CC BY
57
Дальнейшее изучение общих свойств функций и появление других видов функций дает материал для продолжения развития содержательно-методической линии задач с параметрами.
Итак, введение содержательно-методической линии задач с параметрами является не самоцелью, а средством развития творческой деятельности, исследовательских способностей и системного мышления как учащегося, так и учителя. Альтернативность идей и методов решения задач с параметрами может стать основой для развития самостоятельности учащихся, что станет инструментом их дальнейшей деятельности в различных областях. В статье прослежены основные математические объекты, на которых возможно формирование линии задач с параметрами как сквозной линии школьного курса математики.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гнеденко Б.В., Гнеденко Д.Б. Об обучении математике в университетах и педвузах на рубеже двух тысячелетий. М.: КомКнига, 2006. 160 с.
2. Жафяров А.Ж. Математика. ЕГЭ. Экспресс-консультация. Новосибирск: Сиб. унив., 2009. 160 с.
3. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / под ред. Е.И. Лященко. М.: Просвещение, 1988. 223 с.
4. Лунгу К.Н. Систематизация приемов учебной деятельности студентов при обучении математике. М.: КомКнига, 2007. 424 с.
5. Методика преподавания математики в средней школе. Частая методика: учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / сост. В.И. Мишин. М.: Просвещение, 1987. 416 с.
6. Методическое письмо. Об использовании результатов государственной (итоговой) аттестации выпускников основной школы в новой форме в 2008 году в преподавании алгебры в общеобразовательных учреждениях.
7. Мирошин В.В. Решение задач с параметрами. Теория и практика. М.: Экзамен, 2009. 286 с.
8. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики: учеб.-метод. пособие. М.: Оникс 21 век, Мир и образование, 2005. 336 с.
9. Фридман Л.М. Теоретические основ методики обучения математике: учеб. пособие. М.: Едиториал УРСС, 2005. 248 с.
М.Г. Макарченко
ВИДЫ И ТИПОЛОГИЯ УЧЕБНО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ИСТОРИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО КОНТЕКСТОВ УЧЕБНЫХ МАТЕРИАЛОВ В ШКОЛЬНЫХ УЧЕБНИКАХ МАТЕМАТИКИ И В УЧЕБНО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЕ
Основной целью данной статьи является построение классификаций указанных типов контекстов учебных материалов по математике.
Учебно-математический контекст
Учебник математики, используясь учеником, представляет собой некоторый сценарий учебной деятельности школьника. Рассматривая учебный материал в качестве минисценария учебной деятельности школьника, направленный на усвоение единицы учебно-математической информации, в этом тексте саму «единицу информации» можно понимать как предмет учебной деятельности.
«Предметом деятельности является то, что субъект имеет к началу своей деятельности и что подлежит трансформации в ее ходе в продукт. Таким образом, данные два структурных момента связаны между собой генетическими отношениями: предмет - как бы «будущий продукт», соответственно продукт - «бывший предмет» [4, 24.].
Пример 1. В учебнике алгебры для 8 класса содержится параграф 2 "Числовые неравенства" [2]. Один из его учебных материалов представлен следующим текстом.
Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.
Сравним, например, числа 4 и 3. Для этого найдем их разность
5 4
— = —_= . Следовательно, £ = 3 + _!_, т.е. — получается прибавлением к числу А
5 4 20 20 5 4 20 5 4
положительного числа _}_. Это означает, что число 4 больше 3 на _!_. Таким образом,
20 5 4 20 5 4
т.к. их разность положительна.
Число а больше числа Ь, если их разность а~Ь положительна. Число а меньше числа Ь, если их разность а~Ь отрицательна.
