CC BY
14
НЛТУ
УКРЛ1НИ
t ,
Hl/IUB
Науковий bIch и к НЛТУУкраТни Scientific Bulletin of UNFU
http://nv.nltu.edu.ua https://doi.org/10.15421/40280123 Article received 22.02.2018 р. Article accepted 28.02.2018 р.
УДК 536.24
ISSN 1994-7836 (print) ISSN 2519-2477 (online)
[^1 Correspondence author V. I. Havrysh gavryshvasyl@gmail.com
В. I. Гавриш1, В. Б. Ло1'к2, О. Д. Синельтков2, Т. В. Бойко2
1 Нацюнальнийутверситет "Львiвська полтехтка", м. Львiв, Украша 2 Львiвський державний утверситет безпеки життeдiяльностi, м. Львiв, Украша
ВИЗНАЧЕННЯ ТЕМПЕРАТУРНИХ РЕЖИМ1В У 3D СТРУКТУРАХ
13 ЧУЖОР1ДНИМИ ВКЛЮЧЕННЯМИ
Розроблено лшшну та нелшшну математичш моделi визначення температурних режимiв у 3D (просторових) середови-щах iз локально зосередженими теплоактивними чужорiдними включеннями. Класичнi методи не дають змоги розв'язувати крайж задачi математично! фiзики, що вдаовщають таким моделям, у замкнутому вигляд^ З огляду на це описано споаб, який полягае в тому, що теплофiзичнi параметри для неоднорiдних середовищ описують за допомогою узагальнених фун-кцiй як едине цше для вае! системи. Унаслiдок цього отримують одне ршняння теплопровiдностi з узагальненими пох1дни-ми та крайовими умовами тшьки на межових поверхнях цих середовищ. У класичному випадку такий процес описують системою рiвнянь теплопровiдностi для кожного з елеменлв неоднордаого середовища з умовами вдеального теплового контакту на поверхнях спряжения та крайовими умовами на межових поверхнях. Для випадку нелшшних моделей умову рiв-носта температур на поверхнях спряження рiзнорiдних елементiв конструкцiй неможливо застосувати. Враховуючи викладе-не вище, запропоновано споаб, який полягае у застосуванш перетворення Кiрхгофа, що дае змогу лшеаризувати нелiиiйну крайову задачу для наведено! конструкцп i як наслiдок стае можливим розв'язувати такого роду крайж задачi математично! фiзики. Отримано розрахунюж формули для визначення температурного поля в наведених просторових середовищах для сталого та змшного за температурою коефщента теплопровiдиостi конструкцiйиих матерiалiв. 1з використанням отриманих аналiтичиих розв'язкiв лшшно! та нелишно! крайових задач створено обчислювальш програми, що дають змогу отримати розподiл температури та аналiзувати конструкци щодо термостiйкостi. Як наондок, стае можливим 11 пiдвищити i цим самим захистити ввд перегрiваиня, яке може спричинити руйнування як окремих елемеигiв, так i конструкцiй загалом.
Ключовi слова: теплопровдають; температурне поле; термочутлива система.
Вступ. У сучаснш мiкроелекгроиiцi часто застосо-вують магерiали з чужорiдиими теплоактивними включеннями. Шд час на^вання иаявиiсгь включень приз-водить до виникнення иеодиорiдиого гемперагуриого поля, що спричиняе термофотопружний ефект, який полягае у появi двопроменезаломлення у структурах. Яви-ще гермофогопружиого ефекту виявлено доволi давно, але воно i досi е малодослвдженим. Для вивчення цього явища використовують в експериментах як зиачиi темпе-ратурш градiеиги, так i абсолюгиi значення температури.
У сучасиiй опгичиiй техтщ важливими i критични-ми елементами, яш визначають ефекгивиiсгь i на-дiйиiсгь пристро!в, е селекгивиi оптичш фiльгри, що грунтуються на неоднорщних структурах. З часом ви-моги до цих елеменпв зростають: йдеться про забезпе-чення максимально! селективносп й експлуатацшно! сгiйкосгi, тобто про тдвищення якосгi, мiиiгюризацiю, здешевлення приладiв. Тому розробляють иовi структу-ри штерференцшних фiльгрiв, а також алгоритми роз-
рахунку структурних параметрiв. Важливим у цих роз-робках е встановлення зв'язку мiж параметрами структурних елемеитiв фiльтрiв та оптичними характеристиками. Одним iз основних структурних параметрiв е температура, достовiрне визначення яко! розрахунковим шляхом потребуе розв'язування складних крайових задач теплопроввдносп, оск1льки експериментальнi досль дження е практично неможливими.
