CC BY
17
УПРАВЛ1ННЯ У ТЕХН1ЧНИХ СИСТЕМАХ
УПРАВЛЕНИЕ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
CONTROL IN TECHNICAL SYSTEMS
УДК 629.764
ВИКОРИСТАННЯ ШФОРМАЦП ПРО ВЕКТОР СТАНУ ВИКОНАВЧО-ГО ПРИСТРОЮ В СИСТЕМ1 СТАБ1Л1ЗАЩ1 ОБЕРТАЛЬНОГО РУХУ
РАКЕТИ
Авдеев В. В. - д-р техн. наук, професор, професор кафедри систем автоматизованого управлшня Дншровсь-кого нацiонального ушверситету iм. О. Гончара, Днiпро, Укра!на.
АНОТАЦ1Я
Актуальнiсть. Розроблена методика отримання оцiнок залежностi запасу стiйкостi i приведено! роботи на перехщному процеа компенсацп постшного збурювального прискорення вщ наявностi в законi регулювання даних про поточнi кнема-тичнi параметри виконавчого пористою при умовi забезпечення заданого значення статично! похибки, що дасть можливiсть обгрунтовано приймати ршення про рiвень складносл вдаовщних блокш системи стабшзаци.
Мета роботи - оцшка впливу спрощення закону регулювання за рахунок вилучення з нього даних про вектор стану виконавчого пористою на вимоги до його потужносп i запас стшкосп.
Метод. Прийнята лiнiйна стацiонарна в окот певно! точки траекторп модель плоского обертального руху ракети космь чного призначення iз врахуванням шерцй виконавчого пористою. Оцшка запасу стшкосп проводиться на площинах корешв характеристичного полшому i двох коефшденттв закону регулювання. Внесена до квадрату постшного збурювального прискорення робота виконавчого пористою визначена шляхом аналогичного розв'язку диференцшних р1внянь збуреного обертального руху в однш iз площин стабЫзацп. Для статично стшко! i нестшко! ракети наведет приклади залежностi названих показникв вiд коефщенпв закону регулювання при координатах вектору стану.
Результати. На прикладi ракети космiчного призначення вперше встановлена залежнiсть названих показникiв системи стабЫзацп вiд наявностi в закот регулювання сигналiв про приведений кут повороту рульового органу i його швидюсть.
Висновки. Показана можливiсть вдосконалення системи стабЫзацп шляхом включення в закон регулювання координат вектору стану виконавчого пористою з погляду показник1в: запас стшкосп та енергетичт витрати на перехщних процесах. КЛЮЧОВ1 СЛОВА: стабЫзащя руху, вектор стану, закон регулювання.
АБРЕВ1АТУРИ
ВП - виконавчий пристрш; ЗР - закон регулювання; ОУ - об'ект управлiння; РКП - ракета космiчного призначення; СС - система стабшзаци; ХП - характеристичний полiном.
НОМЕНКЛАТУРА
А - робота ВП на перехщному процеа; а, Ь, с - коефщенти параболи, яка обмежуе об
ласть стшкосп;
ат, Ьт, ст - матриц моделi об'екту управлiння;
ацц,, а^, а^5 - коефщенти рiвнянь обертально
го руху ракети у площиш рискання;
© Авдеев В. В., 2018 БО! 10.15588/1607-3274-2018-3-19
B - пост1ина складова анал1тичного розв язку кута повороту рульового органу;
с1 - жорстк1сть поворотного пристрою екв1вален-тного рульового органу;
D0...D3 - коефщенти аналогичного розв'язку кута повороту рульового органу;
d - коефщент демпфування поворотного пристрою рульового органу;
e0 - статична похибка СС при постшному збурю-вальному прискоренш;
I - момент шерци рульового органу, приведении до ос1 Иого повороту;
к к
- коефщенти ЗР;
к5, к5
kyo, kyo ^ номшальш значения двох коефщенпв
ЗР;
k\h, kyi - верхне i нижне значення k\ в обласп стшкосп на прямiй y = k\o;
kyh, kyi - верхне i нижне значення k\ в областi
стiйкостi на прямш x = k^o ;
M- обертальний момент рульового органу; mo - постiйне збурювальне прискорення; Q, 4o - 43 - ХП, його коефiцiенти; q - вектор коефiцiентiв ХП; s - змшна комплексного типу; Sxh, Syh - запас стiйкостi на площиш k\ k\ щодо обмежень справа i зверху;
Sxi, Syi - запас стшкосп на площинi k\ k\ щодо
обмежень знизу i злiва;
T - тривалють перехiдного процесу; t - поточний час з моменту прикладання збурю-вального прискорення;
Tac - постiйна часу ВП;
u - управлшня - сигнал на виходi регулятора;
x, y - абсциса i ордината в рiвняннi параболи, яка
обмежуе область стшкосп; xv - вектор стану ОУ;
8, 8 - кут повороту рульового органу, його похщ-на за часом;
П - запас стiйкостi на площиш корешв ХП;
nf - функцш в алгоритмi пошуку максимуму запасу стшкосп;
% - коефщент демпфування ВП;
у, \\ - кут рискання ракети, його походна за ча-
сом.
руху РКП, як правило, суперечлив^ тому при виборi рiвня складностi ЗР i коефщенпв при координатах вектору стану приймаються компромiснi рiшення. Ввд шлькосп доданкiв ЗР залежить число датчиков у сис-темi, спираючись на сигнали яких визначаються ко-ординати вектору стану. На початковому етат розро-бки СС першочерговою е задача забезпечення стшко-стi обертального руху РКП як твердого тша, при цьому приймаеться припущення про незалежшсть рухiв у рiзних площинах. Завдяки тому, що дiапазон частот, характерний для обертального руху, в першо-му наближеннi ввдокремлений вщ частот руху центру мас, коливань палива та пружних коливань корпусу, математична модель збуреного обертального руху РКП iз врахуванням шерцд ВП в околi певно! точки траекторй' може бути прийнята у виглядi системи ль нiйних диференцiйних рiвнянь четвертого порядку. Методи синтезу ЗР, при яких забезпечуеться мшмум iнтегрального критерiю якосп переходного процесу, передбачають врахування вах координат вектору стану вiдповiдно до прийнято! моделi: кут повороту корпусу, його кутова швидк1сть, еквiвалентний кут повороту рульового органу i його кутова швидшсть. Реалiзацiя такого закону передбачае наявнють датчиков уах координат вектору стану, що не е завжди не-обхвдним для забезпечення заданих характеристик [4]. Тому для обгрунтованого вибору ЗР доцшьно встано-вити залежнiсть названих показнишв СС ввд враху-вання в ЗР тих координат вектору стану, як з погляду техшчних характеристик РКП не е найбшьш прюри-тетними, а саме еквОвалентний кут повороту рульового органу i його швидшсть.
