CC BY
27
ОБРАБОТКА ИЗОБРАЖЕНИЙ
В. В. Котляр, В. А. Сойфер
"ВИНТОВОЙ" ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ФАЗОВЫЙ ФИЛЬТР
ВВЕДЕНИЕ
Впервые "винтовые" фазовые фильтры были упомянуты в [ 1] , где было предложено выражение для функции пропускания пространственного фазового фильтра, фокусирующего в узкое кольцо. В [2] были описаны "винтовые" дислокации когерентного волнового поля. В местах таких дислокаций волновой фронт описывается комплексной амплитудой, фазовая часть которой тождественна фазовой функции пропускания "винтового" фильтра из [I].В работе [3] "винтовой" фазовый фильтр применен для реализации оптического преобразования Ханкеля. Также в [3] впервые сообщается о реализации такого фильтра с помощью технологии компьютерной оптики. В [4] описано применение "винтового" фазового фильтра для задач оптической обработки информации: выполнения операции дифференцирования и оптического осуществления преобразования Гильберта для радиально-симметрич-ных когерентных световых полей.
В данной работе приводятся новые аналитические выражения, связанные с дифракцией когерентного света на "винтовых" фазовых фильтрах.
"ВИНТОВОЙ" ФИЛЬТР ДЛЯ ФОКУСИРОВКИ в кольцо
Под "винтовым" фазовым фильтром здесь понимается пространственный фильтр с функцией комплексного пропускания F (p,v>) вида
F(p,i^) - A(p)e'mi^, (1)
где ш = 1, 2, 3,... ,А(р) - амплитудно-фазовая функция, зависящая только от радиальной переменной, (р. у) -полярные координаты в плоскости фильтра.
В [ I] предлагалось использовать для фокусировки в кольцо оптический фазовый элемент с функцией пропускания Fj (p,ifi) вида
F,(p,*) = sgn [jm (ар)} е™*, (2)
где sgn {f(x)} - знакомая функция, Jm (х) - функция Бесселл первого рода m-го порядка. Оптическая схема для расположения фильтра (2) согласно [1] показана на рис. 1. Обозначения на рис. 1 следующие: X - длина волны света, а - радиус линзы и фильтра, которые расположены вплотную друг к другу, f - фокальное расстояние линзы, R - радиус кольцевого распределения интенсивности света в фокальной плоскости.
Fj(p.v) '
Рис. 1
Обоснование, что фильтр (2) формирует кольцо в фокальной плоскости линзы, в работе [1] дано с привлечением результатов численного моделирования. Понять же это можно следующим образом. Если бы пропускание фильтра Fj (p.if) имело бы вид
F,(p.*) = Jm(ap)eim*, (3)
то в фокальной плоскости световое поле, продифрагировавшее на таком фильтре, имело бы распределение амплитуды Ф (г, ф) в виде
00 2" ~ ik Ф О.Ф) = / / F.(p,,p)exp [—— rpcosfo-^)] р d р d>p = 0 0 I
= ii4[JmHU7 rp)pdp = eim^6(a--r), (4)
где k - волновое число света, 6 (x) - дельта-функция Дирака. То есть распределение интенсивности было бы в виде бесконечно узкого кольца с радиусом R= ~~~ . Если в функции пропускания Fj (р. заменить амплитудную часть на единицу, а оставить только фазовую часть, при этом получим функцию пропускания (2) вместо (3), то основная часть энергии излучения, из-за сохранения фазовой части функции пропускания, по-прежнему будет
фокусироваться в кольцо с радиусом R = Q ^ , а оставшаяся часть падающей на фильтр (2) энергии (около
к
20%) будет собираться в кольца с другими радиусами.
Оказывается можно сформировать световое поле перед линзой (рис. 1), описываемое комплексной амплитудой вида (3), с помощью фазового пространственного фильтра с пропусканием
F2(P,*>)= е«-0**"*». а>0, (5)
причем данный фильтр будет уже всю энергию (за исключением дифракционных потерь) фокусировать в кольцо a f
с радиусом R = —— .
