CC BY
25
ГИДРАВЛИКА. ИНЖЕНЕРНАЯ ГИДРОЛОГИЯ. ГИДРОТЕХНИЧЕСКОЕ СТРОИТЕЛЬСТВО
УДК 532.5
И.Е. Михайлов, Р.С. Алисултанов
НИУМГСУ
СТОК — ОКРУЖНОСТЬ, РАСПОЛОЖЕННЫЙ НА ПОВЕРХНОСТИ ИЛИ ВНУТРИ БЕСКОНЕЧНОГО НЕПРОНИЦАЕМОГО ЦИЛИНДРА
Выполнено аналитическое исследование потенциального течения жидкости, индуцируемого стоком — окружностью, расположенным в неограниченном пространстве на бесконечном непроницаемом цилиндре. Исследование доведено до инженерного решения. Выполнено оно с использованием нового способа изучения потенциальных течений жидкости, базирующегося на кинематическом подобии двух потенциальных течений. Этот способ предложен авторами. Получены необходимые формулы для расчета полей скоростей и экспотенциальных поверхностей течения жидкости, создаваемого рассматриваемым стоком. Это течение может быть использовано для решения различных задач гидроэнергетического и гидротехнического строительства. В частности, для расчета размеров и формы спиральных камер гидротурбин.
Ключевые слова: потенциальное течение жидкости, сток — окружность, бесконечный непроницаемый цилиндр, функция потенциала скоростей, кинематическое подобие.
Потенциальное движение жидкости, создаваемое стоком — окружностью, расположенным в неограниченном пространстве в цилиндрической системе координат, рассматривалось в [1, 2]. Функция потенциала скоростей такого течения в [1] выражается через полный эллиптический интеграл 1-го рода. Линии тока этого течения в меридиональных плоскостях показаны на рис. 1. Использовать такое течение жидкости для решения задач гидротехнического строительства не представляется возможным из-за наличия притока воды к стоку с внутренней стороны (внутренние линии тока). Исключить в теоретическом решении возможность притока жидкости к стоку со стороны оси Z можно, если сток — окружность расположить на бесконечном непроницаемом цилиндре.
Анализ работ [6—20], в которых разрабатываются вопросы, связанные с потенциальными течениями, показал, что такая модель потенциального течения не применялась.
В [2] сток — окружность размещался на поверхности бесконечного непроницаемого цилиндра. Аналитической зависимости функции потенциала скоростей для такого стока — окружности нет и получить ее пока не удается. Поэтому в качестве такой в [2] было принято следующее выражение:
140
© Михайлов И.Е., Алисултанов Р.С., 2015
Ф = -
- R )2
(1)
где q = Q/2пR0 — расход жидкости на единицу длины стока — окружности, м2/с; Я0 — радиус стока — окружности; г — координаты рассматриваемой точки.
Рис. 1. Линии тока в меридиональных плоскостях течения, вызываемого стоком — окружностью (решение С.М. Белоцерковского): 1 — сток окружности; 2 — внутренняя линия тока; 3 — внешняя линия тока
Компоненты скорости, если воспользоваться (1), определяются по зависимостям:
т/ ^Ф
dr
dФ
Vz =--= -q
dz
r - R
( - Ro)
2 , 2 z
(2)
( - Ro)
2 z 2
В формулах (2) скорости У и У2 имеют размерность 1/с вместо м/с, что говорит о неприемлемости предложенного в [2] выражения (1) для функции потенциала скоростей рассматриваемого стока — окружности.
Отметим, что в [2] путем введения математически и экспериментально не обоснованных коэффициентов и перехода от зависимостей (2) для скоростей У
и У2 к скорости Уг =у]У/ + У/ удалось получить решение. Признать такое исследование математически правомочным нельзя.
Потенциальное течение, индуцируемое стоком — окружностью, расположенным на бесконечном непроницаемом цилиндре или внутри него в безграничном пространстве, заполненном жидкостью (рис. 2, а), симметрично относительно оси г и зеркально относительно плоскости расположения стока (г = 0). Симметрия течения относительно оси г обеспечивается наличием бесконечного непроницаемого цилиндра, который исключает взаимное влияние на движение жидкости диаметрально расположенных стоков (точки А и В на рис. 2).