Об'ектом дослвдження е контур управлшня СС плоского обертального руху РКП, предметом досль дження е залежшсть оцiнок запасу стшкосп i приведено! роботи ВП ввд параметрiв контуру управлшня. Метою роботи е встановлення залежносл названих показник1в СС ввд наявносп в ЗР доданк1в, пропор-цшних к1нематичним параметрам ВП.
ВСТУП
Рiвень складностi математично! моделi руху РКП залежить ввд задачi дослвдження. Кшьшсть координат вектору стану може змшюватися ввд двох, коли роз-глядаеться обертальний рух РКП як твердого тша в однш площинi без врахування шерцд ВП, до 2o i 6í-льше, коли беруться до уваги коливальнi контури, обумовлеш концевою жорсткiстю корпусу та коли-ваннями рiдкого палива [1]. До основних показнишв СС вiдносяться запас стшкосп, точнiсть i як1сть переходного процесу при компенсацй' збурень. Кшьшсно запас стiйкостi може бути визначений на площинах корешв ХП, частотно! характеристики розiмкиено! системи або двох вибраних коефщенпв ЗР [2]. Для оцшки точностi можуть бути використаш вектори коефiцiентiв помилок [3], яшсть переходного процесу прийнято характеризувати iнтегральним критерiем, до якого входять координати вектору стану. Вимоги до запасу стшкосп i точносп стабшзацп програмного
1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ1
Пвд ОУ маеться на увазi збурений обертальний рух ракети як твердого тша у площиш рискання. Аналоп-чно [5] до ОУ включен шнематичш параметри ВП. Ввдповвдно до цього координатами вектору стану xv е кут рискання \ , кутова швидшсть \\ , кут повороту
руля курсу 8 i кутова швидшсть 8, тобто xvT = \\ 8 8]. В околО певно! точки траекторй модель ОУ описуеться рОвнянням:
dxv dt
= am ■ xv + bm ■ u + cm ■ mo ,
(1)
де елементи матриц am залежать ввд параметров РКП i траекторй (aw, aw, a^8 ), постшно! часу Tac ВП i коефщенту демпфування % :
0 1 0 0
(уу aw ayg 0
0 0 0 1
0 0 -ц Tac
ц =1/t2
Ошбливють дaнoгo ОУ в тому, щo yпpaвлiння
u = ky • у + ky •у + kg • S + kg • S , (2)
бeзпoсepeдньo впливae тiльки нa кiнeмaтичнi rap^e-три ВП, тoдi як збypювaльнe пpискopeння m0 дie нa торпус PKn, тoмy 4x1 - мaтpицi b i c тaкi:
bmT = [0 0 0 ц], cmT = [0100].
(3)
Еквiвaлeнтнi кiнeмaтичнi пapaмeтpи pyльoвoгo op-гaнy S, S мoжyть 6ути poзpaxoвaнi тaкoж бeз витори-стaння вiдпoвiдниx дaтчикiв спиpaючись нa тaблицю фyнкцiï сигнaлiв у, у, якa з нeoбxiдним piвнeм швидкoдiï пoнoвлюeться у peaльнoмy 4aci.
Стaвиться зaдaчa poзpoбити мeтoдикy визнaчeння oцiнки впливу спpoщeння 3P (2) зa paxyнoк вилyчeння з moro дoдaнкiв, пpoпopцiйниx куту пoвopoтy pyльo-вoгo opгaнy S a6o/ra йoгo кyтoвiй швидкoстi S ra зaпaс стiйкoстi, тoчнiсть стaбiлiзaцiï i пpивeдeнy po-бoтy ВП при дп пoстiйнoгo збypювaльнoгo присто-peння.
Нaявнiсть тaкoï мeтoдики дaсть мoжливiсть нa ro4a-ткoвoмy eтaпi poзpoбки СС визнaчaти кoeфiцieнти 3P виxoдячи iз вимoг зaпaсy стiйкoсгi i œocri пepexiднoгo пpoцeсy при yмoвi зaбeзпeчeння зaдaнoï тoчнoсгi.
2 ОГЛЯД Л1ТЕРАТУРИ
Питaнням стaбiлiзaцiï pyxy PКП i кoсмiчниx ana-paтiв пpисвячeнi дeсятки poбiт, пepшi з ниx з'явилися в сepeдинi минyлoгo CTOpi44H. Оснoвнi oтpимaнi pe-зyльтaти щoдo пpoeктyвaння СС як склaдoвoï чaстини систeми yпpaвлiння pyxoм paкeти i вибopy 3P мiстить мoнoгpaфiя [1]. Встaнoвлeнi вимoги дo чaстoтнoï xa-paктepистики ВП з ypaxyвaнням oсцилятopiв, oбyмoв-лeниx кiнцeвoю жopсткiстю торпусу тa piдким гали-вoм у бaкax.
Кoливaння piдини в 6axax a6o в кoнстpyкцiяx то-рисшго нaвaнтaжeння сyттeвo yсклaднюe стaбiлiзa-цш pyxy i вимaгae спeцiaльниx зaxoдiв при poзpoбцi пpoeктy, зoкpeмa, paцioнaльний вибip фopми бaкiв i yстaнoвкy дeмпфepiв [6].
Кoли в мaтeмaтичнiй мoдeлi СС бepyться дo yвaги кoливaння piдкoгo пaливa i кiнцeвa жopсткiсть торпу-су, тo, як ^abrao, poзмipнiсть вeктopy стaнy бiльшe числa дoдaнкiв 3P, щo ж дae мoжливoстi бeзпocepeд-ньo ви^риата™ oписaний у poбoтax Кpaсoвськoгo вдомий мeтoд aнaлiтичнoгo кoнстpyювaння peгyля-тopiв, дe кoeфiцieнти 3P poзpaxoвyються виxoдячи з кpитepiю якoстi пepexiднoгo ^o^cy. Алe нeoбxiдний зaпac cтiйкocтi мoжe бути зaбeзпeчeний при yмoвi © Авдеев В. В., 2018 DOI 10.15588/1607-3274-2018-3-19
дocтaтньoгo дeмпфyвaння в ocцилятopax i нaлeжнoмy вибopi чacтoтнoï xapaктepиcтики peгyлятopa [7].