Предметом данного учебного материала является информация, представленная последним абзацем. Продукт учебной деятельности имеет больший объем, чем предмет. Обратимся к следующим фразам этого текста. «...Сравним, например, числа 4 и 3. Для этого найдем их раз-
5 4
ность...». Возникает вопрос: «А почему не сумму, ...?» Для этого необходимо знать, что значит сравнить числа, какой способ действия при этом можно применить. То есть, в тексте, предваряющем теоретическую информацию, как бы просится связка между действиями «сравним» и «найдем разность». Отсутствие этой связки не нарушает внешнюю структуру учебного материала (мотивация действия, пример выполнения действия, обобщение), а его внутреннюю структуру хочется «домыслить», изменить, дополнить связками причинно-следственного характера. Продукт учебной деятельности, связанной с изучением данного учебного материала, состоит и из указанной теоретической информации, и способа сравнения двух чисел, и раскрытия взаимосвязей между указанными действиями и содержанием определения, и приема обобщения.
«. продукт деятельности дифференцируется на основной и побочный. Основной продукт есть превращенная форма предмета деятельности. Побочные продукты различаются в своем происхождении отнесенностью к тому или иному структурному моменту деятельности. Особое значение понятие побочного продукта приобретает в связи с анализом присвоения человеком опыта во взаимоотношениях этого процесса с «деловой» деятельностью, умение выполнять которую в нем формируется [4, 27].
Акцент на одном из продуктов учебной деятельности или их совокупности изменит контекст и восприятия, и подачи данного учебного материала. В связи с этим можно говорить об учебно-математическом контексте, ориентируясь на предмет или продукт учебной деятельности.
Учебно-математический контекст - это контекст учебного текста по математике, целостно выражающий обособленность математической составляющей текста и отраженной в нем учебной деятельности от других видов составляющих контекста.
Прежде чем выделить типологию данного вида контекста, сделаем замечание об используемой далее терминологии, связанной с видами и типами контекстов. Обособляя вид или тип контекста учебного материала от других, т.е. намеренно сужая содержание контекста, качество его целостности не нарушается - одна целостность, одна система взаимосвязей, заменяется другой, только несколько переориентированной. Например, выделяя направленность контекста только на предмет учебной деятельности, его «продуктную» направленность не отвергается. И основной, и побочный продукты учебной деятельности контекстно будут присутствовать в процессе обучения, вот только целенаправленно или опосредованно они будут формироваться, зависит от акцента, сделанного на виде или типе контекста. Можно выделить следующую типологию учебно -математического контекста учебного материала по математике: учебно-целевые контексты и учебно-содержательные контексты.
Учебно-целевой контекст - это учебно-математический контекст, целевая направленность которого связана с предметом учебной деятельности, отраженной в тексте учебного материала.
Данный контекст разделяем на следующие виды: вводящий, мотивационный, обосновывающий, обобщающий, иллюстрирующий.
Поясним, каким образом были выделены указанные контексты.
Анализ школьных учебников алгебры и математики (Ш.А. Алимов и др.; Л.С. Атанасян и др.; Н.Я. Виленкин и др.; В.А. Гусев; Г.В. Дорофеев; Ю.Н. Макарычев и др.; А.Г. Мордкович; и др.) показал, что внешняя структура учебного материала всегда по цели подчинена внутренней. Таких целей в школьных учебниках нами было выделено четыре вида:
1) введение элементов математического знания;
2) мотивация введения математического знания в целом;
3) обоснование последовательности действий в правилах и способах действий;
4) обобщение известных действий, математических знаний в новых терминах.
Выделенные цели учебных материалов, их внешние структуры и функции видов текстов указывают на то обстоятельство, что переход от подготовительной задачи к теоретическому факту осуществлен посредством обобщения, причем можно говорить как об эмпирическом, так и о теоретическом обобщении. Эти виды обобщений определены В.В. Давыдовым следующим образом.
Эмпирическое обобщение - мысленное выделение общих свойств (инвариантов) в двух или нескольких объектах и объединение этих объектов в группы на основе выделенных инвариантов.
Научно-теоретическое обобщение - мысленное выделение в рассматриваемом объекте или нескольких объектах в результате анализа их существенных свойств в виде общего понятия для целого класса объектов [5, 32].
Эти виды обобщения проявляются по разному в различных контекстах, имея в виду учебно -математический контекст учебного материала.
