CC BY
50
ФИЗИКА
Вестник Омского университета, 2006. № 1. С. 24-26. © И.В. Тихомиров, К.Н. Югай, 2006
УДК 538.945
ВИХРИ АБРИКОСОВА И РЕЗИСТИВНЫЕ СВОЙСТВА СВЕРХПРОВОДНИКОВ ВТОРОГО РОДА
И.В. Тихомиров, К.Н. Югай
Омский государственный университет, кафедра общей физики 644077, Омск, пр. Мира, 55а
Получена 23 декабря 2005 г.
The resistive properties of second-kind superconductor are investigated at presence of Abricosov's annular vortex.
В последнее время при изучении фазового перехода в сверхпроводящее состояние часто возникает проблема точного учета всех флуктуа-ционных эффектов. Наиболее известной теорией, описывающей поведение сверхпроводника вблизи Тс в магнитном поле, является теория плавления решетки вихрей Абрикосова. Кроме того, в тонких пленках даже в отсутствие внешнего поля могут появляться вихревые структуры, аналогичные вихрям Абрикосова. Существует еще одна возможность описания аномального поведения сверхпроводящих свойств в объемном сверхпроводнике: введение кольцевых вихрей Абрикосова. Действительно, форма вихревой нити, как известно, в целом воспроизводит структуру силовых линий магнитного поля. Так, однородному внешнему полю соответствует смешанное состояние в виде двумерной решетки прямолинейных вихрей. Более сложные вихревые структуры возможны, когда магнитное поле создается протекающим в сверхпроводнике током. Вихревая структура с магнитным полем, замкнутым в кольцо, получила название кольцевого вихря Абрикосова. Такие вихри могут образовываться в результате достаточно сильных токовых флук-туаций. Однако расчет показывает, что токи, достаточные для образования кольцевого вихря, значительно меньше критического тока. Это говорит о том, что кольцевые вихри начинают влиять на сверхпроводящие свойства при значительно меньших температурах, чем температуры, при которых сверхпроводимость пропадает чисто флуктуационным образом.
Структура кольцевого вихря представляет собой магнитное поле, силовые линии которого замкнуты в кольцо. С магнитным полем взаимнооднозначно связаны круговые сверхпроводящие токи. Радиус нормальной сердцевины Д8, как и в случае прямолинейных вихрей, порядка £ - дли-
ны когерентности теории Гинзбурга-Ландау.
Найдем распределение магнитного поля в кольцевом вихре, находящемся в однородном сверхпроводнике. Для этого воспользуемся лондонов-ским приближением и запишем второе уравнение Гинзбурга-Ландау в цилиндрической системе координат (г, г), плоскость z = 0 совпадает с плоскостью кольца, магнитное поле имеет только азимутальную компоненту Н:
д2Н 1 дН д2Н , 1 х тт
+ р^р + ^ - (1 + 7)Н
др2
-б(р - р„)б(с).
(1)
Здесь р = г/А, ( = г/А, р« = К«/А, А - глубина проникновения магнитного поля, Фо = ^т - квант потока магнитного поля. Воспользовавшись преобразованием Фурье-Бесселя, получим следующее распределение поля в кольцевом вихре:
Фор«
Н(P'Z^ 2А2 -
>qJl(pq)Jl(psq)e-|z|V/1+2
dq,
q2
(2)
где . - функция Бесселя первого рода. Проинтегрировав распределение (2) по полуплоскости (р, С), вычислим величину магнитного потока Фо в кольцевом вихре:
Ф„
Фор«
Мм), -, , 2 dq 1 + q2
Фо (1 - PsKi(ps)) , (3)
где К1 - модифицированная функция Ганке-ля. График этой зависимости показан на рис. 1. Заметим, что вихрь содержит в себе квант потока только при достаточно больших радиусах
х
о
о
Вихри Абрикосова и резистивные свойства сверхпроводников второго рода
25
Рис. 1. Зависимость магнитного потока от радиуса кольцевого вихря
(р3 > 4). Это связано с тем, что структура кольцевого вихря с большим радиусом близка к структуре прямолинейного вихря. Вихри с р3 < 3 существенно отличаются от остальных вихрей, для них собственный поток вихря значительно меньше кванта потока. У таких вихрей магнитное поле нормальной сердцевины может достигать области нормальной сердцевины, находящейся с противоположной стороны кольца. Такие структуры быстро разрушаются и не могут существенно повлиять на свойства сверхпроводника, поэтому в дальнейшем мы их рассматривать не будем. Энергия вихря, согласно модели Лондонов, равна
= ФоД(Р.,0) 8тг
(4)
где Ь = 2тгИц , Н{рц, 0) - поле в сердцевине вихря. Уравнение (1) неадекватно описывает область нормальной сердцевины вихря, поскольку в этой области |0|2 <С 1 • Поэтому при расчетах магнитное поле ограничивалось на расстояниях длины когерентности £ от сердцевины вихря
H(Ps, 0)
Фор. 1 qJKpsq)e-\^V^
2А2
Q
dq. (5)
Численное интегрирование этого выражения показывает, что при больших радиусах вихря оно стремится к полю в центре прямолинейного вихря, которое определяется как
Я( 0)
Фл
2тгА2
In к,
(6)
где к = £/А - параметр Гинзбурга-Ландау. Поскольку мы не рассматриваем вихри с малыми радиусами, то в дальнейшем будем полагать, что поле в сердцевине кольцевого вихря равно полю в центре прямолинейного, т. е. пользоваться выражением (6).
