Влияние структуры сил на устойчивость движения механической системы, взаимодействующей с трением Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 681.51

ВЛИЯНИЕ СТРУКТУРЫ СИЛ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕЙ С ТРЕНИЕМ

Постановка задачи

Для обеспечения движения элементов машин и механизмов во многих случаях необходимо решать вопросы устойчивости движения. При этом, как правило, некоторый элемент машины взаимодействует с узлом трения. В свою очередь в зоне, находящейся между контактируемыми поверхностями, формируется диссипативная среда, образующая динамическую связь [1 - 3]. Основные динамические свойства такой системы можно раскрыть на основе использования «базовой» динамической модели трибосистемы [4], рассматривающей смещение индентора, подвешенного с помощью упруго-диссипативных подвесок к абсолютно жёсткому основанию. Индентор в базовой модели представляется в виде сосредоточенной массы. Поэтому изгибные колебания его поверхности не учитываются. В свою очередь, образец также обладает большой массой и считается недеформируемым (рис. 1). Он движется с медленно изменяющейся скоростью V ^), задаваемой управлением от внешнего источника.

© 2007 г. В.Л. Заковоротный, В.Е. Ступин

области между контактируемыми поверхностями);

Основание крепления индентора 1 U = {U 1,U 2>T 1 X!

Индентор L X = {X!, X 2}T

Трибосреда

Контробразец

X 2

V

Рис. 1. Схема «базовой» динамической модели узла трения

dX dX dX т

F(X, —,V) = —,V),F2(X,—,V)}т - век-

dt dt dt

тор-функция, раскрывающая зависимость сил контактного взаимодействия от координат состояния, её свойства определяются формируемой в процессе трения переходной областью между индентором и образцом, названной трибосредой; F * ^) - силы, не объяснимые в координатах состояния системы, которые можно интерпретировать как неуправляемый силовой шум, он возмущает стационарные движения системы; m, h, c - матрицы размерности 2 ® 2 соответственно обобщенных масс, коэффициентов демпфирования и жесткости; U ^) - вектор внешних силовых воздействий, в том числе сил гравитации и сил, определяемых предварительной упругой деформацией при установке индентора относительно образца. Здесь и далее символ {•••}г означает операцию транспонирования.

Таким образом, внешние условия функционирования узла трения характеризуются U^) и V^) - медленными функциями времени.

Ограничимся наиболее важным для технических приложений случаем, когда стационарная траектории в пространстве состояния есть точка X *, т.е. U (0 = U = сопй и V(0 = V = сошг. Воз-

F = {Fi( X), F2 (X )}T

Тогда уравнение движения такой системы можно представить в виде

т^^- + И — + cX = F (X,—, V) + F * ^) - U ^ ),(1) dt dt dt

где X = {XьX2}т - вектор состояния системы, отсчитываемый от точки контакта поверхности интен-тора с образцом в предположении, что переходная зона между интентором и образцом отсутствует. Таким образом, координаты вектора состояния фактически показывают текущие значения положения поверхности индентора в трибосреде (формируемой в процессе относительного скольжения переходной

можность такого рассмотрения определяется тем, что и(^, V(Г) есть медленные функции времени, которые фактически перестраивают динамические свойства системы в вариациях относительно стационарной траектории X *, которая при условии её асимптотической устойчивости также является медленной функцией времени. Тогда для вариаций х^), то есть

X ^) = X * + х^), имеем систему в вариациях относительно X *:

m-

d 2 х dt2

+ h — + cx = ф(Х*,V, х,—) + F * (t), (2) dt dt

где ф(X *, V, х, = {ф *, V, х, ^-Х ф 2(Х * , V, х, -са са са

нелинейные функции в вариациях относительно точки равновесия, причем ф(Х *, V,0,0) = 0 . Кроме этого

т т

справедливо | (Сх1/ Са)Са ^ 0 и | (Сх 2/ Са)Са ^ 0 при

0 0

при:а =Т при:а =Т

достаточно большом Т. В противном случае X * ^ го . Случай реверсивного трения не рассматривается, то есть нелинейные функции

ф(X *,V, х,СХ) = {ф 1(Х *,V, х,Сх), Ф 2(X *,V, х,Сх)}т ш ш ш

являются гладкими в вариациях относительно точки

равновесия.

