CC BY
38
УДК 532.5
И.В. Михайлов, Р.С. Алисултанов
НИУМГСУ
ВИХРЕВОЙ СТОК — ОКРУЖНОСТЬ, РАСПОЛОЖЕННЫЙ НА БЕСКОНЕЧНОМ НЕПРОНИЦАЕМОМ ЦИЛИНДРЕ*
Исследовано в цилиндрической системе координат потенциальное течение, индуцируемое двумя особенностями, размещенными в неограниченном пространстве, заполненном идеальной (невязкой) жидкостью. Сток — окружность, расположенный на бесконечном непроницаемом цилиндре, и бесконечная вихревая нить, совмещенная с осью цилиндра. Сток — окружность создает меридиональное потенциальное течение жидкости, а вихревая нить — потенциальное вращение жидкости вокруг цилиндра. Суммарное движение жидкости пространственное. Функция потенциала скоростей представлена в виде суммы двух функций, одна из которых определяет меридиональное течение, а вторая — вращение жидкости, аналитическое выражение которой известно. Аналитической зависимости для функции потенциала скоростей рассматриваемого стока — окружности нет и получить ее пока не удается. Поэтому использован новый подход к изучению потенциальных течений, которые не имеют аналитического выражения функции потенциала, разработанный И.Е. Михайловым. Он основывается на кинематическом подобии двух течений, для одного из которых функция потенциала известна. Эта функция является базовой и аналитическая зависимость потенциала скоростей неизвестной функции представляется в виде произведения базовой функции и теоретически обоснованного коэффициента — корректива скорости, который корректирует скорости неизвестного движения. Получены аналитические зависимости для корректива скорости, составляющих скоростей, поверхностей тока и их меридиональных сечений, проекций линий тока суммарного течения на горизонтальную плоскость, которые имеют спиралеобразную форму. Исследование имеет завершенный вид и доведено до инженерного решения. Установлено, что течение, формируемое вихревым стоком — окружностью, хорошо соответствует движению жидкости в спиральных камерах гидротурбин и может быть использовано для их расчета.
Ключевые слова: потенциальное течение жидкости, вихревой сток — окружность, вихревая нить, бесконечный непроницаемый цилиндр, аналитические зависимости, кинематическое подобие, функция потенциала скоростей, поверхность тока, линия тока
Вихревой сток — окружность представляет собой сумму двух особенностей, размещенных в неограниченном пространстве, заполненном идеальной (невязкой) жидкостью. Одна из них: сток — окружность, расположенный на бесконечном непроницаемом цилиндре, а вторая: бесконечная вихревая нить, которая совмещена с осью цилиндра (рис. 1, а). Сток — окружность создает меридиональное потенциальное течение жидкости, а вихревая нить — потенциальное вращение всей массы жидкости вокруг цилиндра (относительно оси z). Суммарное движение жидкости пространственное.
* Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (грант Президента Российской Федерации № 14^57Л4.6545-НШ).
ВЕСТНИК
МГСУ-
Непроницаемый 'цилиндр
Сток-
окружность
б
а
Непроницаемый цилиндр
'' Линия
^'тока у Меридиональное
сечение_
эквипотенциально поверхности
Рис. 1. Схемы к анализу движения жидкости, формируемого вихревым стоком -окружностью
в
г
Функцию потенциала скоростей рассматриваемого течения в цилиндрической системе координат выражаем в виде суммы двух функций
Ф = ФДг, z) + Ф2(ф), (1)
где Ф1 и Ф2 — функции потенциала скоростей течений, формируемых стоком — окружностью и вихревой нитью соответственно.
Аналитическое выражение Ф2(ф) известно:
Ф2(Ф) = Х- Ф, (2)
2п
где Г — интенсивность вихревой нити.
Анализ работ [1—16], в которых разрабатываются вопросы, связанные с потенциальными течениями, показал, что такая модель потенциального течения не применялась.
