CC BY
31
Вероятностный анализ нового алгоритма упаковки прямоугольников в полосу
МЛ. Трутников, ctsvdimndex.ru
Аннотация. В 1993 году Коффман и Шор предложили онлайновый алгоритм упаковки прямоугольников в полосу с оценкой 0(iV“ 3) для математического ожидания незаполненной площади полосы в стандартной вероятностной модели. С тех пор вопрос о возможности улучшения этой оценки в классе онлайновых алгоритмов оставался открытым. В данной работе проанализирован принципиально новый онлайновый алгоритм упаковки, предложенный ранее
автором. Для него доказана оценка 0(_/V' “(logiV)3 “) для математического ожидания незаполненной площади полосы.
Ключевые слова: онлайновый алгоритм упаковки, вероятностный анализ качества упаковки.
Введение
Задача упаковки в полосу (в англоязычной литературе Strip packing problem) состоит в размещении множества открытых прямоугольников внутри полубесконечной вертикальной полосы единичной ширины, при этом стороны прямоугольников должны быть параллельны сторонам полосы (вращения запрещены) и прямоугольники не должны пересекаться. Нужно минимизировать «высоту упаковки» — расстояние от основания полосы до верхней грани верхнего прямоугольника в упаковке [1,2].
Задача имеет следующую естественную интерпретацию. Каждый прямоугольник — вычислительная задача, ширина прямоугольника соответствует количеству процессоров необходимых для вычисления задачи, высота — времени. Эффективное размещение прямоугольников внутри полосы требуется также в задачах разработки СБИС и раскройки материалов. Частным случаем упаковки в полосу при равенстве высот всех прямоугольников является NP -трудная задача упаковки в
контейнеры [3]. Поэтому для общей задачи упаковки в полосу интерес представляют приближенные полиномиальные алгоритмы.
Особый интерес представляют «онлайновые» алгоритмы, размещающие прямоугольники в полосе по мере их поступления, без знания параметров всех последующих прямоугольников. При анализе в среднем минимизируемой функцией является математическое ожидание незаполненной прямоугольниками площади полосы от основания полосы до верхней грани самого верхнего прямоугольника в упаковке. При этом в стандартной вероятностной модели ширины и высоты всех прямоугольников являются независимыми в совокупности равномерно распределенными на (0,1] случайными величинами [4].
Известно, что математическое ожидание незаполненной площади полосы у оптимальной упаковки есть 0{Ы112), где N — число прямоугольников. В 1993 году Коффман и Шор предложили «офлайновый» (информация о всех прямоугольниках известна заранее)
алгоритм [4], для которого по порядку достигается оценка 0(Ш112} . В той же работе они предложили онлайновый алгоритм упаковки с оценкой 0{Ш213) для математического ожидания незаполненной площади полосы.
В 2010 году [5] был предложен новый онлайновый алгоритм с той же оценкой 0(Ы213), но не требующий знания числа прямоугольников заранее. Тем не менее вопрос о возможности улучшения оценки 0(Ы213) в классе онлайновых алгоритмов оставался открытым. Известно было, в частности, что в классе шельфовых алгоритмов [6], [7] эту оценку улучшить нельзя.
В данной работе дан положительный ответ на этот вопрос. Для принципиально нового онлайнового алгоритма упаковки из [8] доказана
оценка ^(Л^^С^Л^)372) для математического ожидания
незаполненной площади полосы.
Постановка задачи
1 Вход: N — число прямоугольников; ■, Ьг., / = 1,..., N — ширины
и высоты прямоугольников, являющиеся значениями независимых в совокупности равномерно распределенных на (0,1] случайных величин;
Выход: х■, у■, / = 1,..., N — координаты центров прямоугольников,
удовлетворяющие условию: прямоугольники без вращений и
пересечений размещены внутри полубесконечной полосы единичной
ширины. Основание полосы совпадает с отрезком [(0,0), (1,0)] в Л2 , а боковые стороны полосы параллельны оси у .
Высотой упаковки назовем величину
Н = тах1(^у1+^ |
Требуется минимизировать величину
5 = Я
1=1
равную незаполненной площади полосы.
Алгоритм
В [8] предложен новый онлайновый алгоритм для рассматриваемой задачи, который мы будем анализировать в данной работе. Нпомним некоторые особенности алгоритма.
Рассмотрим следующие величины:
N14 _ N14 _ г- 1
и-------------у N + 0(1), 8----
(1 (1
а =
В основании полосы выделается <ї +1 горизонтальная область, каждая высоты и , причем і-я область имеет ширину і 8 . Таким образом получаем две одинаковые пирамиды (одна из них перевернутая). Каждый четный прямоугольник будем упаковывать в одну пирамиду, каждый нечетный — в другую.