Poзpoблeнa мeтoдикa ornra^aqiï 3P зa кpитepieм «ймoвipнicть CTrnTOcri», ocкiльки пapaмeтpи PКП вь дoмi з пeвнoю пoxибкoю [8]. Ïï eфeктивнicть пiдтвep-джeнa нa мoдeлi вocьмoгo шрядку, в якiй, ^м o6ep-тaльнoгo, бepyтьcя дo yвaги pyx цeнтpy мac, пруж-шсть кopпycy тa динaмiчнi xapaктepиcтики ВП.
СС oбepтaльнoгo pyxy PKQ i кocмiчниx aпapaтiв мaють cпiльнi ocoбливocтi з пoглядy вимoг дo ïxrnx xapaктepиcтик, пoбyдoви cтpyктypнoï cxeми i мaтeмa-тичнoï мoдeлi, в якш зaлeжнo ввд пocтaвлeнoï зaдaчi нeoбxiднo пpиймaти дo yвaги динaмiчнi влacтивocтi ВП.
Для змeншeння пoxибoк СС oбepтaльнoгo pyxy низькoopбiтaльнoгo cyпyтникa зaпpoпoнoвaний вapi-aнт викopиcтaння пiдcиcтeми змiщeння ^rnpy мac [9] i нeлiнiйнoгo 3P, пapaмeтpи якoгo визнaчeнi мeтoдoм Ляпyнoвa. Цeй мeтoд знaxoдить тaкoж викopиcтaння в мaлиx cyпyтникax, кoли oбepтaльний мoмeнт yпpaв-лiння cтвopюeтьcя взaeмoдieю мaгнiтнoгo пoля Зeмлi з мaгнiтним пoлeм coлeнoïдa, жopcткo зв'язaнoгo з гарпу^м. Для цьoгo вapiaнтy СС poзpoблeний aлгo-ритм кycoчнo MC^TOro мoмeнтy yпpaвлiння, у ято-му вiдoкpeмлeнi iнтepвaли 4acy вимipy пapaмeтpiв мaгнiтнoгo пoля Зeмлi i пoдaнням вiдпoвiднoгo струму в coлeнoïд [10]. Як вiдoмo, yнiвepcaльний мeтoд визнaчeння фyнкцiï Ляпyнoвa вiдcyтнiй, тому cфepa викopиcтaння oтpимaниx peзyльтaтiв oбмeжyeгьcя cтpyктypoю вибpaниx мaтeмaтичниx мoдeлeй.
Одним iз мeтoдiв poзpaxyнкy кoeфiцieнтiв лшшш-ro 3P, при якиx CTae нaймeншoю кiлькicнa oцiнкa (кpитepiй) ятоси пepexiднoгo пpoцecy кoмпeнcaцiï збypeнь СС, е ви^ри^иныи cиcтeми нeлiнiйниx piв-нянь Piккaтi. В poбoтi [5] ця cиcтeмa нaвeдeнa для мoдeлi СС чeтвepтoгo пopядкy, a у po6ori [11] для мoдeлi другого горядку oтpимaний ïï aнaлiтичний poзв'язoк i зaпpoпoнoвaний aлгopитм визнaчeння eлe-мeнтiв cимeтpичнoï мaтpицi кpитepiя, при якм зaбeз-пeчyютьcя зaдaнi шгазники СС, зoкpeмa, глoбaльнa cтiйкicть.
В нaзвaниx вищe poбoтax вiдcyтнe oбгpyнтyвaння нeoбxiднoгo для зaбeзпeчeння зaдaниx пoкaзникiв СС piвня cклaднocтi 3P, зoкpeмa, включeння в ньoгo ш-нeмaтичниx пapaмeтpiв ВП.
1з вpaxyвaнням зaдaнoгo зaпacy cтiйкocтi aнaлiти-чними мeтoдaми визнaчeнi зaлeжнocтi пoкaзникiв, якi xapaктepизyють пoxибкy кoмпeнcaцiï лiнiйнoгo у 4aci збypювaльнoгo пpиcкopeння вiд кoeфiцieнтiв piвнянь pyxy, пapaмeтpiв викoнaвчoгo i кopeгyвaльнoгo при-cтpoïв [3]. Peзyльтaти oтpимaнi для мoдeлi СС Mocero oбepтaльнoгo pyxy п'ятoгo пopядкy, в 3P rnoï, кpiм тpaдицiйниx, присутш дoдaнки, пpoпopцiйнi ку-тoвoмy пpиcкopeнню кopпycy i кyтoвiй швидкocтi пoвopoтy eквiвaлeнтнoгo pyльoвoгo opгaнy. Цi скга-дoвi дaють мoжливicть збiльшити oблacть cтiйкocтi нa плoщинi peшти двox кoeфiцieнтiв 3P i змeншити oкpeмi кoopдинaти вeктopy пoxибoк, aлe в cигнaлi
a
am
peгyлятopa зpoстae piвeнь висoкoчaстoтнol склaдoвol пepeшкoд.
Poзpoблeнa мeтoдикa визнaчeння кiлькiсниx o^-нoк зaпaсy стiйкoстi СС плoскoгo oбepтaльнoгo pyxy iз вpaxyвaнням динaмiчниx xapaктepистик ВП i вклю-чeнням йoгo кiнeмaтичниx пapaмeтpiв в 3P [2]. Як вiдoмo, нa плoщинi кopeнiв XП зaпaс стiйкoстi вeли-чинoю дшсш! чaстини нaйближчoгo дo yявнoï oci кopeня, тoдi як нa плoщинi двox кoeфiцieнтiв 3P вiн визнaчaeтьcя oбмeжeннями oблacтi cтiйкocтi (злiвa, справа, знизу i звepxy), вiднeceними дo нoмiнaльниx знaчeнь кoopдинaт poбoчoï точки. Запас cтiйкocтi зa фaзoю i aмплiтyдoю згiднo кpитepiю Haйквicтa poзpa-xoвyeтьcя cпиpaючиcь нa вiдпoвiднy дo пpийиятoï мoдeлi чacтoтнy xapaктepиcтикy poзiмкиeнoï СС. Дo-cлiджeння eфeктy вpaxyвaння в 3P кiнeмaтичниx xa-paктepиcтик ВП з пoглядy нaзвaииx пoкaзникiв i ятос-тi пepexiднoгo ^o^cy при yмoвi зaдaнoгo знaчeния cтaтичнoï пoxибки нe пpoвoдитьcя.