Функция потенциала скоростей Ф1 в настоящее время не имеет аналитического выражения, и получить его пока не представляется возможным. В [17], используя новый метод изучения потенциальных течений, которые не имеют аналитического выражения функции потенциала скоростей, и материалы, приведенные в [18—20], она теоретически обоснованно была принята в виде произведения функции потенциала скоростей движения жидкости, формируемого стоком — точкой, расположенной на расстоянии R0 от оси z (см. рис. 1, б), и корректива скорости (безразмерного коэффициента):
Ф1 =-Kv^h, (3)
Ant
где KV — корректив скорости; выражение
-П- (4)
представляет потенциал скоростей течения, создаваемого стоком — точкой; q — расход жидкости, м3/с;
r - R )2 + Z2. (5)
Корректив скорости равен (см. рис. 1, б) отношению площадей S1 = 4nt2 эквипотенциальной поверхности течения, создаваемого стоком — точкой, S1 = 4nt2 (это сфера) и площади S2 = 4nt2 + 2n2R0t поверхности, образованной вращением полуокружностей CDE (см. рис. 1, в) относительно оси z:
Kv = ^ = ^ 22 . (6)
V S2 Ant2 + 2п2 Rj
Выражение (6) основывается на кинематическом подобии двух потенциальных течений, для одного из которых известна функция потенциала скоростей, и оно является базовым [18]. В [18] базовым течением являлось движение жидкости, создаваемое пространственным линейным стоком конечной длины [18, 19]. Для рассматриваемого вихревого стока — окружности за базовое течение было принято движение жидкости, индуцируемое стоком — точкой.
Скорости V и VZ2 потока, вызываемого вихревым стоком — окружностью, выражаются [18] через скорости базового течения и корректив скорости:
V = K V V = K V (7)
vr 2 •'VH' rZ 2 ^V* Z1- V/
t = -
ВЕСТНИК лтплла
10/2015
Скорости течения, формируемого стоком — точкой, удаленным от оси г на расстояние R являются частными производными потенциала скоростей Ф; (см. (3))
V =-4(Г-^) V = (8)
^ 4 па3 ' ^ 1 4 та3 • 1)
Следовательно, в соответствии с (6), (7) и (8) (опуская индекс 2) скорости V и V создаваемые стоком — окружностью, вычисляются по следующим формулам:
V = кг =__4 (г - Я) •
,, г1
V = KvVzl = -
( + 2п2Я)2'
^ 7 (9)
qz
+ 2п2Я )2 '
Полная скорость этого движения жидкости (см. рис. 1, в) равна
V . (10)
Таким образом, функция потенциала скоростей Ф (1) течения, формируемого вихревым стоком — окружностью, записывается в таком виде
Ф(11)
компоненты скорости V и V определяются по зависимостям (9), (10) а окружная составляющая скорости V являющаяся частной производной от Ф2 (2), вычисляется по формуле
^ = (12)
гёф 2пг
Линии (поверхности) тока движения жидкости, как известно, определяются следующими уравнениями:
ёг dz ёг гё ф dz гё ф
V v ' v v' к V
(13)
По первому уравнению (13) строятся меридиональные сечения поверхностей тока. Подставляя в него выражения для V и V z по (9) и сокращая на
IÍ л 2 n \ 2 dr dz
q (4nt + 2n R,) t , получаем -= —, проинтегрировав последнее выра-
' r - R, z
жение, имеем z = C (r - R0). Постоянная интегрирования С (как это видно из
рис. 1, в) равняется С = zj(r -R0) = tany, следовательно
z = tan g(r - R,). (14)
Угол g = 0...(±90°), а поверхности тока представляют собой бесконечные конические поверхности (см. рис. 1, г), опирающиеся на сток — окружность. При g = ±90° они вырождаются в цилиндры, совпадающие с непроницаемым цилиндром, а при у = 0 — в горизонтальную плоскость при z = 0.
