — цилиндрические координаты с началом в центре сверхзвукового источника, L — длина сопла, ит — максимальная скорость, Рса, Рос давление и плотность на срезе сопла, рассчитанные в соответствии с формулами для течения из сверхзвукового источника, [а0 — вязкость при температуре торможения.

После подстановки этих переменных в уравнения Навье — Стокса и выполнения предельного перехода /?0-»со; М2 оо (/?0 = «mZ.pco/t*0) можно получить следующие уравнения в малых возмущениях для невязкого гиперзвукового течения в плоском сопле:

Начальные условия для системы (1) в соответствии с работой '[9] определяются из условия сращивания с невязким течением в области умеренных чисел М:

Краевые условия для системы уравнений (1) получаются при сращивании асимптотических разложений для невязкого течения с асимптотическими разложениями для гиперзвукового пограничного слоя.

Для того чтобы удовлетворить условию прилипания на стенках сопла, в области течения вблизи стенки введем новые безразмерные переменные и асимптотические разложения [9]:

r = Lru 0 = 61/М2,

« = • • • , V=UjM2 (*>!+...),

Р = PvPt + ■ ■ ■ , Р = Poo Pi + • • • ,

Iа = Iа! + ■ • • •

д (Г\ Pi) , d(piPi) д г, 6 0!

(1)

Рі-*ГГХ> A/p?-»1, -*■ 0 при гх - 0.

(2)

S = Ls2, п = (1/М2) «2, и = ипщ + , v = ит/М2 (v2 + . . .),

Р=Роэ(р2 + ■ ■ ■), Р = (^оо/Мг) (р2 + • • •),

Н- = М^ + • • • ), *‘ = *'о(£2+ • • •)•

Здесь /0 — полная энтальпия газа, в, п — ортогональные координаты, связанные с поверхностью сопла и нормалью к ней. Если эти асимптотические разложения и независимые переменные подставить в систему уравнений Навье — Стокса, совершить предельный переход М2 -> оо, /?0 -* оо так, чтобы величина

д=м42//?0

оставалась ограниченной, то получим следующую систему уравнений, описывающую течение в гиперзвуковом пограничном слое на стенке плоского сопла:

^Г(Р2«2) + ^(Р2^2)--=0, ди^ диъ\ , ^ дрг_ _ . ( ди2

иЧ Лс. + ^2 , Лс. Д йп. ( ^2 /

(3)

| + д

ди\

Рг ("2 + дщ ) Д ( дп2 ( д%1 1 дп2

Здесь о — число Прандтля.

Параметр Д представляет собой аналог гиперзвукового параметра вязкого взаимодействия. Условие Д = 0(1) соответствует умеренному взаимодействию гиперзвукового пограничного слоя с невязким течением.

Граничные условия на поверхности сопла для системы уравнений (3) имеют обычный вид:

«2 (0, я.,) = V! (О, х2) = 0, g2 (О, 52) = gw. (4)

Внешние краевые условия для системы (3), а также краевые условия для системы (1), полученные в работе [9] путем сращивания асимптотических разложений для вязкой и невязкой областей течения, имеют вид:

й2 («2. «2 = 8)=1, /М«2)=М>‘1 = $2> е5). |

/ / о \ 4Ьь ( (5)

ъ2(32, n2 = Ъ) = V1(r1=S2, ЪЬ):=82-^ . |

Здесь 8 — толщина гиперзвукового пограничного слоя, бй — уравнение внешней границы гиперзвукового пограничного слоя.

Наконец, для условия для давления на срезе сопла будем иметь:

1, Я2 = 0)=/?21. (6)

Таким образом, гиперзвуковое течение вязкого газа в плоском сопле на режиме умеренного взаимодействия описывается системами уравнений (1) и (3) при краевых условиях (2), (4) — (6), требующих совместного решения. Полученная краевая задача допускает следующую группу преобразований:

х—1 3—х 1

/*!=£/-, $2 = ^2, 0,=/ 2 0И я2 = ь 2 п2

х-*1 х^~1 I /7\

Р1=Г*ри г», = г! ^ ю2 = Ь 2 у2, и2=и2, I ' р2 = гх р2, р2 = Г1 р2, Д = /!2(1“х) Д, g2 = g2. |

Эта группа преобразований отличается от группы преобразований для осесимметричных течений в работе [1] и выражает закон подобия для гиперзвуковых течений вязкого газа в тонких плоских соплах на режиме умеренного взаимодействия.

