CC BY
56
УДК 532.526.048.3; 532.527; 532.529
В.В. Вышинский1,2, Г.Г. Судаков21
1 Московский физико-технический институт (государственный университет)
2 Центральный аэрогидродинамический институт им. проф. Н.Е. Жуковского
Вихревой след самолёта и вопросы безопасности полетов
Предложена математическая модель вихревого следа за самолётом, позволяющая оценить безопасную дистанцию между самолётами в зависимости от их типов и погодных условий. Модель содержит решение четырёх крупных задач: задачи самолёта-генератора следа, взаимодействия последующего самолёта с вихрем от предыдущего, моделирования турбулентной атмосферы и разрушения вихревого следа. Верификация модели выполнена с использованием данных экспериментов в аэродинамических трубах и лётных экспериментов. Приведены результаты моделирования вихревых следов за конкретными самолётами и величины безопасных дистанций на режиме посадки при различных параметрах турбулентности атмосферы.
Ключевые слова: вихревой след самолёта, безопасность полёта, атмосферная турбулентность, математическое моделирование, уравнения Рейнольдса.
I. Введение
При полете в атмосфере самолёт создаёт вихревой след, который представляет опасность для других летательных аппаратов (ЛА). При взлете и посадке именно ограничение по вихревому следу определяет величину безопасной дистанции между самолётами. Уменьшение этой дистанции увеличивает пропускную способность аэропорта, но при этом должна быть гарантирована безопасность полета. В настоящее время имеются рекомендации ИКАО (матрица, указывающая величину безопасной дистанции в зависимости от классов предыдущего и последующего самолётов), которые аккумулируют весь опыт авиации. Однако диспетчер аэропорта часто руководствуется собственным опытом, а не рекомендациями ИКАО, уменьшая величину безопасной дистанции. Как указано в обобщающей статье [1], летные происшествия, связанные с попаданием в след, зачастую происходили при посадке по указаниям диспетчера.
При полете на эшелоне возникает аналогичная проблема, которая становится тем более актуальной, что сейчас рассматривается возможность уменьшения расстояния между эшелонами. Поэтому очень важно иметь надежную математическую модель, позволяющую оценить безопас-
ную дистанцию между самолётами в зависимости от их типов и погодных условий (расширенная матрица безопасных дистанций). Такая математическая модель должна содержать решение четырёх крупных проблем: самолёта-генератора следа, взаимодействия последующего самолёта с вихрем следа, описания турбулентной атмосферы (условия взлета, посадки и полета на эшелоне), разрушения вихревого следа. Все предшествующие математические модели не являются полными, то есть не решают все четыре блока проблем в едином комплексе. Из имеющихся моделей следа необходимо отметить следующие.
В модели NASA [2] приземный слой турбулентной атмосферы и эволюция вихревого следа моделируются с помощью 3D LES (Large Eddy Simulation — прямое численное моделирование крупномасштабной турбулентности), при этом описываются обе фазы разрушения следа. Проблема первого самолёта решается с помощью инженерной модели, которая задает начальное условие для эволюции дальнего вихревого следа. Второй самолёт и соответствующий критерий безопасной дистанции не рассматриваются. Модель содержит также описание приземного слоя атмосферы, близкое к тому, которое приведено в данной работе.
Европейские исследования были посвящены совершенствованию методов расчёта разрушения вихревого следа с помо-
тттью 3D LES. Большое внимание уделялось также проблеме второго самолёта: проведён цикл экспериментальных исследований. Обзор работ в этих направлениях представлен в [1].
Модель ВВИА им. Н.Е. Жуковского [3] использует метод дискретных вихрей (МДВ) как для решения проблемы первого, так и второго самолётов, а также эволюции вихревого следа. Модель приземного слоя атмосферы представлена единственным параметром — числом Ричардсона, которое задает темп турбулентной диффузии вихря. Профиль ветра задается постоянным по высоте.
Модель ЦАГИ [4-6], предложенная в настоящей работе, и разработанный на её основе комплекс программ содержат решение всех четырёх блоков задач. Проблема первого самолёта решалась в рамках краевой задачи для осреднённых по Рейнольдсу трёхмерных уравнений Навье-Стокса (3D ИЛ^) или панельного метода для полной компоновки, задача второго самолёта — с помощью панельного метода, математическая модель турбулентной атмосферы базируется на теории Колмогорова (крейсерский режим) и теории Мо-нина-Обухова (приземный слой атмосферы), а также исследованиях Института экспериментальной метеорологии (г. Обнинск), ближний и дальний след моделируются с помощью двумерных уравнений Рейнольдса (2D ИЛ^) и специально сконструированной алгебраической модели турбулентности.
Существенным результатом настоящей работы явилось построение единой модели разрушения вихря в турбулентной атмосфере, которая объединила модели разрушения вихря и турбулентной атмосферы и позволила учесть влияние погодных условий на время жизни следа. Получен ряд практически важных результатов: расширенная матрица безопасных дистанций при посадке самолёта (в зависимости от типа самолётов и погодных условий) и вывод о том, что новый сверхтяжелый самолёт А380 не вписывается в матрицу ИКАО и требует введения нового класса [4]. Последний вывод был подтвержден летным экспериментом, проведённым фирмой «Эрбас» уже после публикации данного результата [7].
II. Математическая модель вихревого следа в турбулентной атмосфере
Модель вихревого следа за самолётом состоит из следующих блоков: самолёта-генератора следа; ближнего вихревого следа (расчёт характеристик вихревого следа на этапе формирования двухвихревой системы — 2D иИЛ^ с использованием специально сконструированной алгебраической модели для турбулентной вязкости или модифицированной к-£ модели турбулентности, 3D ИЛЖ или аналитическая модель); турбулентной атмосферы на режимах взлета и посадки (модель Мо-нина-Обухова) и крейсерском режиме (модели изотропной и однородной атмосферы со спектром распределения турбулентной энергии Колмогорова или Кармана); дальнего вихревого следа (расчёт характеристик дальнего следа — 2D иИЛЖ с использованием модифицированной модели турбулентной вязкости, расчёт траекторий движения вихрей следа с учётом их взаимодействия с турбулентной атмосферой и оценка коридоров опасности — линейная теория с использованием распределения Колмогорова или Кармана для турбулентной энергии атмосферы); взаимодействия вихря с последующим самолётом (расчёт сил и моментов, оценка допустимого момента крена — панельный метод, метод дискретных вихрей).
Блок-схема пакета программ приведена на рис. 1, где V — скорость ветра, Т — температура, к — турбулентная энергия, Ь — масштаб турбулентности.