■ z = -
Проекции линий тока на плоскость, перпендикулярную оси г (горизонтальная плоскость), определяются вторым уравнением (13). Подставляя в него
выражения V и V и учитывая, что на основании (14) t = _ ^
получим
2{г - *. пЯ» ( - * )
- ёг = ёф.
cos g
Г
cos у
cos y
Проинтегрировав последнюю зависимость, имеем
2 Г
г +
Tl/ioCOSy
-2R tar +
^ ji/^cosy
-R2
= ф + С.
cos y q
Постоянная интегрирования С определяется из условия ф = 0 при r = r
С =
2 Г
cos y q
г. +
Tii?Q cosy
-2R, lh+
ji^cosy
-Д2
где г — радиус окружности, от которой начинается отсчет углов ф. Следовательно
ф:
2 Г
cos y Ч
г — г +
Ji/^cosy
-2R In—+
V
rcflfcosy D2
-^--
^ ra У
(15)
Уравнение (15) при g = ±90° теряет смысл, поскольку для линий тока, лежащих на поверхности непроницаемого цилиндра, r = R0 = const. Для построе-
dz rd j
ния этих линий тока воспользуемся третьим уравнением (12) — =-.
Vz Vu
Подставляя вместо V и V их выражения и учитывая, что в этом случае r = R0 и Vu = -T/lnR, получим
4 п
>(—ioJ
+ z2 + 2 п 1R0
(o -Ro )2 2
qz
dz= 2nRo dф
или
Г
qR0
-(2z2 + nR, z )dz = dф.
Проинтегрировав последнее выражение, получим
2 Г i3 п Г, |2
z| + ---|z = ф.
3R2 9
2*o <7
(16)
Постоянная последнего интегрирования С = 0, определилась из условия ф = 0 при г = 0.
Уравнение (16) кубическое, и, поскольку нет необходимости выражать г через ф в явном виде, значение г в нем берется по модулю.
Линии тока движения жидкости, формируемого вихревым стоком — окружностью, лежат на конических поверхностях тока (рис. 2). При положительных значениях угла у они направлены сверху вниз к стоку, а при отрицатель-
ВЕСТНИК
МГСУ-
ных — снизу вверх к стоку. Поэтому течение, создаваемое рассматриваемым стоком, зеркально относительно горизонтальной плоскости (г = 0). Проекции линий тока на горизонтальную плоскость описываются уравнением (15). Они имеют спиральную форму, при этом каждая спираль начинается от окружности с радиусом г = R0. Угол ф, определяющий положение рассматриваемой точки, отсчитывается в направлении, противоположном вращению жидкости (рис. 2, б).
а б
Рис. 2. Линии тока течения, формируемого вихревым стоком — окружностью:
а — на поверхности тока; б — проекция линии тока на горизонтальную плоскость при z = 0
Выводы. 1. Выполненное аналитическое исследование имеет завершенный вид и доведено до инженерного решения.
2. Полученные зависимости и формулы позволяют определить все кинематические характеристики движения жидкости, формируемого вихревым стоком — окружностью, и оценить возможность и целесообразность его использования для решения практических задач.
3. Исследованное течение трехмерное, соответствует движению жидкости в спиральных камерах гидротурбин и может быть использовано для их расчета.
Библиографический список
1. Вайнштейн И.И., Федотова И.М. Задача Гольдштика о склейке вихревых течений идеальной жидкости в осесимметрическом случае // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. академика М.Ф. Решетнева. 2014. № 3 (55). С. 48—54.
2. Chanson H. Applied hydrodynamics: an Introduction to Ideal and Real Fluid Flows. CRC Press, Taylor & Francis Group, 2009. 478 p.
3. Chanson. H. Current knowledge in hydraulic jumps and related phenomena. a survey of experimental results // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2009. No. 2. Vol. 28. Pp. 191—210.
4. Позин Г.М. Расчет влияния ограничивающих плоскостей на спектры всасывания // Научные работы институтов охраны труда. М. : Профиздат, 1977. Вып. 105. С. 8—13.