Автономные свойства системы определяются при условии Е * = 0 . В частности, устойчивость точки X * определяется свойствами системы

d x dx

m—— + h y--+ c y x = 0 ,

dt2 У dt У

(3)

где

h y =

c у =

hs,k -

C с Ъ-

Эф s (X *, x)

d( ^) dt _

Эф ^ (X *, x)

d( xk)

s, k = 1,2:

k = 1,2.

Подчеркнем, что

Эф,

-T^ и

d(dxn) d( xn)

dt

зависят от тра-

екторий X * (а), V(а) и динамической характеристики

Ф^ * V, х,—) в вариациях относительно этой траса

ектории. Поэтому изменение X *, обусловленное изменениями внешних условий и или V , вызывает вариации к у и с у . Это может привести к принципиальному изменению свойств системы (3), проявляющемуся в смещении корней её характеристического полинома. Таким образом, и , V играют роль управляющих параметров, перестраивающих динамические свойства системы. Наконец, система (3) может потерять устойчивость точки равновесия X *.

Исходные динамические подсистемы без трибос-реды, задаваемые матрицами т , к , с (левые части в (2)), имеют постоянные параметры. Эти матрицы являются положительно определенными и симметричными, так как динамическая структура машины, как правило, является неизменной, а силовые и дисси-пативные функции обладают потенциальными свойствами. Кроме этого исходная система без трения имеет асимптотически устойчивую точку равновесия. Поэтому матрицы к , с являются положительно определёнными. Напомним, что диссипативная функция при

моделировании динамики машин вводится в форме Релея. Однако при переходе к (3) суммарные матрицы диссипации ку и жёсткости су , как правило, уже не обладают симметричными свойствами, так как в об-

Эф1 Эф _ Эф1 Эф5 щем случае Ф- - 1 ^ 5

dxs dx:

эГ dxs l dt

. На-

Э| d — dt

пример, смещения координат по направлению скорости относительного скольжения не вызывают изменений сил. Поэтому свойства (3) в результате влияния сил контактного взаимодействия, зависящих от координат состояния системы, принципиально меняются. Одно из важных изменений заключатся в том, что матрицы су и к ^ не являются симметричными, то есть

с у = с

-Лс)

+ с

(к) .

h у= h ус)+hy),

(4)

где Fx(Xi,V), hУс) = hу + (hу)г;

- симметрич-

ные части матриц жёсткости и диссипации, отвечающие за потенциальные свойства системы;

с £) = |[с у- (С у)т ], к у*) = 2[к у- (к у)т ] - косо-

симметричные матрицы, имеющие в нашем случае структуру

с (к) =

с У =

0:

(k) : У,! ,s'

-с

(k)

0

и h Ук) =

0:

h (k) :

hУ,!',s '

-h (k )

h У,!', s 0

Характерной особенностью сил, формируемых матрицей к у ), является то, что их работа при движении координат состояния по замкнутому контуру относительно стационарной траектории равна нулю. Силы же, формируемые матрицей Е2(а) = кЕ1(а -т 1), если она является положительно определенной, всегда направлены против движения и совершают работу. Сама же матрица кус) связана с диссипативной функцией Релея, которая, как известно, определяет мощность сил диссипации. Несмотря на то, что силы, зависящие от матрицы кук ), не совершают работу, они могут способствовать стабилизации или раскачиванию точки равновесия.

Что касается матриц сус) и 1(а-т2),V], то силы, формируемые их элементами, совершают работу при движении по замкнутому контуру матрицами с ук) и не совершают работу матрицами с ус). Более

(с)

того, если матрица с у является положительно опре-

(*)

деленной, то за счет элементов с у система может потерять устойчивость движения.