З огляду на це виникла потреба розробити лшшш та нелшшш математичш моделi визначення температурних полiв у просторових структурах iз чужорщними включеннями, як1 дають змогу аналiзувати температур-нi режими як у всш областi системи, так i в областi не-однорiдностей.
Аналiз останнiх досл1джень та формулювання проблеми. Визначення температурних режимiв як в од-норiдних, так i неоднорвдних конструкцiях привертае увагу багатьох дослщнишв (Carpinteri & Paggi, 2008; Yangian & Daihui, 2009).
1нформащя про aBTopiB:
Гавриш Василь 1ванович, д-р техн. наук, професор кафедри программного забезпечення. Email: gavryshvasyl@gmail.com ЛоТк Василь Богданович, канд. техн. наук, доцент кафедри пожежно' тактики та аваршно-рятувальних робгг. Email: v.loik1984@gmail.com
Синельнiков Олександр Дмитрович, канд. техн. наук, доцент кафедри пожежно' тактики та аварШно-рятувальних робiт. Email: o.synelnikov@gmail.com
Бойко Тарас Володимирович, канд. техн. наук, доцент, заступник начальника навчально-наукового шституту пожежно' та
техногенно' безпеки. Email: boykotaras@gmail.com Цитування за ДСТУ: Гавриш В. I., Ло'к В. Б., Синельшков О. Д., Бойко Т. В. Визначення температурних режимов у 3D структурах i3
чужорщними включеннями. Науковий вкник НЛТУ Укра'ни. 2018, т. 28, № 1. С. 112-117. Citation APA: Havrysh, V. I., Loik, V. B., Synelnikov, & O. D., Bojko, T. V. (2018). Determination of Temperature Modes in 3D Structures with Foreign Inclusions. Scientific Bulletin of UNFU, 28(1), 112-117. https://doi.org/10.15421/40280123
У робот (Ghannad & Yaghoobi, 2015) отримано ана-лiтично-числовий розв'язок осесиметрично1 задачi тер-мопружносл для товстостшного цилiндра за ди теплового потоку з довшьно заданими крайовими умовами. Отриманий розв'язок дае змогу проаналiзувати вплив теплових та мехатчних навантажень на термомехашч-ну поведанку цилiндра.
Розв'язано одновимiрну стацiонарну температурну та механiчну задачi i наведено сmввiдношення для виз-начення теплових i механiчних навантажень у порож-нистш товстостiннiй сферi. Розподал температури зоб-ражено функцiею вiд радiальноl координати для зада-них загальних теплових i механiчних крайових умов на внутрiшнiй i зовнiшнiй поверхнях сфери (Jabbari, Ка-гатроиг & Eslami, 2011).
У робоп (Bayat, Moosavi & Bayat, 2015) розв'язано нестащонарну задачу теплопровiдностi та термопружно-сл для функцюнально-градаентних товстоспнних сфер. Теплофiзичнi i термопружнi параметри матерiалiв, за винятком коефiцiента Пуассона, е довшьними функщ-ями радiальноl координати.
Розглянуто осесиметричну стацiонарну задачу теп-лопровiдностi i термопружносл для порожнистих фун-кцiонально-градiентних сфер вiдносно джерела тепла. Отримано розв'язки у вигляд функцiй вiд просторових координат для температури, компонент вектора перемь щень i тензора напружень iз використанням крайових умов за радiальною та кутовою координатами (Mohaz-zab & Jabbari, 2011).
Розроблено методи розв'язування лiнiйних крайових задач теплопровiдностi для однорiдних та шаруватих 2D середовищ iз теплоактивними включениями. Наведено низку побудованих математичних моделей визначення температурних полiв у таких середовищах. Зап-ропоновано способи лшеаризацп нелiнiйних крайових задач теплопровiдностi у термочутливих кусково-одно-рiдних середовищах та наведено математичш моделi аналiзу температурних режимiв для лiнiйно змшного коефiцiента теплопровiдностi вiд температури у цих системах (Gavrysh & Fedasjuk, 2012).
Подано математичну модель визначення температурного поля, зумовленого тепловим потоком, у термо-чутливому 2D середовищi з наскрiзним включенням (йти^, 2017).