Отpимaнi oцiнки тoчнocтi кoмпeнcaцiï лiнiйнoгo збypювaльнoгo пpиcкopeння y виглядi нecклaдниx aнaлiтичниx зaлeжнocтeй ввд пapaмeтpiв PKH i кoeфi-цieнтiв 3P [12]. Пoкaзaиa мoжливicть кoмпpoмicнoгo yзгoджeния cyпepeчливиx вимoг дo тoчнocтi i зaпacy cтiйкocтi. Анaлiз вимoг дo пoтyжиocтi ВП ra œpex^-ниx пpoцecax кoмпeнcaцiï збypeнь нe пpoвoдитьcя.
Анaлiз дoстyпниx джepeл пoкaзye, щo зaдaчa ви-знaчeння впливу piвия cклaднocтi 3P га пoкaзники СС oбepтaльнoгo pyxy PKП i кocмiчниx aпapaтiв щe ж мae ocтaтoчнoгo poзв'язкy.
3 МАТЕР1АЛИ I МЕТОДИ
В дaиiй po6ori шляxoм мaтeмaтичнoгo мoдeлю-вaиия пpoвoдитьcя oцiнкa впливу piвия cклaднocтi 3P (2) нa зaпac cтiйкocтi СС i пpивeдeнy poбoтy ïï ВП пpoтягoм пepexiднoгo пpoцecy кoмпeнcaцiï пocтiйнoгo збypювaльнoгo пpиcкopeния.
Haзвaнi пoкaзники визнaчaютьcя при yмoвi зaбeз-пeчeния зaдaнoгo знaчeния cтaтичнoï пoxибки e0, ввд якoгo зaлeжить кут pиcкaння пicля зaкiичeння ^pexi-днoгo ^o^cy. Анaлiз вeктopiв пoмилoк [12] пoкaзye, щo при цiй yмoвi мiж кoeфiцieнтaми ky i kS 3P (2)
мae мicцe лiнiйнa зaлeжнicть:
ky =
(i - kS ).
g
e0 • a.
g=
yS
(i + aw • e0)
(4)
при викoнаннi якoï вiдпoвiднo дo (1-4) пpoвoдитьcя poзpaxyнoк вeктopy q кoeфiцieнтiв XП
3
4
Q(s) = 1 qi • s1 + s4
г=0
(6)
q(kS, ks, ky) =
qo(kS) qi(kS, ks, ky)
q2(kS, kS) q3(kS) i
(7)
ц (1 -kS)• (|ayS|/g -ayy )
(kS4Tac)-ayS • kv -aw-(1 -kS)]
Ц-Куу- (kS Tac) +1 - kS] - ayy
-[ayy + ц(kS -^Tac)] 1
йoгo чoтиpьox кopeнiв so...s3 i запасу cтiйкocтi
П = min[-Re(s0), - Re(s1), - Re(s2), - Re(s3)],
дe min - iм'я пpoцeдypи визнaчeния нaймeншoгo
чиcлa в зaдaнoмy нaбopi.
В oблacтi пoшyкy пoвиннi викoнyвaтиcя як œo6-xiднi так i дocтaтнi yмoви cтiйкocтi. Heoбxiднa yмoвa пoлягae в тoмy, щoб кoeфiцieнти (7) XП (6) були 6i-льшими нуля. Обмeжeния звepxy кoeфiцieнтiв kS i
kj5 3P (2) дaють нepiвнocтi qo > 0, q3 > 0 :
kS < i, kS •Tac- ayy /ц,
(8)
Друге oбмeжeння звepxy кoeфiцieнта kS визнача-eтьcя з нepiвнocтi q2 > 0 , вoнo мoжe бути poзpaxoвa-
нe, кoли вiдпoвiднo дo (7, 8) вибраний кoeфiцieнт k¡5 :
kS < 1 + ayy <kS4 Tac) - ayy / ц .
yy '
(9)
З нeoбxiднoï yмoви cтiйкocтi qi > 0 cлiдye oбмe-жeння знизу кoeфiцieнта ky 3P (2) при ф^товян^ kS i k¡5 , вибрант з ypaxy ваиням нepiвнocтeй (8, 9):
тoмy poзмipнicть пpocтopy пoшyкy бaжaниx знaчeнь шказнишв СС змeншyeтьcя дo тpьox ( kS k¡5 ky ).
Мaтeмaтичний апарат для викoнaиня пocтaвлeнoï зaдaчi cпиpaeтьcя на piвияния ОУ (1-3) i вiдoмi мeтo-ди тeopiï управлшня.
Так для пoшyкy максимуму запасу CTrnTOcri на плoщинi кopeнiв XП i з мeтoю йoгo opгaиiзaцiï при викopиcтaннi icнyючoгo пpoгpaмнoгo зaбeзпeчeння cтвopюeтьcя фyнкцiя
nf (kS, kS, ky), (5)
ky > [ayy Ч1 - kS) - ayy 4kS Ч-Tac)]/ ayS =
= k
(10)
yi.
Таким чишм oтpимаиi нepiвнocтi (8-10) oбмeжy-ють ^ocrip iтepaцiйнoгo пoшyкy нaйбiльшoгo зна-чeния фyнкцiï (5).
Щoб дocлiдити вплив включeния в 3P (2) кoopди-нат вeктopy стану ВП S i S на запас crimoCTi на
плoщинi двox кoeфiцieнтiв 3P - ky ky, нeoбxiднo
викopиcтaти йoгo кiлькicнi xapaктepиcтики.
Як вiдoмo, нa плoщинi ky ky 3P (2) oблacть стш-
кocтi СС зaмкнyтa. Для мoдeлi (1-3) ïï poзтaшyвaння визнaчeнe шляxoм викopиcтaння нeoбxiдниx yмoв cтiйкocтi тa вiдoмим мeтoдoм D - poзпoдiлy, тoбтo вiдoбpaжeнням нa цю плoщинy yявнoï' oci плoщини кopeнiв ХП [2].