Известно, что кососимметричные матрицы диссипации к у*) формируют гироскопические силы, а мат-

(к)

рицы жёсткости с у' - неконсервативные циркуляционные (непотенциальные) силы [5 - 7]. Таким обра-

зом, структура формирования сил контактного взаимодействия в динамической системе трения такова, что они, за редким исключением, приводят к образованию гироскопических и циркуляционных сил. Подчеркнём, что все имеющиеся экспериментальные данные по изучению траекторий движения контакти-руемых поверхностей в узлах трения показывают, что при потере устойчивости траектории движения инден-тора всегда остаются круговыми независимо от параметров подвески индентора. В этом подтверждение роли циркуляционных сил, то есть сил, ортогональных направлению упругих деформаций. Проанализируем роль матриц динамической жёсткости и диссипации в стабилизации и потере устойчивости равновесия динамической системы трения.

Влияние матриц динамической жёсткости и диссипации процесса трения на устойчивость точки равновесия

Вначале отметим главные известные особенности связи, формируемой трибосредой [1 - 3]:

1. При сближении индентора с образцом непропорционально быстро возрастают нормальные составляющие сил, как правило, препятствующие сближению поверхностей F1(X 1, V). Она названа функцией сближения контактируемых поверхностей, и, например, характеризует несущую способность подшипника и другие функциональные характеристики узла трения. Эта характеристика в большинстве случаях является монотонной. Однако в некоторых случаях, проанализированных в [1 - 4], имеют место аномальные свойства функции сближения, характеризуемые многозначностью сил по мере сближения поверхностей. Аномальность сил объясняется молекулярно механической их природой [4]. Она связана также с формированием в ходе функционирования трибосистемы потенциальных барьеров [1 - 3]. Мы ограничимся рассмотрением асимптотической устойчивости системы при малых вариациях относительно точки равно -весия. Проблемы ветвления траекторий и бифуркационных преобразований стационарных траекторий будут рассмотрены в следующих наших публикациях.

2. Имеет место запаздывание вариаций тангенциальных составляющих сил при изменении их нормальных составляющих, то есть F2 ^) = kFl ^ - т 1). Запаздывание обусловлено перестройкой стационарного состояния в трибосреде и установлением нового напряжённого состояния в теле контактируемых элементов, которое требует прохождения некоторого пути при движении индентора относительно образца. Все имеющиеся экспериментальные данные подтверждают наличие этого запаздывания и его увеличение во времени при уменьшении скорости относительного скольжения. Оно увеличивается также при возрастании тангенциальной приведённой жёсткости подвески индентора.

3. В отдельных случаях имеет место запаздывание вариаций нормальной составляющей силы при изменении зазора индентора относительно образца, то есть

координаты X1. Следовательно, F1[X -т 2), V]. Это запаздывание связано, например, с динамикой установления нового значения подъёмной гидродинамической силы при увеличении градиентов скоростей относительного скольжения в переходной области при мгновенном уменьшении зазора между индетором и образцом.

4. При увеличении скорости относительного скольжения индентора относительно образца при прочих неизменных условиях в отдельных диапазонах скоростей имеет место уменьшение тангенциальной составляющей силы контактного взаимодействия.

Приведённые особенности силовых реакций со стороны процесса трения, зависящие от координат,

позволяют уточнить вектор - функцию F | X, ^^, V |

^ dt )

и представить её в следующем виде:

Fi(t) = Fi[ X i(t -т 2), V ];

IF2 = kF1(t-т j) - F2(v)(V + dX 2/dt).

(5)

Упрощённое, даже скорее качественное представление динамической связи, формируемой трибосоп-ряжением, не меняет существа вопроса, если рассматриваются малые колебания в окрестности точки равновесия.

