Визуализация экспериментальных многомерных данных на основе обобщенных графических образов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.9

ВИЗУАЛИЗАЦИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ МНОГОМЕРНЫХ ДАННЫХ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННЫХ ГРАФИЧЕСКИХ ОБРАЗОВ

О.Г. Берестнева, В.А. Воловоденко, К.А. Шаропин,

О.М. Гергет

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Представлены различные подходы к визуализации результатов экспериментальных исследований. Приведены примеры решения прикладных задач с использованием NovoSpark Visualizer.

Ключевые слова:

Методы визуализации, многомерные экспериментальные данные.

Key words:

Imaging, multi-dimensional experimental data.

Современные компьютерные технологии используют широкий спектр методов визуализации информации. Легкость построения графиков и диаграмм с помощью ЭВМ все заметнее меняет когнитивные навыки исследователя. Современные пакеты анализа информации позволяют строить сотни типов различных графиков и диаграмм, в том числе так называемые пиктографики «Лица Чернова». Результаты применения последних в анализе психофизиологических данных представлены в [1]. Методы визуализации позволяют исследователю одним взглядом обнаружить особенности, выявить закономерности и аномалии в больших объемах информации.

Особенно широко графические методы используются в разведочном анализе данных и задачах кластеризации, позволяя выявлять закономерности в многомерных массивах информации. Методы визуализации такого рода (метод главных компонент [2], методы структурного упорядочения [3, 4] и др.) основаны, как правило, на переходе от многомерной к двумерной системе координат.

Основной задачей визуализации данных является задача получения визуального образа, однозначно соответствующего набору данных. Например, в методе структурного упорядочения таким визуальным образом является точка в преобразованном пространстве координат. В данной статье рассмотрен подход, предложенный В.А. Воловоденко [4, 5], который позволяет провести визуализацию основных линейных конструкций: отрезок, ломанная линия, симплекс в многомерных пространствах. Основой визуализационного подхода является линейное преобразование значений многомерного наблюдения A в двумерную кривую fA(t), т. е. A «• fA(t), при этом гарантируется, что близким по значениям наблюдениям A и B будут соответствовать визуально близкие образы-кривые fA(t) и fB(t); для сильно различающихся по значениям наблюдений их образы-кривые будут заметно отличаться.

Берестнева Ольга

Григорьевна, профессор

кафедры прикладной

математики Института

кибернетики ТПУ.

E-mail: [email protected] Область научных интересов:

математическое моделирование, информационные технологии. Воловоденко Виталий

Алексеевич, канд. техн. наук, доцент кафедры оптимизации систем управления Института кибернетики ТПУ.

E-mail: volcowvav@ tpu.ru

Область научных интересов:

информационные технологии. Шаропин Константин

Александрович, канд. техн. наук, доцент кафедры

прикладной математики

Института кибернетики ТПУ. E-mail: [email protected] Область научных интересов:

компьютерные технологии, математическое моделирование. Гергет Ольга Михайловна, канд. техн. наук, доцент кафедры прикладной

математики Института

кибернетики ТПУ.

E-mail: [email protected]

Область научных интересов:

компьютерные технологии и математическое моделирование.

В рассматриваемом случае наиболее общей формой представления данных является вектор конечномерного пространства

A = (Оз, ^ а2,..., аи—1) е ^ (1)

Для перехода от данного вектора к визуальному образу будет использоваться базис ортонормированных функций {pi (т)}” 0 . В качестве такого базиса можно использовать известные функции, в частности ортонормированные полиномы Лежандра на отрезке [0,1], множество которых мы обозначим через {/г (т)}°1 .

В таком случае точке с координатами А = (а0, а, О,..., О-х) можно поставить в соответствие функцию

и—1

(т) = Х а11(т) (2)

¿=0

Формирование вектора А связано с преобразованием данных. Для характеристики наблюдаемого многомерного объекта большую роль играют значения его координат. В большинстве случаев каждый показатель имеет свою единицу измерения, и его значение будет влиять на вид функции (т) . Для того чтобы исключить влияние разноименности

показателей на вид функции (т) , необходимо перейти к безразмерным единицам одним

из известных способов.

Следует отметить, что порядок включения показателей в вектор А также будет влиять

на вид функции (т) . Для обоснования порядка следования показателей при решении конкретных прикладных задач предлагается проведение экспертного оценивания информативности показателей.