Огляд основних лiтературних джерел показав, що малодослщженими та не розробленими залишилися мо-делi, яю враховували б кусково-однорiдну структуру конструкцш та термочутливiсть. Оск1льки конструкци тддаються температурним впливам, то у певних штер-валах температур стае вiдчутним вплив термочутливос-тi на результати розрахунку температурних полiв. Це приводить до розроблення нелiнiйних моделей процесу теплопровiдностi та аналiзу, оск1льки розв'язки крайових задач, що вiдповiдають цим моделям, е точт-шими за розв'язки вiдповiдних лiнiйних крайових задач. Розрахунки температурних полiв у таких системах ви-користовують у подальшому для проектування склад-них систем iз метою термостiйкостi. Точнiсть цих роз-рахункiв впливатиме на ефективтсть метода, як1 вико-ристовують у процеа проектування.
Мета та завдання дослiдження. Метою роботи е створення лшшно1 та нелшйно1 математичних моделей визначення температурних режимiв у просторовому се-редовищi зi включенням, зумовлених локально зосере-
дженими виутрiшнiми джерелами тепла. Це дасть змогу тдвищити точиiстъ визначення температурних полiв у складних системах та ефективнiстъ методв проектування.
Для досягнення поставлено1 мети сформульовано таю задача
• отримати вихiдне лiнiйне рiвняння теплопровiдиостi зi син-гулярними коефiцiеигами з крайовими умовами та його ана-лггичний розв'язок. Цей розв'язок дае змогу розробити алгоритм i розрахункову програму для визначення температурного поля в довшьнш точц конструкци "шар - включення";
• за допомогою перетворення Кiрхгофа лшеаризувати вих1д-ну нелiнiйну крайову задачу теплопровдаост! Отримати спiввiдиошення для визначення змiнноl Кiрхгофа та для за-даних анаттичних залежностей коефщеш'а теплопровщ-носп вiд температури матерiалiв конструкцЦ отримати роз-рахуиковi формули для знаходження розподiлу температури. Ц формули виражають температурне поле в довшьнш точц термочутливоl конструкцу "шар - включення". Вони дають змогу розробити алгоритм i розрахункову програму для визначення температурного поля та проаналiзувати температуры режими у термочутливих просторових середовищах iз включеннями.
Результати досл1дження процесу теплопров1днос-■п для кусково-однор1дних середовищ. Сформулюемо крайову лшйну та нелiнiйну задачi теплопровiдностi та наведемо методику розв'язування для просторового се-редовища, яке мютить включення малих розмiрiв, в об-ластi якого дiють рiвномiрно розподшеш внутрiшнi джерела тепла.
1. Шар 1з теплоактивним включенням Об'ект дослЬдження та математична модель. Розглянемо просторове середовище, описане iзотроп-ним шаром, який мiстить паралелепiпедне включення з об'емом У0 = 8НЬё, в област 00 якого дiють рiвномiрно розподiленi внутрiшнi джерела тепла з потужтстю q0=const. Наведену конструкцiю вiднесено до декартово! прямокутно1 системи координат (х, у, z) iз початком О у центрi включення. На поверхнях включення юну-ють умови реального теплового контакту, а на межо-вих поверхнях шару КЬ, Кп задано умови конвективного теплообмшу iз зовнiшнiм середовищем зi сталою температурою (рис. 1).
Для визначення стащонарного температурного поля t(x, y, z) у наведеному неоднор1дному середовищ1 вико-ристаемо р1вняння теплопровдаосп (Podstrigach, Loma-kin & Koljano, 1984; Koljano, 1992)
div [A( x, y, z ) gradd(x, y, z)J = -Q (x, y, z), (1)
A( x, y, z ) = Л + (Л0-Л) N (x, h) N (y, b) N (z, d);
де: (2)
Q ( x, y, z ) = q0N ( x, h) N ( y, b ) N ( z, d );
Ль k0 - коефiцiенти теплопров1диост1 для матер1ал1в шару та включення вдаоввдно; d(x, y, z) = t(x, y, z) - tc;
5 (z) =
1, Z > 0
0,5, Z = 0 - симетрична одинична функцiя
о, Z< о
(Korn, Korn, 1977); N (Zn) = S (Z + n)- S (Z-n)-KpaüoBi умови запишемо у такому виглядi
, дв kHz
- -abe в
. дв
= а£
в у
= 0.
