Вейвлеты как средства повышения эксплуатационной надежности объектов водного транспорта Текст научной статьи по специальности «Математика»

Выпуск 2

Список литературы

1. Гаврилов В. В., Скоморовский С. А. Влияние вихревой кавитации на распыливание топлива в дизелях // Вестник Комсомольского-на-Амуре гос. техн. ун-та. — 1995. — Вып. 1, сб. 2. — С. 54-60.

2. Камимото Т. Исследование процесса испарения распыленного топлива в дизеле / Т. Ка-мимото, Ш. Мацуока, Х. Сугияма, Х. Аояги // Нихон кикай гаккай рамбунсю. — 1974. — Т. 40, № 339. — С. 3206-3223.

3. Лебедев О. Н. К вопросу о распыливании топлива дизельными форсунками // Изв. Сиб. отд. АН СССР. Сер. Техн. н. — 1977. — Вып. 1. — № 3. — С. 40-44.

4. Лебедев О. Н. Исследование некоторых вопросов смесеобразования в судовых четырехтактных дизелях. — Новосибирск: НИИВТ, 1970. — 94 с.

5. Скоморовский С. А. Гидродинамика течения топлива в сопловых каналах дизельной форсунки и ее влияние на структуру топливного факела: автореф. дис. ... канд. техн. наук. — Л.: ЦНИДИ, 1988. — 18 с.

Д. В. Дмитриенко,

соискатель, СПГУВК

ВЕЙВЛЕТЫ КАК СРЕДСТВА ПОВЫШЕНИЯ ЭКСПЛУАТАЦИОННОЙ НАДЕЖНОСТИ ОБЪЕКТОВ ВОДНОГО ТРАНСПОРТА WAVELET TECHNOLOGIES ARE FOR INCREASING MAINTENANCE RELIABILITY OF WATER TRANSPORT OBJECTS

Статья посвящена развитию информационных технологий на базе вейвлетов с целью повышения эксплуатационной надежности объектов водного транспорта. Определены перспективы применения вейвлет-анализа в исследуемой предметной области.

In this paper we suggest the wavelet technology to increase reliability for water transport objects. Perspectives of using new technology in research field are determined.

Ключевые слова: вейвлеты, декомпозиция и сжатие сигналов, объекты водного транспорта, надежность, техническая эксплуатация.

Key words: wavelets, signal decomposition and compression, water transport objects, reliability, technical maintenance.

ЭКСПЛУАТАЦИЯ энергетических средств на водном транспорте требует выполнения анализа изменяющихся во времени сигналов сложной формы, в которых могут содержаться высокочастотные составляющие, трудно поддающиеся определению с помощью анализаторов гармоник в базисе Фурье. Таковыми, например, могут являться периодические сигналы, содержащие

отдельные кратковременные «всплески», которые предшествуют развитию неисправностей в отдельных агрегатах, возникновению коротких замыканий в электроэнергетических системах и т. п. Для своевременного устранения аварийных ситуаций в таких случаях требуется использовать диагностические средства, позволяющие на ранних этапах развития неисправностей принимать превентивные

меры по их исключению. Для функций и формируемых процессов с локальными особенностями, сигналов, в составе которых содержатся отдельные нестационарные импульсы, Фурье-аппроксимация как традиционный аппарат разложения периодических функций в ортогональный ряд оказывается малоэффективной. Для кардинального решения этой проблемы следует использовать функции, принадлежащие иному классу и построенные в другом базисе. Весьма перспективными решениями многих математических задач приближения (аппроксимации, интерполяции, регрессии и др.) функций, сигналов и изображений оказались методы и алгоритмы, основанные на использовании вейвлет-преобразований.

По существу, вейвлеты являются новыми математическими объектами, применение которых может строго приблизить любую функцию и любой сигнал к точному воспроизведению. Вейвлеты — это обобщенное название особых функций, имеющих вид коротких волновых пакетов, которые локализованы по оси независимой переменной. Функции способны к сдвигу по этой оси и масштабированию (сжатию, либо растяжению). Фундаментом вейвлет-технологий являются особые базисные функции. По локализации во временной и частотной областях базисные функции как бы занимают промежуточное положение между синусоидальной функцией и функцией Дирака. В переводе с английского вейвлет — «короткая волна», «всплеск», «выброс». Вейвлет представляет собой новый математический аппарат представления и обработки произвольных функций и сигналов.