5. Посохин В.Н. Применение метода изображений для расчета скоростей подтекания к всасывающим щелевидным отверстиям // Известия высших учебных заведений. Строительство. 1988. № 2. С. 100—102.
6. Anderson J.D. Modern compressible flow. McGraw-Hill, 2002. Pp. 358—359.
7. Eckert M. The dawn of fluid dynamics // A Discipline Between Science and Technology. Wiley-VCN, 2006. P. ix.
8. Faulkner L.L. Practical fluid mechanics for engineering applications. Basil, Switzerland : Marcel Dekker AG, 2000. 408 p.
9. Логачев К.И., Пузанок А.И., Посохин В.Н. Расчет вихревого течения у щелевид-ного бокового отсоса // Известия высших учебных заведений. Строительство. 2004. № 6. С. 64—69.
10. Khatsuria R.M. Hydraulics of spillways and energy dissipaters. New York : Marcel Dekker, 2005. 673 р.
11. Сафиуллин Р.Г., Посохин В.Н. Вихревые зоны вблизи стоков при наличии ограничивающих поверхностей // Вестник Казанского технологического университета. 2011. № 20. С. 142—145.
12. Краева Е.М., Масич И.С. Вихревые структуры турбулентных потоков и их моделирование // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. академика М.Ф. Решетнева. 2011. № 1 (34). С. 107—111.
13. Mohseni K., Ran H., Colonius T. Numerical experiments on vortex ring formation // J. Fluid Mech. 2001. Vol. 430. Pp. 267—282.
14. Shariff K., Leonard A. Vortex rings // Annual Review of Fluid Mechanics. 1992. Vol. 24. Pp. 235—279.
15. Swearingen J., Crouch J., Handler R. Dynamics and stability of a vortex ring impacting a solid boundary // Journal of Fluid Mechanics. 1995. Vol. 297. Pp. 1—28.
16. Zhao W., Frankel S., Mongeau L. Effects of trailing jet instability on vortex ring formation // Phys. Fluids. 2000. No. 12. Pp. 589—596.
17. Михайлов И.Е., Алисултанов Р.С. Сток — окружность, расположенный на поверхности или внутри непроницаемого цилиндра // Вестник МГСУ 2015. № 8. C. 140—149.
18. Михайлов И.Е. Новый подход к исследованию потенциальных течений, которые не имеют аналитического выражения функции потенциала скоростей // Гидротехническое строительство. 2015. № 2. С. 32—44.
19. Михайлов И.Е. Пространственный линейный сток конечной длины с равномерным распределением интенсивности по длине // Гидротехническое строительство.
2014. № 4. С. 20—26.
20. Mikhailov I.E. Three-dimensional linear flow of finite length with uniform intensity distribution along length // Power Technology and Engineering (Springer). 2014. Vol. 48. №. 3. Рр. 205—209.
Поступила в редакцию в октябре 2015 г.
Об авторах: Михайлов Иван Евграфович — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры гидравлики и водных ресурсов, Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected];
Алисултанов Рамидин Семедович — аспирант, ассистент кафедры инженерной геодезии, Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].
Для цитирования: Михайлов И.Е., Алисултанов Р.С. Вихревой сток — окружность, расположенный на бесконечном непроницаемом цилиндре // Вестник МГСУ
2015. № 10. С. 153—161.