В настоящей работе для решения задачи первого самолёта кроме методов граничного элемента [8] использован пакет программ для решения краевой задачи 3D ИЛЖ с моделью турбулентности к-шББТ, позволяющий определять все характеристики ближнего следа без каких-либо дополнительных предположений. На рис. 2 приведён пример такого расчёта для угла атаки а = 3° и чисел Маха М = 0,78 и Рейнольдса Ие = 2 • 106.
Область ближнего следа определяется как область за самолётом, входное сечение которой расположено на расстоянии Хгп ~ 0,5Ь, где Ь — размах крыла, а выход-
ное — на расстоянии хи ~ 6-10Ь. Выходное сечение определяется из условия сворачивания вихревой пелены в систему дискретных вихрей (обычно в два вихря). Ко-
нечным результатом моделирования ближнего следа является распределение завихренности в выходном сечении.
Рис. 1. Блок-схема пакета программ
Рис. 2. Модель самолёта и вихревой след в контрольном сечении х = 0,5Ь
Для расчёта ближнего следа за самолё- гия в приближении 2Б иИА^, 3Б ИА^
том используются нестационарная анало- и аналитические модели.
В качестве начального условия для модели 2D иИАМБ используется результат расчёта при х = хіп для полной компоновки с помощью панельного метода или численного решения уравнений Рейнольдса. В случае использования в ближнем поле 3D ИАМБ граничное условие для входного сечения х = хіп также берется из расчёта полной компоновки с помощью одного из описанных выше методов. Аналитические модели связывают параметры вихрей в выходном сечении непосредственно с характеристиками самолёта.
В приближении нестационарной аналогии вместо трёхмерной стационарной задачи для эволюции следа решается эквивалентная двумерная нестационарная задача (і = х/и,,). Эта задача требует постановки начальных условий при і = 0. На-
Ут (м/с)
чальные условия берутся из расчёта обтекания полной компоновки самолёта с помощью 3D ИАЖ для контрольного сечения
х -- хгп.
Точность стандартной к-шББТ модели турбулентности исследовалась на примере задачи об эволюции единичного вихря. Эксперименты показывают, что в ядре вихря происходит ламинаризация течения, и турбулентная вязкость стремится к нулю. Из расчёта (рис. 3) видно, что стандартная модель турбулентности даёт неадекватный результат из-за чрезмерно большой турбулентной вязкости в областях с сильной закруткой потока, поэтому необходимо использовать модифицированную к-шББТ модель турбулентности с поправкой на кривизну линий тока [9] (рис. 3).
Рис. 3. Зависимость тангенциальной компоненты скорости от расстояния до центра вихря
Трехмерная стационарная задача для ближнего вихревого следа (3D ИА^) решается в прямоугольной области. На входной границе (хп/Ь — 0,5) задавались три компоненты скорости и давление, которые брались из решения задачи об обтекании полной компоновки, на выходной (хтл/Ь — 7,73) — нулевые производные параметров задачи по координате х, на боковых границах задавалось статическое давление. Задача решалась для половины пространства в предположении симметрии течения относительно вертикальной плоскости г — 0. Расчёт выполнен для М — 0,78. а = 3°, Ие = 2 • 106.
На рис. 4 приведены результаты рас-
хои1 = 7,73 • Ь, полученные с помощью 2D иИАЖ и 3D ИАЖ Для случая 3D ИАЖ приведена также продольная компонента скорости потока (рис. 5). Главное отличие метода 3D ИА^ от 2D иИА^ состоит в учете продольной компоненты скорости потока и её влиянии на поперечные компоненты. Как видно, это влияние достаточно слабо, что является подтверждением корректности использования нестационарной аналогии. Из рис. 5 видно также, что в ядре концевого вихря имеется дефицит продольной скорости около 20 м/с при скорости потока 255 м/с. Характеристики вихрей в выходном сечении х = 7,73Ь представлены в табл. 1.
чёта поля завихренности
в сечении
Рис. 4. Поле завихренности (слева: 2Б иИА^, справа: 3Б ИА^
Рис. 5. Поле продольной компоненты скорости (м/с) Радиус ядра гс и циркуляция Г вихря
Таблица 1
нестационарная аналогия 20 ШІАМЗ ЗБ ПАЖ
вихрь 1 вихрь 2 вихрь 3 вихрь 4 вихрь 1 вихрь 2 вихрь 3 вихрь 4
Гс, М 0,91 0,77 0,77 0,59 0,99 0,87 0,82 0,91
Г,м2 • с 370 61 36 -7 356 65 25 -10
Существуют алгебраические модели следа, которые позволяют по интегральным характеристикам самолёта (коэффициенты подъёмной силы, индуктивного сопротивления, размах крыла, вес) с помощью законов сохранения импульса и энергии получить характеристики вихрей следа на выходе из зоны ближнего следа (вихревая пелена преобразуется в когерентную пару вихрей).
Модель НАСА [2] использует интегральную теорему для вертикальной компоненты импульса и предполагает, что поле скоростей в вихре на выходе из зоны ближнего следа может быть описано с помощью эмпирической зависимости:
К = 1’42^(1-ЯФ(-10(г)°'Т5)) Х
х | 1 — ехр [ —1,2527 ( —
r < rc
Vt
Г
2nr
1 — exp ( —10 ( —
0,75
r > rc
Г
G
&w pV0
Здесь Ут — тангенциальная компонента скорости, Хш — размах вихрей (расстояние между вихрями), Г — циркуляция вихря, G — вес самолёта, Ь — размах крыла. При этом необходимо знать гс, Хш, которые определяются экспериментально либо из расчётов ближнего следа с помощью моделей более высокого уровня (2D ИА^, 3D ИАЖ). Последний способ предполагает построение некоторой усреднённой (по типу самолётов) зависимости гс от размаха крыла (или веса) самолёта. Среднее значение для большого числа типов самолётов даёт гс = 0,04Ь. Данная формула получена для посадочного режима полета и несправедлива для крейсерского режима. Так, например, оценка радиуса ядра для примера, приведённого выше, даёт завышенное значение: гс = 1,75 м вместо гс = 1,00 м.
Используя закон сохранения для вертикальной компоненты импульса и предполагая, что непосредственно за самолётом справедливо эллиптическое распределение циркуляции по размаху, можно получить
п
4, = jL.