(3)
1|Х-^да " l|y|-^да
де ab, an - коефiцieнти тепловiддачi з межових повер-хонь Kb, Kn шару вщповщно.
Припустимо, що розмiри включения е малими по-рiвняно з вiдстанями lb, ln вщ його межових поверхонь П±={(х, y,±d): |x|<h, y|<b} до межових поверхонь Kb, Kn шару. Введемо зведену теплопровiднiсть А0=Х0¥0 вклю-чення, зведену потужшсть дiючих у ньому джерел тепла Q0=q0V0 i перейдемо у виразах (2) до границ для h—0, b—»0, d—0, зберiгаючи при цьому Л0 i Q0 сталими та використовуючи ведому границю
lim ЖЛ = S(Z).
Тодi отримаемо:
X(x,y,z) = A1 + A0S(x,y,z) ; (4)
Q (x,y, z)= QaS(x,y, z). (5)
де S(x, y, z) - дельта-функцiя Дiрака (Korn, Korn, 1977).
Хоча локальна неоднорiднiсть шару, описана ств-вiдношенням (4), що метить дельта-функщю Драка, формально зосереджена в початку координат, однак во-на характеризуеться сшнченними розмiрами, пов'язани-ми з об'емом V0. Отже, за допомогою виразу (4) ефек-тивно враховано сшнченш розмiри включення.
Пiдставивши вирази (4), (5) у спiввiдношення (1), отримаемо рiвняння
дв(x,0,0) '
Ло к
де:
дх
дв + —
дг
дв( х,0,0) дх
У=0
S( х )S( У, z )+дв^
S ( У )S( х, z )-
S( z )S( х, y )
Q0
+ Дв = -^° S( х, y, z ), Xi
* 1 дв( х,0,0)
х=0 2 дх
+ -
х=+0 д2
дв( х,0,0
дх
д2 д2 Д = —2 + —2 + - ,,
дх ду дг
А - оператор Лапласа в декартовш прямокутнш системi координат.
Аналтичний розв'язок задачи Застосувавши iнгег-ральне перетворення Фур'е за координатами x та y до рiв-няння (6) та умов (3), приходимо до тако! крайово! задачi:
de - 72в = PS( z)+ PsS'{ z),
dz
_ , de
= -abe , к—
z=d+l> z=d+i> dz z=-d-ln z=-d-ln
(7)
(8)
де
e(a,ß,z) = — J еаЧх J eeißydy,y2 = a2 + ß2
P=-
00
2nk
P2 = -
Л0 дв(0,0, z)
Тут враховано, що
дв(х,0,0)
2жХ\ дz
дв(0, у,0)
дх
ду
Розв'язавши рiвняння (7) методом варiацil сталих, отримаемо його загальний розв'язок у виглядi
в(а, ß, z) = c1eYz + c2e~rz + jjp ShYz + P2 chyz j S(z).
Використавши крайовi умови (8) для визначення сталих iнтегрування c1, c2, отримае частковий розв'язок задач (7), (8)
1
e(a,ß,z) =—ГP / r{a+na+be 2Д*
+eY(4d+2l>+2/„-|z|)
+a-aj-eYz +
a+a-eYz+2d+2n + a-a+eY(2d+2lb - z)) + P2(a-a-eYlzl sgn z - (9)
y+er(4d+24+2l„-|z|)
eY(z + 2d+24) .
де
+a-a+ eY(2d+2l>- z))].
Д* = a-a--ata+e2Y(2d+lb+ln); a± = (ky ± a>);
11, якщо Z> 0; 0, якщо Z = 0; -1, якщо Z < 0.
Застосуемо обернене штегральне перетворення Фур'е до сшвввдношення (9). Тодi отримаемо вираз для визначення температури
2 да да _
в(х,у,z) = — J Jcosa*cosßye(a,ß,z)dadß. (10)
n 00
Використавши формул (10), отримаемо таке ств-вiдношення для визначення величини:
дв(0,0, z)
дz
1 да да p
— J J -P-(aJ+a'b e2yl'-a-a+be2Yl>)e2Yddadß п 0 0 Д*_
1+
Л0
J J [K] dadß
0 0
2y(d + l>) _
2п2к 0 0 Д*
,(6)
де К = а+ (а+пе2^^- а-)е2^+ а- (а- - а+ е2^).
Отже, шукане температурне поле у просторовому середовищi з теплоактивним включенням виражено формулою (10). За допомогою не! можна розробляти алгоритми та обчислювальш програми для аналiзу тем-пературних режимiв у елементах або окремих вузлах м^оелектронних та оптичних пристро!в, як1 геомет-рично описують такими структурами.