в
Рис. 2. Схемы к анализу движения жидкости, вызываемой стоком — окружностью, расположенным на бесконечном непроницаемом цилиндре: а — расположение стока — окружности на бесконечном непроницаемом цилиндре; б — на поверхности тока течения, индуцируемого стоком — окружностью; в — расположение стока — точки и эквипотенциальные поверхности движения жидкости, формируемого стоком — точкой; г — меридиональные сечения характеристик потока, индуцируемого стоком — окружностью
Поверхностями тока этого течения являются бесконечные усеченные конусы с углами у (см. рис. 2, б), опирающиеся на сток — окружность. При у = 0 коническая поверхность тока вырождается в горизонтальную плоскость, а при у = 90° — в цилиндр, совпадающий с непроницаемым цилиндром, на котором располагается сток — окружность. Следовательно, горизонтальная плоскость (г = 0) и непроницаемый цилиндр также являются поверхностями тока. Линии тока представляют собой лучи, идущие из бесконечности к стоку — окружности, лежат они на поверхностях тока и являются меридиональными сечениями последних.
Меридиональные сечения эквипотенциальных поверхностей представляют собой полуокружности, пересекающие все линии тока под углом ± 90°, а эквипотенциальными поверхностями являются поверхности, образованные вращением этих полуокружностей относительно оси г.
В [3] предложен новый способ исследования потенциальных течений, которые не имеют аналитического выражения функции потенциала скоростей, базирующийся на кинематическом подобии двух потенциальных движений жидкости, для одного из которых функция потенциала скоростей известна. В ней изучается течение, создаваемое стоком — цилиндром конечной длины, расположенным на бесконечном непроницаемом цилиндре. Базовым течением, кинематические характеристики потока которого, подобны характеристикам течения, вызываемого стоком — цилиндром, является движение, индуцируемое пространственным линейным стоком конечной длины [4].
Исследование течения, вызываемого рассматриваемым стоком, выполним, используя прием, предложенный в [3].
Базовым течением, кинематические характеристики которого подобны характеристикам движения потока, индуцируемого стоком — окружностью, может быть течение, создаваемое пространственным стоком — точкой, расположенным на горизонтальной плоскости (г = 0) в точке, удаленной от оси г на расстояние, равное радиусу стока — окружности (см. рис. 2, в). В этом случае функция потенциала скоростей и скорости движения потока, формируемого стоком — окружностью, выражаются [3, 5] через указанные функции и скорости движения, вызываемого стоком — точкой с использованием корректива скорости (безразмерного коэффициента).
Корректив скорости КУ представляет собой отношение площадей эквипотенциальных поверхностей стока — точки 5 и стока — окружности —
КУ = S1/S2.
Эквипотенциальными поверхностям стока — точки являются сферы, образованные вращением полуокружностей СОЕ радиуса ^ вокруг оси г1 (см. рис. 2, в), площадь 51 которых равна
¿1 = 4П2, (3)
где i = у1(г - ^ )2 + г2, (4)
а эквипотенциальными поверхностями искомого движения являются поверхности, образованные вращением дуг СОЕ вокруг оси г (см. рис. 2, г), площадь 52 которых определяется выражением
S2 = 4nt2+2n2R0t. (5)
Следовательно, корректив скорости KV выражается следующей зависимостью:
K = SL = 2 (6)
S2 4nt2 + 2п2 R t'
Функция потенциала скоростей течения, вызываемого стоком — точкой
Ф1, как известно, записывается в таком виде:
Ф'= ■ (7)
где q — расход жидкости, поступающей в сток, м3/с, а формулы для составляющих скоростей движения, формируемого стоком — точкой, имеют вид
V =-• v = q(r - R) (8)
z1 dz Ant3' r1 dr 4nt2 " 1 8
Функцию потенциала скоростей Ф2 движения жидкости, индуцируемого стоком — окружностью, выражаем в соответствии с [3], через потенциал скоростей Ф1 (7) и корректив скорости (6) KV (индекс 2 опускаем):
ф = -kv 4- = -Kv— q 2 . (9)
- К) + г2
Следовательно, формулы для составляющих скоростей потока, создаваемого стоком — окружностью, расположенным на непроницаемом цилиндре, записываются в следующей форме:
( ЛФ Л а (г - Д)
V = к. —-1 = ку.л-- у
dr ) vrl (4nt + 2п2R0)t2
V = K
d<Ф
= KV,- ,
•■ 1л , ~ 2 ^ \ ,2
q(r-Ra) (10)
(4п + 2п2 Д)2
Полная скорость V равняется
V . (11)
Скорость V выше плоскости расположения стока — окружности (^ = 0) направлена сверху вниз, а ниже — снизу вверх, и направление скорости (угол у) определяется углом между линией тока и осью г (см. рис. 2, г).