В таблице 1 представлена взаимосвязь между контекстом учебного материала и видом обобщения.
Таблица 1
Взаимосвязи между учебно-целевыми контекстами учебного материала и характером воспринимаемого обобщения.
Вид контекста учебного материала Характер обобщения Контекстное дополнение к учебному материалу
1. Вводящий контекст Эмпирическое, достаточно полное Выделение «существенного» в каждой подготовительной задаче
2. Мотивационный контекст Эмпирическое, неполное Выявление причинно-следственной (ых) связи (ей) между подготовительной задачей (текстом) и математическим знанием
3. Обосновывающий контекст Теоретическое, неполное или достаточно полное Выявление базового теоретического факта и взаимосвязей всех существенных компонент обоснования
4. Обобщающий контекст Теоретическое, достаточно полное Установление взаимосвязи всех существенных компонент
Анализ учебников по алгебре для 7, 8 классов (под редакцией А.Н. Тихонова) и учебников для 5, 6 классов по математике под ред. Н.Я. Виленкина привел нас к выводам.
1. Все указанные виды контекстов имеются в наличии и в учебниках по математике, и в учебниках по алгебре.
2. В учебниках по алгебре для 7, 8 классов соблюдается преемственность с учебниками для 5, 6 классов по математике под редакцией Н.Я. Виленкина.
3. Виды текстов и виды учебных материалов в сравниваемых учебниках схожи.
В учебниках алгебры меняется приоритет использования компонентов школьного математического образования - к ранее использованным видам определений и правил добавляются другие их виды, появляются утверждения - свойства (признаки) и теоремы с доказательствами. В учебниках математики доказательств нет, в учебнике алгебры 7 класса дедуктивным рассуждениям часто предшествует аналогичные рассуждения на частных примерах. К 8 классу такая пропедевтика дедуктивных рассуждений исчезает, и ее место занимают различные способы ведения рассуждения. В связи с этим, если в 5, 6 классах параграф учебника содержит один вид учебного материала, то в 7, 8 параграф учебника часто состоит из двух и более видов учебного материала. Это усложнение проявляется не только во внешних структурах параграфов, но и в переносе приоритета с «обобщающего» учебного материала в 5, 6 классов на «обосновывающий» в 7, 8 классах.
Итак, типология контекстов данного вида выделена на основе целевой направленности предмета учебной деятельности, отраженной в тексте учебного материала. Учитывая содержание понятия «продукт» учебной деятельности, можно говорить о контексте, результирующая направленность которого связана с продуктом учебной деятельности, отраженной в тексте учебного материала.
Учебно-содержательный контекст - это учебно-математический контекст, результирующая направленность которого связана с продуктом учебной деятельности, который может быть получен в процессе усвоения содержания текста учебного материала. Данный контекст представлен следующими контекстами: знаниевый, умениевый и идейно-практический.
Итак, в основу типологии учебно-математического контекста положены понятия цели, предмета и продукта учебной деятельности, условное обособление которых способствует пониманию учебной информации, «стоящей за текстом» учебного материала по математике.
Историко-математический контекст
Тексты исторического содержания представлены в школьных учебниках математики эпизодически, без организации их в какую-либо систему. Предполагается, что их функции связаны с мотивацией и занимательностью. Часто они представлены краткой исторической справкой «что, кто, где, когда», касающейся именного математического факта (т. Пифагора, т. Виета и др.). Большинство школьных учебников математики содержат исторические справки указанного характера.
Одним из учебников, наиболее ярко и содержательно использующих исторические тексты, можно назвать учебник «Геометрия 8-9» А.Д. Александрова, А.Л. Вернера и В.И. Рыжика [1].
Пример 2. В параграфе 16 «Длина окружности» (с.190 - 194) приведен пункт 16.3 «О числе п». Авторы учебника, познакомив учеников с теоремой о длине окружности, приводят интересную историческую справку об открытии численного значения числа п. Причем, необходимость введения самого числа представлена авторами в теореме о длине окружности без исторического описания возникновения самой мысли о существовании такого числа.