Полагая в (1) V = const и U = const получаем точку равновесия системы X * и уравнение в вариациях x(t) = {x1(t),x2(t)}T относительно X* в виде (3). Причём матрицы суммарной жёсткости сs и диссипации h s с учётом (5) в вариациях относительно точки равновесия будут

Су =

(ci,i-dF\l dx1); с 2,1 (С1,2 -kdFi/dxj); с2,2

при XJ = Xj , Y = const

hs =

|hn +т2 dF1 / d(dx1/ dt )); h [h1 2 + kT 1dF1 / d(dx1l dt)); [ h 2,2 + dF2(V)/ d(dx 2/dt)

при X 1=X^ , Y =const

В зависимости от параметров и и V, которым соответствует X *, значения ЭF1 / Эх1 монотонно

меняются в диапазоне |с(Т^ (|д^ /Эх^ (с [Т! , причём, ЭF1 /Эх1 (0, если функция сближения однозначна. Что касается ЭF2(V) / д^х 2 / Л), то этот коэффициент может принимать как положительные, так и отрицательные значения в зависимости от V . Таким образом, в зависимости от параметров подвески и внешних условий в динамической системе трения естественным образом формируются диссипативные, ускоряющие, гироскопические, потенциальные и циркуляционные силы. Терминология структуры сил соответствует принятой в работах [8 - 10].

В дальнейшем обозначим (-ЭЕ1 /Эх1) = с^-1 и

Э(аХ2/Ж)) = к2Г2 . Тогда система (3) может быть представлена как

m-

d 2 х dt2

+ h w ^ + c w х + h i*) — + с i*) х = 0,

dt

dt

чивости точки равновесия системы и её структурных преобразований.

Первый случай. Вначале рассмотрим влияние асимметрии позиционных сил в предположении, что т 1 ^ 0, т 2 ^ 0 и к Т ^ 0. Тогда к£к) ^ 0,

(6) к£с) = ку = к и вместо (6) имеем

где h 4с) =

h -Т с (т hl,l 2 с 1,1

1

(T ).

(hi,2 - 2kT1CU))

(hi,2 -2kтic[T)); (h2,2 -h2^)

с (с) = с i =

(с 1,1 + с (Т);

(с1,2 + 2 kc 1,1));

(с 1,2 + 2 kc1,1))

- симмет-

h ik) =

0;

1

(T )

—k т i с 1 1

2 1 1,1

— k Т1С1 1

2 1 1,1

(т).

m

d х + hdx + сic)х + сi*)х = 0.

2 Jj. i i

dt

dt

(7)

ричные части матрицы диссипации и жёсткости системы с учётом реакции со стороны трибосопряжения (они определяют потенциальные свойства системы);

Видно, что позиционная связь, формируемая процессом трения, вызывает изменение потенциальных свойств динамической системы (они характеризуются матрицей с £с)) и приводит к образованию циркуляционных сил (характеризуются матрицей с£к)), которые могут влиять на устойчивость точки равновесия. Мы также видим, что при малой тангенциальной жёсткости подвески индентора и больших значениях с(^1), с12 исходная положительно определённая матрица жёсткости [с11с22 -(с12)2])0 может стать отрицательно определённой при условии

[СцС2,2 - (с 1,2 )2] + с^)[с2,2 - к(0, 25^ + С1,2 )]<0 .

,(k) =

0;

-k (T ). , 1,1 ;

11) 2 1,1

0

- кососиммет-

ричные составляющие матриц диссипации и жёстко -сти, которые определяют гироскопические и циркуляционные силы. Таким образом, параметр с1(^) определяется градиентом функции сближения в точке равновесия, то есть характеризует нормальную контактную жёсткость трибосопряжения в вариациях относительно точки равновесия. Это некоторое обобщение понятия контактной жёсткости, принятого в известных работах [11]. Коэффициент к можно интерпретировать как динамический коэффициент трения, рассматриваемый в вариациях относительно стационарного состояния. При малых вариациях относительно точки равновесия его можно считать постоянным. В работах [1 - 3] показано, что он может принимать в зависимости от сближения поверхностей существенно различные значения даже близкие к единице. Запаздывающие аргументы с £к), т 2 также зависит от

X * и скорости относительного скольжения V. Принципиально, если задана некоторая медленно изменяющаяся траектория X * при неизменной скорости V , то ей соответствует траектория параметров

с1(Т1)(Х *), к (X *), т 1(Х *) и т 2(Х *), следовательно,

траектория рассмотренных выше матриц.