В модели ЦАГИ кроме закона сохранения для вертикальной компоненты импульса и эмпирической формулы для поля скоростей в вихре используются законы сохранения для горизонтальной компоненты импульса и энергии. Это позволяет получить ещё одну связь между искомыми величинами и определить размер ядра гс. Индуктивное сопротивление ЛА в вязкой жидкости при больших числах Рейнольдса выражается формулой (см., например, [10]):
v2 + w2
dS,
где интеграл берется по вертикальной плоскости x = const. Прямое его вычисление для пары вихрей с заданными \w и зависимостью Vt от радиуса позволяет найти необходимую связь между искомыми величинами, если известен коэффициент индуктивного сопротивления Cxi. Последний можно оценить по известной формуле для эллиптического распределения циркуляции по размаху:
2
п _ CY
ьХг — —Г) пЛ
где Л — удлинение крыла, Cy — коэффициент подъёмной силы. Интеграл можно вычислить и непосредственно по найденному полю скоростей за самолётом. Этот подход справедлив как для посадочного, так и крейсерского режимов. Для приведённого примера он даёт значение rc = 1,25 м.
III. Расчёт аэродинамических характеристик самолёта при его попадании в след
Для получения интегральных характеристик самолёта при его попадании в вихревой след от предшествующего самолёта были проведены расчёты для ряда самолётов-генераторов и разных вихревых следов. Оказалось, что величина циркуляции вихря, опасного для второго самолёта, слабо зависит от величины радиуса ядра вихря. На рис. 6 приведён обобщённый график циркуляции вихря Г самолёта-генератора следа, допустимой для последующего самолёта, в зависимости от размаха его крыла b. Эти результаты получены с помощью МДВ из оценки максимально допустимого момента крена, индуцированного вихрем от впереди летящего самолёта, на втором самолёте, летящем вдоль оси вихря. Поле вихря, индуцированное самолётом-генератором следа, описывалось с помощью аналитической модели. Имея эту зависимость и математическую модель разрушения следа (то есть циркуляцию вихря самолёта-генератора как функцию времени), можно оценить безопасный интервал для обеспечения безопасного полета второго самолёта.
Ь, м
Рис. 6. Максимально допустимая циркуляция самолёта-лидера Г для безопасного попадания в его след самолёта с размахом крыла Ь, летящего вдоль оси вихря
IV. Эволюция и разрушение дальнего следа
IV.!. Модель однородной и изотропной турбулентной атмосферы
Исходными данными для задания случайных скоростей турбулентных порывов ветра являются форма спектральной плотности и два параметра — масштаб и дисперсия. Наиболее распространена модель спектральной плотности Кармана, которая имеет вид [11]:
ЩП) = ^-а2Ь---------(а,Хл°)4
^ [1 + (акЬА(1)1}17/е
(1)
где Ьа — масштаб турбулентности, а — среднеквадратическое отклонение,
О = (ОХ,ОУ,Ог) — вектор пространственной частоты, О = |О| — модуль вектора О, = 1,339 — постоянная Кармана. Функция Е(О) позволяет определять спектральные плотности компонентов случайного вектора скорости порыва любого порядка. Корреляционный тензор Ь^ (О), который задает дисперсию и корреляцию компонент скорости в О-пространстве, определяется по формуле [12]:
Ьік (О)
Е(О) (О25ік - ОіОк)
Откуда следует, что спектральная плотность ^-й компоненты скорости представляется в виде [11]:
Sj (Ох ,Оу ,Ог)
і?(0)(02 — О2) 47гО4
(суммирования по повторяющемуся индексу ^ нет). Следует подчеркнуть, что в О-пространстве корреляция между частотами отсутствует (следствие однородности и изотропности турбулентности).
Спектральные плотности от меньшего числа переменных определяются путём интегрирования:
Sj (О
о )
ху
Sj (Ох) =
j (Ох , Оу , £ ,
Sj (Ох А )жг
Приведённые формулы справедливы для изотропной турбулентности, когда спектральные характеристики одинаковы для всех направлений. Практически эта гипотеза применяется для высот более 300 метров, где дисперсии и масштабы всех компонентов вектора скорости считаются одинаковыми:
К при К < 760 м,
760 м при К > 760 м
4п
О4
(7и — 7у — 7 ю
В приземном слое атмосферы (к < 300 м) параметры спектральных плотностей различных компонентов скорости ветра различны и изменяются с высотой. Существует большое число моделей, применяемых для моделирования посадки самолётов, например, модель фирмы Боинг [13] или модель ИКАО [14].
Модель фирмы Боинг:
& и Г ю
(Ту
Г ю
1
[0,177 + 0,823зУ0,4
ЬЪ
Модель ИКАО:
Ью
К, Ьи
ь„ = ь,„ ( —
7 ю
Ьу — 180 м,
7 и
7 У
2у ю •
Здесь ~ 0,09м, где и модуль систематического ветра на высоте 10 метров. На практике для приземного слоя атмосферы используются те же формулы для спектральных плотностей, как для изотропной турбулентности, но для безразмерных переменных:
5=4.
Т2
72
а = —, и
ос
X
т:>
Ьх
У
І!_ тj' Ьу
г —
Ь\
где Ь? — масштаб ]-й компоненты скорости вдоль г-й оси. Одномерные (по х) и двумерные (по х и г) безразмерные спектральные плотности турбулентности и положительных частот определяются по следующим формулам:
!3у (О х) — (О х)
1 + | (о'А-О а
П
1 + (ак°
л \2
х
11/6 :
7/3
2а\ [1 + 1<чМ, 'г + (а-д-ГЬ)2]
Зтг [1 + (м + (а'А-П.)2]
16а'2 [(оА)2 + (аА)2]
9тг [і + (а'д.Пт)2 + (а'д.Пг)2]
Размерные и безразмерные спектральные плотности связаны соотношениями:
Sу (сх А ) —
Бю (О х,С £ )
Sj (Ох) — 722Sj (Бх)Ьх,
Sj (Ох О) — 72 Sj (Ох,Ог )Ьх Ьх •
Приведённые выше и далее спектральные плотности нормированы таким образом, что соответствующие дисперсии определяются интегрированием только по положительным частотам. Известные спектральные плотности для различных компонентов позволяют задавать случайные реализации скоростей порывов. Наиболее общим способом задания реализаций является представление скоростей ветра в виде рядов Фурье по дискретному набору частот:
М К N
ткп
X
т=1 к=1 п=1
х ео8(Ожтх + Оуку + Охпг) +
+Вткп ®^п(Охтх + Оуку + Оznz) , (2)
где AJmkn, В1кп — независимые (по индексам т,к,и) гауссовские случайные величины с дисперсиями
в в [вm,n =
^3 (Оxm,Оyk ,Оzn)^Оx^Оy ДОг:
но зависимые по индексу ]. Коэффициент корреляции задается тензором Ьк.