На рис. 3 приведены теоретические эпюры скоростей (10) и (11) и направления полной скорости V (углы 5) движения потока, формируемого стоком — окружностью. Вблизи стока распределение скоростей по высоте имеет большую неравномерность. При удалении от стока ( ^ растет) скорости в вертикальном и радиальном направлениях существенно выравниваются и снижаются. Эта закономерность определяется видом течения и зависимостями (10) и (11), которые характеризуют его.
Течение, индуцируемое стоком — окружностью, может быть использовано для расчета спиральных камер гидротурбин. Поэтому необходимо отметить, что при решении практических задач с использованием течения, создаваемого рассматриваемым стоком — окружностью, расход жидкости будет поступать не в точки стока — окружности, а в круговые отверстия той
или иной высоты. В связи с этим эпюры скоростей на входе в эти отверстия будут существенно равномернее, чем те, которые приведены на рис. 3. Подтверждением этого являются характеристики потока на входе в сток — цилиндр конечной длины [3, 4].
а
Z, M V
4 Д \ V
1 \ II 1
F 0 11 /1 \ 4
f? X
Tj 1 1 H /
i ! ! 1 J S к r
\ / V, м/с
-0,5 0 1 2
б
Рис. 3. Теоретические эпюры скоростей V V и углов 5, определяющих направление полной скорости в меридиональных сечениях
Полученные зависимости для эквипотенциальных поверхностей (эквипо-тенциалей) (9), скоростей потока (10) и (11) позволяют построить и проанализировать характеристики течения, формируемого стоком — окружностью. По формулам (10) и (11) можно построить эпюры скоростей на эквипотенциальных поверхностях, а также вертикалях и оценить перспективу использования рассмотренного течения для решения практических задач.
Выводы. 1. Выполненное аналитическое исследование потенциального течения, создаваемого стоком — окружностью, расположенным на бесконечном непроницаемом цилиндре в безграничном пространстве, заполненном жидкостью, имеет завершенный вид и доведено до инженерного решения.
2. Полученные аналитические зависимости позволяют рассчитать поле скоростей течения жидкости, создаваемое стоком — окружностью, расположенным на бесконечном непроницаемом цилиндре, и оценить возможность его использования для решения практических задач.
3. Исследованное течение может быть применено для определения формы и размеров спиральных камер гидротурбин.
Библиографический список
1. Белоцерковский С.М. Метод расчета обтекания тел вращения произвольной формы // Труды ВВИА им. проф. Н.Е. Жуковского. 1950. Вып. 382. 109 с.
2. Михайлов И.Е. Турбинные камеры гидроэлектростанций. М. : Энергия, 1970. 272 с.
3. Михайлов И.Е. Новый подход к исследованию потенциальных течений, которые не имеют аналитического выражения функции потенциала скорости // Гидротехническое строительство. 2015. № 2. С. 32—44.
4. Михайлов И.Е. Пространственный линейный сток конечной длины с равномерным распределением интенсивности по длине // Гидротехническое строительство. 2014. № 4. С. 20—26.
5. Михайлов И.Е. Пространственные линейные стоки конечной длины с неравномерным распределением интенсивности // Вестник МГСУ 2014. № 2. С. 164—170.
6. Дамбиева Д.Б., Хакимзянов Г.С. Численное исследование стокового механизма генерации волн в рамках модели потенциальных течений жидкости // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13. № 1. С. 48—55.