Прямоугольники, из которых состоит пирамида будем называть контейнерами. Пронумеруем контейнеры внутри пирамиды числами от
1 до й так, что І -й имеет ширину І 8 . Прямоугольники внутри контейнеров будут упаковываться просто друг над другом: первый упаковываемый прямоугольник кладется на дно контейнера, следующий
— поверх первого и так далее.
Пусть некоторое количество прямоугольников упаковано в пирамиду и следующим для упаковки в данную пирамиду приходит прямоугольник ширины М>.
• Найдем такое /', что (/—1)8 <1У <і8 . Будем говорить, что этот прямоугольник назначен в І -й контейнер (тем не менее он не обязательно будет упакован именно в І -й контейнер).
• Далее ищем минимальное такое ], что І< ] <СІ ив ] -ом контейнере достаточно места, чтобы поместить туда данный прямоу гольник.
• Если такое j существует — помещаем данный прямоугольник в j -й контейнер.
• Если нет — просто кладем прямоугольник сверху текущей упаковки. Такие прямоугольники, которым не нашлось места ни в одном из контейнеров, в которые они помещаются по ширине будем называть выпавшими.
Анализ алгоритма
Корректность и онлайновость алгоритма очевидны. Оценим математическое ожидание незаполненной площади полосы.
Теорема2. Математическое ожидание незаполненной площади полосы упаковки, полученной алгоритмом из [8] есть ()(N1 2 (log N)3 2 ) .
План доказательства теоремы. Обозначим за S суммарную площадь N прямоугольников. Ясно, что ES = N/4 . Высота выделенной части полосы есть
(d + \)U = N/4\ -^-1 = N/4 + —= N/4 + 0(Nm). { d J 4[_mj *Jn
Будем рассматривать только одну из двух пирамид и соответственно
только \_N/2j прямоугольников упакованных в эту пирамиду.
Пронумеруем эти \_N/2j прямоугольников числами от 1 до lN/2] в соответствии с порядком поступления прямоугольников на вход алгоритму.
Обозначим за М{/2а, /22} математическое ожидание числа выпавших (смотри определение в описании алгоритма) прямоугольников при упаковке прямоугольников с номерами из диапазона \пх, п2 ] в данную пирамиду.
Таким образом, для доказательства теоремы требуется доказать, что
m{l,|JV72J}= 0(iV1/2(logiV)3/2).
Определим 2 целых числа к0 и к1:
К = In/2 J - In314 ViogivJ, кг = In/2 J - In112 1 m{l, Uv/2_|}= M{l ,k0}+ M{&0 +1 ,кг}+ +1, Uv/2_|}
Далее будут доказаны несколько лемм, из которых следует утверждение теоремы.
Лемма 1.
+1,|_М2_|}= 0(Л^1/2).
Очевидно, так как кх = \_NI2 J — \_Ы112 J и следовательно всего прямоугольников в этом диапазоне 0{Ы112) .
Для любого прямоугольника вероятность быть назначенным (смотри определение в описании алгоритма) в каждый конкретный контейнер есть \Ш, так как всего (I контейнеров. Пусть в пирамиду было упаковано к прямоугольников. Зафиксируем любой контейнер пирамиды. Через Хг, 1 < / < к обозначим случайную величину, равную высоте / -го прямоугольника в случае, если / -й прямоугольник назначается в данный контейнер, и 0 иначе. Можно записать Xj = ^j}]j , где — случайная величина, равная 1 с вероятностью р и 0 и вероятностью 1 — р, а — равномерно распределенная на отрезке
(ОД] случайная величина. Введем X — Хх + Х2 + ... + Хк случайную величину, равную суммарной высоте прямоугольников, назначенных в данный контейнер, где к — количество упакованных прямоугольников. Далее нам потребуется следующий вариант неравенства больших уклонений.
Лемма 2.
Пусть случайная величина X = X] + X2 + ... + Xк, где X/ = £.//.,
принимает значение 1 с вероятностью р и 0 с вероятностью 1 — р,
— равномерно распределенная на отрезке (0,1 ] случайная величина,
причем все случайные величины .,Т]г.,/ = 1 независимы в
совокупности. Тогда для любого ОС из интервала (0,1) выполняется неравенство
, -1а2ЕХ Р{Х>(\ + а)ЕХ}<е 9
Лемма 3.
М{1,£0}->0, оо
Доказательство. Оценим вероятность переполнения любого контейнера с помощью леммы 2. Для к = к0 = \_Ы!2\ — 1л^3/4 J
1(0 і Е(Х)=- -ї- =-2 {сі ) 2
( \ 1ы/2]-1ыму1\о&ы]
— + 0(1)
4
;л/ІУ-2Л^1/4^/ІовЇУ+0(1).
