Вейвлет-преобразование вызванного электрического ответа мышцы Текст научной статьи по специальности «Медицинские технологии»

УДК 612.8:519.7

ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫЗВАННОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ОТВЕТА МЫШЦЫ

В.А. Кочегуров, Л.И. Константинова, Т.Е. Хохлова

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

При травмах нервно-мышечной системы конечностей для оценки тяжести патологического процесса и выявления динамики восстановления нервов в процессе курса лечения используют характеристики сигнала, регистрируемого при раздражении нерва электрическим током. В статье рассматривается его вейвлет-преобразование. Приводится анализ вейвлет-коэффициентов для различных групп пациентов.

Введение

Для исследования состояния нервно-мышечной системы используется метод электронейромиогра-фии (ЭНМГ). ЭНМГ-метод основан на регистрации и анализе биоэлектрической активности мышечных и нервных волокон, как спонтанной, т.е. отражающей состояние их в покое и при произвольном мышечном напряжении, так и вызванном, т.е. обусловленной электрической стимуляцией нерва или мышцы различной интенсивности и частоты [1]. Электронейромиография позволяет судить об уровне поражения, о степени тяжести травмы. Она также используется в качестве оперативного контроля адекватности воздействия электростимуляции и для оценки скорости восстановительных процессов в нервно-мышечном аппарате. Современная аппаратура для проведения ЭНМГ позволяет регистрировать следующие ответы мышц: М-ответ, Я-рефлекс, /-волну [ 1]. Среди ответов выделяют:

- М-ответ - вызванный электрический ответ мышцы, возникающий при электрическом раздражении двигательных волокон нерва;

- Я-рефлекс - рефлекторный, возникающий в мышце при электрическом раздражении чувствительных волокон нерва;

- /-волна, возникающая в мышце при электрической стимуляции двигательных аксонов нерва. М-ответ - это вызванный электрический ответ

мышцы, являющийся суммарной одновременной реакцией двигательных единиц мышцы в ответ на электрическое раздражение нерва, график которого представлен на рис. 1 [1|.

Форма, амплитуда и латентный период М-отве-та определяют функциональное состояние нервных волокон и изменяются при травме.

Построение математической модели, описывающей форму Л/-ответа, является актуальной задачей. Анализ параметров этой модели у различных групп больных позволяет произвести их группировку; оценить тяжесть патологического процесса, дать оценку скорости восстановительных процессов в нервно-мышечном аппарате у индивида в курсе лечения после проведённой процедуры.

В настоящее время для математического описания и анализа сигналов все больше используют вей-влеты. Термин "сигнал" обозначает набор численно зафиксированной информации о каком-либо про-

цессе, объекте и т.п. Под "анализом" сигнала имеется в виду не только его математическое преобразование, но и получение на основе этого преобразования выводов о специфике соответствующего процесса или объекта.

На основе понятия о векторном пространстве общепринятым подходом к анализу сигналов s(t) стало их представление в виде взвешенной суммы простых составляющих - базисных /^¡-функций yk(t), помноженных на коэффициенты Ск[2]:

■У. С,

S(t):

к

(1)

Так как базисные функции \\1к({) представляются заданными как функции определенного вида, то только коэффициенты Ск содержат информацию о конкретном сигнале. Таким образом, можно говорить о возможности представления произвольных сигналов на основе рядов (1) с различными базисными функциями.

Вейвлет - это некоторая ^/-функция, которая должна обладать следующими свойствами [2]:

- График такой функции должен осциллировать вокруг нуля в окрестности некоторой точки на оси (, причем

-со

- Норма этой функции должна быть конечной:'

-<-со

J 1{/2 (t)dt

<+оо.

илмь U-2-+ ш-3--->1

1

t,MC

Рис. 1. Форма М-ответа:]) размах амплитуды; 2)латентный период; 3) длительность сигнала

/^/-функция создается на основе той или иной базисной функции ц/0(/), которая определяет тип вейвлета. Базисная функция должна удовлетворять всем требованиям, которые отмечены для Л/-фун-кции. Она должна обеспечить выполнение двух операций:

- смещение по оси времени t - yQ(t-b) при beR;

- масштабирование - a-^2\\i0(t/a) при йХ) и аеЯ, где R - область ограничения сигнала s(t).

Тогда ft/'-функцию можно записать:

\\i(t) = \\i(a,b,t) = a112-\\i0

t-b

(2)

При заданных ашЬ функция и есть вейвлет. Вейвлеты являются вещественными функциями времени Г, параметр Ь в (2) задает положение вейв-летов по оси времени, а параметр а - масштаб.

При вейвлет-преобразовании выбор типов базисных функций (вейвлетов) намного более обши-

рен, чем при преобразовании Фурье. В качестве вейвлетов могут использоваться ортогональные и би-ортогональные непериодические функции, функции, имеющие глобальный экстремум и быстрое затухание на бесконечности и т.д. Все это дает обширные возможности для представления различных сигналов.

Прямое непрерывное вейвлет-преобразование сигнала s(t) задается путём вычисления вейвлет-коэффициентов по формуле [2]:

С{а,Ъ)= Jj(0-e'

(3)

где Л-область ограничения сигнала 5(0, а*0, \|/(0 - вейвлет-функция, параметр Ь - задаёт положение вейвлет-функции, а параметр а - её масштаб. Вейвлет-коэффициенты определяются интегральным значением скалярного произведения сигнала на вейвлет-функцию заданного вида.

'UmB

t мс

U мВ

70 t.