7. Рыбаков Ю.П., Свиридова О.Д., Шикин Г.Н. Исследование потенциального течения жидкости в пористой среде с учетом переменного коэффициента поперечной диффузии // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. 2014. № 3. С. 182—185.
8. Бубенчиков А.М., Коробицын В.А., Коробицын Д.В., Котов П.П., Шокин Ю.И. Численное моделирование осесимметричных разрывных потенциальных многосвязных течений несжимаемой жидкости // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2014. Т. 54. № 7. С. 1194—1202.
9. Васин А.В. Определение линии раздела областей вихревых течений // Вестник Санкт-Петербургского университета. Серия 10. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. 2013. № 1. С. 3—10.
10. Вайнштейн И.И., Литвинов П.С. Модель М.А. Лаврентьева о склейке вихревых и потенциальных течений идеальной жидкости // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. академика М.Ф. Решетнева. 2009. № 3 (24). С. 7—9.
11. Вайнштейн И.И., Федотова И.М. Задача Гольдштика о склейке вихревых течений идеальной жидкости в осесимметрическом случае // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета им. академика М.Ф. Решетнева. 2014. № 3 (55). С. 48—54.
12. Сафиуллин Р.Г., Посохин В.Н. Расчет скоростей подтекания к щелевому стоку-раструбу // Вестник Казанского технологического университета. 2011. № 22. С. 41—46.
13. Гайденко С.В. Потенциал возмущенных скоростей как функция скачка давления в задаче нестационарного обтекания тонкого крыла дозвуковым потоком сжимаемого газа // Экологический вестник научных центров Черноморского экономического сотрудничества. 2009. № 1. С. 24—31.
14. Chanson H. Applied hydrodynamics: an introduction to ideal and real fluid flows. CRC Press, Taylor & Francis Group, 2009. 478 p.
15. Chanson H. Current knowledge in hydraulic jumps and related phenomena. A survey of experimental results // European Journal of Mechanics B/Fluids. 2009. Vol. 28. No. 2. Pp. 191—210.
16. Anderson J.D. Modern compressible flow. McGraw-Hill, 2002. Pp. 358—359.
17. EckertM. The dawn of fluid dynamics: a discipline between science and technology. Wiley-VCH, 2006. 286 p.
18. Bloomer J.J. Practical fluid mechanics for engineering applications / Ed. L.L. Faulkner. Basel, Switzerland : Marcel Dekker AG, 2000. 408 p.
19. Khatsuria R.M. Hydraulics of spillways and energy dissipaters. New York : Marcel Dekker, 2005. 673 p.
20. Айрапетов А.Б. Ламинарное движение вязкой несжимаемой жидкости вблизи колеблющегося в ней проницаемого цилиндра // Ученые записки ЦАГИ. 1973. Т. IV. № 5. С. 88—92.
Поступила в редакцию в июле 2015 г.
Об авторах: Михайлов Иван Евграфович — доктор технических наук, профессор, профессор кафедры гидравлики и водных ресурсов, ФГБОУ ВО «Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет» (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected];
Алисултанов Рамидин Семедович — аспирант, ассистент кафедры инженерной геодезии, ФГБОУ ВО «Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет» (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, [email protected].
Для цитирования: Михайлов И.Е., Алисултанов Р.С. Сток — окружность, расположенный на поверхности или внутри бесконечного непроницаемого цилиндра // Вестник МГСУ 2015. № 8. С. 140—149.
I.E. Mikhaylov, R.S. Alisultanov
DISCHARGE — CIRCLE SITUATED ON THE SURFACE OR INSIDE AN INFINITE IMPERMEABLE CYLINDER
Potential liquid motion created by a discharge-circle situated in infinite space in a cylindrical coordinate system has already been investigated before. It is impossible to use such a liquid flow for solution of hydraulic engineering tasks because of the presence of water inflow to the discharge from the inner side (inner flow lines). It is possible to exclude the inflow from the theoretical solution if the discharge — circle is situated on an infinite impermeable cylinder.
The article presents an analytical investigation of a potential flow of a liquid induced by discharge channel — a circle situated in infinite space on an infinite impermeable cylinder. The investigation results in an engineering solution. It is carried out using a new investigation method of potential liquid flows. This method is offered by the authors. The authors obtained the formulas required for calculation of the fields of velocities and expotential surfaces of the liquid flow created by the considered discharge. This flow may be used for solution of different tasks of hydropower and hydraulic engineering construction. In particular, in order to calculate the sizes and forms of spiral cases of turbines.
