Вероятностные адаптивные алгоритмы дискретного представления аналоговых сигналов. Часть 2: сравнительные анализ и численные данные Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.518.+519.724

ВЕРОЯТНОСТНЫЕ АДАПТИВНЫЕ АЛГОРИТМЫ ДИСКРЕТНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ АНАЛОГОВЫХ СИГНАЛОВ Часть 2: Сравнительные анализ и численные данные

Э. П. Тихонов,

доктор техн. наук, доцент

Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет «ЛЭТИ»

Приведены результаты определения оптимального интервала дискретизации для вероятностных адаптивных алгоритмов при различных восстанавливающих функциях. Выполнен сравнительный анализ предложенных адаптивных алгоритмов и известного метода дискретизации по Котельникову. Основные соотношения между интервалами дискретизации, полученные для различных методов дискретизации на моделях реальных сигналов, доведены до количественных результатов.

Ключевые слова — оптимальный интервал, функция восстановления, адаптивный алгоритм, сравнительный анализ.

Оценка оптимального интервала дискретизации

Прежде всего, отметим, что в подавляющем числе статей, связанных с временной дискретизацией, результаты анализа носят весьма общий характер и не доведены до численных оценок. В то время как численные оценки позволяют получить необходимые для инженерных расчетов количественные представления от применения того или иного метода дискретизации с учетом реальных условий и выбрать необходимый алгоритм дискретизации на основе комплекса требований, предъявляемых к проектируемой инфор-мационно-управляющей системе.

Для оценки оптимального интервала дискретизации при вероятностном методе адаптивной дискретизации в зависимости от степени т интерполирующего полинома выразим полином *¥т(Ь) при оценке погрешности восстановления сигнала в форме Ньютона [1, 2]

|Чт(а)| = (т0т)т + 1|[(а)(а - 1)(а - 2) ... (а - т)] =

= (Тот)т + 1^*т(а), где а = Ь/т0т; т0т — интервал дискретизации при восстановлении сигнала в форме Ньютона полиномом степени т; т = 0, 1, . .

С учетом этого представления получим для оценки погрешности восстановления полиномом т-й степени выражение

= \y(t) - Pm (t)| =

8(У(t), Фт (t,Т0т )) =

У

,(т+1)(П)

(т + 1)!

(т0т )'

т+1

¥ т(а)

Максимум данной погрешности при фиксиро ванном интервале х0т находим из условия

, , у(т+1)(п

8max (У(t), фт т 0т ))

(т + 1)!

.т+1

с0т

¥ (а )

или

8max (y(t), фт (t, Т0т )) =

max

у(т+1)(п

ч. max т + 1)! а

_т+1

0т.

Оценим средний квадрат погрешности интерполяции, который является характеристикой погрешности восстановления исходного сигнала, в соответствии с равенством

M{§inax (y(t), Фт (t, Т0т ))} =

(т+1)(

= M

max

а

(П)

(т + 1)!

т+1

0т

¥т (а

или

м{§max (у (t), Фт (t, Т0т ))} =

(- \2(п+1)

= (Т°т ) , |2 ^0т (-1 )'”+1 (т+1)| (0), (1)

|(т + 1)1]2

где к^т = max{¥rn(а)}2; -йУ2т+1)](0) — производ-

а

ные от автокорреляционной функции сигнала m-го порядка в нуле.

Параметр k0m для m = 0, 1, 2, ... можно вычислить априорно. Например, для m = 0, 1, 2, 3 параметр k0m соответствует значениям 1; 0,5; 0,42; 0,385.

Формула (1) для определения характеристики погрешности восстановления, по существу, определяет средний квадрат погрешности восстановления исходного сигнала в точке, где достигается максимальное отклонение сигнала от интерполирующего полинома. В дальнейшем рассмотренную характеристику погрешности восстановления независимо от ее вида будем называть просто погрешностью восстановления. Для классического метода интерполяции в качестве функции меры, характеризующей степень приближения исходного сигнала интерполирующим полиномом, использовалась равномерная мера приближения. В этом случае алгоритм [1]

T[(k + 1)At] = T(kAt) —

- A(k)^{0[8(y(t), фт (t, T(kAt)))], §0} преобразуется к виду

т(п + 1) = т(п) —

— ап {|^{max |(y(t) — фт [t, x(n)])|, §0}},

X

где an — «фокусирующая» последовательность (в данном случае целесообразно an = а = const).