Контекст историко-математического открытия широко используется авторами данного учебника (пункт 11.5 «Об истории тригонометрии», пункт 5.1 «Формулировка и история теоремы Пифагора» и др.). Контекст развития математической мысли можно найти в тексте данного учебника в параграфе 34 «История развития геометрии», где описана история развития не столько частной математической мысли (например, геометрии Лобачевского), сколько представлена общая линия развития геометрии как науки. История развития частной математической мысли эпизодически представлена авторами данного учебника в пункте 15.3 «Следствия из теоремы о центре правильного многоугольника», где сначала авторы констатируют принадлежность К. Гауссу окончательного решения задачи о построении циркулем и линейкой правильных многоугольников (с. 185). И лишь после описания процесса нахождения длины стороны правильного многоугольника в учебнике появляется следующее предложение: «Именно задачу о построении правильного 17-угольника сначала решил Гаусс, и этот многоугольник завещал изобразить на своем надгробии» [1, 186]. Здесь контекст развития математической мысли К. Гаусса может быть понят так, что общему решению указанной задачи предшествовали исследования частных случаев, видимо, результат работы с правильным 17-угольником оказал решающее влияние на итог общего исследования.
Другой вид историко-математического контекста, использованный авторами этого учебника, можно назвать контекстом персоналий. Этот контекст связан с передачей биографической информации об ученых - математиках. Наиболее часто контекстуальная информация скрыта за кратким указанием кем, что и когда было открыто.
В большинстве школьных учебников математики при описании историко-математических текстов использован контекст персоналий биографического характера, представленный кратким описанием, в котором причинно-следственные связи определены связью между вопросами «кем, что, когда». Логика математического открытия или логика развития математической мысли выражены в текстах школьных учебников математики явно недостаточно для полноценного понимания и значимости, и трудоемкости, и важности самого математического факта.
Скудность содержания исторических текстов побуждает учителей математики организовывать самостоятельную работу учащихся с историко-математической литературой. Результатом такой работы, как правило, являются реферат и доклад его содержания учеником. Обращение к текстам историко-математической литературы, отличной от школьных учебников математики, не является целью данного исследования, оно было вызвано необходимостью осмысления и выделения видов и типов историко-математического контекста.
Анализируя тексты учебно-математической литературы, связанные с историко-математи-ческими сведениями (в том числе и текстов учебников), приходим к выводу о том, что их контексты можно разделить на контекст персоналий и контекст фактов.
Контекст персоналий можно условно разделить на личностно-биографический контекст и контекст межличностных отношений между математическими деятелями. Эти два контекста переплетаются в историко-математических повестях [6; 7; 9 и др.]. Но отделение их друг от друга интересно тем, что межличностные отношения между математическими деятелями способствовали или препятствовали становлению и развитию математических открытий. Например, история, связанная с «пятым постулатом» Евклида, описанная в книге В.П. Демьянова «Геометрия и марсельеза», это и есть история отношений между К. Гауссом, Г. Монжем, Я. Больяи и Н.И. Лобачевским [6]. Сюда же можно отнести историю возникновения комплексных чисел в истории решения уравнений третьей степени (Дж. Кардано на разных этапах своего творчества) [10; 11; 12], историю становления и развития теории функций комплексного переменного (О. Коши, Б. Риман и К. Вейерштрасс) [10], историю обоснования комплексных чисел (Р. Декарт и Дж. Валлис) [12, 163 - 164].
Контекст фактов как вид историко-математического контекста можно разделить на контекст истории математического открытия и контекст истории развития математической мысли. Примеры контекстов истории математического открытия нами уже представлены выше. Контекст истории развития математической мысли был проиллюстрирован историей развития геометрии и описанием истории решения задачи о построении циркулем и линейкой правильных многоугольников. Этот тип контекста можно встретить в текстах историко-математической литературы, но он практически не используется в текстах учебников математики, в которых логика истории и логика математики переплетаются не эпохально, а конкретизированы математическим фактом. Очень интересной именно в этом смысле представляется книга И. Лакатоса «Доказательства и опровержения» [8]. В этой книге логика поиска доказательства формулы V - Е + Б = 2 для правильных многогранников переплетается с описанием логики развития соответствующих математических мыслей в истории науки.