BECTHMK
I.V. Mikhaylov, R.S. Alisultanov
VORTEX DISCHARGE — CIRCLE SITUATED ON INFINITE IMPENETRABLE CYLINDER
The authors investigated potential flow in a cylindrical coordinate frame, which is induced by two features situated in infinite space filled with ideal (nonviscous) fluid. The discharge is a circle situated on infinite impenetrable cylinder and an infinite vortex line coincident with the cylinder axis. The discharge — circle creates meridional potential liquid flow, and the vortex line creates potential rotation of fluid around the cylinder. The total motion of fluid is special. The function of velocities potential is presented as a sum of two functions, one of which defines meridional flow, and the second - liquid rotation, the analytic expression of which is known. There is no analytic dependence for the potential function of the velocities of the observed discharge — circle and we yet fail to get it. That's why the authors used a new approach to investigation of potential flows, which have no analytic expression of potential function, developed by I.E. Mikhaylov. It is based on kinematic similitude of two flows, for one of which the potential function is known. This function is basic and the analytical dependence of the unknown function of velocity potentials is presented as a product of basic function and theoretically justified coefficient — velocity corrective, which correlates with the velocity of unknown motion. The authors obtained analytic dependencies for velocity correctives, velocity components, stream surfaces and their meridian sections, fluid lines projections of the total flow on the horizontal plane, which are spiral-shaped. The investigation has finished appearance and is ready for engineering solution. It is stated, that the flow formed by vortex discharge — circle well corresponds to liquid motion in spiral turbine cases and may be used for their calculation.
Key words: potential liquid flow, vortex discharge — circle, vortex line, infinite impenetrable cylinder, analytic dependencies, kinematic similitude, function of velocities potential, stream surface, fluid line
References
1. Vaynshteyn I.I., Fedotova I.M. Zadacha Gol'dshtika o skleyke vikhrevykh techeniy ideal'noy zhidkosti v osesimmetricheskom sluchae [Goldshtick Problem on Adhesion of Vortex Flows of an Ideal Fluid in Axisymmetric Case]. Vestnik Sibirskogo gosudarstvennogo aero-kosmicheskogo universiteta im. akademika M.F. Reshetneva [Vestnik SibSAU. Aerospace Technologies and Control Systems]. 2014, no. 3 (55), pp. 48—54. (In Russian)
2. Chanson H. Applied Hydrodynamics: an Introduction to Ideal and Real Fluid Flows. CRC Press, Taylor & Francis Group, 2009, 478 p.
3. Chanson H. Current Knowledge in Hydraulic Jumps and Related Phenomena. A Survey of Experimental Results. European Journal of Mechanics B/Fluids. 2009, vol. 28, no. 2, pp. 191—210. DOI: http://dx.doi.org/10.10167j.euromechflu.2008.06.004.
4. Pozin G.M. Raschet vliyaniya ogranichivayushchikh ploskostey na spektry vsasyvani-ya [Calculation of Restricting Planes' Influence on Absorbing Spectra]. Nauchnye raboty in-stitutov okhrany truda [Scientific Works of Work Safety Institutes]. Moscow, Profizdat Publ., 1977, no. 105, pp. 8—13. (In Russian)
5. Posokhin V.N. Primenenie metoda izobrazheniy dlya rascheta skorostey pod-tekaniya k vsasyvayushchim shchelevidnym otverstiyam [Application of Image Method for Calculating Inflow Velocities to Intake Slotted Outlets]. Izvestiya vysshikh uchebnykh za-vedeniy. Stroitel'stvo [News of Higher Educational Institutions. Construction]. 1988, no. 2, pp. 100—102. (In Russian)
6. Anderson J.D. Modern Compressible Flow. McGraw-Hill, 2002, pp. 358—359.
7. Eckert M. The Dawn of Fluid Dynamics: A Discipline between Science and Technology. Wiley-VCH, 2006, 296 p.
8. Faulkner L.L. Practical Fluid Mechanics for Engineering Applications. Basil, Switzerland, Marcel Dekker AG, 2000, 408 p.