Если в сверхпроводнике протекает транспортный ток, то он будет взаимодействовать с магнитным полем, сосредоточенным в вихре. Это будет приводить к тому, что появится дополнительный момент сил, действующих на кольцевой вихрь. Сила Лоренца, действующая на элемент длины вихря равна
/ь = — [jtr х Фу],
с
(7)
гДе ]ьг ~ плотность транспортного тока в том месте, где расположена сердцевина вихря. Вектор Ф„ по модулю равен потоку магнитного поля вихря, а по направлению совпадает с направлением магнитного поля в сердцевине кольцевого вихря. С одной стороны, действие этой силы приводит к тому, что вновь образовавшийся вихрь будет разворачивается по направлению транспортного тока, т. е. пока плоскость вихря не станет перпендикулярной транспортному току. С другой стороны, радиальная составляющая этой силы будет стремиться сжать или растянуть вихрь. Таким образом, транспортный ток приведет к движению нормальной сердцевины вихря, в которой сосредоточено магнитное поле. Изменение магнитного поля со временем будет приводить к возникновению электрического поля. При этом появится электрическое сопротивление, приводящее к диссипации энергии. Найдем это удельное сопротивление, для чего запишем уравнение Максвелла:
Й 1 дн
roth =---—.
с д t
(8)
После разворота вихря по току изменение магнитного поля будет связано только с радиальным движением сердцевины вихря, т. е. сжатием или расширением. Усреднив уравнение (8) по объему вихря, получим
(Ez
cV\ dRs
HdV,
(9)
где V\ - объем вихря, us = ^^. При радиусах вихря ps > 3 интеграл можно представить как
оо
Г HdV = 2тгД8Ф0 [ ^y^l.dq » 27гД8Фо.
v
q( 1 + q'2
(10)
Также будем считать, что вихри распределены равномерно по объему сверхпроводника. Можно ввести плотность вихрей п„ = Л^/У, где - число вихрей в объеме сверхпроводника, V -объем сверхпроводника. Таким образом, среднее электрическое поле в сверхпроводнике с кольцевыми вихрями будет
27ГФо ПуНцИц
(Е)
(П)
26
И.В. Тихомиров, К.Н. Югай
Как мы уже показывали, изменение размеров вихря связано с взаимодействием транспортного тока с магнитным полем, сосредоточенным в вихре. Сила Лоренца, соответствующая такому взаимодействию, будет равна
= ^ [нс1У=27гЯ^'\ (12)
с ] с
V
Поскольку движение нормальной сердцевины вихря сопровождается диссипацией энергии, то можно ввести коэффициент вязкого трения тогда
2тгД8Ф0^г ■и3 = — = -.
1] С11
Т. е. скорость изменения размера вихря линейно зависит от величины транспортного тока. Подставив это выражение в формулу (11), получим
2
(13)
(Е) =
nv ( 27гД8Фо V
Jtr
(14)
Таким образом, удельное сопротивление сверхпроводника с кольцевыми вихрями равно
(15)
Пц /2тгД8Ф0
V
Поскольку флуктуации тока в сверхпроводнике различны по величине, то и образующиеся в результате этих флуктуаций вихри будут различаться по размерам, поэтому под Д8 понимается некоторый средний радиус вихря. Очевидно, что этот радиус будет зависеть от температуры сверхпроводника. Чтобы найти эту зависимость, сопоставим тепловую энергию сверхпроводника с энергией кольцевого вихря:
ФоЯ(О)
Д, = кТ.
(16)
Выражая Н(0) по формуле (6) и воспользовавшись зависимостью глубины проникновения поля от температуры А(Т) = А(0) (1 — Т/Тс) получим
8тгА2(0)А-Тс
Ra(T) =
Ф(5 In к
Т/Тс \ 1-T/TJ
(17)
Как и следовало ожидать, с увеличением температуры увеличивается число вихрей с большими радиусами. Расходимость формулы при Т —>■ Тс связана с тем, что при Тс сверхпроводник переходит в нормальное состояние, и говорить о кольцевых вихрях уже нельзя, поскольку они являются чисто квантовым явлением, присущим только сверхпроводникам. С учетом температурной зависимости удельное сопротивление сверхпроводника будет равно
п^ (16п2Х2(0)кТсу ( т/тс у
т/тс
сФ0 In к ) V1 - Т/Тс )
Рис. 2. Зависимость удельного сопротивления от температуры
График этой зависимости показан на рис. 2.
Таким образом, учет кольцевых вихрей приводит к тому, что в сверхпроводнике появляется сопротивление при температурах ниже критической. Полученный результат хорошо согласуется с экспериментальными работами. Это подтверждается аналогичным изгибом зависимостей р(Т) при р —>■ 0 на экспериментальных кривых [1-5]. До сих пор предполагалось, что такое поведение р(Т) связано с наличием в сверхпроводнике решетки вихрей. Но мы видим, что даже при отсутствии внешнего поля вблизи перехода удельное сопротивление ведет себя весьма нетривиально и может отличаться от нуля при температурах ниже критической. Заметим, что для ВТСП наблюдается сильная анизотропия физических величин по отношению к внешнему магнитному полю. Поэтому целесообразно исследовать поведение кольцевых вихрей для Н =/= 0, что предполагается сделать в дальнейшем.
[1] Charalambous M., Chaussy J.// Phys. Rev. B (1992). 45. P. 5091.
[2] Kwok W., Miller M.// Phys. Rev. Lett. (1992). 69. P. 3370.
[3] SafarH.// Phys. Rev. Lett. (1992). 69. P. 824.
[4] Kwok W., Welp U.// Phys. Rev. Lett. (1994). 72. P. 1092.
[5] Fend-rich J.// Phys. Rev. Lett. (1996). 77. P. 2073.