Уже анализ матриц к£с), к(к) с(с) и с(к)

i

с

i

и с

i

позво-

ляет определить некоторые механизмы потери устой-

Подчеркнём, что изменение матрицы к , являющейся по определению положительно определённой, может лишь преобразовать устойчивую по Ляпунову систему в асимптотически устойчивую, если матрица жёсткости симметрична и положительно определена. Стабилизировать равновесие системы, неустойчивой по позиционным силам, с помощью варьирования матрицы к не представляется возможным. Однако

(с)

приведённое условие, при котором матрица с £; становится отрицательно определённой, является скорее исключением, чем правилом. Поэтому выясним, при каких условиях исходная (без трения) асимптотически устойчивая система, становится неустойчивой.

Для этого (7) получаем характеристический полином системы

Ау (р)=А(р)+с^)[шр2+(к2,2-кк2Д)р+(с2,2-кс2д)], (8)

где А(р) - характеристический полином исходной системы без трения (левая часть уравнения (2)). Полином А( р) соответствует асимптотически устойчивой системе.

Анализ (8) позволяет сформулировать первое свойство влияния асимметрии позиционных сил на устойчивость точки равновесия системы. Если исходная динамическая структура подвески индентора является ортогональной, то циркуляционные силы не могут привести к потере устойчивости равновесия. Здесь и далее под ортогональной динамической структурой будем понимать такую, для которой все

i

недиагональные элемента матриц с и И равны нулю, то есть в исходном состоянии координаты х являются нормальными. Действительно, при с12 = И12 = 0 полином (8) преобразуется в полином

АЕ(Р) = (тр 2 + Иир + с1Д + с^^тр 2 + И2Лр + с2,2),

Пример 1. Рассмотрим систему, имеющую следующие матрицы жёсткости, диссипации и инерционных коэффициентов

1000кГ/мм; 1400кГ/мм

1400кГ/мм; 2250кГ/мм

корни которого имеют отрицательные вещественные части. Очевидно, что это утверждение можно распространить и на случай, когда механическая часть системы без трения представлена в виде N-мерной динамической структуры, обладающей ортогональными динамическими свойствами. Таким образом, влияние циркуляционных сил на устойчивость точки равновесия возможно лишь в тех случаях, когда связь между координатами формирует замкнутые динамические структуры, условия самовозбуждения в которых меняются при измене-

(k)

нии параметров матрицы c£ ;.

Вначале положим, что k = const. Тогда можно

(T )

вычислить предельные значения с1,1 и условия, при

которых равновесие системы является асимптотически устойчивым. Для этого удобно воспользоваться частотным критерием устойчивости Михайлова (рис. 2).

h=

m =

0,1кГс/мм; 0,13кГс/мм;

10-3 кГс2/мм;

0;

0,13кГс/мм 0,2кГс/мм

0

10-3 кГс 2 /мм

j Im

[с1,1с 2,2 (с1,2)

Ю = Ю

Динамический коэффициент трения к = 0,2 . Таким образом, без динамической связи, формируемой процессом трения, система имеет симметричные и положительно определённые матрицы жёсткости и диссипации. Следовательно, позиционные и диссипа-тивные связи в ней обладают потенциальными свойствами, и она имеет точку равновесия, являющуюся асимптотически устойчивой. Годографы Михайлова А(ую) и А^ (ую) для этой системы приведены на рис. 3.

