CC BY
54
Раздел II. Прикладные задачи системного синтеза
В.Л. Заковоротный
ВЛИЯНИЕ АСИММЕТРИИ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМЫ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ СО СРЕДОЙ, НА УСТОЙЧИВОСТЬ СТАЦИОНАРНЫХ ТРАЕКТОРИЙ
Введение
Для реализации концепции синергетического управления необходимо в пространстве состояния управляемой механической диссипативной системы определить многообразие необходимых траекторий и обеспечить их асимптотическую устойчивость. Устойчивость траекторий определяется структурой системы, её уравнениями движения и условиями взаимодействия некоторых координат состояния через искусственно созданные связи, например, через трибосреду [1-3]. Уравнения движения динамической системы, состоящей из N связанных обобщенных масс, можно представить в виде
,„ii + /l"+cA- = F(xf)+F*W + t/W, (1)
где X = {Xi, Х2, ■ ■ •, Хдг}т — вектор состояния системы; F — вектор-
функция, раскрывающая зависимость сил взаимодействия от координат состояния; F*(t) — силы, не объяснимые в координатах состояния системы, которые можно интерпретировать как неуправляемый силовой шум, возмущающий стационарные движения системы; то, h, с — матрицы размерностью N х N соответственно обобщенных масс, коэффициентов демпфирования и жесткости; U(t) — вектор управления, который во многих случаях формируется в координатах состояния, т.е. U(t) = £/[X(t)].
Ограничимся наиболее важным для технических приложений случаем, когда стационарная траектория в пространстве состояния вырождается в точку X*, т.е. U{t)=lJ= const. Возможность такого рассмотрения определяется тем, что U(t) есть медленная функция времени, которая фактически перестраивает динамические свойства системы в вариациях относительно стационарной траектории X*, которая при условии её асимптотической устойчивости также является медленной функцией времени. Рассмотрим общий случай дискретной конечномерной системы. Тогда для вариаций x(t), т.е. X(t) = X* + x(t), имеем систему в вариациях относительно X*
d?x dx dx\ „. . .
mw + hs + “ = А +F (f)' <2)
( с1х \
где <р X*, х, — — нелинейные функции в вариациях относительно точки равно-
\ аЬ)
весия, причем 1р(Х*, 0,0) = 0.
Автономные свойства системы определяются при условии = 0. В частности, устойчивость траектории Х*{ф) определяется свойствами системы
д?х ,_______
- сЕж = 0, (3)
dt2
dx
Гіу---------
dt
где =
hs,k
—
Cs,k
dipm(X*,x) f dxn
a{nr
_ dtpm{X*,x) d(a
,k = 1,2, . .., N, m,n = 1,2, ... ,6:
,k = 1,2,..., N, m,n= 1,2,... ,6.
Причем в (3) обобщенные массы то і с координатами х\, Х2, хз и то 2 с координатами Х4, Ж5, хв характеризуют пространственные вариации координат, взаимодействующих через среду.
дірт діргп
Подчеркнем, что выражения ———и ——- зависят от траектории X (і)
д
dxn
dt
и динамической характеристики ip X* ,х
dx ’ dt
д(хГ1
в вариациях относительно этой тра-
ектории.
Исходные динамические подсистемы без среды, задаваемые матрицами то, к, с [левые части в (2)], при отмеченных выше условиях имеют постоянные параметры. Эти матрицы являются положительно определенными и симметрическими, так как динамическая структура машины, как правило, является неизменной, а силовые и диссипативные функции обладают потенциальными свойствами. Напомним, что диссипативная функция при моделировании динамики машин вводится в форме Релея. Однако при переходе к выражению (3) суммарные матрицы диссипации и жёсткости сЕ, как правило, уже не обладают свойствами симметрии, так как
в общем случае —— ф —— и га, oxj
д
dXg
dt
*
і dx<i
. Например, если в качестве
среды рассматриваются процессы трения или резания, то смещения координат по направлению скорости относительного скольжения (скорости резания) не вызывают изменения сил. Поэтому свойства модели (3) в результате влияния сил контактного взаимодействия, зависящих от координат состояния системы, принципиально меняются. Их изменения двояки.