При использовании квадратичной и равномерной функции потерь возможны четыре варианта алгоритмов в зависимости от сочетания преобразований д {...} и 9[...]:

1) для д[п] = П2 и 9[п] = |п|: т[(п + 1)] =

= т (п) - Д0{|8[у(<*), т(п)]| - 80};

2) для д[п] = signn и 9[п] = |п|: т[(п + 1)] =

= т(п) - ДoSІgn{|5[у(^*), т(п)]| - 80};

3) для д[п] = п и 9[п] = п2: т[(п + 1)] = т(п) -

- ^>{{|5[y(t*), т(п)]|}2 - 502};

4) для д [п] = signn и 9[п] = [п]2: т[(п + 1)] =

= т(п) - ДoSІgn{{|5[у(^*), т(п)|]}2 - 802},

где t* — значение аргумента, при котором погрешность

5(г*, т(п)) = 5тах (у(г), фт [г, т(п)])

достигает максимума.

При заданной погрешности восстановления и квадратичной мере приближения оптимальный интервал дискретизации находится из уравнения

Му {[5тах (у(г), Фт (г, Тот ))]2} = §0

или после усреднения

)2(т+1)

(T0m )

[(m + 1)!]'

,2 / -і \m+l г-)[ 2 (m+l)l/ х ~2

~k0m (—1) Ry 1(0)= 50

С учетом того, что е0 = 50 / Д(0), а г[2(т + 1)](0) = = Д[2(т + 1)](0) / Д(0), получаем для оценки искомого интервала дискретизации

T0m m+1

\

Е0 (m + 1)!

Km,-l (-l)”,+l Г[2lm+l,l(0) '

Интерполирующий многочлен в форме Ньютона [2] имеет вид

. . т Ату(0) к , .

Рт (* )= У (0 )+^ -^ П [а-(і -1

k=0

i=l

где

Ду(0) = y(Too) - y(0);

Д2 y(0) = y(2To1) - 2y(To1) + y(0);

m

Amy(0(—l)m-ic^y(iTom);

i=0

Д^(0) — конечные разности сигнала порядка n; (m)!

ni ______

°m+l ="

—; T0m — установившееся (искомое)

I !(т — £)!

значение интервала дискретизации для полинома интерполяции т-й степени; г[2(т + 1)](0) — производная порядка 2(т + 1) для нормированной автокорреляционной функции (НАКФ) сигнала в нуле.

Погрешность интерполяции многочленом в форме Ньютона т-го порядка можно выразить через конечную разность (т+1)-го порядка.

Из общей формулы (1) для квадратичной меры приближения оценки установившихся интервалов дискретизации в явном виде для полиномов нулевой, первой, второй и третьей степени находятся по приближенным формулам:

Too :

-(2)

(0)

0l

64е 2

-(4)(

Е

0

т02

243е 2

-(б)|

х

576е 2

-(8),

0

(2)

где |г[2(т + 1)](0)| — абсолютное значение производной порядка 2(т + 1) для НАКФ сигнала в нуле.

Приближение в формулах (2) тем точнее, чем меньше относительная погрешность е0, оно не превышает единиц процентов в пределах допустимой динамики входного сигнала для величины погрешности е0, принимающей значение в пределах одного процента.

Сравнительный анализ

Таким образом, установившийся оптимальный интервал дискретизации для степени полинома т зависит при соответствующих значениях параметра &0т и е0 от производных НАКФ сигнала в нуле. Поэтому представляет интерес коэффициент прироста интервала с ростом степени полинома в виде

(т + 2)

К (т ) =

где

'“0т+1

т+1[ъ

0т

10т

(т+2)(т+1)

^£0 (т + 1)! т+2к0т+1

■Х(т)

2(т+1)

х(т)=-

2(т+2)

V

,[2(т+1)]

1[2(т+2)]

а 1^0т| = {1; 0,25; 0,385; 1; 3,63; 16,9} для т = 0; 1; 2; 3; 4; 5.