9. Logachev K.I., Puzanok A.I., Posokhin V.N. Raschet vikhrevogo techeniya u shche-levidnogo bokovogo otsosa [Calculation of Vortex Flow near Slotted Side Outlet]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Stroitel'stvo [News of Higher Educational Institutions. Construction]. 2004, no. 6, pp. 64—69. (In Russian)
10. Khatsuria R.M. Hydraulics of Spillways and Energy Dissipaters. New York, Marcel Dekker, 2005, 673 p.
11. Safiullin R.G., Posokhin V.N. Vikhrevye zony vblizi stokov pri nalichii ogranichivay-ushchikh poverkhnostey [Vortex Zones near Runoffs in Presence of Limiting Surfaces]. Vest-nik Kazanskogo tekhnologicheskogo universiteta [Herald of Kazan Technological University]. 2011, no. 20, pp. 142—145. (In Russian)
12. Kraeva E.M., Masich I.S. Vikhrevye struktury turbulentnykh potokov i ikh mode-lirovanie [Vortex Structures of Turbulent Flows and Their Modeling]. Vestnik Sibirskogo gosu-darstvennogo aerokosmicheskogo universiteta im. akademika M.F. Reshetneva [Proceedings of the Siberian State Aerospace University Named after Academician M.F. Reshetnev]. 2011, no. 1 (34), pp. 107—111. (In Russian)
13. Mohseni K., Ran H., Colonius T. Numerical Experiments on Vortex Ring Formation. J. Fluid Mech. 2001, vol. 430, pp. 267—282.
14. Shariff K., Leonard A. Vortex Rings. Annual Review of Fluid Mechanics. 1992, vol. 24, pp. 235—279. DOI: http://dx.doi.org/10.1146/annurev.fl.24.010192.001315.
15. Swearingen J., Crouch J., Handler R. Dynamics and Stability of a Vortex Ring Impacting a Solid Boundary. Journal of Fluid Mechanics. 1995, vol. 297, pp. 1—28. DOI: http:// dx.doi.org/10.1017/S0022112095002977.
16. Zhao W., Frankel S., Mongeau L. Effects of Trailing Jet Instability on Vortex Ring Formation. Phys. Fluids. 2000, no. 12, pp. 589—596. DOI: http://dx.doi.org/10.1063/1.870264.
17. Mikhaylov I.E., Alisultanov R.S. Stok — okruzhnost', raspolozhennyy na poverkh-nosti ili vnutri beskonechnogo nepronitsaemogo tsilindra [Discharge — Circle Situated on the Surface or Inside an Infinite Impermeable Cylinder]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 8, pp. 140—149. (In Russian)
18. Mikhaylov I.E. Novyy podkhod k issledovaniyu potentsial'nykh techeniy, kotorye ne imeyut analiticheskogo vyrazheniya funktsii potentsiala skorosti [New Approach to the Investigation of Potential Flows, Which Don't Have Analytic Expression of Velocity Potential Function]. Gidrotekhnicheskoe stroitel'stvo [Hydraulic Engineering]. 2015, no. 2, pp. 32—44. (In Russian)
19. Mikhaylov I.E. Prostranstvennyy lineynyy stok konechnoy dliny s ravnomernym raspredeleniem intensivnosti po dline [Space Linear Discharge of a Finite Length with Homogeneous Longitudinal Intensity Distribution]. Gidrotekhnicheskoe stroitel'stvo [Hydraulic Engineering]. 2014, no. 4, pp. 20—26. (In Russian)
20. Mikhailov I.E. Three-Dimensional Linear Flow of Finite Length with Uniform Intensity Distribution along Length. Power Technology and Engineering (Springer). 2014, vol. 48, no. 3, pp. 205—209. DOI: http://dx.doi.org/10.1007/s10749-014-0509-7.
About the authors: Mikhaylov Ivan Evgrafovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Hydraulics and Water Resources, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected];
Alisultanov Ramidin Semedovich — postgraduate student, Assistant Lecturer, Department of Engineering Geodesy, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected].
For citation: Mikhaylov I.E., Alisultanov R.S. Vikhrevoy stok — okruzhnost', raspolozhennyy na beskonechnom nepronitsaemom tsilindre [Vortex Discharge — Circle Situated on Infinite Impenetrable Cylinder]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 10, pp. 153—161. (In Russian)