Во-первых, Х*{ф) в общем случае есть функция времени, поэтому коэффици-
_ (Т)
енты динамическои жесткости — = с\ s{t) и диссипации
ОХ а ’
д
dxs
dt
= h\ s (t) также
зависят от времени. Эти коэффициенты не только соизмеримы, но и, как правило, превышают по величине коэффициенты жесткости и диссипации подсистем машины без среды. Они постоянны лишь при условии, что U = const и эволюционные преобразования отсутствуют.
Во-вторых, матрицы сЕ и hs не являются симметричными, т.е.
(с)
Се =
hy. = h^
Ak)
(4)
где Се^ = 2[с^ + (се)т], = — [Л-е + (^-е)т] — симметричные части матриц жёсткости
и диссипации, отвечающие за потенциальные свойства системы;
cik) = ^[се - ЫТ],
(к)
структуру Се
-[/iE — (h-T
кососимметричные матрицы, имеющие
0 1 £ Ъ S 0 -h{k) 1 ¿1 ъ s
z,(fc) И П-Е =
'w 0 h™ _ E,i,S 0
что если задана матрица с = ^s,fc] j к 1,2,...,
„ (с)
то ее можно всегда представить в виде суммы симметричнои с^ и кососимметрич-
„ (к)
нон Се матриц по следующему правилу:
[cs
7Г {[cs,fc] + [cs,fc]T + [cs,fc] — [cs,fc]T} •
(5)
(к)
Характерной особенностью сил, формируемых матрицей hе , является то, что их работа при движении координат состояния по замкнутому контуру относительно стационарной траектории равна нулю. Силы же, формируемые матрицей если она является положительно определенной, всегда направлены против движения и
(с)
совершают работу. Сама же матрица hе связана с диссипативной функцией Релея, которая, как известно, определяет мощность сил диссипации. Несмотря на то, что силы, зависящие от матрицы 1г£\ не совершают работу, они могут способствовать стабилизации или «раскачиванию» точки равновесия.
Что касается матриц с^ и с£\ то силы, формируемые их элементами, совершают (матрица ) либо не совершают (матрица с^) работу при движении по
замкнутому контуру. Более того, если матрица с^ является положительно опреде-
(к)
ленной, то за счет элементов с^ система может потерять устойчивость движения. Наиболее важный для технических приложений случай соответствует неизменным внешним условиям функционирования систем (U = const). Значению U соответствует X* = const — точка равновесия в пространстве состояния динамической системы. Динамическая характеристика процесса в вариациях относительно X* зада-
ется матрицами динамическои жесткости с
(Т)
d(fis
dxi
и диссипации hm
д
dxk
dt
(s,k = 1,2,3), которые имеют постоянные коэффициенты. Обычно U ф const. Однако изменения во времени U происходят настолько медленно, что в пределах импульсной реакции системы U можно считать постоянным и динамику системы анализировать как систему с постоянными коэффициентами. Это значит, что система является «замороженной» в смысле Заде.