UmB

UmB

Рис. 2. Графики восстановленного при помощи вейвлет-преобразования сигнала М-ответа

s(t) = ~~ ■ \\С{а,Ь) • aV2 •

л..,, р

V я

а

а

b

зоч

10-

Шт: '

«Г v" ■

-г

ю

20

"Т

30

Рис. 3. Области расположения вейвлет-коэффициентов

Прямое вейвлет-преобразование можно рассматривать как разложение сигнала по всем возможным сдвигам и растяжениям/сжатиям сигнала s(t) или некоторой произвольной функции. При этом параметры а и b могут принимать любые значения в пределах указанных выше областей их определения. Заметим, что преобразование Фурье также можно рассматривать как разложения по сдвигам (имеется в виду фазовый сдвиг гармоник, задающих положение их графиков) и растяжением/сжатием (определяемым значением амплитуд гармоник), но применительно к одной функции (синусоиде), не очень удобной для представления локальных особенностей сигналов.

Обратное непрерывное вейвлет-преобразование осуществляется по формуле [2]:

особенностей, которые характеризуют свойства нервно-мышечной системы человека. В частности, интерес представляет исследование соответствия между особенностями М-ответа и степенью тяжести травмы нерва конечности.

Для исследования были взяты две группы людей: здоровых и больных, с различной степенью тяжести травмы. Для математического описания А/-отве-та в качестве базисной вейвлет-функции используется вейвлет "мексиканская шляпа". Его временной образ описывается аналитическим выражением [3]:

Ч/0=(1 -г2)-е"/2.

В соответствии с формулой (2) перейдем к вейв-лету:

rt-b\ da db /JV —■ (4)

_ f 1- (t-bЛ •е

1 a J V I a )

/2

где Кч - константа, определяемая функцией ц/.

Вейвлет-преобразование 1И-ответа

Рассмотрим применение вейвлет-преобразова-ния для математического описания вызванного потенциала мышцы (¿/-ответа) с целью выявления его

V(a,b,t) = v|/0

Прямое и обратное вейвлет-преобразование осуществляется по формулам (3) и (4). Все преобразования проводились при помощи системы компьютерной математики МаШсас! 2001.

Для каждого индивида из представленных групп получены вейвлет-преобразование сигнала М-отве-

та и графическое изображение области расположения вейвлет-коэффициентов. Область расположения значимых (ненулевых) значений определяется параметрами Ь и а, где а - определяет масштаб амплитуды сигнала ;Ж-ответа, а Ь- расположение этой амплитуды по оси времени I

Анализ результатов приводит к следующим выводам:

1. М-ответ у здоровых людей представляет собой сигнал, который имеет один положительный пик с определенной амплитудой (рис. 2, а), а у больных - с несколькими пиками и амплитудами меньшими по величине (рис. 2, б, в). Это связано с тем, что сигнал Л/-ответа отражает одновременную реакцию двигательных единиц мышцы на электрическое раздражение нерва. У больных пациентов в результате травмы двигательные единицы мышцы реагируют неодновременно, и это отражается в виде нескольких пиков.

2. У здоровых людей (рис. 3, а) области локализации значимых вейвлет-коэффициентов отличаются от областей больных пациентов (рис. 3, б, в) как характером расположения (по параметру а), так и их числом (по параметру Ь). Количество положительных пикой сигнала М-ответа связано с количеством областей локализации значимых вейвлет-коэффициентов.

СПИСОКЛИТЕРАТУРЫ

1. Гусев Е.И., Коновалов А.Н., Беляков В.В. Методы исследования в нейрологии и нейрохирургии. - М.: Нолидж, 2000. - 336 с.

3. В группе больных пациентов по числу расположения вейвлет-коэффициентов (по параметру Ь) выделилось две подгруппы. Анализ состояния пациентов, проведенный врачом-экспертом, позволяет сделать вывод, что у пациентов с легкой степенью тяжести травмы области: локализации две (рис. 3, б), а с тяжелой - три (рис. 3, в).

4. Границы (по параметру а) локализации значимых вейвлет-коэффициентов для различных групп пациентов также отличаются. Так у здоровых они расположены в пределах от 5 до 25, у больных с легкой степенью тяжести травмы - от 4 до 17, с тяжелой - от 3 до 10.

Таким образом, использование вейвлет-преоб-разования для математического описания М-ответа позволяет восстановить сигнал, а по характеру и количеству областей расположения значимых вейвлет-коэффициентов можно оценить степень тяжести травмы.

В дальнейшем, используя математическое описание М-ответа, предполагается построить обобщенные показатели, с помощью которых можно было бы оценить тяжесть патологического процесса и скорость восстановительных процессов в не-рвно-мышечном аппарате в курсе лечения.

2. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. -М.: Солон-Р, 2002. - 448 с.

3. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование // Успехи физических наук. -2001. - Т. 171. - № 5. - С. 465-501.

УДК 535.416.3 /

КОНСТРУИРОВАНИЕ БИОРТОГОНАЛЬНЫХ ВЕЙВЛЕТ-БАЗИСОВ ДЛЯ ОПТИМАЛЬНОГО

ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИГНАЛОВ

Ю.Н.Исаев

Томский политехнический университет Институт оптического мониторинга СО РАН. г. Томск E-mail: [email protected]

Подробно описывается алгоритм синтеза биортогональных условию кратномасш'табного анализа. Приводятся примеры восстановления и сжатия сигналов на основе сконструированных вейвлетов. Описывается их сходство с базисом Карунена-Лоева.

Введение

Интенсивность и фаза оптического излучения, прошедшего атмосферу со случайными нёоднородно-стями, используются для извлечения информации об атмосфере или передачи информации через неё. В результате взаимодействия с турбулентной средой рас-

пространения фаза и интенсивность волны становятся топологически сложными объектами. Происходит преобразование гладкого рельефа волнового фронта в прерывистую изломанную структуру со степенными особенностями и сингулярностямй. Для удобства и упрощения анализа эти сложные математические объекты, условно будем называть их случайными