Разница между формулами (1) и (2) заключается в том, что для вектора А из (1) возможно только аналитическое представление, в то время как для функции (т) возможно представление в виде графика этой функции. Между (1) и (2) устанавливается однозначная связь в обе стороны, т. е. взаимно-однозначная связь. Если ввести в рассмотрение второй вектор

В = <= = Ь2-.., =и—1)

то ему ставится в соответствие функция

и—1

^в (т) = ^ Ьili (т).

1 =о

Будем считать, что функции РА (т) и Рв (т) являются визуальными образами точек А и В, принадлежащих пространству Rn (рис. 1).

Б

Рис. 1. Визуальные образы точек А и В, принадлежащих пространству Rn

Если с векторами А и В связать точки их концов, а начала векторов разместить в начале координат пространства Я„, то получается взаимно-однозначная связь между точками

пространства Я„ и функциями-образами (г) и (г) . На рис. 2 введены следующие

обозначения для осей координат: Х0, ..., Хп-2, Хп-1 , которые соответствуют показателям

Рис. 2. Условное представление прямой Ь, проходящей через точки А и В в пространстве Я„ Введем переменную г и образуем линейное выражение

С(г) = (1 - г)А + гВ = ((1 - г)а0 + гЪ0, (1 - г)а + гЪ1?...,(1 - г)ап_х + гЪп_х) (3)

Очевидно:

С(0)=А и С(1)=В.

Эта возможность дает право на рассмотрение функции С(г) как функции, представляющей многомерную прямую линию, проходящую через точки А и В в пространстве Ип.

Следовательно, мы можем рассматривать выражение аналогичное (3) для представления отрезка АВ:

z є

[0,1]

AB = (1 - z) A + zB

(4)

Параметр z является последовательным параметром и может представлять различные расстояния. Из выражения (4) следует, что можно образовать функцию

П — 1

Fab (z) = X (1 — Z)aili(т) + zbili(т) (5)

i = 0

Обратим внимание, что эта функция будет зависеть от двух аргументов {z, т}. Это

очень важно, так как дает возможность получения графика функции (z) = F^ (z, т) ,

который является визуальным образом отрезка АВ (рис. 3). Таким образом, получается, что на квадрате [0,1]*[0,1] можно построить гладкую поверхность по формуле (5), которая будет однозначно соответствовать аналитическому выражению (4), представляющему многомерный отрезок АВ.

a0 , a1, a2 ,•••, an-1 ■

Рис. 3. Визуальное представление поверхности, соответствующей отрезку АВ

Рассмотрим пример. Пусть даны многомерные объекты со следующими характеристиками:

Н1 = {1, 0, 0, 0}, Н2= {0, 1, 0, 0}, Н3 = {0, 0, 1, 0}, Н4= {0, 0, 0, 1}.

Преобразуем их с помощью полиномов:

1 -І0 (т) + 0 - (т) + 0 - І2 (т) + 0 - І3 (т)

^ 0 - І0 (т) + 1 - Іх (т) + 0 -І2 (т) + 0 - І3 (т)

^ 0 - І0 (т) + 0 - І (т) + 1 - І2 (т) + 0 - І3 (т)

0 - І0 (т) + 0 - Іх (т) + 0 - І2 (т) + 1 - І3 (т)

В общем случае:

Л А Л*

Лз

г =

^ Л -10 (т) + Л1 - І1 (т) + Л* -І* (т) + Лз - Із (т) = (Г, І(т)) = г (т)

Параметр т представляет собой параметр композиции образа, он безразмерен и играет роль аргумента полиномов. Вектор ^ нельзя изобразить в трехмерном пространстве, поэтому он заменяется на ^\(т), который в свою очередь можно легко представить в виде двумерной кривой.

Для иллюстрации приведем еще один пример из [5]. Предположим, есть два 10-мерных наблюдения А и В со следующими значениями:

А: {53.78, 1, 17.56, 2.54, 6.36, 0.16, 4.63, 8.1, 3.28, 1.9},

В: {50.53, 1.4, 19.05, 2.34, 5.95, 1.53, 3.63, 7.82, 2.98, 2.48}.

Следующие кривые являются визуальными представлениями наблюдений А и В

Б,

Рис. 4. Кривая А

Рис. 5. Кривая В

► т

Теперь совместим эти два образа. Кривые А и В очень похожи друг на друга. Это означает, что исходные наблюдения тоже очень близки друг к другу.