Влияние симметричных и кососимметричных матриц жёсткости
и диссипации
Остановимся на примерах влияния кососимметричных матриц на устойчивость точки равновесия. Для этого рассмотрим динамическую систему (3) для N = 2 и выделим в ней симметричные и кососимметричные члены по правилу (5):
d х . i(c)dx (с) (к) dx (к) „ /„ч
rn—-T + hh'—+ch'x+hh/—+ch/x = 0. (6)
dtz dt dt
Выясним влияние кососимметричных матриц на устойчивость точки равновесия. В качестве стационарной траектории рассмотрим точку X* = для
d?x dx
и = const и —— = — = 0, т.е. точку равновесия системы. Очевидно, что в этом dtz dt
случае матрицы то, /iE, сЕ имеют постоянные параметры. Устойчивость точки рав-
7 (с) (с) 7 (к) (к) -г-)
новесия зависит от матриц /г^ , , /г^ , . В свою очередь эти матрицы зависят
(Т) U( Т) dLPs
от параметров сК ’ = —— и п{ } = —т—----------
oxk г, ( dxk
а{иг
Для определения влияния динамической характеристики процесса на устойчивость точки X* вначале проанализируем свойства системы в предположении, что
h^ = 0, c^f1 = 0. Тогда силовая функция процесса должна обладать потенциальны-
(с\
ми свойствами. Пусть матрица является положительно определенной. Тогда для анализа устойчивости равновесия можно ввести в рассмотрение функцию энергии
1 f dx dx Ь = — < —то—
2 \ dt dt
но с учётом того обстоятельства, что топе являются симметричными и их элементы есть постоянные величины, справедливо следующее равенство:
dE dx d?x dx dx { d?x
—— = т———г + СХ— = — < То—г + С
Л dt dt2 dt dt { dt2 Следовательно, для автономного случая с учетом сделанного предположения
и(к) п (к) п (]2х ,
П-Е = и, Се = и справедливо т~^2 + сж = — т'е'
dx, dx
-л"И «0 <7>
¿X ¿X
есть условие устойчивости системы по Ляпунову и —— 1^—— < 0 есть условие асим-
(и (Ж
итотической устойчивости.
При доказательстве условий устойчивости не накладывалось никаких ограничений на порядок дифференциального уравнения. Поэтому это условие является общим для рассматриваемого класса систем. Кроме того, при определении условий устойчивости не было наложено ограничений на элементы матрицы к. Получаем достаточно простое условие асимптотической устойчивости равновесия траекторий динамической системы. Если матрицы тис являются симметричными и положительно-определенными с постоянными элементами, то траектория динамической системы имеет положение равновесия асимптотически устойчивое, если матрица к является положительно-определенной на всем наблюдаемом временном отрезке.
¿X ¿X
Условие (7) является интуитивно понятным, так как при — — а— < 0 во
СЫу СЫу
время движения в систему вводится дополнительный источник поглощения энергии. Сами же диссипативные силы не способны «раскачать» динамическую систему даже в том случае, если переменная составляющая их вариаций совпадает с собственной частотой системы. В связи с этим отметим, что при равенстве нулю диссипативных
сил динамическая система трения не может быть асимптотически устойчивой, а лишь устойчивой по Ляпунову.
Кроме того, требование -г—!- = -г—^ является известным условием Стокса,
ох 2 ОХ\
консервативных свойств системы, если в ней к = 0. Поэтому добавление в систему диссипативных составляющих, зависимых или независимых от времени, но удовлетворяющих условию (7) при всех значениях времени, преобразует устойчивую по Ляпунову систему в асимптотически устойчивую.
0 к
— к 0
определенные, то система, несмотря на наличие коэффициентов при первых производных, остается устойчивой по Ляпунову, но не асимптотически устойчивой. Покажем это на простом примере системы для N = 2.
Очевидно, что характеристическое уравнение в этом случае представляет собой выражение
'т2р4 + Мс(1Д,Е + 41 е) + - 41ес2Д,е) =
Если hIе-1 = 0, с^ = 0, Ь4^ =
(с)
и матрицы то, С£ положительно-
г / (с) (с) l21^ л( (с) (с) (с) (с) \ 2
для которого справедливо [т{с\ [ Е + с2 2 Е + h \ — 4[с\ { Ес^ 2 е — С1 2 ес2 i х)т =
= т2(^с},х~4%х)2+4ctlx4c},xm2+h2(h2>° и -
(с) (с) ^ п
— с12ес2 1е > U, т.е. характеристическии полином имеет два мнимых комплексносопряженных корня. Причем это утверждение справедливо и для квазилинейных систем, когда = h^\x,t).