Из иллюстрации видно, что по мере увеличения нормальной контактной динамической жёсткости трибо-

(Т )

[с1,1с 2,2 (с1,2) ] + с11)(с 2,2 kc1,2)

Рис. 2. Схема преобразования годографа Михайлова за счёт потенциальных и циркуляционных сил, формируемых в трибосопряжении

сопряжения с у годограф Михайлова смещается в правую часть. Начиная со значения с1(^) = 689 кГ/мм , он

пересекает начало координат (система находится на границе устойчивости) и при дальнейшем увеличе-

(Т)

нии су она становится неустойчивой. На рис. 3 годограф А ^ (ую) соответствует

с1(Т) = 800 кГ/мм .

В зависимости от параметров системы, прежде всего недиагональных элементов матриц жёсткости и диссипации подвески индентора, а также динамиче-

ского коэффициента трения при варьировании с

(T ) 1,1

возможна потеря устойчивости равновесия системы. Подчеркнём, что при заданных трибологических характеристиках возможность потери устойчивости принципиально зависит от упруго-диссипативных параметров подвески индентора.

Также видно, что неконсервативные (циркуляционные) силы, естественным образом формируемые в любой динамической системе трения, могут приводить к потере устойчивости точки равновесия системы. Причём, потеря устойчивости зависит от параметров динамической подсистемы индентора, от характеристики трибосопряжения (в данном случае от функции сближения) и внешних условий (при постоянной скорости относительного скольжения от внешних сил, задающих положение равновесия системы

трения X *). Подчеркнём, что положение равновесия определяет точку, в окрестности которой определяется градиент функции сближения и динамический коэффициент трения.

Рис. 3. Преобразование годографа Михайлова системы без трения А(jm) в годограф А у (jm) за счёт потенциальных и неконсервативных сил, формируемых трибоконтактом

Второй случай. Рассмотрим влияние на устойчивость равновесия запаздывающего аргумента т j, изменяющего симметричную (потенциальную) матрицу диссипации h ус) и формирующего гироскопические силы за счёт кососимметрической части hyk ). Как и в первом случае, если матрица диссипации исходной системы является диагональной (подвеска индентора обладает ортогональными динамическими свойствами), то запаздывающий аргумент никак не влияет на устойчивость точки равновесия системы. В общем же случае структура матриц hyc) и hf) в (6) показывает, что запаздывающий аргумент т j усили-

, (с)

вает положительную определённость матрицы h у и дополнительно приводит к формированию гироско-

пических сил, также увеличивающих запас устойчивости системы. Для доказательства этого утверждения рассмотрим характеристический полином системы (6) в предположении, что к 2Т2) = 0 . Тогда с учётом (8)

имеем характеристический полином системы А£ (р):

А £ (р) = А у (р) + т ^с^р(к 2,1 р + с 2,1),

где Ау (р) - соответствует (8).

Пусть полином Ау (р) соответствует системе, устойчивой по Ляпунову. Тогда годограф Ау (ую) проходит через начало координат (рис. 4 а).

Рис. 4. Влияние на годограф Михайлова запаздывающего аргумента т

Каждая точка годографа А£ (ую) смещается влево на -т1кс1(^)к21ю2 и вверх на величину т 1кс<(г1')с21юу , то есть будет смещаться во внешнюю сторону по от-

ношению к годографу Ау (p) соответствующему устойчивой по Ляпунову системе. Следовательно, годограф А у ( jm) будет отвечать асимптотически устойчивой системе. Более того, если годограф А у ( jm) соответствует неустойчивой системе, то

по мере увеличения hук) = -2 [hу- (hу )T ] система

может приобрести асимптотическую устойчивость (рис. 4 б). Подчеркнём, что механизм влияния

с ук) = J-[с у- (с у )T ] на устойчивость равновесия

двоякий. Во-первых, по мере увеличения запаздывающего аргумента усиливается положительная определённость потенциальной матрицы диссипации, во-вторых, при этом возрастает стабилизирующее влияние гироскопических сил, формируемых кососиммет-ричными составляющими матрицы V .