0

0

Б,

т

Рис. 6. Кривые А и В

Чем больше кривые неотличимы друг от друга, тем идентичнее наблюдения, которые они представляют, т. е. метод устанавливает взаимно-однозначное соответствие между строками в наборе данных и их кривыми.

0

Если отобразить кривые наблюдений в трехмерном пространстве, используя третье измерение, называемое также -измерением», как расстояние в многомерном пространстве или промежуток времени между двумя наблюдениями, можно обнаружить много интересных свойств.

Введение понятия расстояния между наблюдениями позволяет отображать наблюдения в трехмерном пространстве, отображая значения величины расстояния на <«-оси». Метрика расстояния выбирается произвольно и соответствует, например, геометрическому (Евклидовое), статистическому (Махаланобис) или хронологическому (временной промежуток) расстояниям. Таким образом появляется возможность отображения как статических, так и динамических данных.

В силу линейности преобразования А ^ /А(1), образу отрезка прямой между многмерными наблюдениями А и В соответствует поверхность, соединяющая образы наблюдений. Любая кривая, представляющая наблюдение с промежуточными значениями, будет лежать на этой поверхности, как показано на рис. 7.

Образы наблюдений А и В в трехмерном изображении Образ отрезка между наблюдениями А и В с

промежуточным наблюдением

Рис. 7. Изображение отрезка многомерной прямой [5]

Для более детального сравнения наблюдений, особенно в случае неоднородных единиц измерения показателей, данные можно трансформировать одним из традиционных способов:

• нормализация - для выражения результатов в единой системе измерений

• стандартизация - для сравнения переменных и/или наборов данных с различными характеристиками распределения или единицами измерения

Представленный подход реализован в пакете ЫоуоБрагк Visualizer, на базе которого авторами был успешно решен ряд прикладных задач анализа и интерпретации многомерных данных в медицине [6, 7], педагогике [4] и социальной сфере [6, 9].

Таким образом, представление многомерного наблюдения в виде двумерного образа (кривой) гарантирует, что близким по значениям наблюдениям А и В будут соответствовать визуально близкие образы-кривые; для сильно различающихся по значениям наблюдений их образы-кривые будут заметно отличаться. Становится возможным автоматически классифицировать наблюдения, определять наиболее важные переменные в модели, производить кластеризацию данных, визуально сравнивать индивидуальные наблюдения и целые наборы данных, а также выполнять много других задач в работе с многомерными данными.

что представленные в статье методы и подходы являются перспективными направлениями в области анализа и представления многомерных экспериментальных данных.

1. Шаропин К.А., Берестнева О.Г., Шкатова Г.И. Визуализация результатов экспериментальных исследований //Известия Томского политехнического университета, 2010. - Т. 316. - № 5. - С. 172-176.

2. Дюк В.А., Эммануэль В. Информационные технологии в медико-биологических исследованиях. - СПб: Питер, 2003. - 528 с.

/л(()

Результаты проведенных авторами исследований позволяют уверенно утверждать,

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

3. Попечителев Е.П. Анализ числовых таблиц в биотехнических системах обработки экспериментальных данных. - Л.: Наука, 1985. - 148 с.

4. Марухина О.В., Берестнева О.Г., Воловоденко В.А., Шаропин К.А. Технологии визуализации результатов экспериментальных исследований //Информационные и математические технологии в науке и управлении: Труды XVI Байкальской Всерос. конф.. Часть 3. - Иркутск, 2010. - С. 165-171.

5. Шаропин К.А., Берестнева О.Г., Воловоденко В.А., Марухина О.В. Визуализация медицинских данных на базе пакета NovoSpark // Известия Южного федерального университета. Технические науки, 2010. - Т. 109. - № 8. - С. 242-249.

6. Берестнева О.Г., Пеккер Я.С., Шаропин К.А., Воловоденко В.А. Выявление скрытых закономерностей в медицинских и социально-психологических исследованиях // Аппликативные вычислительные системы: Труды 2-й Междунар. конф. по аппликативным вычислительным системам. - Москва, 29-31 октября 2010. - Москва: Институт Актуального образования «ЮрИнфоР-МГУ», 2010. - С. 287-296.

7. Марухина О.В., Берестнева О.Г., Шаропин К.А., Осадчая И.А. Когнитивная графика в

социально-психологических исследованиях // Информационные и математические технологии в науке и управлении: Труды XVI Байкальской Всерос. конф.

«Информационные и математические технологии в науке и управлении». Часть 3. -Иркутск, 2011. - С. 176-181.

Поступила 15.10.2011 г.