Параметры линеаризованной в точке равновесия динамической характернее) (с)
стики процесса, во-первых, изменяют матрицы 1г^ , и тем самым приводят к смещению корней характеристического полинома системы (6) при = c^f1 = 0.
d?x гс) dx гс)
Таким образом, система то—^ ——I- х = 0 может потерять устойчивость
dtz dt
равновесия. Во-вторых, формируются кососимметричные матрицы, которые сами по себе могут стабилизировать точку равновесия, а также способствовать потере устойчивости системы. В связи с этим проанализируем влияние сил, формируемых кососимметричными матрицами, на устойчивость точки равновесия.
Вначале рассмотрим влияние гироскопических сил. Напомним, что гироскопические силы формируются слагаемыми h^f1 —. Проанализируем влияние кососимметричных членов матрицы диссипации на устойчивость точки равновесия динамической системы при N = 2. Для выяснения этого влияния воспользуемся системой (6) для N = 2 при с^ = 0:
4С) =
*-1,1 —
дер
*1,2 + *2,1-------
д<р
]_
сМ
1
д
(],Х 2
сМ
д<р2
э (
V сМ
*1,2 + *2Д--
<9с,г>
а
*2,2-
]_
(ІХ 2
сМ
дср2
д<Р2
¿Х\
сМ
д(^1 V сМ
(с) Се -
(с) Лс) 1
1,1,Е 2,1,2
(с) Лс)
1,2,2 ' 12,2 ,Е_
с1,1 -
т 0'
: га = 0
т
1
С12+С2Д-
¿Уі
<9(жі)
<9(ж2) 9(жі)
С12+С2Д-
С2,2 -
дірі д(р2
д{х2) _ д(хі) д^2 д(х2)
с(с)
1,1 ,Е
С(с)
1,2,е
С(с) '
2.1.Е
С(с)
2.2,е
Из уравнения (8) получаем характеристическое уравнение системы
Д(с)(» + /?У = о,
(9)
где А(с\р) =к[і + 2І1Т1р+{Т1)‘2р2] [1 + 26Т2р+(Т2)У]; Л = с[%с{с)
1,1,ес2,2,е '
ЛЮ
» Лс) .
"1,2,Е^2,1,Е’
[3 = Ъ^2 Е — вещественный параметр, характеризующий влияние гироскопических сил.
Первое слагаемое в равенстве (9) — характеристический полином системы при Ч 2 е = представленный в мультипликативной форме, второе слагаемое зависит от произведения двух элементов кососимметричной матрицы, определяющих гироскопические силы. При варьировании внешних сил или скорости и в ходе эволюционных преобразований корни полинома (р) смещаются и могут перейти из левой
7 (к) „
комплексной полуплоскости в правую, т.е. положение равновесия при п\ 2 Е =0 потеряет устойчивость. Выясним возможности стабилизации положения равновесия путем варьирования [3 = Е. Для технических приложений наибольший интерес представляет случай, когда характеристический полином имеет две пары комплексносопряженных корней, так как механические системы машин обладают, как правило, достаточной добротностью. Поэтому будем варьировать один из коэффициентов затухания > £1 > —^°’2'1 таким образом, чтобы при £1 < 0 система без гиро-
скопических сил являлась неустойчивой.
Для выяснения влияния [3 = Е на устойчивость системы воспользуемся методом О-разбиения в плоскости одного комплексного варьируемого параметра /З2. Так как по определению /З2 ^ 0, то нас будет интересовать лишь вещественная ось. Из выражения (9) получаем уравнения фигуративных линий, позволяющие определить в плоскости /З2 области устойчивости точки равновесия:
4 {[1 - (ТО2^2] [1 - (Т2)2^2] ~^&Т<Г2и?} ;
2 к
— {6Ї2 [1 - (Ті) V] + СіТі [1 - (т2) V]} ,
где ju! — символ оператора Фурье.