Обмeжeння злiвa дae нeoбxiднa yмoвa qo > 0 :
ky > kyl =
M^ ayS
ao 0уу^(kS -i), (11)
Однe iз oбмeжeнь знизу визначeнo в (10). Друге oбмeжeння знизу тa oбмeжeння oблacтi cтiйкocтi cпpaвa i звepxy дae piвняння пapaбoли, якa е вiдoбpa-
жeнням нa плoщинy ky ky уявш].' oci плoщини rape-
нiв ХП:
x = ky = a •y + b • y + c, y = k,
y
(12)
дe
a = м^ayS b = q2-2ai/q3
q2
q3
q2 a1 c = (ao--ai + 2) /(ц • ayS ),
q3 q3
a1 =ц^ [ayy • (kS TAC ) + ayy • (kS -i)]
ky < kyh = т^СУъ У2).
Для кiлькicнoï' oцiнки залeжнocтi зaпacy cтiйкocтi СС нa плoщинi кoeфiцieнтiв 3P (2) ky ky ввд вклю-
чeння в ньoгo кoopдинaт вeктopy cтaнy ВП S i S !o-жуть бути викopиcтaнi чoтиpи бeзpoзмipнi пoкaзники, визнaчeнi спирэючись га нaвeдeнi вищe oбмeжeння:
Sxh =
kyh ky0 = kyh ky0
s yh =
k
y0
k
y0
(13)
sxl =
ky0 - kyl = ky0 - kyl
Syl =
k
y0
k
y0
Пepшi Aba пoкaзники (13) xapaктepизyють зaпac cтiйкocтi нa плoщинi ky ky вщюсю oбмeжeнь звepxy i
cnpaba, дpyгi двa - ввдюсю oбмeжeнь злiвa i знизу.
Одним iз вapiaнтiв кiлькicнoï oцiнки ятоси œpexi-днoгo пpoцecy е пpивeдeнa poбoтa ВП, пpoпopцiйнa втpaтaм e^prn при кoмпeнcaцiï збypeння. Piзнi сго-coби yпpaвлiння кyтoвим пoлoжeння торпусу paкeти в пepшoмy нaближeннi мoжнa oпиcaти дифepeнцiйним piвнянням дpyгoгo горядку:
I • S + d •S + cl • S = M .
Poбoтa зa iнтepвaл чacy dt oчeвиднo е дoбyтoк oбepтaльнoгo мoмeнтy нa кут пoвopoтy pyльoвoгo op-rany, тoбтo M •S • dt, a пpoтягoм пepexiднoгo пpoцecy тpивaлicтю T вoнa дopiвнюe
Дpyгe oбмeжeння знизу ky2 мoжe бути вcтaнoв-лeнe пicля вибopy в oблacтi cтiйкocтi нoмiнaльнoгo пoлoжeння po6o4oï точки з кoopдинaтaми ky0, ky0 ,
ky2 == min(Уl, У2 ) ,
дe yi, У2 кopeнi piвняння kyo = a • y + b • y + c. Очe-
видта дo yвaги cлiд прийняти бiльшe iз циx oбмeжeнь, тoбтo
ky > kyl = max(k^1, ky2).
З piвняння (12) мoжyть бути знaйдeнi oбмeжeння oблacтi cтiйкocтi cпpaвa i звepxy вiднocнo пoлoжeння po6o4oï тoчки:
i 2 i ky< kyh = a • (ky0) + b • ky0 + c,
A=
1
J M (t) •S (t )| • dt.
(14)
Для ïï визнaчeння мoжe бути викopиcтaний poзв'язoк cиcтeми дифepeнцiйниx piвнянь (1-3) в ara-лiтичнoмy виглядi при шстшнш вeличинi збypювaль-нoгo пpиcкopeння mo i нyльoвиx пoчaткoвиx знaчeн-няx. Тaк кут пoвopoтy pyльoвoгo opгaнy мae зручний для oтpимaння пoxiдниx зa чacoм вигляд:
S(t) = B + ^D' • eSi'', i=0
дe s' - кopeнi ХП (6), a вeличини B, D' мoжyть бути визнaчeнi oпepaтopним мeтoдoм.
Poбoтa (14) пpoпopцiйнa mo , тoмy для ильшсго].' xapaктepиcтики якocтi пepexiднoгo пpoцecy том^н-caцiï' пocтiйнoгo збypeння з гогляду eнepгeтичниx витpaт ВП дoцiльнo викopиcтaти цю вeличинy, вiднe-ceнy дo квaдpaтy збypювaльнoгo пpиcкopeння, тoбтo A/m02.
a
0
Таким чином алгоритм ощнки ефекту використан-ня в ЗР (2) сигнал1в 5 1 5 з погляду запасу стшкосп 1 вимог до потужносп ВП при умов! забезпечення за-даного значення статично! похибки е0 будуеться спираючись на запропоноваш шльшсш характеристики названих показнишв (5, 13, 14).
4 ЕКСПЕРИМЕНТИ
Експеримент проводиться чисельним шляхом з використанням модел1 СС (1-3) 1 к1льк1сних характеристик И показнишв (5, 13, 14) на приклад! (табл. 1) статично стшко! ракети (ауу < 0 ) 1 статично нестш-
ко! (а^у > 0). Необходш для розрахунку приведено!
роботи параметри ВП наведен! у табл. 2. Задане значення статично! похибки е0 = 0,6378 с2.
Таблиця 1 - Параметри модел1 ОУ
№ варiа- ауу ау5 ауу Тас %
нту с 2 С-1 с -
1 -0,30 -0,200 -0,110 0,15 0,8
2 1,12 -0,256 -0,041 0,20 1,1
Таблиця 2 - Параметри ВП
I с1 ё
кг • м2 Н • м/рад Н • м • с
478 3 372 678 2 486
стшкосп п на площиш корен1в ХП - у тривим1рному простор! ^5 к^ ку коефщенпв ЗР (2) показуе, що во-
на мае дешлька локальних екстремум!в, вих!д на як! залежить вщ вибору початково!' точки пошуку. Для двох приклад!в даних в табл. 1 початков! точки з координатами к50, к550, ку0 , як! привели до найб!льшо-
го значення п, 1 к!нцев!, наведен! в табл. 3.
Особлив!сть знайдених екстремальних точок в тому, що врахування в координатах тшьки двох цифр тсля коми може дати зменшення знайденого максимуму до 25%.