Пример 2. Рассмотрим систему, имеющую матрицы жёсткости и диссипации подвески индентора, соответствующие примеру 1. Рассмотрим исходное состояние системы при т 1 = 0 для случая

с1(^) = 800 кГ/мм. В этом состоянии система является неустойчивой (см. рис. 3). Рассмотрим преобразование годографа Михайлова А У ( jm), следовательно, устойчивости системы, по мере увеличения т 1 (рис. 5). На иллюстрации годографу А у(jm) соответствует т 1 = 0,05 с. Таким образом, даже малые значения запаздывающего аргумента т1 приводят к стабилизации точки равновесия системы.

Рис. 5. Годографы Михайлова А у (ую) и А у (ую) для примера № 2

Третий случай. Рассмотрим влияние на устойчивость параметра к 2Т2), который связан с кинетической

характеристикой процесса трения [4], и запаздывающего аргумента т 2. Анализ матриц ку и с у в (6)

показывает, что параметр к 2Т2) и т 2 влияют на сим-

метричную составляющую hус). Более того, при увеличении h 2t2) и т 2 возможно преобразование поло, (с)

жительно определённой матрицы h у ' в отрицательно определённую. Очевидно, это следующее условие

h 1,1 h 2,2 < (h 1,1 h 2T2) + h 2,2т 2с jlj -т 2 с jjh 2T2)) . В этом

случае в системе трения формируются ускоряющие силы, при всех условиях вызывающие потерю устойчивости точки равновесия системы. Подчеркнём, что так называемая кинетическая характеристика процесса трения [4], учитывающая уменьшение силы трения при увеличении скорости относительного скольжения, при рассмотрении малых вариаций координат состояния системы в окрестности точки равновесия, имеет тот же механизм потери устойчивости, что и запаздывающий аргумент в изменениях сил обусловленных смещениями в том же направлении.

Выводы

1. При взаимодействии механической системы с трибосредой получаемая динамическая система обладает принципиально иными динамическими свойствами по сравнению с исходной механической системой без трения. При этом в контакте в зоне трения естественным образом формируются диссипативные, ускоряющие, гироскопические, потенциальные и циркуляционные (непотенциальные позиционные) силы. Характерно, что диссипативные и потенциальные силы зависят как от параметров связи, формируемой узлом трения, так и параметров подвески индентора. Что касается гироскопических и циркуляционных сил, то они не зависят от параметров подвески индентора.

Механизм изменения потенциальных и формирования циркуляционных сил связан с тем, что позиционные смещения контактируемых поверхностей в направлении скорости относительного скольжения не изменяет силовых реакций со стороны трибосопряже-ния. При определённом соотношении нормальных и тангенциальных составляющих сил контактного взаимодействия, рассматриваемых в вариациях относительно стационарного состояния, динамическая система за счёт формирования циркуляционных сил может потерять устойчивость. При этом в инденторе развиваются эллипсообразные траектории с увеличивающейся амплитудой. Потеря устойчивости зависит также от параметров подвески индентора. В частности, если матрицы жёсткости и диссипации подвески индентора являются диагональными, то циркуляционные силы не влияют на устойчивость равновесия.

Механизм изменения потенциальных диссипатив-ных и формирования гироскопических сил обусловлен влиянием запаздывания изменения тангенциальных составляющих сил по отношению к вариациям нормальных составляющих. Это запаздывание всегда направлено на стабилизацию точки равновесия системы. За счёт этого система, устойчивая по Ляпунову, всегда становится асимптотически устойчивой. Более того, при увеличении запаздывания неустойчивую

точку равновесия можно стабилизировать за счёт изменения потенциальной матрицы диссипации и формирования гироскопических сил. Влияние этих сил на устойчивость равновесия зависит от параметров подвески индентора. Причём, гироскопические силы не влияют на устойчивость равновесия в том случае, если недиагональные элементы матриц жёсткости и диссипации подвески равны нулю.