Анал1з числових результатiв. За формулою (10) для значень безрозмiрних координат Х=х^=0, 7=у^=0 виконано числовi розрахунки розподiлу безрозмiрноl температури Т*=вХ1/^0Ь1) залежно вiд просторово! без-розмiрноl координати Z=z/h для рiзних матерiалiв включения. Матер1алом шару е ксра\пка ВК94-1 (рис. 2).
A 1
2
------ —
-- -►
-5 -3 -1 1*3 г
Рис. 2. Змша 6езрозм1рно1 температури T за просторовою без-розм1рною координатою Z для р1зних матер1ал1в включення конструкцй "шар-включення": 1 - "керамжа ВК94-1 (Xj = 13,4 вт/(м-град)) - ср1бло; (X0 = 419 вт/(м-град))"; 2 - "керамжа ВК94-1 - алюм1н1й (Xj = 207 вт/(м-град))"; 3 - "керамжа ВК94-1 - кремн1й (Xj = 67 вт/(м-град))"
z=-d-l
z=-ii-l
да да
z=0
у=0
х=-0
z=0
0
х=0
У=0
За поведшкою кривих, яш ввдображають змшу без-розмiрноl температуры за просторовою координатою 2 для рiзних матерiалiв включення конструкцп "шар-включення", можна стверджувати, що матерiал включення значно впливае на И розподш.
Рис. 3 iлюструе змiну температури в за просторовою координатою г для значень шших просторових координат х=у=0. в°С1
15
10
0
k /
2
-»
-5 -3-113
Рис. 3. Залежшсть розподшу температури 0 вщ просторово! ко-ординати z в конструкци "шар-включення": 1) "керамжа ВК94 -1 - срiбло"; 2) середне значення коефiцieнта теплопровiдностi для цих матерiалiв
Результати обчислень свщчать про те, що усереднен-ня коефщента теплопров1дност1 для конструкцшних матер1ал1в системи призводить до значно! похибки.
2. Термочутливий шар Í3 теплоактивним вклю-ченням
Об'ект досл^ження та математична модель.
Розглянемо термочутливий шар 1з чужорвдним вклю-ченням паралелетпедно! форми, в обласп якого дь ють р1вном1рно розподшеш внутр1шш джерела тепла з потужшстю q0 (див. рис. 1). Для визначення стацюнар-ного температурного поля t(x, y, z) скористаемось нель ншним р1внянням теплопров1дност1
div [ Л(х, y, z, t)grad t(x, y, z) ] = -Q(x, y, z), (11)
де: k(x, y, z, t) = A1(t)+[A0(t) - ^(t)]N(x, h)N(y, b)N(z, d) -коефщент теплопроввдносп неоднорвдного термочут-ливого шару; X1(t), X0(t) - коефщенти теплопроввдносп матер1ал1в шару та включення вщповвдно.
Крайов1 умови запишемо у вигляд1
=—а —tv
= 0,
z=d+1ь
= t
= 0.
ЫНХ
(12)
Припустимо, що чужорiдне включення е малим. То-да, аналогiчно формулi (4), сшвввдношення для коефь цiента теплопроввдносп термочутливого шару запишемо у виглядi
A(x, y, z, t) = A(t) + AqS(x, y, z). (13)
З урахуванням формули (13), пiсля деяких перетво-
рень рiвняння (11) перепишемо так:
*
dt(0,0,z)
div[A(t)gradt(x, y, z)] = —Л0
dz
Розглянемо змшну Кiрхгофа
1 t(x, y,z) &(x, y, z) = — J A (Z) dZ,
A n
(15)
продиференцшвавши яку за змiнними x, y та z, отри-маемо
dt
A0—=m— (Z=x, y, z),
dZ
dZ
(16)
де A - опорний коефiцiент теплопровiдностi шару.
Аналтичний розв'язок задачи За допомогою вира-зу (16) рiвняння (14) перетворимо i запишемо у виглядi
АЧ = ——
A0
л,
dt(0,0, z)
dz
S'(z) + Q0Ó(z)
S(x, y).
(17)
Спiввiдношення (15) дае змогу крайовi умови (12) записати у виглядi
dz
' dz
= 0, Ч
=d+1ь
= ч
= 0.