Дослщження залежност! запасу ст!йкост! п т!льки
вод одного коеф!ц!ента ЗР ку на другому кроц! експе-
рименту при нульових значеннях к5 { к5 показуе, що
функщя п(ку) ун!модальна ! виход на екстремум
(табл. 4) не залежить вод початково! точки. На водмшу вщ екстремально! точки у тривим!рному простор!,
при врахуванн! в значенш ку двох цифр тсля коми
зменшення запасу стшкосп не перевищуе десятих часток процента.
Таблиця 3. - Координати початково! ! шнцево! точки пошуку максимуму запасу стшкосп п на площи-н! коретв ХП
Зг!дно плану експерименту першим кроком е по-шук максимуму запасу стшкосп п на площиш коре-н!в ХП в обмеженому нер!вностями (8-10) тривим!р-ному простор! к5 к5 ку коефщенпв ЗР (2).
Коли кут повороту рульового органу ! його швид-шсть не беруться до уваги, то к5 = 0 ! к^ = 0, тому другим кроком експерименту був пошук максимуму п залежно т!льки в!д ку, осшльки зг!дно (4) коефщь ент ку визначаеться заданим значенням статично!
похибки е0. Пор!вняння екстремальних значень п, отриманих на цих кроках дае можливють шльшсно оц!нити ефект використання в ЗР сигнал!в 5 1 5 з погляду цього показника.
Наступш два кроки експерименту проводилися з метою визначення ефекту використання в ЗР сигнал!в
5 ! 5 з погляду запасу стшкосп на площиш ку ку -
чотирьох шльшсних оцшок (13) ! приведено! роботи ВП. Для пор!вняння були взят! екстремальн! точки коефщенпв ЗР, визначен! !терац!йним шляхом на перших двох кроках.
5 РЕЗУЛЬТАТИ
Використання на першому кроц! експерименту процедури пошуку максимуму функцп (5) - запасу
№ варiан- ту к50 к50 ку0 п0
к5 к5 ку п
- с - с-1
1 -0,31 -0,17 15 0,9279
-0,32334 -0,16888 12,66306 2,58876
2 0 -0,17 40 -0,09902
-0,76885 -0,18778 15,27949 2,50063
Як слдуе з пор!вняння запасу стшкосп СС п в табл. 3 ! табл. 4, врахування в ЗР (2) шнематичних параметр!в ВП може дати суттеву перевагу з погляду цього показника. Для прикладу даних в табл. 1 при дотриманш точност! координат екстремально! точки дв! цифри п!сля коми ця перевага становить 44% для статично стшкого ОУ ! 60% для нестшкого.
Для вар!анту даних статично стшкого ОУ (табл. 1) ! коефщенпв, при яких мае мюце найб!льший запас ст!йкост! на площиш коретв ХП (табл. 3, 4), визначе-ний на третьому кроц! експерименту ефект включення в ЗР доданшв, пропорц!йних 5 ! 5 , з погляду показнишв (13) шльшсно характеризуеться першими двома стовпцями табл. 5: показник збшьшився приблизно у чотири рази, тод! як показник - зменшився на 32%, Бу1 - на 7,6%, 8х1 залишився без змш.
Таблиця 4 - Найб1льше значения запасу стшкосп при к5= 0 1 &5 = 0
Таблиця 6 - Приведена робота на перехадному
процеС (Т = 5 с, т0 = 0,00132 с 2 )
№ вар1анту ку п
с с-1
1 10,88 1,361
2 7,91 1,385
№ 1 2 3 4
к5 0 -0,32 0 -0,77
к5 0 -0,17 0 -0,19
ку 6,34 8,39 10,50 18,57
ку 10,88 12,66 7,91 15,28
3хИ 7,637 5,205 1,359 1,936
1,237 1,237 0,583 0,583
Зуи 1,390 5,634 1,546 3,445
0,977 0,903 0,707 0,721
Для вар1анту даних статично нестшкого ОУ (дру-гий рядок табл. 1) шльшсна характеристика ефекту включення в ЗР доданк1в з 8 15 в стовпцях 3 1 4 табл. 5: показник Бхк зрю на 42%, - на 123%, 3У, -на ~2%, тод1 як залишився без змш.
Врахування в значеннях коефщенлв тшьки двох знашв шсля коми дае вар1ац1ю результату не бшьше одного процента.
На п1дстав1 проведених розрахунк1в встановлено, що екстремальш точки показнишв запасу стшкосп на
площиш ку ку не зб^аються з екстремумом п у три-
вим1рному простор1 к5 ку к5 на площиш корешв ХП. Включення в ЗР доданшв, пропорцшних координатам 5 1 5 вектору стану СС, може зб1льшити або зменши-ти окрем1 показники запасу стшкосп (13) на десять 1 бшьше проценпв.
Таблиця 5 - Оцшки запасу стшкосп у вадносних одиницях на площиш ку ку
№ к5 к5 к^ ку Л/т02-10-7
- с - с тт 4 Н-м-с
1 0 0 6,34 10,88 9,36
2 -0,32 -0,17 8,39 12,66 8,61
3 0 0 10,50 7,91 14,86
4 -0,77 -0,19 18,57 15,28 11,68
Значення приведено! роботи ВП протягом перехь дного процесу компенсаци збурювального приско-рення залежно ввд включення в ЗР координат вектору стану ВП (табл. 5) наведеш у табл. 6 для коефщенпв, при яких мае м1сце найб1льший запас стшкосп на площиш корешв ХП (табл. 3, 4), заданих з точшстю дв1 цифри шсля коми.
В рядках 1, 2 табл. 6 наведеш результати розраху-ншв приведено! роботи ВП для статично стшкого ОУ (ауу < 0): врахування в ЗР координат 5 1 5 дало
зниження приведено! роботи ВП майже на 9%, тод1 як для статично нестшкого ОУ (ауу > 0, рядки 3, 4 у
табл. 6) зниження приведено! роботи Л/т02 становить 27%. При врахуванш тшьки двох цифр шсля коми в коефщентах ЗР величини Л/т02 змшюються не бшьше, шж на один ввдсоток.
На шдстав1 розрахуншв приведено! роботи для двох вар1анлв даних ОУ встановлено:
а) використання в ЗР вектору стану ВП може привести до зменшення витрат енерги на переходному процеа компенсаци збурювального прискорення;
б) екстремальш точки у тривим1рному простор!
к5 ку к;з запасу стшкосп на площин1 корен1в ХП 1 приведено! роботи не зб1гаються.