При исследовании влияния атмосферной турбулентности на вихревой след возникает задача моделирования случайных компонентов вектора скорости ветра вдоль прямых линий, параллельных оси ОХ и проходящих через концы произвольного вектора Ь = (Ьу,Ьг) в плоскости ОУZ. В общем случае случайные реализации можно задавать в виде тройных рядов Фурье для дискретных частот (2). Если число линий не велико, то процедура задания случайных реализаций может быть существенно упрощена. В частном случае двух вихрей спектральные плотности суммы и разности скоростей на вихревых нитях приведены в работе [15]. Для решения этой задачи при произвольном числе линий необходимо определить взаимные спектральные плотности для двух компонентов вектора скорости в различных точках пространства. Взаимная спектральная плотность для составляющей скорости ветра Ут, направленной по вектору Ь = (Ьу ,Ьг),
3
г
2
определяется интегралом
ГО ОО
Е(О)(Ох + О2)
!3ут (Ъ°х)
4пО4
х
— ОО —ОО
х еов(ОуЬ)^ОувОг. (3)
Для спектральной плотности в форме Кармана интеграл (3) принимает вид
а2Ь
X -
п((Ох аЬ)2 + 1)5/6
5
/зук5/6(/з)
х
2) Г(5/6)
+
З V № ) \2 ) Г(11/6) )'
где в2 — (ОхЪ)2 + (Ъ/аЬ)2.
Взаимная спектральная плотность для нормальной компоненты вектора скорости ветра Уп (направление вектора скорости ветра перпендикулярно направлению вектора Ъ — (Ъу ,Ъ£)) определяется соотношениями:
‘$У„ (Ъ,Ох)
Е (О)(Ох + оу)
4пО4
-X
— ОО —ОО
х еов(ОуЪ)^ОувОг, 872Ь
х
Зп((ОхаЬ)2 + 1)5/6
х
Ргю \ 6 А 5/6 (/?„,)
Г(5/6)
5/8
/Л<Л 6 А ц/6 (Д„)
((ОхаЬ)2 + 1)^2/ Г(11/6)
Взаимная спектральная плотность для вертикальных (вдоль оси OZ) компонентов скорости ветра в концах вектора Ъ — (Ъу ,Ъ£) определяется соотношением
Sю (Ъу ,Ъ£ ,Ох)
= (4)
Ъ2у + Ъ2
Ъ2у + Ъ£2
Взаимная спектральная плотность для боковых компонент скорости ветра (вдоль оси ОУ) в концах вектора Ъ — (Ъу ,Ъг) определяется по формуле (4), если в
последней изменить порядок координат:
Бу (Ьу ,Ьг ,Ох ) Бт (Ьг ,Ьу ,Ох).
Пусть задано N прямых линий, параллельных оси ОХ и проходящих через точ-
ки с координатами уп, гп, п
1, 2,
N.
На прямых заданы дискретные точки с координатами xm, т = 1, 2, ..., М. Необходимо определить значения вертикальной компоненты скорости ветра в заданных узлах Полагаем, что значения гори-
зонтальной компоненты vn,m не коррели-рованы со значениями вертикальной компоненты и вычисляются аналогично. Случайные реализации являются одномерными, поэтому для упрощения формул примем обозначение Ох = ш.
Случайные реализации задаются в виде рядов Фурье по заданному дискретному набору частот шк = кАш, к =1, 2, ..., К. Заданные частоты определяются дискретностью разбиения по оси ОХ и выбираются таким образом, чтобы дискретный спектр включал все частоты, для которых соответствующие гармоники могут быть практически реализованы при данной дискретизации независимой переменной х. Минимальная частота в разложении определяется таким образом, чтобы соответствующая ей длина волны совпадала с длиной всей реализации, а максимальная частота определяется длиной волны, которая соответствует примерно четырем интервалам разбиения по оси ОХ. В этом случае
2^
С0\ = /ли
(хМ х1)
Процедура расчёта случайной реализации основана на некоррелированности различных гармоник и сводится к следующему. Для каждой частоты определяется симметричная матрица Бк взаимных спектральных плотностей с элементами Б» ^ Бт (Ьyij ^Ьг1з,шк)Аш, где г 1, 2, ..., ,
і,3
3 1, 2, •••, N, Ъyij уі yj, Ъzij гі г
7'
Симметричная матрица Sk представляется в виде
Sk т*к(Тк)Т
где матрица Т пропорциональна матрице ортогонального преобразования, приводящего симметричную матрицу к диагональному виду. При проведении численных расчётов матрица Т определяется итерационным методом вращений, который позволяет приводить любую симметричную
матрицу к диагональному виду независимо от кратности её собственных чисел. После определения матрицы Т соответствующие гармоники всех случайных реализаций могут быть получены как линейные комбинации некоррелированных стандартных гармоник с той же частотой:
N
шк= £ тз зы, (5)
3=1
где (xm) = В3к СОв(ШкXm) + Ск вт(ШкXm),
а Вк С — независимые стандартные (с нулевым средним и единичной дисперсией) нормально распределенные случайные величины. Расчёты по формуле (5) проводятся для всех значений индексов и и т, то есть при заданной частоте Шк определяются соответствующие гармоники всех реализаций ветра и по всей их длине. После проведения расчётов для всех частот окончательный результат получается суммированием всех гармоник:
к wnm ^ ] wnm.
к=1
^.2. Модель приземного слоя атмосферы
Приземный слой атмосферы характеризуется профилями (по высоте) средней скорости ветра, температуры, уровня и масштаба турбулентности (или скорости диссипации турбулентной энергии). Следует подчеркнуть, что все четыре функции являются существенными для описания эволюции следа, но не являются независимыми. Цель математической модели приземного слоя атмосферы — нахождение корреляции между профилями средних скоростей ветра и температуры и профилями уровня и масштаба турбулентности. Наиболее простой и эффективной на данный момент времени считается математическая модель атмосферы на основе теории Монина-Обухова, которая содержит два параметра (скорость ветра на определённой высоте и длина Обухова или связанное с ней число Ричардсона, характеризующее устойчивость атмосферы). По значениям этих параметров модель позволяет восстановить все четыре необходимые функции, используя соображения теории
подобия и эмпирические зависимости. Эта модель подробно описана в работе [4], где в качестве иллюстрации приведены профили скорости ветра (расчёт и эксперимент) для разных состояний атмосферы и сравнение расчётов турбулентных характеристик атмосферы с экспериментом.
^.3. Модель разрушения вихревого следа в турбулентной атмосфере
В данном разделе дано описание численного метода [5, 6] расчёта па-
раметров вихревого следа на основе двумерных нестационарных осреднённых по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (2D ИИАМБ). Как указано выше, необходима коррекция модели турбулентности с учётом кривизны линий тока. Однако в дальнем поле этой коррекции недостаточно из-за наличия взаимодействия между фоновой турбулентностью и турбулентностью, генерируемой вихрями следа. В данной работе предложены две модели турбулентности, алгебраическая и к-О ББТ, которые явно учитывают такое взаимодействие. Такая коррекция должна учитывать наличие в данной задаче двух существенно различных масштабов (характерный масштаб в вихре равен 10 м, масштаб турбулентности в атмосфере имеет порядок 200-300 м). Поскольку размер вычислительной области в реальных расчётах всегда меньше масштаба турбулентности атмосферы, необходимо явно учесть эффект перекачки турбулентной энергии от крупных турбулентных вихрей атмосферы в масштабы порядка размеров вихря.