(18)
|y|H»
Застосувавши iнтегральне перетворення Фур'е за координатами x та y до задачi (17), (18), прийдемо до зви-чайного диференшального рiвняння зi сталими коефь шентами
d Ч 2-
dz
— rl» = —
2nA0
Л,
d t (0,0, z)
dz
i таких крайових умов:
dz
M dz
= —d —t:
S'(z) + Q0S(z)
= 0,
(19)
z=d+lb
де
1
z) = — J eiaxdx J 4.x, y, z)eieydy
(20)
- трансформанта функцп 4(x, y, z).
Загальний розв'язок рiвняння (19) отримаемо за методом варiацii сталих у виглядi
z) = c1eYz + c2e~Yz —
1
2nA0
Л,
dt(0,0, z)
dz
sh yz
ch yz + Q0
z=0 Y
S(z).
Використавши крайовi умови (20), визначимо стал iнтегрування. Тодi отримаемо такий частковий розв'язок задачi (19), (20):
Ча,р, z) =
2пА0
Л0
dt(0,0, z)
chY(z + d + ln)
—chYzS(z) + Q
Y
dz
chY(z + d + ln)
sh Y(2d + ln + - ch Y(d + lb) — shYz S(z)
sh Y(d + lb) —
(21)
sh Y(2d + ln +1
Застосувавши обернене штегральне перетворення Фур'е до спiввiдношення (21), отримаемо вираз для та-rai' функцii
2 » » _
4(x,y,z)í ícosaxcosfiy4a,p,z)dadfi. (22)
П
00
Для конкретних залежностей коефщента теплопро-вiдностi матерiалу шару вщ температури, iз викорис-танням сшвввдношень (15), (22), отримаемо нелiнiйне рiвняння для визначення величини
d t(0,0, z) *
S(x, y)S(z) — QvSx y, z), (14)
dz
Шукане температурне поле у наведенш неоднорiд-нiй термочутливiй просторовiй OTOTOMi визначаемо з не-лiнiйного рiвняння, отриманого з використанням cniB-ввдношень (15), (22) та конкретних залежностей коефщен-та теплопровiдностi матерiалу шару вщ температури.
4acmKoei приклади та анал1з отриманих резуль-mamie. Для низьких температур залежшсть коефщента теплопроввдносп неметалiчних кристалiв вiд температури виражають у виглядi (Berman, 1979)
Mt) = Kt3 (к- const). (23)
Тодi з використанням виразiв (15), (22) отримуемо формулу для визначення температури t(x, y, z)
t(x, y, z) = 44/ K^aix, y, z). (24)
z=0
d—l
xiH®
z
z
z=0
X
X
*
*
1
t
xihx
z
z=0
Значения величини
нелшшного рiвияния:
3 /(0,0, z)
dz
визначаемо з такого
[43(0,0,0)]
-3/(0,0, z)
dz
33(0,0, z)
z=0 ^ к J dz У багатьох практичних задачах iснуе така залеж-шсть коефiцiента теплопроввдносп вщ температури (Berman, 1979; Lomakin, 1976):
M/) = MQ(1 - k/), (25)
де Л0 i k - опорний i температурний коефiцiенти теплоп-ровiдностi.
Використавши спiввiдношения (15), (22), отримаемо таку формулу для визначення температури t(x, y, z): 1 -J 1 - 2kx3(x, y, z)
а величину
/(x, y, z) д /(0,0, z)
(26)
dz
визначаемо з такого нелшшно-
го рiвняння
де
"d 3(0,0, z)
dz z=0
- [1 - 2кД0,0,0)] д 3(0,0, z)
d/(0,0, z) *
dz z=0
1
Qq и
-aq
п2М к
d/(0,0, z)
dz
shy(d + ln)
dz
■H
sh у (2d + ln + lb)
shy(d + ln)
ch y(d + lB) - ^
dad в -
Hr
z=q 0 0 shy (2d + ln + lb)
shy(d + lb) dad в
3(0,0,0) =
1
Л,
д/(0,0, z)
■Qq цг
tT2MQ
chy(d + ln) sh у (2d + ln + lb)
chy(d + ln)
dz
sh y(d + lb)
dad в +
-ch y(d + lb) dad в
00 r^shy(2d + !„ + 4)
Отже, отримано зручш формули (24), (26) для визначення температурного поля, зумовленого локальним внутршим на^ванням, що дае змогу аналiзувати тем-пературнi режими у неоднорвднш термочутливiй прос-торовiй структурi.
