CC BY
23© Гончаренко С. С., 2015
УДК 781.4
ВИЗУАЛЬНЫЕ ПАТТЕРНЫ ДОДЕКАФОНИИ
В статье исследуется матрица серийных преобразований (МСП). Автор показывает графические образы структурных единиц в музыкальной композиции классиков додекафонии. Это визуальные (незвучащие) крестообразные паттерны и паттерны квадратной фрактальности.
Ключевые слова: магический квадрат, матрица серийных преобразований, визуальный паттерн
Спустя почти сто лет после рождения серийной техники исследования музыкальных произведений, в которых она используется, не исчерпали своего энергетического импульса. Не угасают и дискуссии о творчестве композиторов новой венской школы. Поражает своей очевидностью тот факт, что в музыкальной науке «метод композиции двенадцатью только между собой соотнесенными тонами» до сих пор не получил серьезного обоснования. Его создатель — Арнольд Шенберг — вполне сознавал его научную значимость, но общие теоретические принципы метода не были им сформулированы1. Этого не сделали ни его непосредственные ученики, ни следующие поколения композиторов, которые взяли на вооружение серийную технику, ни ученые.
Все еще остаются без ответа вопросы о том, как объяснить ту, по выражению П. Штадле-на, «энигматическую диалектику эмоционального и рационального начал» («an enigmatic dialectic of emotive and constructive intent») [10], которая присуща музыке триады австрийских композиторов? Каким образом столь жесткий способ организации музыкальной материи, при кажущейся его ограниченности, «породил» музыкальные шедевры А. Шенберга, А. Берга и А. Веберна, дал мощный толчок к развитию композиторского творчества во второй половине XX столетия, «пророс» многочисленными побегами в разных национальных стилях?
Напомним, что ряд, взявший на себя функции тональной и тематической опоры сочинения, не конструировался, не изобретался классиками додекафонии. Он появлялся, как писал А. Веберн, «благодаря тому, что творческие люди называют озарением (Einfall)» [2, c. 58] и «...в большинстве случаев рождался как удачная находка, являющаяся в связи с неким интуитивным представлением о произведении в целом и потом тщательно обду-мывавшаяся» [там же, с. 78] (выделено — С. Г.). Он становился, как они считали, законом сочинения, для которого был предназначен.
Но в чем этот закон состоит и в чем проявляется?
В музыковедческой практике сложился этап предтекстового (предкомпозиционного) анализа, который предшествует рассмотрению серийной композиции. Он включает характеристику: а) серии (О, то есть основного ряда звуков), б) кватерниона — производных от него вариантов — инверсии, ракохода и ракохода инверсии (I, Я., М)2. Однако почти не изучены отношения между вариантами, которые определяют логику музыкальной формы произведения. Поэтому целесообразно сосредоточить внимание на детальном рассмотрении матрицы серийных преобразований (далее МСП). Опыт показывает, что без тщательного изучения этой «предформы» (Уогйэг-ти^), рабочего материала, из которого складываются додекафонные опусы [6, с. 131], их детали и логика целого ускользают от аналитика.
В МСП зафиксирован основной ряд — О (иггеШе или Grundgestalt), все его варианты и их транспозиции. Кроме того, матрица — это компактная запись возможных отношений и комбинаций любого варианта с любым. Она дает возможность установить зависимости, которые использует композитор, выбирая для того или иного опуса несколько вариантов в качестве предпочтительных. Важно также установить, какие именно закономерности, заложенные в МСП, «работают» в музыкальном тексте, как из ее безмолвия сплетается неповторимая звуковая ткань?
Вопрос о таинственных связях музыкального творения с законами природы, о которых неоднократно упоминал в своих лекциях А. Ве-берн, направляет исследователя на поиск истоков и аналогов додекафонных матриц. Поэтому в настоящей статье речь идет, во-первых, о «внему-зыкальных» матрицах как гипотетических моделях МСП. Во-вторых, определяются графические образы тех объединений вариантов ряда, которые становятся структурными единицами в музыкальных произведениях.