Наличие "винтовой" составляющей в функции пропускания (5) обеспечивает отсутствие изолированного максимума энергии в нулевой пространственной частоте фокальной плоскости. Заметим, что радиально-линейная составляющая фазы в функции пропускания описывает пропускание аксикона, который уже применялся для фокусировки в кольцо [5].
Получим выражение, описывающее максимальное значение интенсивности света в кольце на радиусе R = = — в зависимости от параметра а аксикона или от требуемого радиуса кольца R. Распределение комплексной амплитуды света Ф (г, ф) в фокальной плоскости линзы для пропускания фильтра (5) будет иметь вид
к 2 к
к ikf ijfT оо 2rr -idр im^ i- rpcos(ii-i/4
Ф(Г,«=те e / / e e ef pdpd„. (6)
1 0 0
Максимальное значение модуля 1Ф (г, находится из условия равенства нулю фазы в подынтегральном выражении (6), то есть при условии
ар= —7— rpcosfc-^),
к
которое выполняется для точек кольца с радиусом а = — г или of
R=— (7)
При этом условии вместо (6) получим выражение k ikf ипф ¡тгЯ2а -¡ар
«MR ■*)=—е е е21Г / е Jm (ар) pdp. (8)
Пусть далее для простоты т - 1, тогда, воспользовавшись известным выражением (стр. 39 в [6])
/е*х М хёх = [11 (|) _ i J2 (?)], (9)
получим для максимальной интенсивности в Фурье-плоскости 1(Я) выражение
к а4
1(Я) = 1Ф (Я, ф)!2 = (у)2 — [¡\ (аа) + ¡\ (аа)] , (10)
{
или в обозначениях: ш = ^ - радиус дифракционного пятна, Я - радиус требуемого кольца, получим следующее выражение
Из (11) видно, что при стремлении Я к нулю интенсивность на кольце стремится к нулю как Я2, а при стремлении Я к бесконечности интенсивность на кольце стремится к нулю как Я-1.
Аналогичное выражение можно получить и при т = 0, то есть для случая, когда в качестве фильтра используется только аксикон без "винтовой" составляющей. При этом вместо (9) воспользуемся выражением (стр. 39 В [6]) 2 2
/ е'* (х) хс!х = е'«[[{ ¡{ «) - -у 12 «)] + 1 -у I, «)} . (12)
Тогда получим выражение для максимальной интенсивности на кольце, сформированном только аксиконом
(Ю- (-Т-)2 [ 1] (—) (—)] + 7" (—)2 и2 (—) • (—)"2 -
1 18л ы 1 ы * са 2« и 1 и ш
03)
Из сравнения (11) и (13) видно, что выражение для ^ (Я) отличается от выражения для I(Я) слагаемым (второе слагаемое в квадратных скобках в (13)), которое при стремлении Я к нулю не зануляется, а стремится к
постоянной —1— )2. Это подтверждает вывод о том, что наличие в оптическом элементе для фокусировки в
2 л ш
кольцо "винтовой" фазовой составляющей обеспечивает отсутствие излучения в центре плоскости фокусировки.
Из сравнения (11) и (13) также видно, что при увеличении Я второе слагаемое в квадратных скобках в (13) становится гораздо меньше первого слагаемого. То есть выражения для ^ (Я) и 1(Я) становятся почти одинаковыми при Я > ы . Это означает, что при фокусировке в кольцо с радиусом много большим радиуса дифракционного пятна добавление "винтового" фильтра не приводит к заметным преимуществам по сравнению с использованием только одного аксикона.
ДИФРАКЦИЯ СВЕТА НА "ВИНТОВОМ" ФАЗОВОМ ФИЛЬТРЕ
Получим выражение для распределения интенсивности света в зоне дифракции Френеля для случая освещения плоской монохроматической волной фазового фильтра с функцией комплексного пропускания в виде Р3 (у) = = ехр (¡V?). В этом случае комплексная амплитуда светового поля Ф (р.ф .г) получается как результат преобразования Френеля-Бесселя от функции (у):
к ¡кг -ТГР2 00 2я ¡--грсо**-*)
Ф(р.*;г)= — е е / / е е е гс!гс!</> =
г 0 0
к *кг - т-р2 ¡т* °° - ¿-г2 к
= — е е 71 с / е 71 М~гр)гс1г. (14)
г 0 1 г
Далее используя выражение (стр. 198 в [6])
/ хс-^2 е-'т^ [п0 (-£-> + 05)
получим вместо (14) следующее выражение
Ф СР.*;«)- -[11„ (-£-Р2) +1, (^Р2)], (16)
где А (р. ф) = кг + т* - р2 - — .