Пусть входной сигнал является гармоническим и имеет НАКФ, соответствующую косинусной функции, тогда %(т) = %г(т) = 1 для всех т.

Рассмотрим также коэффициент прироста интервала относительно интервала, полученного для полинома нулевой степени и определяемого в соответствии с равенством

К0 (т) =

где

Х0 (т) = -

т0т т+1 \(ш + '

т00 т +1Й?

V г (2)(0)

2(т+^ Г 12(т+1)](0)

1)!

Х0 (т)

т+1[ь1 ’

\1К0т

т = 1, 2, ... .

Для гармонического сигнала получаем коэффициент прироста интервала с ростом т относительно интервала при восстановлении полиномом нулевой степени в виде

К0г (т)= т+1/-

(т + 1)!

'-0 К0т

который можно вычислить априорно. Результаты вычисления коэффициента К0г(т) и темпы его

приращения в зависимости от изменения степени полинома т и относительной погрешности восстановления е0 приведены в табл. 1-3. Темп прироста интервала дискретизации в зависимости от роста степени интерполирующего полинома в табл. 3 определяется в соответствии с формулой

Х0г (т + 1)-%0г (т)

%0г (т + 1)

Из табл. 1-3 следует, что темп прироста интервала дискретизации с ростом степени интерполирующего полинома для гармонического сигнала существенно замедляется, тогда как сложность восстановления сигнала при этом значительно возрастает.

В табл. 4 указаны значения коэффициента К0(т) прироста интервала дискретизации с ростом степени интерполирующего полинома при восстановлении сигналов с различными НАКФ [3, 4] относительно интервала, полученного для полинома нулевой степени. Сигналы с указанными в таблице НАКФ формируются фильтрами низкой частоты (ФНЧ) до 4-го порядка включительно из белого шума.

Таблица1

Переменная т Функция К)г(т) Переменная т Функция К0г(т)

0 1 3 2,213 #

1 2,83 л/^0 4 2,01

2 2,498 5 1,87 б/£ё" \е0

Таблица 2

Пере- менная т Функция К0г(т) при 80 Пере- менная т Функция К0г(т) при 80

0,01 0,05 0,01 0,05

0 1 1 3 69,98 20,93

1 28,3 12,66 4 80,02 22,01

2 53,81 18,41 5 86,78 22,7

Таблица 3

Интерполирующий полином т Относительный прирост Цт) при 80 Интерполирующий полином т Относительный прирост Цт) при 80

0,01 0,05 0,01 0,05

0 1 1 3 0,23 0,12

1 0,96 0,92 4 0,125 0,05

2 0,47 0,31 5 0,078 0,03

■ Таблица 4

Вид НАКФ г(т) Значения К0(т) = т0т / т00 для е0 = 0,01 Примечание

Ко(1) К>(2) К>(3)

1. е—а1т 28 54 70 ФНЧ 1-го порядка

2. [1 + а т] е—а 1 21 41 55 ФНЧ 2-го порядка

3. 1 + а|т| +1 (ат)2 е її ^ ) 16 24 55 ФНЧ 3-го порядка

4. і і і і 2 / \2 1 / \3 —ат 1 1 + ат| +—(ат) + (ат) е 1 1^ ; 19 24 40 ФНЧ 4-го порядка

5. е—ат 2 21 34 39 ФНЧ п-го порядка при п —<х> или гауссов низкочастотный фильтр

6. е1п(Л“>2) /Лют/^ ( /2) 24 43 53 Идеальный фильтр

7. соз(ют) 28 54 70 Гармонический сигнал

Коэффициент К0(т) можно представить в виде К0(т) = К0г(т)х0(т). Следовательно, если известно априорно отношение Хо(т), то по результату измерения интервала т00 нетрудно вычислить интервал дискретизации для интерполирующего полинома любой степени в соответствии с равенством

т0т(т) = Т00К0г(т)Х0(т).