В математике матрица — это таблица из совокупности строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы3. При совпадении количества строк и столбцов матрица называется
квадратной, а число строк и столбцов — ее порядком. В квадратной матрице имеются две диагонали: главная (идущая из левого верхнего угла в правый нижний угол) и побочная (идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол). Если в цифровой матрице сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова, она именуется "магическим квадратом"» [3]. Для всех магических квадратов одного порядка эта сумма, а также общая сумма цифр в строках и столбцах - величины постоянные. Подобные квадраты, известные с древности, символизировали гармоническое устройство мироздания, энергетические силы космоса. Числовые отношения, заложенные в них, находили применение в строительстве и архитектуре, а также в ритуальной практике4. Тождество результата вне зависимости от направления линейной записи связывает магический квадрат с буквенными матрицами.
Известно, что А. Веберн много размышлял над феноменом старинного латинского изречения — палиндрома Sator arepo tenet opera rotas, изображенного в виде квадрата (приложение 1, рис. 1). Этот буквенный квадрат 5-го порядка замечателен многомерной обратимостью текста. Он читается одинаково во всех направлениях, а также как бустрофедон5. Верхняя строка в квадрате тождественна инверсии в крайнем левом столбце и ракоходу в крайнем правом столбце. Из этих линий образуется так называемый «гаммати-ческий крест»6. Гамматические кресты в верхнем левом углу и в нижнем правом углу в совокупности с главной диагональю Y образуют фигуру «двунаправленной» (как «Тянитолкай»), обратимой стрелы. Другая такая же стрела расположена вдоль побочной диагонали Z. Всю конструкцию удерживает прямой «катакомбный» крест на слове tenet. Осью симметрии является точка пересечения перпендикулярных линий — неповторяющаяся литера N, расположенная в центре. Ту же осевую точку имеет косой — диагональный Х-образный «Андреевский» крест. Литеры главной и побочной диагоналей: srnrs и rpnpr — расположены зеркально симметрично. Диагонали делят квадрат на равные прямоугольные треугольники, тождественные литеры в треугольниках находятся на равном расстоянии от осей, так как представляют зеркальное обращение.
В квадрате «Sator...» видны несколько фигур, повторяющихся в разном масштабе. В центре квадрата 5-го порядка виден малый квадрат 3-го порядка с идентичной обратимостью сторон: rep и per. Так возникают один в другом три фрактальных квадратных изображения: из одной литеры, из трех и из пяти. Вдоль каждой диаго-
нали в нисходящем и восходящем направлении имеются еще по пять квадратов. Общее их число равно десяти. Полиморфизм изображения, проистекающий из многовариантной обратимости, заключенной в квадрате, вероятно, и обусловливает сакральную символику этой древней магической формулы.
Далеко неслучайны неоднократные возвращения к ней А. Веберна. Она упоминается им в лекциях, приводится в рукописи его Концерта ор. 24, в письме к Х. Йоне7. Для композитора квадрат «Sator...», очевидно, был символом универсальной обратимости, единства мира, порядка в природе и в искусстве. Его воздействие на музыкальные тексты веберновских сочинений, которые являются последовательным воплощением принципа симметрии в эстетически совершенной музыкальной форме, несомненно. В то же время он представляет модель серийной матрицы, в которой воспроизводится заложенный в квадрате полиморфизм многосимметричной структуры.
Аналогию МСП с квадратом «Sator... », их сходство и различие, наглядно иллюстрирует матрица на микросерии BACH — мотиве, составляющем «музыкальное имя» И. С. Баха. В ней есть гамматические кресты, стрела обратимости, фракталы квадратов, но, как и в других квадратах четного порядка, нет катакомбного креста (приложение 1, рис. 2а, 2б, 3).
В додекафонии МСП — это квадратная матрица 12-го порядка. Важнейшее качество магического квадрата «Sator.» — многомерная обратимость. Любой из 48 вариантов ряда может интерпретироваться как исходный, как первый среди равных, если он главенствует в произведении или каком-то его разделе. При повороте квадрата на 90°, 180°, 270° по часовой стрелке основным рядом становятся последовательно три другие стороны квадрата.
Разумеется, тождество обратимых элементов, присущее буквенному квадрату, в графике МСП невозможно. Во-первых, потому что левый столбец матрицы строится не как ее буквальное повторение, а как инверсия серии. Во-вторых, строки матрицы являются не разными словами, а транспозициями основного ряда, его вариантами. Подчеркнем, что, как и для бустрофедона «Sator.», для МСП характерен крестообразный рисунок. В ней заключены косой и гамматиче-ский кресты, хотя нет катакомбного креста; кроме того, «усилена» фрактальность. Диагональ Y дает 12-составные гномоны угловой фрактально-сти. В сочетании со звуками по оси Z в движении от центра к краям образуются шесть квадратов со сторонами по 2, 4, 6, 8, 10, 12 элементов.