2 г 4
Окончательное выражение для интенсивности света в зоне дифракции Френеля для случая падения плоской волны на "винтовой" фазовый фильтр имеет вид
1(х)=-*-х2 и2(х2)+ )2(х2)], (17)
где х = р V Вид функции 1(х) показан на рис. 2. Из рисунка видно, что по мере распространения света в пространстве за фильтром в центральной части светового пучка образуется область с пониженной интенсивностью, которая расширяется пропорционально расстоянию г. Радиус этой области пониженной интенсивности равен х0 1 или Р0 ^ 2 \/Так как интеграл в (14) берется в бесконечных пределах, то есть считается, что размеры фильтра де ограничены, то величина интенсивности 1(х) не спадает при стремлении р к бесконечности, а асимптотически стремится к постоянному значению (см. рис. 2).
Получим далее выражение для комплексной амплитуды света в дальней зоне для случая дифракции плоской монохроматической волны на "винтовом" фазовом фильтре с радиусом а. При этом вместо (14) выражение для амплитуды света Ф, (р, <р) будет иметь вид
¡к 2
к |кг — щ—р ¡ту а ь Ф, (р.^)=-^-е е 71 е / ^ (-^-р г) г«1 г. (18)
Для вычисления интеграла в (18) воспользуемся выражением (стр. 39 в [6])
/ Л, (х)хйх= "у* «)Н0«)- ^({)Н, «)], (19)
где Нп (£) - функция Струве, которая имеет вид для п = 0,1:
Но«- =
*М я 3 9-5 9-25-7 |г ' 2 ' А>'
где (а; Ь;с;х) - гипергеометрическая функция.
Для интенсивности света в дальней зоне дифракции с учетом (19) получим вместо (18) выражение
1, (Р)= 1Ф, (Р. +)? = -§- ^ [ ф н0 ф -ъ ф Н,
(20)
где ш = - радиус дифракционного пятна, г — расстояние от фильтра до плоскости наблюдения, а — радиус
фильтра. Из (20) следуют асимптотические оценки: I, (р)~р; р-* 0
Из (17) и (20) видно, что на всем протяжении распространения света, продифрагировавшего на "винтовом фазовом фильтре, в центральной части пучка нет энергии излучения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе предложено использовать для фокусировки в кольцо оптический элемент с функцией пропускания вида (5), в котором наряду с радиально-линейной составляющей фазы, описывающей пропускание аксикона, име-
ется азимутально-линейная ("винтовая") составляющая фазы, которая обеспечивает отсутствие энергии света в центральной точке плоскости фокусировки.
Получены выражения (11) и (13) для зависимости максимальной интенсивности света на кольце от радиуса самого кольца.
Получены выражения (17) и (20) для распределения интенсивности света в зонах дифракции Френеля и Фра-унгофера (дальняя зона) для случая дифракции плоской монохроматической волны на "винтовом" фазовом фильтре. Показано, что на всем протяжении светового пучка, продифрагировавшего на фильтре, энергия света в центре пучка равна нулю.
Литература
1 .Fedotowsky A., Lehovec К. Appl. Opt., 1974, v. 13, N 12, p. 2919.
2.Баранова H. Б., Зельдович Б. Я. ЖЭТФ, 1981, т. 80, вып. 5, с. 1789.
3.Березин А. Е„ Прохоров А. М„ Сисакян И. Я. Сойфер В. А. ДАН СССР, 1984, т. 274, № 4, с. 802.
4.Котляр В. В., Сойфер В. А. Письма в ЖТФ, 1990, т. 16, вып. 12, с. 11.
5.McLeod J. Я. JOSA, 1954, v. 44, N 8, p. 592.
в.Прудников А. П., Бричков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции,, М., Наука, 1983.