Механизм формирования ускоряющих сил обусловлен существованием кинетической характеристики процесса трения, то есть уменьшением тангенциальной силы трения по мере увеличения скорости относительного скольжения в определённом скоростном диапазоне. Ускоряющие силы могут формироваться и за счёт запаздывания нормальных к контак-тируемой поверхности сил при вариациях смещения поверхности в этом же направлении. Можно утверждать, что при всех условиях запаздывание вариаций сил по отношению к смещениям, имеющим то же направление, всегда ухудшает устойчивость системы и при определённом их уровне по отношению к дис-сипативным свойствам подвески может привести к потере устойчивости движения.

2. Структура формируемых сил такова, что при движении поверхностей в вариациях относительно точки равновесия по замкнутому циклу совершается работа не только за счёт сил диссипации, но и за счёт сил упругости. Кососимметричные матрицы с^к)

формируют силы, которые совершают работу при движении по замкнутому контуру. Симметричные

составляющие матриц с£С) - работу не совершают. Кроме этого кососимметричные матрицы И^) формируют силы, которые при движении по замкнутому контуру работу не совершают, в то время как силы формируемые матрицами И^-1 работу совершают. В связи с этим структура работы, совершаемой силами, обусловленными колебаниями в вариациях относительно стационарной траектории достаточно сложная и это обстоятельство необходимо учитывать при изучении эволюционных преобразований в динамической

НИИ «Градиент», г. Ростов-на-Дону

Донской государственный технический университет

системе трения. Заметим, что все эволюционные преобразования зависят от работы и траектории мощности необратимых преобразований в контакте.

Подчеркнем, что выполненный анализ относится к малым колебаниям относительно точки равновесия, поэтому при потере устойчивости в системе необходимо анализировать нелинейные связи, формируемые процессом в вариациях относительно точки равновесия, и образующиеся при этом многообразия в пространстве состояния системы, которые являются естественными для рассматриваемой системы.

В заключение подчеркнём, что при моделировании динамической системы, взаимодействующей с трибосредой, образование точки равновесия фактически свидетельствует о существовании некоторой координаты в пространстве, разделяющем поверхности контактируемых тел, через которую проходит поверхность скольжения при внешнем трении.

Литература

1. Заковоротный В.Л. Нелинейная трибомеханика. -Ростов н/Д: изд-во ДГТУ, 2000. - 293 с.

2. Заковоротный В.Л. Динамика трибосистем. Самоорганизация, эволюция. -Ростов н/Д: изд-во ДГТУ, 2003. -502 с.

3. Заковоротный В.Л. Введение в динамику трибосистем. -Ростов н/Д: ИнфоСервис, 2004. - 680 с.

4. Крагельский И.В., Гитис Н.В. Фрикционные автоколебания. - М., Наука. - 1987.

5. Wehrli C., Ziegler H. Zur Klassifikation von Kräften. Schweiz. Bauzeitung, 84, № 48, 1966.

6. Ziegler H. Linear Elastic Stability. Critical Analysis of Methods, ZAMP, Basel - Zurich, IV, F-2, 1953.

7. Thomson W., Tait P. Treatise on Natural Phylosophy. Part 1. Cambridge University Press, 1879.

8. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1971.

9. Лахаданов В.М. О влиянии структуры сил на устойчивость движения // ПММ. - 1974. Т. 38. С. 246 - 253.

10. Лахаданов В.М. О стабилизации потенциальных систем // ПММ. - 1975. Т. 39. - С. 53 - 58.

11. Демкин Н.Б., Рыжов Э.В. Качество поверхности и контакт деталей машин. -М.: Машиностроение, 1981. -244 с.

5 октября 2006 г.