Если серия имеет симметричное строение и сегменты представляют собой периодически симметричные или зеркально симметричные структуры, в матрице возникает рисунок шахматного поля, где большой квадрат поделен на равные малые квадраты. Зависимость между количеством сегментов, звуков в сегменте, малых квадратов в большом определяется формулой: a~ где
a — число сегментов в серии, b — число звуков в сегменте. Число квадратов определяется формулой c = a2. Пропорциональное деление ряда на шесть, четыре, три и два сегмента дает соответственно 36, 16, 9 и 4 малых квадрата. Например, a = 6, b = 2, c = 62 = 36 и т. д.
В графических образах МСП, обозначаемых далее как визуальные паттерны, запечатлены структурные единицы нескольких уровней. В музыкальной ткани они воспроизводятся многократно, сохраняя высотные отношения, но меняя фактурно-ритмическое оформление. Основной вид паттерна — линия — соответствует полному проведению двенадцатизвучного ряда или его вариантов. Крестовидные паттерны представляют укрупненные структурные единицы. Кресты прямые, не монограммные, образуются при характерном интонационном комплексе в каком-либо сегменте серии. Сегмент выделяется среди других благодаря внутренней симметрии зеркальности или периодичности. В интонационном развертывании произведения такой интонационный комплекс легко узнается и на слух, и визуально. Крест образуется из двух полос: вертикальной — благодаря транспозициям основного ряда — и его инверсии. Если это центральный сегмент — возникает «катакомбный» крест.
В серии Кантаты ор. 29 А. Веберна четыре центральных звука (5-8) образуют сегмент, имеющий самостоятельное значение. Это мотив BACH, который заключает в себе фигуру креста, поскольку м. 2 c-h является ракоходом инверсии b-a. В матрице Кантаты сегмент «вырастает» в «катакомбный» крест «знамение победы», расположенный точно по центру (приложение 2, рис. 4). Крестовина в МСП оперы «Моисей и Аарон» А. Шенберга еще шире, чем в Кантате А. Веберна. Ее полосы образуются шестизвуч-ными сегментами, которые являются тождественными для избранных автором вариантов основного ряда (Oa) и инверсии (Ih). Матрица оперы приведена на цв. вкл. [4, табл. 7]. В МСП Сюиты для фортепиано ор. 25 А. Шенберга на сегменте BACH — он завершает серию — возникает «бордюр» — «утолщение» гамматического креста. Аналогичный «бордюрный» крест образует-
ся на крайнем целотонном сегменте в МСП Скрипичного концерта А. Берга [4, табл. 2, 3].
Общей чертой квадрата матрицы и древнего магического текста является симметрия в треугольниках, образующихся благодаря диагоналям. Главная диагональ Y строится на повторении первого звука серии, она непрерывна (в отличие от осей бустрофедона), свойство атрибутивное для МСП. Симметрия верхнего и нижнего треугольников — это симметрия зеркального отражения. Побочная диагональ Z бывает выражена по-разному. Неизменно ее главное свойство — зеркальная симметрия звукоряда, которая определяется его расположением по обе стороны от точки пересечения с осью Y.
Констелляция звуков серии, интервальные отношения в ней влияют на интервальное строение диагонали Z и на характер геометрического рисунка внутри квадрата. Как правило, эта диагональ «ломаная», включает не один, а несколько звуков. Когда же серия симметрична, диагональ Z также строится на одном звуке — последнем в серии. Тогда диагонали МСП образуют косой «Андреевский» крест. Примерами могут служить матрицы Симфонии ор. 21 А. Веберна (звуки d и es) [4, табл. 6] и Лирической сюиты А. Берга (звуки f и h, приложение 2, рис. 5). В обоих случаях звуки осей расположены на расстоянии тритона.