По результатам измерения интервалов дискретизации для любых т можно осуществить классификацию сигнала по значениям производных НАКФ в нуле. Увеличение коэффициента К0(т) с ростом степени интерполирующего полинома особенно заметно для ФНЧ 1-го порядка, когда «высокочастотные хвосты» спектральной функции имеют наибольшую протяженность. Отметим, что с увеличением погрешности восстановления е0 коэффициент К0(т) по этой же причине с ростом степени интерполирующего полинома (см. табл. 2) изменяется существенно меньше.

Для оценки роста интервала дискретизации для широкополосного сигнала по сравнению с гармоническим сигналом сравним частоту гармонического сигнала и эффективную ширину спектра сигнала [3, 4], отличного от гармонического сигнала, при восстановлении сигналов полиномом нулевой степени и при условии выполнения равенства К0(1) = 1. Напомним, что эффективная ширина спектра определяется в соответствии с формулой [4]

ТО

Люэ = О—1 (ю0) I ° (ю^ю,

— ТО

где в-1(ю0) — максимум спектра в точке ю0;

ТО

I О (ю— выражение дисперсии через спектр

—ТО

сигнала.

Для симметричного спектра максимум достигается в точке ю0 = 0 при соответствующей симметричной АКФ Д(х). Из обратного преобразования Фурье от АКФ имеем

ТО ТО

*(х1=0 = ^ / О (ю^аю = ^ I I(ю)(1сю

т=0

Следовательно, для эффективной ширины спектра получаем при ю0 = 0

Люэ = О—1 (0)2пЛ (0).

Учитывая, что для нормированного спектра выполняется равенство

г(о )= J г (х)ах,

в результате получаем Люэ = 2П

£(0)'

Например, для НАКФ, соответствующей п. 2 табл. 4, с учетом того, что искомый спектр представляется в виде

*(Ю) =

4а3

получаем

Люэ=2пл/э=па

і

г "(0) = 2Люэ.

так как ф'"(0) = а и а = 2Дюэ / п.

Используя (2), для кусочно-ступенчатого восстановления сигнала с выбранной НАКФ получаем формулу для связи оптимального интервала

и

12 ^ ИНФОРМАЦИОННО-УПРАВЛЯЮШИЕ СИСТЕМЫ

№ 3, 2011

дискретизации с эффективной шириной спектра в виде

т _ е0

Т00 _—гг•

4А/Э

Полученная формула позволяет выразить оптимальный интервал дискретизации рассматриваемого адаптивного алгоритма с кусочноступенчатым восстановлением через интервал дискретизации тК, выбираемый по теореме Котельникова в виде тК = 1/2Д/э (см., например, [5]). Связь производных НАКФ в нуле с эффективной шириной спектра дает также возможность сравнить оптимальные интервалы дискретизации для сигналов, имеющих различные по виду НАКФ, с аналогичным интервалом дискретизации гармонического сигнала. Результаты сравнения сигналов с видами НАКФ, приведенными в пп. 2-6 табл. 4, представлены в табл. 5.

Из анализа табл. 5 следует, что при одной и той же погрешности и функции восстановления равенство интервалов дискретизации и, следовательно, частоты дискретизации для сравниваемых сигналов достигается при существенно меньшей частоте следования гармонического сигнала по сравнению с частотой, определяющей эффективную ширину спектра сигнала. Это означает, что если интервал дискретизации выбирается по эффективной ширине спектра в соответствии с теоремой Котельникова для рассмотренных широкополосных сигналов, то этот интервал дискретизации не будет удовлетворять требованиям теоремы Котельникова для гармонического сигнала с частотой следования, равной граничной частоте, определяющей ширину спектра.

Для практического применения теоремы Котельникова рекомендуется выбирать частоту дискретизации, по крайней мере, в 4 раза превышающую частоту среза спектральной функции. Следовательно, для гармонического сигнала частота дискретизации выбирается, как минимум, в 4 раза больше частоты его следования. В этом случае при дискретизации сигналов, отличных от гармонических, но с той же граничной частотой среза спектральной функции, определяющей ее эффективную ширину, увеличение избыточности превышает 10-кратную величину.