2. Рассмотрим течение в плоском сопле, стенки которого изменены на толщину пограничного слоя так, что для течения в невязком ядре потока справедливо решение для плоского гипер-звукового источника, а в пограничном слое — автомодельное решение. В дальнейшем для простоты рассмотрим случай о=1; х = = 1,4 при линейной зависимости вязкости от температуры.

Введем преобразования для уравнений пограничного слоя:

:х,

^=Г 1 р9 (ХТ1ъ,

у %) “

Vх о

>ь=Ух/, и% = Цг=/',

( )

(8)

дг

д

Р з Р> ё% £) ~дх Тогда система уравнений (3) примет следующий вид:

АГ + 4 //" - ЧШ (е -/'*) = ^ ~ /• /').

Ъё"+4-/?'=х - /• £-')•

Краевые условия для системы (8):

С = 0, /'=/=0, £ = I

С=оо, /' = £=1. ]

Изменение стенок сопла на толщину пограничного слоя описывается выражением:

‘т1) * ^ /{е° -/«2) Л ~ (тг1) *’+

о

где /о (С), £Го(^)— автомодельное решение системы (8) при краевых условиях (9), когда р=х~% .

Для расчета течения в невязком ядре потока воспользуемся однополосным методом Дородницына. Введем обозначения:

р2 = р, рг = р,

02 = 0, г2 = х

и аппроксимации по углу

Р = Ро + (Р« - Ро) (6/бш)2. (б/еш).

где индекс „0“ соответствует плоскости симметрии течения, а индекс чю — внешней границе пограничного слоя. В случае отсутствия передачи возмущений 0^, = 0О, где 0О — полуугол раскрытия невязкого течения при отсутствии передачи возмущений от среза сопла. После получения интегральных соотношений и подстановки аппроксимационных выражений в них система (1) сводится к системе уравнений:

я и р(*—1)/« _

Здесь Р = р' = л:-* Р, ^ = 6^ = 00 + -^^^- Начальные ус-

ловия для системы (10) имеют вид:

* - 0, Р„ -> 1, Р® ^ 1, -0, 0„ -* 0О. (11)

Краевая задача (9) — (11) приближенно описывает течение с взаимодействием в плоском сопле на режиме умеренного вязкого взаимодействия.

При малых возмущениях уравнения (10) сводятся к следующему:

*ео •*‘“1 -£; + 3 (др) + -ж = °- (12)

Здесь Р = 1 + Ар, 0^, =: 60 4- », х -Ц-, где Ар с 1, & С V

В работе [10] исследовалось распространение возмущений для •осесимметричного тела, контур которого выполнен по степенному закону. В случае, когда параметр вязкого взаимодействия стремится к нулю, распространение возмущений определяется подслоем. Такая же структура распространения возмущений свойственна и для течения в сопле в месте, где режим течения переходит от слабого вязкого взаимодействия к умеренному. В работе [9] при использовании аппарата, развитого в работе [10], показано, что в окрестности л = 0 возмущения давления Ар затухают в соответствии с законом:

Ар == Нехр (— АIх1).

Здесь

I - !)’

, 1 [ б[/;(0)р г д

А— * \ 0о(х-])£(О)Г(4/3) I 3/'(0)

где Г — гамма-функция.

Таким образом, краевая задача (9)— (11), кроме автомодельного решения/о (С), £„(£)> ^о — Рщ>— 1, = 6о- имеет однопарамет-

рическое семейство неавтомодельных решений, и для отбора нужного решения необходимо задание дополнительного условия-—давления на срезе сопла (6).