Последние публикации в отечественной и зарубежной литературе свидетельствуют о больших возможностях вейвлет-анализа как совершенного математического аппарата обработки данных.

Известен ряд успешных попыток применения вейвлетов для анализа временных рядов с целью прогнозирования таких событий, как землетрясения, цунами, «обвалы» в финансовой сфере, геомагнитные процессы, прогнозы погоды, наводнения. Вейвлеты используются в медицине для анализа томограмм, обработки изображений и сигналов, в математике и физике.

На объектах водного транспорта вейвлет-технологии целесообразно использовать при изучении турбулентных потоков в гидродинамических средах, исследовании процессов сгорания топлива в цилиндрах судовых двигателей, для обработки индикаторных диаграмм и диагностики технического состояния топливной аппаратуры. С помощью вейвлетов можно осуществлять моделирование процесса топливоподготовки, вести построения поверхностей раздела фракций и контур -ных графиков при исследовании различных микроструктур, использовать как средства повышения эксплуатационной надежности технических средств водного транспорта.

Непрерывное вейвлет-преобразование основано на использовании двух непрерывных и интегрируемых по всей оси t функций следующего вида:

— вейвлет-функции у (V) с нулевым значением интеграла

(V ^ = 0,

которая определяет «детали» сигнала и порождает детализирующие коэффициенты;

— скейлинг-функции (масштабирующей функции) ф (V) с единичным значением интеграла во временной области

|ф (V ^ = 1.

Эта функция определяет грубое приближение-аппроксимацию сигнала. Она порождает коэффициенты аппроксимации.

Функция у (V) создается на основе одной из базисных функций у о (V), которая определяется типом вейвлета. Базисная функция, как и функция у (V), должна обеспечить выполнение двух основных операций:

— смещение по оси времени (оси абсцисс) при Ье Я

V -у 0 (V - Ь);

— масштабирование при а > 0 и ае Я ±{0}

- к (

а /2 -у о (V / а).

Параметр а задает ширину вейвлета, а параметр Ь — его положение. Эти два свойства могут быть объединены и реализованы одной функцией (по определению)

Выпуск 2

Выпуск 2

у (t) =у (a, b, t) = a /г у c

t - b

a

(1)

Представлен вейвлет, являющийся вещественной функцией времени г.

Если функция х(г) характеризуется конечным значением интеграла

| х 2 (7 )Ш

к

в области К , то эта функция, подобно Фурье-преобразованию, может быть разложена на составляющие с помощью прямого непрерывного вейвлет-преобразования.

Вейвлет-коэффициенты в процессе прямого преобразования рассчитываются по формуле в ограниченной области

г - Ьл

C(a, b) = I x(t)a ^у

a

dt.

(2)

Ik

Формулы (1) и (2) используются для выполнения вычислений в пакетах Wavelet Toolbox различных вычислительных сред. Из приведенных формул следует, что прямое вейвлет-преобразование можно рассматривать как разложение сигнала по всем возможным сдвигам и растяжениям (сжатиям) сигнала x(t) либо некоторой функции x(t) .

Непрерывное прямое вейвлет-преобразование, связанное с вычислением интегралов, обладает большой информационной избыточностью и может сопровождаться неоправданными затратами машинного времени. Вместе с тем это преобразование удобно использовать для построения вейвлет-спектро-гамм на плоскости. Вейвлет-коэффициенты, обеспечивающие «сдвиг», позволяют выделить малейшие флуктуации в составе сигнала x(t) , вызванные в том числе локальными его изменениями в анализируемой области.