^.4. Модели турбулентности
Ниже описана алгебраическая двухмасштабная модель турбулентности, обобщающая результаты [5, 6]. Окружающая вихрь атмосфера характеризуется двумя параметрами: уровнем турбулентности
/— — --------\ 1/2
дА = (и12 + у'2 + и^2)
и масштабом турбулентности Ьа ~ 200-300 м. Масштаб турбулентности внутри вихря много меньше масштаба турбулентности атмосферы Л ^ Ьа. Скорость диссипации турбулентной энергии £а может быть
выражена через эти величины на основе теории размерностей следующим образом:
?!
^ = Соу-Ч ьа
где С0 — некоторая постоянная. Посредством каскадного процесса турбулентная энергия атмосферы должна передаваться в меньшие масштабы (в том числе и в масштабы порядка размеров вихря следа), прежде чем диссипировать в тепло. Поскольку размеры расчётной области для реальных задач о следе не позволяют моделировать эволюцию больших вихрей с размерами ~ Ьа (которые, кроме того, можно моделировать только в 3D постановке), в уравнении баланса турбулентной энергии необходимо явно учесть приток энергии от крупных турбулентных вихрей атмосферы. Полный приток турбулентной энергии в вихре равен сумме производства энергии в вихре и притока энергии от крупных вихрей атмосферы:
Р — р
V'т ( 1 —
Яів Яію
Рг„ + Рг,„
Я» + «Д
ЬА
где .5 = = 1 (|| + Щ) -
тензор скоростей деформаций, р — плотность воздуха. Члены, содержащие числа Ричардсона, ответственны за производство энергии температурным градиентом и градиентом продольной скорости соответственно. Тогда гипотеза локального равновесия турбулентной энергии может быть выражена в виде
^.2ит (1 - Яів/Ргв + Яги,/Рги,) о2 [ Яе * +
*3
,г іТа _ Vт
+ с«ьл- е*'
где Си, Сд — некоторые константы. В последней формуле, следуя [16], введена поправка на число Рейнольдса в член, ответственный за производство турбулентной энергии, где И,е — Гс/', Гс — циркуляция ядра вихря, V — молекулярная вязкость. Эта поправка позволяет применять данную формулу как в случае натурных условий, так и для условий в АДТ Член в правой части этой формулы описывает диссипацию турбулентной энергии на
масштабах, где существенна вязкость. При наличии турбулентного фона диссипация турбулентной энергии больше, чем в случае отсутствия внешней турбулентности. В результате получается кубическое уравнение для определения турбулентной вязкости. Для констант были получены значения Су = 0,05, Сд = 0,03.
С физической точки зрения ясно, что масштаб турбулентности I не является постоянным. Он увеличивается от нуля в центре вихря до величины порядка размера вихря (или расстояния между вихрями следа) на некотором удалении от вихря. В [17] были получены асимптотические оценки для величины I в центре вихря и вне ядра вихря. Там же была предложена композитная формула для I во всей области вихря. Эта формула использована в данной работе и может быть представлена в виде
Й = /?2 ^
0 ^ '
Следует отметить, что данная зависимость является средством учёта кривизны линий тока в алгебраической модели турбулентности. Для величин £0 (характерный размер вихря) и Сш по результатам тестирования были приняты значения: Сш = 1,5, £о = /7г, где 5о — пло-
щадь, занятая вихрем (где сосредоточено 99% всей циркуляции).
Наряду с алгебраической моделью турбулентности описана также модифицированная к-О ББТ модель. Как было указано выше, стандартный вариант этой модели неприменим в данной задаче из-за чрезмерно большого значения турбулентной вязкости в ядре вихря и наличия двух существенно отличающихся по величине масштабов турбулентности (фоновая турбулентность атмосферы и турбулентность, генерируемая вихрем). Модификации подвергаются оба уравнения:
д(рк) д(Ригк)
ді
+
дхі
— Рк !е — /Зркш +
д
дхі
»+^)^)+сА,
7к дхі
Ь
А
д(ри) д(рЩи) и ~ 2
— + ~а^Г = акРк}' ~Рркш +
7 к дхі дх7 дх^
рЛ дк_
СГШ ) дхі
Члены, которые ответственны за модификацию стандартной модели турбулентности: величина /с представляет собой корректор генерации турбулентной энергии из-за наличия кривизны линий тока, предложенный Спаларом и Шуром [9], а член С0д\/ЬА описывает приток турбулентной энергии от вихрей фоновой турбулентности атмосферы в область вихря и полностью аналогичен соответствующему члену в алгебраической модели турбулентности.
1У.5. Двухфазная полуэмпирическая модель турбулентности
В соответствии с [1] процесс разрушения вихря имеет две фазы: медленной диффузии (диффузия вихря с малой скоростью) и последующей фазы быстрого разрушения. Характерное время Т* отделяет эти две фазы. В соответствии с результатами эксперимента и расчётами на основе LES [1] получено:
Т * = (2 - 6) 1а;
Ьо
2тг Ь2
Т7'
где Ь — расстояние между вихрями следа (размах вихрей).
Физический процесс потери циркуляции в фазе турбулентной диффузии может быть представлен следующим образом:
— турбулентная диффузия вихря формируется как самим вихрем (градиентами скорости), так и внешней атмосферой;
— влияние внешней атмосферы на турбулентную вязкость доминирует при больших г;
— в соответствии с моделью [2] заметная доля завихренности вихря существует при достаточно больших г;
— в данной работе принята следующая гипотеза: завихренность вихря ниже фоновой завихренности атмосферы не фиксируется никакими физическими приборами и не может идентифицироваться как завихренность, принадлежащая вихрю;
— в процессе турбулентной диффузии все большие области вихря имеют значения ниже фоновой. Это и обуславливает потерю циркуляции в вихре;
— в области вихря с завихренностью ниже фоновой имеет место процесс диссипации энергии в тепло.
Процесс «погружения» вихря в область фоновой завихренности происходит в диапазоне 5 м < г < 15 м при всех практически важных значениях уровня турбулентности дА. Это обстоятельство является оправданием (с физической точки зрения) предложения [1] принять в качестве циркуляции вихря среднюю циркуляцию в диапазоне 5 м < г < 15 м.