Обговорення отриманих результат дослщжен-ня. У процеа розроблення та дослвдження лшшно! та нелшшно! математичних моделей визначення температурного поля для конструкцш, яш геометрично описано наведеними просторовими структурами з теплоактив-ними включениями, виявлено, що хоча чужорiдне включения е малим, зате врахування його конструк-цiйного матерiалу е важливим, про що стверджують числовi розрахунки. Усереднення значень коефiцiента теплопроввдносп для матерiалiв шару та включення приводить до значно! похибки результатiв обчислень температурного поля. Тому у таких дослщженнях важливим е врахування локальних неоднорщностей, як1 мiстять подiбнi структури. Це значно ускладнюе розв'язування вiдповiдних лшшно! та нелшшно! крайо-
вих задач, зате розвязки цих задач адекватшше до реального процесу описують шуканi результати.
Висновки
1. Розроблено математичну модель визначення температурного поля в просторовому середовищi з тепло-активним включенням. Отриманий аналiтичний розв'я-зок дае змогу визначити розподш температури в кон-струкцп "шар-включення" i на основi цього аналiзувати температурнi режими у просторових середовищах, як1 геометрично можна описати такою системою.
2. Розроблено нелшшну математичну модель визна-чення температурного поля в термочутливому просто-ровому середовищi зi включенням. Застосовано перет-ворення Кiрхгофа, яке дало змогу лшеаризувати вихщ-ну нелшшну крайову задачу теплопровщностг Для за-даних залежностей коефiцiента теплопровiдностi вщ температури матерiалiв конструкцп отримано розра-хунковi формули для визначення температурного поля. Вони дають змогу аналiзувати температурнi режими у термочутливих просторових середовищах геометрично! форми "шар-включення".
Перелш використаних джерел
Bayat, A., Moosavi, H., & Bayat, Y. (2015). Thermo-mechanical analysis of functionally graded thick spheres with linearly time-dependent temperature. Scien/ia Iranica, 22(5), 1801-1812. Berman, R. (1979). Teploprovodnos/' /verdyh /el. Moscow: Mir, 288 p. [In Russian].
Carpinteri, A., & Paggi, M. (2008). Thermoelastic mismatch in nonhomogeneous beams J. Eng. Ma/h., 61(2-4), 371-384. https://doi.org/10.1Q07/s10665-0Q8-9212-8 Gavrysh, V. I., & Fedasjuk, D. V. (2012). Modeljuvannja /empera/urnyh rezhymiv u kuskovo-odnoridnyh s/ruk/urah. Lviv: V-vo Nac. un-tu "L'vivska politehnika", 176 p. [In Ukrainian]. Ghannad, M., & Yaghoobi, M. P. (2015). A thermoelasticity solution for thick cylinders subjected to thermo-mechanical loads under various boundary conditions. Int. Journal of Advanced Design & Manufac/uring Technology, 8(4), 1-12. Havrysh, V. I. (2017). Investigation of temperature fields in a heatsensitive layer with through inclusion. Ma/erials Science, 52(4), 514-521.
Jabbari, M., Karampour, S., & Eslami, M. R. (2011). Radially symmetric steady state thermal and mechanical stresses of a poro FGM hollow sphere. In/erna/ional Scholarly Research Ne/work ISRN Mechanical Engineering, 11, 1-7, https://doi.org/10.5402/2Q 11/305402 Koljano, Ju. M. (1992). Me/ody /eploprovodnos/i i /ermouprugos/i neodnorodnogo /ela. Kyiv: Naukova dumka, 280 p. [In Ukrainian]. Korn, G., Korn, T. (1977). Spravochnik po matematike dlja nauchnyh
rabotnikov i inzhenerov. Moscow: Nauka, 720 p. [In Russian]. Lomakin, V. A. (1976). Teorija uprugos/i neodnorodnyh /el.
Moscow: Izd-vo Mosk. un-ta, 376 p. [In Russian]. Mohazzab, A. H., & Jabbari, M. (2011). Two-Dimensional Stresses in a Hollow FG Sphere with Heat Source. Advanced Ma/erials Research, 264-265, 700-705.
https://doi.org/10.4Q28/www.scientific.net/amr.264-265.70Q Podstrigach, Ja. S., Lomakin, V. A., & Koljano, Ju. M. (1984). Termouprugos/' /el neodnorodnoj s/ruk/ury. Moscow: Nauka, 368 p. [In Russian].