Возьмем а , удовлетворяющее равенству и -1 = (1 + а)ЕХ . 1/-1-ЕХ 2Л?1/4*/к^7У
« =-----------= -г=----- , +0(1)
ЕХ у/ії -2МшфоёМ Следовательно, по лемме 2
(27У1/4-у/1оё7У +Р(1))2 ^
Г
Р{Х>£/-і}<елр
-(5/9)
< ехр
-(5/9)-
47У 1оё7У
/V1'2-2МУі^\о%М +0(1)
/V1'2 -2М1'4 +0(1)
Для достаточно больших N
Р{Х>и-1)<-^п
Обозначим событие, соответствующее переполнению хотя бы одного любого контейнера за А, через Д — событие переполнения / -го контейнера,
л = Ц4
2=1
1
<--------
2 Лг1.1
№ N
Следовательно
М{іД0}^0, 00.
Лемма 4.
Пусть алгоритмом бьшо упаковано LiV/2J — |_Л^1/2+^ прямоугольников в одну пирамиду и 0 < (3 < 1/4 . Зафиксируем любое у такое, что
1/2-2/?+ 1п(51пЛГ)<г <1/2.
ІпіУ
Обозначим через С — событие, заключающееся в том, что хотя бы
один из нижних контейнеров пирамиды заполнен не более чем
на II — 1. Тогда для достаточно больших N
462
Доказательство. Рассмотрим любые Г1 контейнеров пирамиды. Для к = \_Ы12\-\_Ыт+р \ рассмотрим
Х = Х1+Х2 + ... + Х,.
Где Х{ — высота / -го прямоугольника в случае, если он назначен в один из Г1 рассматриваемых контейнеров пирамиды и 0 иначе.
Ег_1 (Руу2]-Ру1/2+/?])Руг1
2 а
ЕХ <
2(М2-7У1/2+/?+1)у?'
Ыт-\
Докажем сначала для произвольного множества из Г№ ~\ контейнеров пирамиды, что
Р{*>(Е/-1)ГЛГ1}<-^.
Найдем а , которое удовлетворяет равенству (Ц - 1)Га^1 = (1 + а)ЕХ.
12\-1ы1П*11 \
_{и- 1)Г^1-ЕХ _ 11 ~1 ы _ N !2-2с1-1ы 12\ + 1ы1П+11 \
а ЕХ 12\-1ыш*11 \ |_Л?/2_|-|_Л?1/2+Ч
2 а
дг1'2^ _1л?1/2 +1
а < -
N
—-л^2+р -1
2
Оценим вероятность отклонения случайной величины X от ЕХ на а ЕХ с помощью леммы 2.
Р [х > (и - 1} = Р {х > (1 + а)ЕХ}
< ехр
N
-^--Лг1,2+Д -1 ] (л^1,2-1)
Для достаточно больших N
( л
Р{Х>(1+а)ЕХ}<ехр --'-^7
По условию
у> 1/2-2/? +
1п(51пЛг)
Следовательно для достаточно больших N
/ ^ 1п(МШУ) \ ^
р{х > (и — 1)ГЛг?'^ < ехр\ lnJV -~-
Оценим теперь вероятность того, что хотя бы в одну последовательность Гл^1 подряд идущих контейнеров будет назначено множество прямоугольников с суммарной высотой превосходящей (£/-1)Гл^~| (обозначим это событие за В ). Последовательность подряд идущих контейнеров с номерами с /-го по (/ + Г-А^г1 — 1) -й назовем /-ой
группой контейнеров (всего имеется с1— \ Ыг~\ + \ групп). За обозначим событие назначения прямоугольников с суммарной высотой, превосходящей (II -1)Гл^~| в контейнеры / -ой группы,
а-\ыг 1+1
в= и вг
2=1
-Глг^1+1
онл" |-м , .1
Р(5)< 2 Р(г,)<(</-Г^>1 + 1Ь
< •
1
г=! \ЛГ N
Покажем теперь, что если событие В не произошло, то в процессе упаковки прямоугольников в пирамиду по предложенному алгоритму
хотя бы в одном из нижних Г1 контейнеров достаточно места для
упаковки прямоугольника высоты 1 (одновременно нижние Г~\ контейнеров не могут быть заполнены на II — 1).
Пусть это не так и каждый из ГЫг 1 нижних контейнеров заполнен более, чем на и — 1. Вспомним, что 7 -й контейнер имеет ширину 7 а .