Предполагается, что распад вихря во второй фазе также может быть описан в рамках двумерных осреднённых по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (2D ИАЖ), если задать существенно больший уровень и существенно меньший масштаб фоновой турбулентности. Фоновая турбулентность в этой фазе не связана непосредственно с турбулентностью атмосферы, а генерируется самим вихрем (вторичная завихренность). Определяющими параметрами для неё при этом будут циркуляция вихря и размах крыла. Данная идея была реализована в программе вычисления потери циркуляции на основе 2D ИА^ с алгебраической моделью турбулентности. Таким образом, вторая фаза может быть описана теми же уравнениями, но с другим значением скорости диссипации турбулентной энергии £а , так как в этой фазе вследствие нарастания коротковолновых возмущений турбулентный фон генерируется самой вихревой нитью. При этом характерными величинами, определяющими £а , являются циркуляция вихря в начальный момент времени Го и размах вихрей Ь:
£а
Сзт (
Го
Ъ
Для константы С3 было получено значение Сз = 0,0003.
В качестве момента времени для переключения £а (момент смены фаз) был использован эмпирический критерий:
Т * = miп(Tlink,8tо), Ьо
2тг Ь2
Т7'
где Тщ — время касания вихрей в соответствии с линейной теорией [18].
1У.6. Новая теоретическая схема турбулентной диффузии вихря
3
Ниже предложена теоретическая схема разрушения вихря в турбулентной атмосфере, которая обосновывает все пункты полуэмпирической модели, описанной выше.
Вихри следа характеризуются тем, что в области вихря
1^.т1 ^ \! и2+1^12)
то есть продольная завихренность много больше поперечной. Однако на периферии вихря продольная завихренность уменьшается по экспоненте и сравнивается по порядку величины с фоновой завихренностью турбулентной атмосферы. Подчеркнем, что турбулентные вихри атмосферы являются существенно трёхмерными, а вихри следа — существенно двухмерными, то есть внутри вихря следа справедливо двумерное приближение, и можно использовать 2D ИА^.
Следует отметить, что масштаб турбулентности атмосферы (~ 200 м) имеет намного большие размеры, чем размеры вихревой пары следа (размер вихря ~ 10 м, размах вихрей 30-50 м). В соответствии с теорией Колмогорова для однородной и изотропной турбулентности турбулентная энергия атмосферы распределена по каскаду вихрей от размеров масштаба турбулентности атмосферы до вязкого масштаба. Таким образом, значительная доля турбулентной энергии атмосферы приходится на масштабы порядка размеров вихря.
Очевидно, что на периферии вихря двумерное приближение становится несправедливым, при этом имеет место сильное взаимодействие двумерных вихрей следа с трёхмерными вихрями турбулентной атмосферы на масштабах порядка размеров вихря и, следовательно, преобразование двумерных вихрей следа в трёхмерные вихри турбулентного фона. Вследствие диффузии вихря все большие области вихря перекачиваются в турбулентный фон, чем и объясняется эффект «потери» циркуляции вихря. Данный механизм справедлив для первой (медленной) фазы турбулентной диффузии вихря и характеризуется значительными пульсациями при уменьшении циркуляции вихря, что и наблюдается в эксперименте. Именно по этой причине эмпирически было введено определение циркуляции вихря как
среднее значение по кольцу r = 5-15 м (размер вихря имеет порядок 10 м).
Ясно, что через некоторое время по мере ослабевания вихря следа завихренность уже внутри самого вихря начинает сильно взаимодействовать с фоновой завихренностью, то есть наступает вторая фаза разрушения вихря. Эта фаза характеризуется сильными пульсациями скорости во всей области вихря, которые вызывают обмен циркуляции между положительным и отрицательным вихрем следа, что и приводит к быстрому разрушению вихря.
По результатам проведённого анализа можно сделать следующие выводы.
1. Эффект «потери» циркуляции есть следствие взаимодействия вихря следа на его периферии с трёхмерными вихрями фоновой завихренности на масштабах порядка размеров вихря следа.
2. Эффект «потери» циркуляции может быть описан в рамках 2D RANS только с помощью полуэмпирических моделей турбулентности, явно учитывающих приток турбулентной энергии от крупномасштабных турбулентных вихрей атмосферы в область вихря следа.
3. Альтернативой п. 2 может являться использование 3D RANS с корректированной моделью турбулентности для учёта влияния кривизны линий тока.
IV.7. Синусоидальная неустойчивость
Согласно работе [13], колебания пары вихрей относительно невозмущённого положения разделяются на симметричную и антисимметричную формы колебаний, которые определяются соответственно функциями
Ays(x,t) = Ay2(x,t) - Ayi{x,t),
Azs (x,t) = Azl(x,t) + Az2 (x,t) для симметричной формы и
Ays (x,t) = Ayi(x,t) + Ay2 (x,t),
Azs (x,t) = Az2(x,t) — Azl (x,t)
для антисимметричной. Здесь переменные Ayl, Ay2, Azl, Az2 обозначают смещения в плоскости вихрей (боковое смещение) и перпендикулярно этой плоскости (вертикальное) соответственно для первого и второго вихрей.
Дифференциальные уравнения для преобразований Фурье по переменной x
от боковой и вертикальной составляющих симметричной формы колебаний имеют вид [13, 19]
дАуз
т
дАгз
Ы
= а-12А/ + ($2 - VI), = а21 Ауз + (<2 + <101).
Коэффициенты а12 и а21 для симметричной формы колебаний определяются соотношениями [19]
а12 (в) = а21 (в) =
Г
2пЬ2
Г
2пЬ2
где в = кЬ, 5 = в^/Ь.
1 - ф(в) + в(5)] , 1 + х(в) - в2ш(5)1 ,
(сов5 - 1) вт5
+ —:-------Сг(6)
52
5
х(в ) = вК1 (в), ф(в ) = в2 Ко (в)+ вК1 (в),
К0 (в) и К1 (в) — модифицированные
функции Бесселя.
Для антисимметричной формы колебаний уравнения для преобразований Фурье от боковой и вертикальной составляющих колебаний имеют вид
<9ДУа
т1
ЭАха
дЬ
= а12 А0а + ($2 + $1), = а21 Ау/А + (<02 - <1),
где
а12 (в) = а21 (в) =
Г
2пЬ2
Г
27тЬ2
1+ ф(в)+ в2ш(5) ,
1 - х(в) - в2ш(5)] .