Yangian, Xu., & Daihui, Tu. (2009). Analysis of steady thermal stress in a ZrO2/FGM/Ti-6Al-4V composite ECBF plate with temperature-dependent material properties by NFEM. WASE In/. Conf. on Informa. Eng., 2-2, 433-436.
z=0
*
0
k
z=0
2
2
0
z=0
*
z=0
00
В. И. Гаврыш1, В. Б. Лоик2, А. Д. Синельников2, Т. В. Бойко2
1 Национальный университет "Львовская политехника", г. Львов, Украина 2 Львовский государственный университет безопасности жизнедеятельности, г. Львов, Украина
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНЫХ РЕЖИМОВ В 3D СТРУКТУРАХ
С ИНОРОДНЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ
Разработаны линейная и нелинейная математические модели определения температурных режимов в 3D (пространственных) средах с локально сосредоточенными теплоактивными инородными включениями. Классические методы не дают возможности решать граничные задачи математической физики, которые соответствуют таким моделям, в замкнутом виде. В связи с этим описано способ, который состоит в том, что теплофизические параметры для неоднородных сред описывают с помощью обобщенных функций как единое целое для всей системы. В результате этого получают одно уравнение теплопроводности с обобщенными производными и граничными условиями только на граничных поверхностях этих сред. В классическом случае такой процесс описывают системой уравнений теплопроводности для каждого из элементов неоднородной среды с условиями идеального теплового контакта на поверхностях сопряжения и граничными условиями на граничных поверхностях. Для случая нелинейных моделей условие равности температур на поверхностях сопряжения разнородных элементов конструкций невозможно применить. Учтя выше сказанное, предложен способ, который состоит в применении преобразования Кирхгофа, что дает возможность линеаризовать нелинейную граничную задачу для приведенной конструкции, в следствие чего стает возможным решать такого рода граничные задачи математической физики. Получены расчетные формулы для определения температурного поля в приведенных пространственных средах для постоянного и изменяющегося от температуры коэффициента теплопроводности конструкционных материалов. С применением полученных аналитических решений линейной и нелинейной граничных задач созданы вычислительные программы, которые дают возможность получить распределение температуры и анализировать конструкции на термопрочность. В следствии стает возможным ее повысить и тем самым защитить от перегрева, которое может вызвать разрушение как отдельных элементов, так и конструкций в целом.
Ключевые слова: теплопроводность; температурное поле; термочувствительная система.
V. I. Havrysh1, V. B. Loik2, O. D. Synelnikov2, T. V. Bojko2
1 Lviv Polytechnic National University, Lviv, Ukraine 2 Lviv State University of Life Safety, Lviv, Ukraine
DETERMINATION OF TEMPERATURE MODES IN 3D STRUCTURES WITH FOREIGN INCLUSIONS
Linear and nonlinear mathematical models for determination of temperature regimes in 3D (spatial) environments with locally concentrated thermal active alien inclusions are developed. The presence of foreign inclusions in solid media during heating leads to the appearance of temperature stresses that violate the crystal lattice. Classical methods do not allow solving the boundary value problems of mathematical physics corresponding to such models, in the closed form. In this regard, in the present work, a method is described that the thermophysical parameters for non-homogeneous media are described by means of generalized functions as a single whole for the whole system. As a result, one equation of heat conductivity with generalized derivatives and boundary conditions is obtained only on the boundary surfaces of these media. In the classical case, such a process is described by a system of thermal equations for each element of an inhomogeneous medium with conditions of ideal thermal contact on the surfaces of conjugation and boundary conditions on boundary surfaces. For the case of nonlinear models, the condition of equality of temperatures on the surfaces of the conjugation of heterogeneous structural elements can not be applied. Taking into account the above, in the given work a method is proposed, which is to apply the Kirchhoff transform, which allows to linearize the nonlinear boundary value problem for the given structure and as a consequence it becomes possible to solve such kind of boundary value problems of mathematical physics. Calculated formulas are obtained for determining the temperature field in the given spatial media for stable and variable temperature thermal conductivity of structural materials. Using the obtained analytical solutions of linear and nonlinear boundary value problems, computational programs have been created that allow to obtain a temperature distribution and analyze designs for thermal stability. As a result, it becomes possible to increase it and thereby protect from overheating, which can cause the destruction of both individual elements and structures in general.
Keywords: thermal conductivity; temperature field; thermosensitive system.