5 ОБГОВОРЕННЯ
Забезпечення ст1йкост1 обертального руху ракети без врахування шнцево! жорсткост1 корпусу, коли-вання редкого палива 1 збуреного руху центру мас -одна 1з основних задач початкового етапу розробки СС. Похибка компенсаци збурень обернено пропор-ц1йна коеф1ц1ентам ЗР, але вони обмежеш зверху ди-нам1чними характеристиками ВП, наближена модель якого у бшьшосп випадк1в являе собою диференцшне рiвияния другого порядку. Тому розм1ршсть вектору стану СС у цьому варiаитi моделi дорiвнюе чотирьом, з яких основними його координатами е кут i кутова швидк1сть повороту корпусу ракети. Якщо в ЗР, ^м них, враховуються координати вектору стану ВП, то в СС потрiбно збiльшити шльшсть датчикiв або в бор-товш обчислювальнiй машинi мати вiдповiдно! швид-кодi!' програму !х вiдновления, що не завжди необхвд-но для забезпечення заданих значень !! показнишв, зокрема, запасу стiйкостi i вимог до енергетичних характеристик ВП.
Матерiали дано! роботи можуть бути корисними для вибору рiвня складностi ЗР в СС обертального руху ракети та космiчного апарату.
ВИСНОВКИ
1. Розроблений алгоритм визначення найбiльшого запасу стiйкостi на площиш корешв ХП у тривимiр-ному просторi коефiцiентiв ЗР при умовi забезпечення заданого значення статично! похибки.
2. На прикладах статично стшко! i нестшко! ракети показана можливють шляхом включення в ЗР координат вектору стану ВП вдосконалення СС з погля-ду показнишв: запас стшкосп на площинi корешв ХП i на площинi двох коефщенпв ЗР, а також енергетичних витрат ВП протягом перехшного процесу компенсаци збурювального прискорення.
3. Якщо в ЗР не входять координати ВП, то при умовi забезпечення задано! статично! похибки пошук компромюного рiшения м1ж показниками запасу стш-
кост1 i якосл перехщного процесу проводиться вибо-ром коефщента ЗР при кутовiй швидкосп ракети.
ПОДЯКИ
Робота виконана на основi матерiалiв держбюдже-тно! науково-дослщно! теми № ФТФ-30-13 Дншров-ського нацюнального унiверситету iM. О. Гончара «Методичне забезпечення систем керування i зв'язку. Моделювання i оптимiзацiя складних процесiв i систем», № держ. реестрацп 0114 U000189.
Автор висловлюе подяку колективу кафедри систем автоматизованого управлiння i И фшалу у державному конструкторському бюро «Швденне» за пвд-тримку.
Л1ТЕРАТУРА / ЛИТЕРАТУРА
1. Dynamic designing of rockets. Dynamics problems of rockets and space stages: monograph / I. M. Igdalov, L. D. Kuchma, N. V. Poliakov, Ju. D. Sheptun ; under the editorship by academician S. N. Konyukchov. - Dnipro : Л1РА, 2013. - 280 p.
2. Авдеев В. В. Запас устойчивости системы стабилизации вращательного движения ракеты / В. В. Авдеев // Техническая механика. - 2016. - № 4. - С. 62-69.
3. Авдеев В. В. Коэффициенты ошибок стабилизации вращательного движения ракеты / В. В. Авдеев // Техническая механика. - 2014. - № 3. - С. 71-78.
4. Avdejev V. Law of control and characteristics of a stabilizing system / 6th international conference "Space technologies : present and future" 23-26 May 1917, Dnipro. -P. 113-114.
5. Авдеев В. В. Критерш якост перехщного процесу i по-казники точност системи стабшзаци ракети / В. В. Авдеев // Авиационно-космическая техника и технология. - 2017. - № 1 (136) - С. 4-10.
6. Rogers J. Design consideration for stability of liquid pay-load projectiles / J. Rogers, M. Castello, G. Cooper // Journal of spacecraft and rockets. - 2013. - No 1, Vol. 50. -P. 169-178. DOI: 10.2514/1.A32292.
7. Хрусталев М. М. Простой алгоритм стабилизации ориентации спутника с гибким элементом / М. М. Хрусталев, А. С. Халина // Электронный журнал «Труды МАИ». - 2012. - Выпуск № 55. www.mai.ru/science/trudy.
8. Сухоребрый В. Г. Оптимизация параметров системы стабилизации ракет-носителей с помощью метода вариаций / В. Г. Сухоребрый, А. А. Цветкова, А. Б. Шопина // Открытые информационные и компьютерные интегрированные технологии. - 2015. -№ 68. - С. 5-12. Режим доступу: http://nbuv.gov.ua/UJRN/vikt_2015_68_3.
9. Chesi S. Aerodynamic three-axis attitude stabilization of a spacecraft by center-of-mass shifting / S. Chesi, O. Gong, M. Romano // Journal of guidance, control, and dynamics. -2017. - No. 7, Vol. 40. - P. 1613-1626. DOI: 10.2514/1.G002460.
10. Celani F. Spacecraft attitude stabilization with piecewise-constant magnetic dipole moment / F. Celani // Journal of guidance, control, and dynamics. - 2016. - No 5, Vol. 39. -P. 1140-1146. DOI: 10.2514/1.G001388.
11. Chen C., Liang Y., Jhu W. Global stability of a system with state-dependent Riccati equation controller / C. Chen, Y. Liang, W. Jhu // Journal of guidance, control, and dynamics. - 2015. - No. 10, Vol. 38. - P. 2050-2054. DOI: 10.2514/1.G000989.
12. Авдеев В. В. Точшстъ i запас стшкосп системи стабЫзаци обертального руху ракети / В. В. Авдеев // Радюелектрошка, шформатика, управлшня. - 2016. -№ 3. - С. 93-98. DOI: 10.15588/1607-3274-2016-3-12.
Стаття надшшла до редакцп 18.01.2018.
Июля доробки 06.02.2018.
УДК 629.764
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ О ВЕКТОРЕ СОСТОЯНИЯ ИСПОЛНИТЕЛЬНОГО УСТРОЙСТВА В СИСТЕМЕ СТАБИЛИЗАЦИИ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ РАКЕТЫ
Авдеев В. В. - д-р техн. наук, профессор, профессор кафедры систем автоматизированного управления Днепровского национального университета им. О. Гончара, Днепр, Украина.