Спектральные плотности для суммы и разности вертикальных и боковых порывов ветра для модели Кармана имеют вид [15]
Б
VI ±«2
(в) =
4*
па V аЬ
Ь
1
5/3
V
в
X
1 + (&Л6 К5ММ
2 \2) Г(5/6)
+
+1(1 3 \ А
1 {АЛ 6 Кц/е(А)
2 Г(11/6)
32а- 2
О //оч _
Б51±52 (Н )
3па V аЬ
Ь
в5/3
вы
X
X
1 + (К5/б(М
2 ^ 2 Г(5/6)
5
Ь
8 у аЬ5 [З5
где
2
-± (6
2 V 2 У Г(11/6)
в2 = (кЬ) + (Ь/аЬ« )2,
в5 = (кЬ)2 + (Ь/аЬы )2,
а = 1,339 — постоянная Кармана. При исследовании воздействия турбулентности на развитие неустойчивых колебаний вихрей используется модель Колмогорова [13] с энергетической функцией спектральной плотности:
а£2/3
Е<«> =
(6)
ное «время жизни» вихрей
Преимущество модели Колмогорова состоит в том что в ней содержится один параметр, вместо двух. Обоснованием использования модели Колмогорова обычно
2
5
V
служит тот факт, что отношение расстояния между вихрями к масштабу турбулентности мало, и в этом случае на развитие неустойчивых колебаний влияют только большие частоты. Сравнением формул (1) и (6) при больших значениях частоты легко установить связь между параметрами двух моделей:
55 1
1,09-
7
Г'
а£
2/3
9П а5/3Ь2/3
<т
В работе [13] для характеристики интенсивности турбулентности используется безразмерный параметр п = £1/32пЬ4/3/Г, который связан с параметрами модели Кармана соотношением
Г1 55 _ ( Ъ У/3
где 7 = <2пЬ/Г. В [13] предложено вычислять характерное время развития неустойчивых колебаний т = 2пЬ2/Г из условия <Аув = Ь, которое названо временем жизни вихрей. На рис. 7 приведено влияние параметра Ь/Ь на безразмерное «время жизни» вихрей. Из приведённых результатов следует, что универсальная зависимость т(п) [13] для модели Колмогорова (Ь/Ь = 0) является достаточно точной для практически важных случаев, за исключением малых высот полета, где отношение Ь/Ь может быть большим.
п
*10 15 20 25 30
Размах крыла второго самолёта Ь2 (м)
Рис. 8. Параметры вихря и безопасный интервал при д = 0,1 м/с (Ту-204)
На рис. 7 приведены примеры расчётов для компоновки Ту-204. В таблице 3 даны вычисленные значения для времени образования вихревых колец по классической теории Кроу-Бэйта (колмогоровский спектр, [13]) и её модификации [15], а также результаты расчёта по данной работе (кармановский спектр) для уровней турбу-
лентности д = 0,1 м/с и 1 м/с. На рис. 8 приведены подробные характеристики следа (изменения радиуса ядра, максимума окружной скорости, циркуляции вихря по времени, а также время задержки второго самолёта как функция размаха его крыла Ь2). На рис. 9 приведены трассы вихрей (коридоры опасности), а также при-
мер стохастическом траектории, которая заполняет коридор опасности. Здесь и далее размер коридора опасности определялся по критерию а разброса координат траектории вихря. Те же данные для уровня турбулентности д = 1 м/с приведены на рис. 10, 11.
Из представленных данных следует, что полет самолёта внутри коридора опасности недопустим из-за высокой вероятности встречи с вихрем следа предыдущего самолёта.
Размеры коридора опасности определяются стохастическими свойствами траек-
Вё|ед®иьна!Я';1Х1Госк:оетЁ
I (с)
Г оризонтальная плоскость
У(м}
торий следа, а не размерами ядра вихря, которые намного меньше размеров коридора опасности. Время задержки второго самолёта не связано со временем образования вихревых колец и может быть как больше, так и меньше последнего.
Таблица 2
д, м/с 0,1 1,0
Тцпк_ (Кроу-Бэйт), с 170 48
Тцпк_ (модифицированный), с 212 66
Тцпк- (линейная теория, Карман), с 162 62
Т(1е1ауі С (р2 20 м) 229 41
Вертикальная плоскость
Г (с)
Г оризонтальная плоскость
ЩО
100 150
1 (у ) і (с)
Рис. 9. Зоны возможного расположения следа в вертикальной и горизонтальной плоскостях при д = 0,1 м/с (слева — коридор опасности, справа — одна из реализаций для траекторий вихрей следа)
10 20 30 40
Размах крыла второго самолёта Ь2 (м) Рис. 10. Параметры вихря при д = 1 м/с
Рис. 11. Зоны возможного расположения следа при д = 1 м/с
V. Использование математических моделей следа для решения задач безопасности полетов
Каждый аэропорт с точки зрения модели следа характеризуется статистикой ветров в переменных У-д (скорость вет-
ра — уровень турбулентности). Эта характеристика аэропорта получается с помощью стандартной обработки записей показаний анемометра с метеорологической вышки в течение нескольких лет (рис. 12). По этим результатам с помощью модели Монина-Обухова определяются величины Ь для нижней и верхней кривых в плоскости V-д, между которыми лежат все экспериментальные точки. Для типичного аэро-
порта, расположенного на равнине (на примере аэропорта Франкфурта), практически все состояния атмосферы расположены между кривыми Ь = — 1 ми Ь =10 м. Анализ затухания циркуляции показывает, что наиболее опасными являются устойчивые режимы (наименьший уровень турбулентности при заданной скорости ветра).
Решающей проверкой предлагаемой модели следа является правильная оценка безопасной дистанции (безопасного временного интервала) между самолётами при посадке на одну полосу. В качестве примера рассчитан безопасный интервал за самолётом B747. Параметры атмосферы взяты на кривой Ь = 10 м (наиболее опасный режим). Полученные оценки для безопасного интервала, а также нор-
мы ИКАО приведены в табл. 3. Следует отметить, что параметры атмосферы при Ь = 10 ми V = 2 м/с являются наихудшими с точки зрения безопасности полета.
В 70-е годы в США (NASA/FAA) была проведена программа лётных испытаний по определению безопасных дистанций между парами самолётов. Сводная таблица результатов этих испытаний приведена на рис. 13. Видно, что имеется значительный разброс в оценке безопасных дистанций для заданной пары самолётов в зависимости состояния атмосферы. На рис. 14 приведены результаты расчёта затухания вихря в сравнении с данными ли-дарных измерений максимальной скорости в вихре за В747 в условиях аэропорта Франкфурта при различных состояниях атмосферы.