Вейвлет-спектрогаммы являются важнейшим продуктом вейвлет-анализа сигналов и прекрасным дополнением к обычным спектрограммам, производимым на основе оконного преобразования Фурье. Чем резче выражена особенность сигнала, тем сильнее она выделяется на спектрограмме, что может использоваться для диагностики и оценки качества x(t) . Вейвлет-спектрограммы отчетливо выделяют такие особенности сигнала, как небольшие разрывы, точки перегиба, изменения знаков производных, изменения частоты сиг-

налов во времени, возникновение отдельных импульсов, вызванных ступенчатыми изменениями нагрузки, подачи топлива и т. п. Однако пользоваться формально построенными спектрограммами без тщательного анализа причин возникновения тех или иных особенностей сигнала практически затруднительно, поскольку с каждой особенностью должен связываться конкретный диагностируемый параметр.

В частотной области спектры вейвлетов напоминают всплеск с максимальным амплитудным значением на частоте Ю0, которую можно рассматривать как среднюю круговую частоту вейвлета. Частотный образ вейвлетов роднит их с оконным преобразованием Фурье. По аналогии можно выполнить синтез локальной особенности любой функции путем выбора соответствующих вейвлетов. Прямая связь между представлением вейвлетов во временной и частотной областях состоит в том, что, например, высоким частотам соответствуют малые значения параметра а, характеризующие быстрые процессы Ьо во временной области. А большие его значения для низких частот во временной области соответствуют медленным изменениям сигналов.

Обратное непрерывное вейвлет-преобразование реализуется с помощью формулы реконструкции сигнала во временной области. Эта формула имеет ряд представлений, зависящих, как правило, от определения областей существования сигнала. В практическом аспекте наибольший интерес представляют формулы, которые применяются в конкретных программных инструментальных средах и, в частности, в пакете расширения системы MatLab, имеющем наименование Wavelet Toolbox. Эта формула имеет вид

x(t) = K- jj С (a, b)a

t - b

da ■ db

(3)

a

> к к к

где К — константа, определяемая функцией у.

Обычно для обратного вейвлет-преобразования по формуле (3) используют эффективные алгоритмы решения, напоминающие процедуры быстрого преобразования Фурье. К ним относятся, в частности, алгоритмы Мала, реализованные в вейвлет-пакете в виде встроенных функций.

Остановимся кратко на рассмотрении масштабирующей функции ф (V). Функция х(г) может быть представлена в виде суммы ее «грубой» составляющей и «детализирующей» части. Для реализации такой декомпозиции существует ряд вейвлетов, обладающих оригинальными свойствами. Такие вейвлеты создаются на основе представления пространства сигналов в форме вложенных подпространств, отличающихся друг от друга только изменением масштаба независимой переменной.

Вейвлет-базис образуют различные базисные функции. Предположим, что в базисе { ф к } каждая функция ф к образована переносом (ф (г)^ф(г + а)) и растяжением (ф (г)^ф (2г)) функции-прототипа ф, образующей так называемый «родительный» вейвлет. Тогда функциональное уравнение

—-І

ф(') = ЕC,-ф(2t -,)

(4)

образует вейвлет, где т — число ненулевых коэффициентов Ск (т — порядок вейвлета), а коэффициенты Ск в выражении (4) характеризуют свойства масштабирующей функции. Вейвлет-функция может быть представлена в виде:

у (t) = Е(-І)к ' Cl-k 'ф(2t - ^

(5)

и чтобы сконструировать конкретный вейвлет, требуется решить уравнение масштабирования (4) для выбранного М и полученных вейвлет-коэффициентов Ск . Коэффициенты Ск зависят от следующих свойств функции

Ф(г ):

— интеграл от масштабирующей функции должен быть равен единице, то есть

|ф (t )dt = І;

(б)

— из условия ортогональности масштабирующей функции по отношению к операции сдвига следует, что

(7)

|ф (t) -ф (t - ,) dt = І.

Из уравнений (4)-(7) могут быть получены важные свойства вейвлет-коэффициентов Ск. В частности, интегрирование (4) с учетом условия (6) позволяет получить

(8)

к=0

Ортогональность масштабирующей функции ф (7) по отношению к операции сдвига, определяемая соотношением (7), приводит к следующему результату:

м—і

Е (-і)кСі_к - с

к-2 м

0.