Актуальность. Разработана методика получения оценок зависимости запаса устойчивости и приведенной работы на переходном процессе компенсации постоянного возмущающего ускорения от наличия в законе регулирования данных о текущих кинематических параметрах исполнительного устройства при условии обеспечения заданного значения статической ошибки, что даст возможность обоснованно принимать решения про уровень сложности соответствующих блоков системы стабилизации.
Цель работы - оценить влияние упрощения закона регулирования за счет исключения из него данных о векторе состояния исполнительного устройства на требования к его мощности и запас устойчивости.
Метод. Принята линейная стационарная в окрестности определенной точки траектории модель плоского вращательного движения ракеты космического назначения с учетом инерции исполнительного устройства. Оценка запаса устойчивости проводится на плоскостях корней характеристического полинома и двух коэффициентов закона регулирования. Отнесенная к квадрату постоянного возмущающего ускорения робота исполнительного устройства определена путем аналитического решения дифференциальных уравнений возмущенного вращательного движения в одной из плоскостей стабилизации. Для статически устойчивой и неустойчивой ракеты приведены примеры зависимости названных показателей от коэффициентов закона регулирования при координатах вектора состояния.
Результаты. На примере ракеты космического назначения впервые установлена зависимость названных показателей системы стабилизации от наличия в законе регулирования сигналов о приведенном угле поворота рулевого органа и его скорости.
Выводы. Показана возможность усовершенствования системы стабилизации путем включения в закон регулирования координат вектора состояния исполнительного устройства с точки зрения показателей: запас устойчивости и энергетические затраты на переходных процессах.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: стабилизация движения, вектор состояния, закон регулирования. UDC 629.764
USE OF INFORMATION ABOUT STATE VECTOR OF EXECUTIVE DEVICE IN STABILIZING SYSTEM OF A
ROCKET ROTATION MOTION
Avdejev V. V. - Dr. Sc., Professor, Professor of O. Gontchar Dniprovsk National University, Dnipro, Ukraine.
Context. A method for obtaining estimates of the dependence of stability factor and reduced work during the transient process for compensation of a constant disturbing acceleration on the presence in law of control data about current kinematic parameters of the executive device under condition of ensuring a prescribed static error is developed. It will give a possibility to take decision about level of complexity for appropriate units in stabilizing system.
Objective. The purpose of the research is to estimate the influence of the law of control reduction by means of exclusion from one the data about state vector of the executive device on requirements to its power and stability factor.
Method. A linear stationary in the vicinity of a certain point of the trajectory model of a plane rotational motion of a rocket for space purposes has been adopted, with taking into account the inertia of the executive device. Estimation of the stability factor is carried out on the plane of the roots of the characteristic polynomial and two coefficients of the law of control. Divided to the square of constant perturbation acceleration, the work of the executive device is determined by analytical solution of the differential equations of perturbed rotational motion in one of the stabilization planes. For statically stable and unstable rocket the dependence examples of the named performances on coefficients of the law of control by coordinates of the state vector are made.
Results. For the application of the rocket for space purposes for the first time the dependence of the named indices of stabilizing system on availability in the law of control data about angle of rotation of steering gear and its velocity is established.
Conclusions. It is proven the ability of improvement the stabilizing system by means of inclusion in law of control kinematic parameters of the executive device from the point of view of such performances as a stability factor and energy costs during transient processes.
KEYWORDS: stabilization of motion, state vector, law of control.
REFERENCES
1. Igdalov I. M., Kuchma L. D., Poliakov N. V., Sheptun Ju. D.; under the editorship by academician S. N. Konyukchov. Dynamic designing of rockets. Dynamics problems of rockets and space stages: monograph. Dnipro, .HIPA, 2013, 280 p.
2. Avdejev V. V. Zapas ustojchivosti sistemy stabilizacii vrashhatel'nogo dvizhenija rakety, Tehnicheskaja mehanika,
2016, No. 4, pp. 62-69.
3. Avdejev V. V. Kojefficienty oshibok stabilizacii vrash-hatel'nogo dvizhenija rakety, Tehnicheskaja mehanika, 2014, No. 3, pp. 71-78.
4. Avdejev V. Law of control and characteristics of a stabilizing system, 6th international conference "Space technologies: present and future" 23-26 May 1917. Dnipro, pp. 113-114.
5. Avdejev V. V. Kriterij jakosti perechidnogo processu i po-kazniki totchnosti systemy stabilizazii obertalnogo ruchu rakety, Aviazionno-kosmitcheskaja technika i technologia,
2017, No. 1 (136), pp. 4-10.
6. Rogers J., Castello M., Cooper G. Design consideration for stability of liquid payload projectiles, Journal of spacecraft and rockets, 2013, No. 1, Vol. 50, pp. 169-178. DOI: 10.2514/1.A32292.
7. Hrustaljov M. M., Halina A. S. Prostoj algoritm stabilizacii orientacii sputnika s gibkim jelementom, Jelektronnyj zhur-nal «Trudy MAI», Vypusk No. 55, 2012. www.mai.ru/science/trudy.
8. Suhorebryj V. G., Cvetkova A. A., Shopina A. B. Optimi-zacija parametrov sistemy stabilizacii raket-nositelej s po-moshh'ju metoda variacij, Otkrytye informacionnye i kom-pjuternye integrirovannye tehnologii, 2015, No. 68, pp. 512. Rezhim dostupu: http://nbuv.gov.ua/UJRN/vikt_2015_68_3.
9. Chesi S., Gong O., Romano M. Aerodynamic three-axis attitude stabilization of a spacecraft by center-of-mass shifting, Journal of guidance, control, and dynamics, 2017, No. 7, Vol. 40, pp. 1613-1626. DOI: 10.2514/1.G00246.
10. Celani F. Spacecraft attitude stabilization with piecewise-constant magnetic dipole moment, Journal of guidance, control, and dynamics, 2016, No. 5, Vol. 39, pp. 1140-1146. DOI: 10.2514/1.G001388.
11. Chen C., Liang Y., Jhu W. Global stability of a system with state-dependent Riccati equation controller, Journal of guidance, control, and dynamics, 2015, No. 10, Vol. 38, pp. 2050-2054. DOI: 10.2514/1.G000989.
12. Avdejev V. V. Tochnist' i zapas stijkosti sistemi stabilizaciï obertal'nogo ruhu raketi, Radio Electronics, Computer Science, Control, 2016, No. 3, pp. 93-98. DOI: 10.15588/16073274-2016-3-12.