Таким образом, историко-математический текст, как правило, целостно не выражает аддитивность исторической и математической составляющих текста. Часто в этих текстах историческая составляющая представлена обособленно от логики математики самого исторического феномена. Историческая составляющая содержания текста как бы иллюстрирует - «событие имело место».
Историко-математический контекст - это контекст учебного текста по математике, целостно выражающий аддитивность исторической и математической составляющих содержания текста и отраженной в нем логики открытия через логику взаимоотношений причастных к нему исторических деятелей.
Рассмотренный вид контекста учебного материала по математике выражается «аддитивностью смыслов» составляющих содержание учебного материала. Обособленность составляющих содержания учебного материала по математике проявляется в процессе выявления контекста, связанного с логикой. Проиллюстрируем контекстную «аддитивностью смыслов» примером.
Пример 3. В учебнике «Математика» [3, 81] после задачного материала к параграфу «Уравнение» приведён следующий текст: «Немецкого учёного Карла Гаусса называли королём математиков. Его математическое дарование проявлялось уже в детстве. Рассказывают, что в трёх летнем возрасте он удивил окружающих, поправив расчёты своего отца с каменщиками. Однажды в школе (Гауссу в то время было 10 лет) учитель предложил классу сложить все числа от 1 до 100. Пока он диктовал задание, у Гаусса уже был готов ответ. На его грифельной доске было написано: 101*50=5050».
Характеризуя данный текст отметим, во-первых, в нём рассказываются факт из истории жизни трехлетнего Гаусса, десятилетнего Гаусса и описана ситуация решения им математической задачи, т.е. введён математический факт и историческая информация. Во-вторых, этот текст является учебно-математическим текстом контекст, которого имеет историко-математическую направленность. Это обусловлено его особенностями, которые соответствуют трактовке понятия «исто-рико-математический контекст».
1) Данный текст находится в учебнике, следовательно, его можно назвать учебным текстом по математике.
2) Аддитивность математической и исторической информации явно не выражена.
3) Историческая составляющая представлена в виде годов жизни, факты из жизни.
4) Математическая составляющая представлена в виде результата решённой Гауссом задачи.
5) Логика открытия - логика появления способа решения задачи на сложения чисел от 1 до 100 -представлена не явно.
6) Логика взаимоотношений - логика отношений учителя и Гаусса - представлена не явно.
7) Исторические деятели - Гаусс.
Как видно, в данном тексте не достаточно информационно отражены пункты: 1, 3, 4 и 7, остальные отсутствуют. Возникают несколько вопросов:
a. Как именно он исправил подсчёты отца?
b. Каким способом Гауссу удалось так быстро посчитать сумму чисел от 1 до 100?
c. Был ли такой способ подсчёта известен или это было открытие Гаусса?
Порассуждаем над этими вопросами и попробуем спрогнозировать причинно -следственные связи.
a. Возможно отец маленького Карла количество камней необходимых для строительства, или насчитывал каменщикам зарплату и допустил ошибку. А малыш Карл заметил и указал на неё.
b. Наверное, его прозорливый ум увидел кратчайший путь к решению этой задачи. И именно им Гаусс и воспользовался.
c. Так как мы знаем, что Гаусс уже с детства проявлял необычайные способности в математике, то вполне логично предположить, что он своим одарённым умом мог изобрести простой и удобный способ для подсчёта суммы всех чисел от 1 до 100. Но так же возможно, что юный Карл открыл «велосипед», который уже существовал, но только Гауссу о нём ещё не было известно.
Обратимся к дополнительной литературе: В учебнике И.Я. Депман, Н.Я. Виленкин «За страницами учебника математики» приведён данный текст:
«Очень рано раскрылись дарования у Карла Гаусса, позднее ставшего одним из крупнейших математиков XIX века.