Найдем минимальный номер контейнера І такой, что І < СІ — ГШ7 ~\ и все контейнеры с І -го по <1 -й заполнены более, чем на £/ —1. Тогда утверждается, что в І -ую группу контейнеров (с номерами от І до
і + Г И71 — 1) были назначены прямоугольники с суммарной высотой превосходящей (II -1)Гл^~|. Действительно, в І -ую группу контейнеров по определению индекса І упаковано множество прямоугольников с суммарной высотой превосходящей (II — 1)Г~|, а так как либо І = 1, либо в (/ — 1) -й контейнер можно упаковать прямоугольник высоты 1,
то все контейнеры упакованные в І -ую группу были в нее и назначены. Получено противоречие.
Лемма 5.
М{£0 +1,^} = О^2(1оёЛ03' Доказательство. Разделим отрезок [ОД/4] на
lnN
6\п(5\пМ)
одинаковых частей. Введем обозначение Мг
М = МI 1ы / 2І - їм" _|, 1м/ 2]- ] !>.
М {к0 +1,кг} = £м, = ]^М ||_ЛГ / 2] - ІЛ^4"1 ],!_# / 2] - _11
Оценим М . для 2 < / < п . Применим лемму 4 для параметров
Ап _ 1 г-1
7 2 Зп '
Очевидно, что
1 1п(51пЛ0
у >--2в+—±---------
2 1пЛГ
и алгоритмом было упаковано |_—_|-|_Л?1/2*' ] прямоугольников (условия
2
леммы 4 выполняются). Следовательно нижние Гл^І контейнеров
пирамиды к моменту упаковки |_—і - І7У1/2+д ] прямоугольников не могут
быть все заняты более чем на С/ — 1 и следовательно прямоугольник может выпасть только если будет назначен в один из нижних Гл^~1 контейнеров пирамиды. Всего в пирамиде <1 контейнеров, то есть вероятность того, что каждый прямоугольник из рассматриваемого диапазона может выпасть не превосходит
1>'1
Всего прямоугольников в диапазоне
ґ 11 11 !2\- 1к~2*~" ],ЦУ / 2] - ]
не более Ы2 4п . Следовательно
( 11 11 М = М Цу / 2] - _|, Цу / 2 _| - і [ =
= о
( І.ІІ ^г\п .д,2 з.
1 -1 + 4
= о\
Для/>5 М_ =0(Л^Гі2“).
£м, =о\пЫ
1 1
!2 12"~ I = О
1 л
1с^ ІУ-
Ы2
-0(М2 \ogNy
1 1п 51п N
72 1п N
Іс^іс^ N
V
Кроме того
XX =0(3-М2) = 0^Г~^ = 0^2 ыя | = 0\ М2 к^іУ |.
Для / = 1 количество прямоугольников в отрезке
Ґ I — 1
І.ІУ / 2 _| - |>+“], |_ЛГ / 2_| - |_ЛГ2 ]
есть
1 1 0\
0\ ЛГ2(1оеЛ03'
Итого
М{£0 + 1Д} = Xм, = 0^2(logA^)3/2 Лемма 5 доказана а вместе с ней и теорема.
Список литературы
[1] Baker В. S., Coffman Е. J., Rivest R. L. Orthogonal packings in two dimensions. SIAM J. Computing. 1980. V. 9. 4. P. 846-855.
[2] Baker B. S., Schwartz J. S. Shelf algorithms for two dimensional packing problems. SIAM J. Computing. 1983. V. 6. 2. P. 508-525.
[3] Shor P. W. The average-case analysis of some on-line algorithms for bin packing. Combinatorica. 1986. V. 6. 2. P. 179-200.
[4] Coffman E. G., Jr, Shor P. W. Packing in two dimensions: Asymptotic average-case analysis of algorithms. Algorithmica. 1993. V. 9. 3. P. 253-277.
[5] Кузюрин H. H., Поспелов А. И. Вероятностный анализ нового класса алгоритмов упаковки прямоугольников в полосу. ЖВМиМФ. 2011. Т. 51, N 10, с. 1931-1936.
[6] Кузюрин Н. Н., Поспелов А. И. Вероятностный анализ шельфовых алгоритмов упаковки прямоугольников в полосу. Дискретная математика. 2006. Т. 18. 1. С. 76-90.
[7] Csirik J., Woegenger G.J. Shelf algorithm for on-line strip packing, Inf. Process. Letters, 1997, v. 63, N 4, P. 171-175.
[8] Трутников M.A., Об одной задаче Коффмана-Шора, связанной с упаковкой прямоугольников в полосу, Труды ИСП РАН, 2012 г., т. 22, с. 456-462.