На рис. 1 приведены фигуративные линии, изменяющиеся по мере смещения коэффициента затухания £1, соответствующего одной из двух мультипликативных форм характеристического полинома (р), от положительного значения к отрицательному. В последнем случае система имеет неустойчивую точку равновесия. Фигуративные линии показывают, что с формированием в системе гироскопических сил (Р ф 0) запас ее устойчивости возрастает (рис. 1,а). Если подсистема, которой соответствует характеристический полином А^(р), находится на границе устойчивости (устойчива по Ляпунову) (£1 = 0), то даже малые значения /3 преобразуют ее в асимптотически устойчивую (рис. 1,6). Если один из комплексно-сопряженных корней
Т\
переходит В правую комплексную полуплоскость (£1 < 0, ¿¡2 > 0) И ——¿¡2 < £1 < 0,
Т2
т.е. система при /3 = 0 становится неустойчивой, то по мере увеличения гироскопических сил, начиная с /З2 > В (рис. 1,в) точка равновесия стабилизируется гироскопическими силами и положение равновесия системы становится асимптотически
устойчивым. Наконец, при £1 < —¿¡2 — и > Т\ (рис. 1,г) гироскопические силы
-¿2
при 0 < Р < оо не в состоянии стабилизировать точку равновесия. Очевидно, что гироскопические силы не способны обеспечить устойчивость системы, которой соответствует характеристический полином А ^(р), и при постоянных времени Т2 < Т\ (на рис. 1 не показано) стабилизация точки равновесия не возможна.
в г
Рис. 1. Влияние гироскопических сил на устойчивость точки равновесия динамической
системы трения
Можно рассмотреть и другие случаи. Отметим общую тенденцию влияния динамической характеристики процесса, раскрывающей зависимость сил контактного взаимодействия от колебательных скоростей, рассматриваемых в вариациях относительно точки равновесия.
(с) дср3
Во-первых, матрица за счет производной —у——г- может стать отрица-
д ( к \ Л
тельно-определенной, и тогда, как показано выше, подсистема при /3 = 0 может потерять устойчивость точки равновесия.
Во-вторых, формирование во всех случаях имеет тенденцию к стабилизации точки равновесия, однако такая стабилизация возможна далеко не во всех случаях:
А = {(Г1)4+№)4-2(Г1Г2)2+4Г1Г2 [ПтЫ^+Ш^+Т2)]};
В = [т^Ы^-Ш^+т2)}}.
Теперь для этой же системы рассмотрим влияние непотенциальных членов у функции, определяющей зависимость сил от координат. Воспользуемся тем же
(с) 7 (с)
приемом, но ограничимся рассмотрением случая, когда матрицы и являются положительно-определенными. Проанализируем влияние кососимметричных членов матрицы жёсткости системы на устойчивость точки равновесия в предположении, что матрица диссипации является симметричной.
Для этого рассмотрим систему
+ + с^х + С^х = 0, (11)
для которой определим характеристический полином
* [1 + 2^Т1Р + (Т^р2] [1 + 2ЬТ2р + (Т2)У ] +а2= 0, (12)
7 (с) (с) (с) (с) (к)
где к = с\ [ гС\Хг - с1,2,ес2,1,е! « = С1,2,Е-
Воспользуемся тем же приёмом. Для выражения (12) можно определить уравнения фигуративных линий в плоскости комплексного варьируемого параметра а2, которые позволяют выделить область устойчивости системы в плоскости какого-нибудь одного комплексного варьируемого параметра:
Г Ке(а2)=-к{[1-(Т1)2и;2] [1-(Т2)2^2] - ЦгЬПТзи;2} ;
\ 1т(а2) = - 2^ {6Т2 [1 - (Тх) V] + аТ! [1 - (Т2) V] } .
Вид фигуративных линий и областей Б-разбиения приведен на рис. 2.