Key words: potential liquid flow, discharge — circle, infinite impermeable cylinder, velocity potential function, kinematic similitude.
References
1. Belotserkovskiy S.M. Metod rascheta obtekaniya tel vrashcheniya proizvol'noy formy [Method of Flow Analysis of Revolted Solids of an Arbitrary Shape]. Trudy VVIA im. prof. N.E. Zhukovskogo [Works of Zhukovsky Air Force Engineering Academy]. 1950, no. 382, 109 p. (In Russian)
2. Mikhaylov I.E. Turbinnye kamery gidroelektrostantsiy [Turbine Pits of Hydro Power Stations]. Moscow, Energiya Publ., 1970, 272 p. (In Russian)
3. Mikhaylov I.E. Novyy podkhod k issledovaniyu potentsial'nykh techeniy, kotorye ne imeyut analiticheskogo vyrazheniya funktsii potentsiala skorosti [New Approach to the Investigation of Potential Flows, Which Don't Have Analytic Expression of Velocity Potential Function]. Gidrotekhnicheskoe stroitel'stvo [Hydraulic Engineering]. 2015, no. 2, pp. 32—44. (In Russian)
4. Mikhaylov I.E. Prostranstvennyy lineynyy stok konechnoy dliny s ravnomernym raspredeleniem intensivnosti po dline [Space Linear Discharge of a Finite Length with Homogeneous Longitudinal Intensity Distribution]. Gidrotekhnicheskoe stroitel'stvo [Hydraulic Engineering]. 2014, no. 4, pp. 20—26. (In Russian)
5. Mikhaylov I.E. Prostranstvennye lineynye stoki konechnoy dliny s neravnomernym raspredeleniem intensivnosti [Spatial Linear Flows of Finite Length with Nonuniform Intensity Distribution]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2014, no. 2, pp. 164—170. (In Russian)
6. Dambieva D.B., Khakimzyanov G.S. Chislennoe issledovanie stokovogo mekhanizma generatsii voln v ramkakh modeli potentsial'nykh techeniy zhidkosti [Numerical Investigation of the Discharge Mechanism of Wave Generation in Frames of Potential Liquid Flows Model]. Vychislitel'nye tekhnologii [Computational Technologies]. 2008, vol. 13, no. 1, pp. 48—55. (In Russian)
7. Rybakov Yu.P., Sviridova O.D., Shikin G.N. Issledovanie potentsial'nogo techeniya zhidkosti v poristoy srede s uchetom peremennogo koeffitsienta poperechnoy diffuzii [Investigation of a Potential Liquid Flow in a Porous Media with Account for the Floating Factor of Transverse Diffusion]. Vestnik rossiyskogo universiteta druzhby narodov. Seriya: Matematika, informatika, fizika [Peoples' Friendship University of Russia. Mathematics, Informatics, Physics]. 2014, no. 3, pp. 182—185. (In Russian)
8. Bubenchikov A.M., Korobitsyn V.A., Korobitsyn D.V., Kotov P.P., Shokin Yu.I. Chislennoe modelirovanie osesimmetrichnykh razryvnykh potentsial'nykh mnogosvyaznykh techeniy neszhimaemoy zhidkosti [Numerical Modeling of Axisymmetric Noncontinuous Potential Multiple Connected Flows of Incompressible Fluids]. Zhurnal vychislitel'noy matema-tiki i matematicheskoy fiziki [Computational Mathematics and Mathematical Physics]. 2014, vol. 54, no. 7, pp. 1194—1202. (In Russian)
9. Vasin A.V. Opredelenie linii razdela oblastey vikhrevykh techeniy [Determining the Boundary Line of Vortex Flows Areas]. Vestnik Sankt-Peterburgskogo universiteta. Seriya 10. Prikladnaya matematika. Informatika. Protsessy upravleniya [Vestnik of Saint-Petersburg University. Series 10. Applied Mathematics. Computer Science. Control Processes]. 2013, no. 1, pp. 3—10. (In Russian)