«Прерывистые» диагонали Z часто содержат целотоновый звукоряд. В МСП Струнного квартета ор. 28, Кантаты ор. 29 А. Веберна в центре диагонали — тритон (des-g и fis—c); в Вариациях для оркестра ор. 30 — б. 2 (as— b). Диагональ Z порой членится за счет периодической симметрии. Так, в кантате «Улисс» М. Шейбера диагональ Z разделена на две части; вторая часть на звуке fis расположена на б. 3 выше первой, повторяющей звук d (приложение 2, рис. 6). В Концерте ор. 24 А. Веберна она делится на четыре части по типу ав - ав (звуки des as des / a d a / des as des / a d a) [4, табл. 5].
Фрактальность малых квадратов — результат дробления серии — фиксирует меньший структурный уровень. Она зависит от звукового состава диагоналей Y и Z. При этом внутри этих квадратов в большинстве случаев возникает буквальное тождество звуков, оно обнаруживается при их поворотах на 90°, 180° и 270°. Приведем несколько примеров. Четыре малых квадрата образуются в МСП ор. 21, ор. 29, ор. 30 А. Веберна, где два шестизвучных сегмента ряда симметричны (Oa + Rh; Oa + RIdes; Oa + RI ). Ряд из трех зеркально симметричных сегментов 4 + 4 + 4 = O+I+R или O+R+RI и т. д. дает де-
вять малых квадратов. Так, в Струнном квартете ор. 28 А. Веберна центральный сегмент является ракоходом (Оь + Яе8 + О ). Ряд из четырех зеркально симметричных сегментов 3 + 3 + 3 + 3 позволяет использовать комбинацию из всех четырех видов ряда: О, I, Я, Ы. В МСП образуется тогда шестнадцать малых квадратов. Примерами могут служить Концерт ор. 24 А. Веберна (О, +Ы +Я + I,) и Кантата «Улисс» М. Шейбера
4 п ез аз ь 1
(о+мЛ+Яь).
Фрактальность квадратов, образуемых прямоугольными крестами, дает соответствующие группы подобных треугольников. Большие треугольники образуются делением квадрата непрерывными диагоналями Y и Ъ. Так, два набора треугольников, соответствующих 12 квадратам угловой фрактальности, возникают вдоль диагонали У. Их свойство — зеркальная симметрия звукового состава относительно У По диагонали Ъ могут возникать аналогичные треугольники (если она непрерывна); причем в некоторых случаях, как например, в МСП Симфонии ор. 21 А. Веберна, в звуковом составе треугольников имеет место полное зеркальное тождество [4, табл. 6]. Аналогичные отношения возникают при диагональном делении малых квадратов.
Визуальные паттерны матрицы обретают подлинную жизнь во временном континууме музыкального произведения. Графика нотного текста, определяя узоры в рисунке музыкальной ткани, фиксирует аудиовизуальные паттерны. В их звучании «оживает» многомерное пространство магического квадрата. Крестообразные фигуры, фрактальные изображения из квадратов и треугольников в аудиовизуальных паттернах, чередуясь друг с другом, динамично меняют конфигурации МСП. Подвижность внутренних констелляций матрицы — следствие многомерности ее структуры. Она словно пульсирует в калейдоскопе разнообразных сочетаний элементов, подобном мерцанию разноцветных огней елочной гирлянды.
Примечания
1 «Оправданный историческим развитием, метод сочинения на основе двенадцати тонов имеет также эстетическое и теоретическое обоснование. Более того, именно это обоснование возвышает его от чисто технического приема до уровня и значимости научной теории» [1, с. 130].
2 Кватернион — от лат. quaterni, по четыре. Ц. Когоутек называет кватернионом только одну специфическую разновидность комплекса из четырех основных вариантов серии [7, с. 127-128].
3 Термин «матрица» предложен английским ма-
тематиком Д. Сильвестром в 1850 г. Симптоматично, что математическая теория матриц начинает развиваться в период, когда в европейской музыке централизующая роль автен-тизма в гармонии и музыкальной композиции постепенно нейтрализуется, что приводит к формированию структурных отношений иного типа.
4 Единственно возможный квадрат 3-го порядка, где волшебная сумма цифр равна 15, по древнекитайскому преданию был начертан на панцире черепахи, выплывшей из Хуанхэ (2200 г. до н. э.). Древнейший из дошедших до нас квадратов 4-го порядка был обнаружен в XI или XII вв. в индийском городе Кхаджурахо. Считается, что первый «европейский» магический квадрат изображен на гравюре «Меланхолия» А. Дюрера (1514). «Волшебная» сумма его равна 34.