При этом, как и ранее для /3, примем во внимание, что по определению параметр а)0и является вещественным. Поэтому единственным случаем, который соответствует асимптотически устойчивой точке равновесия, является случай ^ > 0, £2 > 0. Однако по мере увеличения а, начиная с а = \[А (рис. 2), система теряет устойчивость.
Рис. 2. Влияние непотенциальной составляющей силовой функции процесса трения на устойчивость точки равновесия при малых вариациях координат состояния системы
трения
Поясним физический смысл влияния на устойчивость кососимметричных частей матрицы с. Кососимметричная матрица с^ формирует позиционные силы вихревого типа. Для случая колебаний в плоскости {х\1х2}- Кососимметричная мат-
рица в этом случае равна =
0;
—с
(к). 2,1 ’
Л*)'
-2,1
о
. Поэтому при смещении х по направ-
лению Х\ формируются силы —¿¿\х\ = 1^2^
по направлению Х2- Аналогично при
смещении х по направлению Х2 формируются силы по направлению
х\, ортогональному к направлению Х2 (рис. 3). Такие же свойства имеют кососимметричные члены матрицы диссипации при варьировании скоростей в окрестности точки равновесия.
*2 * [к
ЧГГ*’
V %1
Рис. 3. Формирование позиционных сил вихревого типа с помощью ко со симметричных
матриц жёсткости
Соотношение сил, формируемых матрицами и вызывающих вращение контактируемых поверхностей в окрестности точки равновесия, и потенциальных сил, обусловленных матрицами с^с\ определяет потерю устойчивости стационарной траектории. Подчеркнём, что все известные экспериментальные исследования колебаний трибосистем показывают, что в ходе функционирования поверхности трения совершают круговые траектории. Аналогичные свойства имеют и динамические системы резания [1-3]. Так как связи, формируемые трибосопряжением, являются
нелинейными, то в окрестностях стационарных траекторий устанавливаются такие колебания, траектории которых обеспечивают минимальные потери энергии на движение.
Влияние на движение кососимметричных частей матрицы к иное. Здесь необходимо учитывать, что матрицы к^ формируют гироскопические силы в смысле Томсона и Тета. Гироскопические силы, как показано выше, при определённых условиях могут стабилизировать стационарную траекторию. Однако они могут и «раскачивать» точку равновесия. Всё зависит от знаков, стоящих при кососимметричных членах.
Заключение
1. Кососимметричные матрицы с^ формируют силы, которые совершают работу при движении по замкнутому контуру. Симметричные составляющие матриц с(с) работу не совершают. В связи с этим трудно предположить, что диссипативные системы могут функционировать, не совершая работу.
2. Кососимметричные матрицы к^ формируют силы, которые при движении по замкнутому контуру работу не совершают, в то время как силы, формируемые матрицами к^, работу совершают. В связи с этим структура работы, совершаемой силами, обусловленными колебаниями в вариациях относительно стационарной траектории, достаточно сложная.
Подчеркнем, что выполненный анализ относится к малым колебаниям относительно точки равновесия, поэтому при потере устойчивости в системе необходимо анализировать нелинейные связи, формируемые процессом в вариациях относительно точки равновесия, и образующиеся при этом многообразия в пространстве состояний системы, которые являются естественными для рассматриваемой системы.
В заключение подчеркнём, что при моделировании динамической системы, взаимодействующей со средой, образование точки равновесия фактически свидетельствует о существовании некоторой координаты в пространстве, разделяющем поверхности контактируемых тел, через которую проходит поверхность скольжения, например поверхность внешнего трения.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Заковоротный В.Л., Блохин В.П., Алексейчик М.И. Введение в динамику трибосистем. - Ростов н/Д: ИнфоСервис, 2004.
2. Заковоротный В.Л. Нелинейная трибомеханика. - Ростов н/Д: Изд-во ДГТУ, 2000.
3. Заковоротный В.Л. Динамика трибосистем. Самоорганизация, эволюция. - Ростов н/Д: Изд-во ДГТУ, 2003.