(9)

к=0

Наконец, из требования точной аппроксимации полиномов степени р вытекает ус-

ловие

11—у (t)dt = І для — = 0, 1,.., р - 1.

(І0)

В результате на основании принципов кратковременного анализа любую функцию /V) можно восстановить с помощью выражения

f <t) = f й 1 +Z ь0 k <t),

j ,k

где: f

(ІІ)

(ф )____________

аппроксимационная составляю-

щая, а второе слагаемое — детализирующая составляющая, то есть функция, полученная на основе детализирующих коэффициентов b.k . Эти коэффициенты разложения несут информацию о функции f (t) вблизи t = 2 и t = 2- jk.

Отметим, что (3.7)—(3.14) характеризуют общий подход к конструированию вейвлетов. Вместе с тем при решении конкретной задачи приходится выбирать вейвлеты с конкретным базисом, для которого уже известны его аппроксимирующие и детализирующие компоненты с последующим их разделением, обеспечивающим заданный уровень декомпозиции сигнала.

Наиболее часто на практике используются вейвлет-функция Хаара, вейвлеты Добеши, вейвлет-фильтр Койфлетса, вейвлеты Симлента, Морле, Шеннона, Мейера, гауссиан, мексиканская шляпа, частотный В-сплайновый и др. Перечисленные вейвлеты классифицированы по виду и особенностям образующей функции. Полный список 15 базовых типов вейвлетов, включенных в пакет Wavelet Toolbox среды MatLAB, содержит их наименования по именам ученых, впервые предложивших тот или иной вейвлет. Из сконструированных ключевых вейв-

Выпуск 2

летов отметим вейвлет Добеши. Он создан в 1987 г. математиком Ингрид Добеши, которая предложила ортонормированный базис, являющийся основным и наиболее широко используемым в современных вейвлет-приложениях. Она использовала функцию фп (t) = фт (t)для конструирования вейвлетов 4-го и 6-го порядков и получила, с учетом условия ортогональности, рекуррентные соотношения для расчета коэффициентов аппроксимации и детализации.

В настоящее время созданы десятки вейвлетов, пригодных для решения определенных классов задач аппроксимации, диагностики и прогнозирования. Их целевая направленность определяет область практических приложений. Однако их конструирование, в отличие от вейвлетов Добеши, представляет собой сложный процесс для обычного пользователя, работающего в области прикладных наук. Для одномерного анализа, к которому можно отнести процессы вейвлет-обработки изменяющегося давления в цилиндре дизеля, анализ искажений кривой напряжения судовой сети при скачкообразных возмущениях и другие эксплуатационные задачи, можно успешно использовать перечисленные выше типы вейвлетов, вошедшие в пакет Wavelet Toolbox. Они представлены соответствующими функциями, которые позволяют получить набор коэффициентов разных уровней, аппроксимирующих коэффициентов R, грубо

представляющих сигнал, и детализирующих коэффициентов D при декомпозиции сигналов. Другая группа функций использует эти коэффициенты для восстановления сигналов, причем процедура восстановления обеспечивает исключительно высокую точность моделирования во многих практически важных ситуациях.

Возможности вейвлетов, безусловно, еще не полностью раскрыты. Положительные примеры применения вейвлет-технологий при решении задач передачи сигналов и изображений, восстановления сигналов из свертки, моделирование оптических импульсов, проходящих через нелинейные среды, обработки турбулентных потоков и тому подобного подтверждают перспективность вейвлет-технологий как научного направления. Вместе с тем это не означает полную замену вейвлет-технологиями традиционных средств обработки сигналов, хорошо отработанных и проверенных временем. Не следует забывать, что понятия частичного спектра вейвлетов, средней частоты и так далее основаны на тысячелетних традициях. Более того новизна технологий связана с закрытостью многих решаемых с их применением задач. Эти обстоятельства несомненно должны быть учтены пользователем при использовании пакета Wavelet Toolbox для разработки новых технологий эффективной эксплуатации объектов водного транспорта.