Таблица 3
Последующий самолёт Временной интервал (расчёт), с Нормы ИКАО, с
V = 5 м/с, Ь = 10 м V = 2 м/с, Ь = 10 м
В747 40 65 106
А340 50 100 106
А310 70 110 106
А320 100 Ь-1 СО сл 132
ЬеахЛе! Ь-1 СО О 165 159
Скорость ветра (м/с)
Рис. 12. Модель ИКАО соответствует нейтральному ветру \Ь\ > 400. Область внутри линий Ь = —1 ми Ь = 10 м — диапазон значений скорости ветра и уровня турбулентности, предсказанный моделью Монина-Обухова
Самолет-
генератор
В-52
С-5А
СУ-990
БС-9
зондировщик
8
10
12
14
16
Расстояние между самолетами (морск. мили)
___________1________________I________________1_
0
12
16
20
24
28
Расстояние между самолетами (км)
Рис. 13. Оценка безопасных дистанций по результатам лётных испытаний в зависимости от типов самолётов и состояния атмосферы [20]
25
20
и 15 1 X
я
I 10
V ф
• • 1, 1 » • ' Йн *т* •
яв • • Ь = 10 м
ф • # • % • в
г N /. = 1 м • • •
10
30 50 70 90 110 130 150
f, с
V10= 2 м/с, _-10 м, очень устойчивая У10=3 м/с, 1_=-1 м, очень неустойчивая Лидар
Рис. 14. Максимальная скорость в вихре за самолётом В747 (расчёт 2Б ИА^, лидар [21])
а)
Ъ)
Рис. 15. Эволюция подветренного вихря за самолетом В747 (расчёт 2Б ИЛ^, лидар [21]): а) максимальная скорость в вихре, Ь) траектория вихря (устойчивая атмосфера Ь = 20 м, скорость ветра V = 4,6 м/с при Н = 65 м)
Ь, м
Рис. 16. Безопасные интервалы для самолётов с размахом крыла Ь при посадке на одну полосу за указанным самолётом
На рис. 15 приведены результаты расчёта положения подветренного вихря за самолётом В747 в сравнении с данными измерений [21]. На рис. 16 показаны безопасные интервалы для самолётов с размахом крыла Ь при посадке на одну полосу за указанными самолётами. Выбран наихудший случай: д = 0,2 м/с, Ь =10 м, V = 2 м/с (скорость ветра при Н = 10 м). Там же нанесены нормы ИКАО (к тяжелому классу относятся самолёты с Ь > 40 м, к среднему — 20 м < Ь < 40 м, к легкому — Ь < 20 м). Видно, что самолёт А380-200 не укладывается в нормы ИКАО и требует введения нового класса в матрице безопасных расстояний. Летные эксперименты, проведённые фирмой «Эрбас» [7], полностью подтвердили этот вывод и также представлены на
рис. 16. Следует отметить, что время задержки в соответствии с рекомендациями ИКАО постоянно в каждом классе и ориентируется на наихудший случай.
Работа выполнена при поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований, грант № 07-08-13582 ОФИ_2007, а также Аналитической Ведомственной Целевой Программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)» 2.1.1/200. Авторы выражают благодарность В.П. Кузьмину, А.В. Кощееву и В.Г. Судакову за помощь, оказанную при проведении исследований.
Литература
1. Gerz T., Holzaephel F., Darracq D. Aircraft Wake Vortices // WakeNet Position Paper. — 2001.
2. Shen S., Ding F., Han J., Lin Y.-L., Arya S.P., Proctor F.H. Numerical modeling studies of wake vortices: real case simulation // AIAA Paper. — 1999. — N. 0755.
3. Белоцерковский С.М., Дворак А.В., Желанников А.И., Котовский В.Н. Моделирование на ЭВМ турбулентных струй и следов. Проблемы турбулентных течений. — М.: Наука, 1987.
4. Вышинский В.В., Замятин А.Н., Судаков Г.Г. Теоретическое и экспериментальное исследование эволюции вихревого следа за самолётом, летящим в пограничном слое атмосферы // Техника воздушного флота. — 2006. — № 3-4. — С. 25-38.
5. Вышинский В.В., Судаков Г.Г. Математическая модель эволюции вихревого следа за самолётом в турбулентной атмосфере / / Аэромеханика и газовая динамика. — 2003. — № 3. — С. 46-55.
6. Вышинский В.В., Судаков Г.Г. Вихревой след самолёта в турбулентной атмосфере (физические и математические модели). — М.: ЦАГИ, 2005.
7. Press-release of Airbus 28.09.06, Pressrelease of Airbus 3.10.06, Press-release of EADS 3.10.06.
8. Воеводин А.В., Судаков Г.Г. Обтекание комбинации крыло-корпус с отрывом потока от боковых кромок крыла // Ученые записки ЦАГИ. — 1988. — Т. XIX, № 1. — С. 98-101.
9. Shur M.L., Strelets M.K., Travin A.K.and Spalar P.R. Turbulence modeling in rotating and curved channels: Assesing the Spalart-Shur correction / / AIAA Journal. — 2000. — V. 38, N. 5. -P. 784-792.
10. Boxer V.D., Sudakov G.G.
Aerodynamic Drag of Bodies in Transonic Flow. Theory and Applications to
Computational Aerodynamics / / Fluid Dynamics. — 2008. — V. 43, N. 4. — P. 613-624.
11. Etkin B. Dynamics of Atmospheric Flight. — John Wiley & Sons, Inc., 1972.
12. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. — М.: Наука, 1988.
13. Crow S.C. Stability Theory for a Pair of Trailing Vortices in a Turbulent Atmosphere // AIAA Journal. — 1970. —
V. 8, N. 12.
14. Кузьмин В.П., Ярошевский В.А. Оценка предельных отклонений фазовых координат динамической системы при случайных возмущениях. — М.: Наука, 1995.
15. Kuzmin V.P. Estimation of wake-vortex separation distances for approaching aircraft // Trudy TsAGI. — 1997.
V. 2627. — P. 209-224.
16. Saffman P.G. Structure of turbulent line vortices // Phys. Fluids. — 1973. —
V. 16, N. 8.
17. Rubinstein R., Zhou Ye. The dissipation rate transport equation and subgrid-scale models in rotating turbulence // ICASE Report. — 1997. — N. 97-63 (NASA/CR-97-206250).
18. Crow S.C., Bate E.R. Lifespan of trailing vortices in a turbulent atmosphere // J. Aircraft. — 1976. — V. 13, N. 7. — P. 476-482.
19. Charney J.J., Kaplan M.L., Lin Y.-L., Pfeiffer K.D. A new eddy dissipation rate formulation for the terminal area PBL prediction system (TAPPS) // AIAA Paper. — 2000. — N. 0624.
20. Rossow V. Historical Overview of Research on Lift-Generated Vortex Wakes. Euromech Colloquium 433. — 2002, Aachen, Germany.
21. Kopp F. Doppler Lidar Investigation of Wake Vortex Transport Between Closely Spaced Parallel Runways // AIAA Journal. — 1994. — V. 32, N. 4.
Поступила в редакцию 12.02.2009.