Рассказывают, что в возрасте трёх лет он заметил ошибку, сделанную его отцом в расчетах. А семи лет мальчик пошёл в школу. В то время в одной классной комнате занимались ученики разных классов. Чтобы занять первоклассников, пока он будет заниматься с третьим классом, учи-
тель велел им сложить все числа от 1 до 100. но не успел он закончить чтение условия задачи, как маленький Карл написал на своей грифельной доске ответ и положил на учительский стол.
С сожалением смотрел преподаватель на мальчика: ясно было, что за такой короткий срок он не мог сделать 99 сложений. Остальные ученики терпеливо складывали числа, сбиваясь, стирая написанное и снова складывали. Когда учитель закончил занятие с третьеклассниками, он взял со своего стола грифельные доски. Ни у кого не было правильного результата. И только на доске Карла стоял ответ: 5050, причём никаких вычислений не было.
«Как же ты это считал?» - спросил учитель.
«Очень просто, - ответил мальчик. - Я сложил 1 и 100, получил 101. потом сложил 2 и 99, тоже получилось 101; 3 и 98 - снова 101, и так до 50+51=101. значит, надо сложить 50 слагаемых по 101 каждое, то есть умножить 101 на 50. а это ровно 5050».
Изумлённый учитель понял, что встретил самого способного ученика в своей жизни. В дальнейшем Гаусс сделал много замечательных открытий в математике».
Данный текст может служить дополнением к выше приведённому тексту которое соединит математическую информацию (решение задачи) с исторической.
Итак, контекст данного текста - историко-математический, его вид - контекст развития математической мысли (новый способ решения задачи) и частично представлен биографический контекст (дата жизни, ситуации из жизни).
Итак, говоря об историко-математическом контексте учебных материалов по математике, следует иметь в виду случайный характер использования авторами школьных учебников исторических текстов. Их контекстуальное разнообразие целенаправленно не внедряется в тексты школьных учебников, что, естественным образом, значительно занижает ценностно-эмоциональный аспект отношения школьников к математическим фактам, к становлению их в качестве общественно-исторических ценностей и не способствует созданию должной атмосферы уважения к людям, подаривших эти факты миру науки.
Типология историко-математического контекста выстроена на основе межличностных отношений между деятелями математической науки (контекст персоналий) и динамики развития математики как науки (контекст фактов).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Александров А.Д. Геометрия для 8-9 классов: учеб. пос. для учащихся шк. и классов с углуб. изуч. математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик М.: Просвещение, 1991.
2. Алимов Ш.А. Алгебра: учеб. для 8 класса общеобразовательных учреждений / Ш.А Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. 11 изд. М.: Просвещение, 2004.
3. Виленкин Н.Я. Математика: учебник для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. 5-е изд., испр. и доп. М.: Русское слово, 1997.
4. Габай Т.В. Учебная деятельность и ее средства: Изд-во Москов. ун-та, 1988.
5. Давыдов В.В. Виды обобщения в обучении: Логико-психологические проблемы построения учебных предметов / В.В. Давыдов. М.: Педагогическое общество России, 2000.
6. Демьянов В.П. Геометрия и марсельеза. М., 1979.
7. Денисов А.П. Курганов Н.Г. - выдающийся русский ученый и просветитель XVIII в. Л.: Лениздат, 1961.
8. Лакатос И. Доказательства и опровержения (Как доказываются теоремы): пер. с англ. И.Н. Весе-ловского. М.: Наука, 1967.
9. Лысенко В.И. Николай Иванович Фусс. М.: Наука, 1975.
10. Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций / под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевич. М: Наука, 1981.
11. Математическая энциклопедия. Гл. ред. И. М. Виноградов. М.: Советская энциклопедия, 1979. Т. 2.
12. Молодший В.Н. Основы учения о числе в XVIII и начале XIX века. М: Учпедгиз, 1963.