Краевая задача (9) — (11), (7) рассчитывалась на ЭЦВМ при использовании модифицированной программы С. Н. Селиверстова. Абсолютная погрешность расчетов составляет 0,01. На фиг. 1 представлены графики изменения коэффициента давления и безразмерного напряжения трения по длине сопла при 60 = 1,18

и А = 0,61 для двух значений давления на срезе сопла. Видно, что при давлении на срезе сопла /7 = 1,2 напряжение трения на стенке становится равным нулю. При дальнейшем увеличении давления на срезе сопла точка отрыва течения (точка, в которой тда=0) перемещается внутрь сопла. В данной работе распределение давления на оси сопла не приводится, так как однополосный интегральный метод имеет недостаточную точность в этой области течения. Сравнение однополосного и трехполосного методов Дородницына, проведенное в работе [8] при расчете невязкого течения в осесимметричном сопле, показало, что наибольшую погрешность -однополосный метод имеет на оси течения, обеспечивая при этом удовлетворительные результаты на стенке сопла.

1/3) 3/7

На фиг. 2 представлен профиль скорости в пограничном слое в точке отрыва течения. На фиг. 3 приведены результаты расчета коэффициента давления в точке отрыва при двух значениях параметра 60 в зависимости от расстояния от начала координат л; = 0. Если воспользоваться преобразованиями подобия (7), то можно прийти к выводу, что коэффициент давления Рв точке отрыва при заданных термодинамических и переносных свойств газа слабо зависит от параметра 60 и расстояния точки отрыва от начала координат х.

Характер распределения давления в окрестности среза сопла (см. фиг. 1) показывает, что влияние давления на срезе сопла при

0,2

0,1

о 1 2 3 ч 9 С

Фиг. 2

к=1,Ч-. 6=1 >ди гЬй-1

- •—

* 8/3

0,25 0,5 0,75 х

Фиг. 3

безотрывном обтекании локализовано в окрестности среза сопла, хотя в соответствии с формулой (13) возмущения давления распространяются вверх по потоку на всю длину сопла, соответствующую Д=1. Следует отметить также, что при этом геометрическая граница гиперзвукового пограничного слоя 0^, практически не изменяется, так как во всех расчетах значение — 0 = 0^,— 0О не превышало 0,01.

ЛИТЕРАТУРА

1. Нейланд В. Я. Распространение возмущений вверх по течению при взаимодействии гиперзвукового потока с пограничным слоем. „Изв. АН СССР, МЖГ', 1970, № 4.

2. Stewartson К- On the motion of a flat plate at high speed in a viscous compressible fluid. II steady motion. JAS, 22, 1955.

3. Гориславский В. С., Степченкова 3. А. Экспериментальное исследование срывных зон на пластинке в гиперзвуковом потоке газа. .Ученые записки ЦАГИ", т. 2, № 5, 1971.

4. Агафонов В. П. Взаимодействие пограничного слоя с гиперзвуковым потоком в коническом сопле. „Изв. АН СССР, Меха-ника“, 1965, № 5.

5. Быркин А. П., М е ж и р о в И. И. О расчете течения вязкого газа в гиперзвуковом сопле с учетом влияния вязкости (прямая задача). „Ученые записки ЦАГИ“, т. 2, № 1, 1971.

6. Е р м а к Ю. Н. Гиперзвуковое течение вязкого газа в сопле, „Ученые записки ЦАГИ“, т. 6, № 2, 1975.

7. Е р м а к Ю. Н. Исследование взаимодействия гиперзвукового пограничного слоя с невязким ядром потока в тонком коническом сопле. Труды ЦАГИ, вып. 1686, 1975.

8. Ермак Ю. Н. Гиперзвуковое течение вязкого газа в плоском сопле. Труды ЦАГИ, в печати.

9. Провоторов В. П. Неединственность решения задачи о вязком взаимодействии на осесимметричном теле. „Изв. АН СССР, МЖГ“, № 5, 1973.

Рукопись поступила 21 /XII 1976 zv

4—Ученые записки № 5