Результаты сравнения оптимальных интервалов дискретизации рассматриваемого адаптивного алгоритма с кусочно-ступенчатым и линейным восстановлением и интервалом дискретизации тК, выбираемым по теореме Котельникова для различных видов НАКФ, приведены в табл. 6. Из таблицы следует, что с идеальным фильтром при относительной погрешности кусочно-линейного восстановления сигнала на его выходе, равной 0,05, оптимальный интервал дискретизации для

■ Таблица 5

Соответствие позициям табл.4 Соотношения между интервалом т0г и частотой юг гармонического сигнала и аналогичными параметрами различных однопараметрических НАКФ Примечание

т0г / х0г ®г / Аюэпри т0г / х0г = 1

V- "(0)

2 2 АюЭ п 2 АюЭ пюг 0,637 ФНЧ 2-го порядка

3 8 АюЭ 3>/3 п 8 АюЭ 0,490 ФНЧ 3-го порядка

3>/з пюг

4 16 АюЭ 16 АюЭ 0,455 ФНЧ 4-го порядка

25 п 5>/Е пюг

5 АЮЭ АЮЭ 0,399 ФНЧ п-го порядка при п — ж

^2п .^2п юг

6 А<Вэ АЮЭ 0,289 Идеаль- ный фильтр

2^ 2л/3 юг

■ Таблица 6

Соответствие позициям табл. 4 Отношение т00 и т01 к интервалу дискретизации по Котельникову: тк = 1/(2/в. гр) Т01 / т00 Примечание

для т00 для Т01

2 0,5 е0 1,41^0 2,82/ /х/ё0 ФНЧ 2-го порядка

3 0,65 е0 1,^^ё0" ФНЧ 3-го порядка

4 0,7 60 1,32 -у/ёО" %00 ФНЧ 4-го порядка

5 0,8 80 1,7^7^0 2,1Л/ё0 ФНЧ п-го порядка при п —ж

6 1,1 60 2,4%- /л/£0 Идеальный фильтр

7 0,32 80 0,^Л/ё0 2,8у /л/£0 Гармони- ческий сигнал

рассматриваемого адаптивного алгоритма уступает потенциально достижимому интервалу, выбираемому в соответствии с теоремой Котельникова. Это является естественной платой за полную определенность и простоту используемой функции восстановления, за контроль погрешности восстановления и адаптивное установление интервала дискретизации с последующим слежением за его изменением в зависимости от измене-

ния динамики сигнала в условиях априорной неопределенности.

Заключение

Анализ результатов сравнения различных методов временной дискретизации показывает, что оптимальные интервалы дискретизации, полученные в соответствии с адаптивным алгоритмом, оказываются меньше интервалов дискретизации, выбираемых в соответствии с теоремой Котельникова, и соотношение между указанными интервалами зависит от относительной погрешности восстановления и степени интерполирующего полинома. Однако следует иметь в виду, что теорема Котельникова позволяет определять

1. Тихонов Э. П. Вероятностные адаптивные алгоритмы дискретного представления аналоговых сигналов. Ч. 1: Исследование свойств // Информационно-управляющие системы. 2011. № 2. С. 8-15.

2. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей: учеб. пособие. Изд. 3-е, перераб. — М.: Наука. Гл. ред. Физматлит, 1967. — 375 с.

потенциально достижимый интервал дискретизации при бесконечном числе членов восстанавливающего ряда интерполирующих функций Котельникова и при идеальном финитном спектре сигнала. В то время как адаптивный алгоритм временной дискретизации гарантирует установление инвариантно к виду спектра сигнала, оптимального в установленном смысле интервала дискретизации. Причем оптимальный интервал дискретизации устанавливается адаптивно в процессе функционирования информацион-но-управляющей системы при заданном виде интерполирующего полинома и погрешности восстановления сигнала в естественных для технических приложений априорных ограничениях на его динамику.

3. Мирский Г. Я. Характеристики стохастической взаимосвязи и их измерения. — М.: Энергоиздат, 1982. — 320 с.

4. Тихонов В. И., Хименко В. И. Статистическая радиотехника. — М.: Наука, 1987. — 304 с.

5. Цифровая обработка сигналов и изображений в радиофизических приложениях / Под ред. И. Ф. Кравченко. — М.: Физматлит, 2007. — 554 с.

14 ^ ИНФОРМАІІИОННО-УПРАВЛЯЮШИЕ СИСТЕМЫ

№ 3, 2011