10. Vaynshteyn I.I., Litvinov P.S. Model' M.A. Lavrent'eva o skleyke vikhrevykh i potentsial'nykh techeniy ideal'noy zhidkosti [The Model of M.A. Lavrentiev on Adhesion of Vortex and Potential Flows]. Vestnik Sibirskogo gosudarstvennogo aerokosmicheskogo universiteta im. akademika M.F. Reshetneva [Vestnik SibSAU. Aerospace Technologies and Control Systems]. 2009, no. 3 (24), pp. 7—9. (In Russian)
11. Vaynshteyn I.I., Fedotova I.M. Zadacha Gol'dshtika o skleyke vikhrevykh techeniy ideal'noy zhidkosti v osesimmetricheskom sluchae [Goldshtick Problem on Adhesion of Vortex Flows of an Ideal Fluid in Axisymmetric Case]. Vestnik Sibirskogo gosudarstvennogo aerokosmicheskogo universiteta im. akademika M.F. Reshetneva [Vestnik SibSAU. Aerospace Technologies and Control Systems]. 2014, no. 3 (55), pp. 48—54. (In Russian)
12. Safiullin R.G., Posokhin V.N. Raschet skorostey podtekaniya k shchelevomu stoku-rastrubu [Calculation of the Inflow Velocities to Slatted Discharge-Bell]. Vestnik Kazanskogo tekhnologicheskogo universiteta [Herald of Kazan Technological University]. 2011, no. 22, pp. 41—46. (In Russian)
13. Gaydenko S.V. Potentsial vozmushchennykh skorostey kak funktsiya skachka dav-leniya v zadache nestatsionarnogo obtekaniya tonkogo kryla dozvukovym potokom szhimae-mogo gaza [Potential of Perturbation Velocities as a Pressure Jump Function in the Task of Nonstationary Flow Past a Thin Wing by a Subsonic Flow of Compressed Gas]. Ekologiches-kiy vestnik nauchnykh tsentrov Chernomorskogo ekonomicheskogo sotrudnichestva [Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation]. 2009, no. 1, pp. 24—31. (In Russian)
14. Chanson H. Applied Hydrodynamics: an Introduction to Ideal and Real Fluid Flows. CRC Press, Taylor & Francis Group, 2009, 478 p.
15. Chanson H. Current Knowledge in Hydraulic Jumps and Related Phenomena. A Survey of Experimental Results. European Journal of Mechanics B/Fluids. 2009, vol. 28, no. 2, pp. 191—210. DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.euromechflu.2008.06.004.
16. Anderson J.D. Modern Compressible Flow. McGraw-Hill, 2002, pp. 358—359.
17. Eckert M. The Dawn of Fluid Dynamics: A Discipline between Science and Technology. Wiley-VCH, 2006, 286 p.
18. Bloomer J.J. Practical Fluid Mechanics for Engineering Applications. Ed. L.L. Faulkner. Basel, Switzerland, Marcel Dekker AG, 2000, 408 p.
19. Khatsuria R.M. Hydraulics of Spillways and Energy Dissipaters. New York, Marcel Dekker, 2005, 673 p.
20. Ayrapetov A.B. Laminarnoe dvizhenie vyazkoy neszhimaemoy zhidkosti vblizi kole-blyushchegosya v ney pronitsaemogo tsilindra [Laminar Motion of Viscous Incompressible Liquid]. Uchenye zapiski TsAGI [TsAGI Science Journal]. 1973, vol. IV, no. 5, pp. 88—92. (In Russian)
About the authors: Mikhaylov Ivan Evgrafovich — Doctor of Technical Sciences, Professor, Department of Hydraulics and Water Resources, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; [email protected];
Alisultanov Ramidin Semedovich — postgraduate student, Assistant Lecturer, Department of Engineering Geodesy, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation [email protected].
For citation: Mikhaylov I.E., Alisultanov R.S. Stok — okruzhnost', raspolozhennyy na poverkhnosti ili vnutri beskonechnogo nepronitsaemogo tsilindra [Discharge — Circle Situated on the Surface or Inside an Infinite Impermeable Cylinder]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 8, pp. 140—149. (In Russian)