5 Бустрофедон (от греч. поворачиваю) — способ, при котором направление письма чередуется в зависимости от четности строки. Встречается в этрусских, греческих, малоазийских и других памятниках [8]. Смысл текста Sator до конца не разгадан. Анаграмматические перестановки букв бу-строфедона дают начальные слова христианской молитвы Pater noster («Отче наш»). Существовала традиция изображать их в виде греческого, равноконечного креста, при этом литеры «A» и «O» попарно помещать на его окончаниях либо в промежутке между лучами [9].
6 Прямые кресты имеют монограммную и не мо-нограммную форму [5].
7 См.: [2, с. 83, 98, 99; 7, с. 24]. Изречение высечено на могильной плите А. Веберна.
Литература
1. Арнольд Шенберг. Стиль и мысль. Статьи и материалы / сост., пер., комм. Н. Власовой и О. Лосевой. М.: Композитор, 2006. 528 с.
2. Веберн А. Лекции о музыке. Письма. М.: Музыка, 1975.143 с.
3. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. 2-е изд., испр. и дополн. / пер. с англ. М.: Мир, 1999. 447 с.
4. Гончаренко С. С. Детерминированность и недетерминированность музыкальной композиции: учеб. пособие. Новосибирск: Новосиб. гос. консерватория им. М. И. Глинки, 2015. 144 с.
5. Крест — история, виды, символика. Российская книжная палата [Электронный ресурс]. Режим доступа: http: //biblia.org.ua (дата обращения: 18.05.2015).
6. Когоутек Ц. Техника композиции в музыке XX века. М.: Музыка, 1986. 267 с.
7. Холопова В. Н., Холопов Ю. Н. Антон Веберн. М.: Советский композитор, 1984. 319 с.
8. Российская книжная палата [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://ru.wiki-pedia.org> Бустрофедон (дата обращения: 21.06.2015).
9. Российская книжная палата [Электронный ресурс]. Режим доступа: http: //ru.wikipedia. org>SATOR (дата обращения: 21.01.2015).
10. Stadien P. Webern's ideas on the work's interpretation // Anton Webern. Variation op. 27. London: Universal Edition,1979. Nr. 16845. P. V-VII.
Приложение 1 Буквенные матрицы
Прямые кресты, стрела «обратимости», малый квадрат в большом
Рис. 1
Рис. 2а
Рис. 2b
Рис. 3
Приложение 2 Крестообразные визуальные паттерны в додекафонии
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 а f as g h b eis с e es fis d
2 des а с h es d f e as g b fis
3 b fis а as с h d es f e g es
4 h g b a eis с es d fis f as e
5 g es fis f a as h b d eis t с
6 gis e g fis b a с h es d f des
7 f des e es g fis a as с h d b
8 fis d f e as g b a eis с es h
9 d b eis с e es fis f a as g h
10 es h d eis f e g fis b a с as
11 с as h b d eis e es g fis a f
12 e с es d fis f as g h b eis a
Рис. 4. А. Веберн. Кантата ор. 29. «Катакомбный» крест
Рис. 5. А. Берг. Лирическая сюита. Косой «Андреевский крест»
Серия ракоходно симметричного строения. Идентичны верхняя и нижняя строки (Оf=Rf), левый и правый столбцы (Т^К^). В МСП четыре малых квадрата.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 е g as h с es f d cis b a fis
2 cis e f as a с d h b g fis es
3 с es e g as h cis b a fis f d
4 а с des e f as b g fis es d h
5 as h с es e g a fis f d des b
6 f as a с cis fis es d h b g
7 es fis g b h d e cis с a as f
8 ges a b des f g e es с h as
9 g b h d es fis as f e cic с a
10 b des f fis a h as g e es с
11 h es fis g b с a as f e des
12 f fis a b des es с h as g e
Рис. 6. М. Шейбер. Кантата «Улисс». Косой «ломаный крест»
Серия симметричного строения. Звуки 7-12 являются инверсией звуков 1-6. Периодическая симметрия по «ломаной» диагонали Z. Звуки d и fis расположены на б. 2 от звука е диагонали X.
