CC BY
37
ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК
УДК 519.21
М.А. Поддубецкий
ВЕРОЯТНОСТНО-ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМЫ G/M/1/N ПРИ ВХОДНОМ ПОТОКЕ, ИМЕЮЩЕМ ^-РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Раскрыт подход и описана методика расчета вероятностновременных характеристик систем массового обслуживания G/M/1/N. Проведен сравнительный анализ полученных результатов с моделью на языке моделирования GPSS World.
CALCULATION OF THE PROBABILISTIC-TIME CHARACTERISTICS OF THE G/M/1/N QUEUE SYSTEM IN CASE OF x2-DISTRIBUTION
This article describes an approach and calculation methods of the probabilistic-time characteristics in G/M/1/N queue system. The contrastive analysis of the received results and the model created in GPSS WORLD was carried out.
Анализ свойств нагрузки в вычислительных сетях показывает, что поток сообщений часто отличается от пуассоновского. В связи с этим возникает задача исследования вероятностно-временных характеристик элементов сети, которые в терминах массового обслуживания имеют ограниченную память и произвольный поток требований на входе системы массового обслуживания (СМО). Будем предполагать в дальнейшем, что длины сообщений распределены по экспоненциальному закону. Таким образом, в соответствии с символикой Кендалла далее будет проанализирована система G/M/1/N [1].
Рассматриваемый подход - обобщение результата Клейнрока [2] для системы G/M/1 на случай системы с памятью и ограниченным объемом [1]. Проиллюстрируем его для случая х -распределения.
Пусть Хь- - -, Хп - независимые случайные величины, распределенные по одному и тому же стандартному нормальному закону
Закон распределения вероятностей неотрицательной случайной величины
M.A. Poddubetsky
(1)
Z = х2 +... + х2 носит название х2-распределения с числом степеней свободы n.
Плотность распределения интервалов между моментами поступления требований для Х2-распределения определяется следующим образом:
п 1 *
і2 е 2
/ (*)=---------------------------------------------. (2)
22 Г(п/2)
ОТ
где А (к) = | ік-1е~*Лі; і - время.
Найдем соответствующее ему преобразование Лапласа - Стилтьеса:
п і і
ад . *
: * 2 е 2 е ^ 1
Л=-п-1—г; (3)
0 .
22 Г(п/2) 22(0,5 + я)2
, п
Л» = (1 + 2УТ2. (4)
Найдем решение уравнения
о = ^*(д-до) 1 <о< 0, (5)
где А - преобразование Лапласа - Стилтьеса плотности распределения интервалов времени между моментами поступления сообщений в систему обслуживания; д - параметр обслуживания.
Тогда
п
- п ( 1 — 2
(1 + 2(д- до)) 2 =|1 + 2---I ; (6)
^ Рп )
п
о = Нш ^1 + 21—_. (7)
п^“^ рп )
п
1 — 2
Найдем предел ііші 1 + 2
к^ад^ рп
Используем второй замечательный предел:
/ \х
а
ііш і 1 + -І = еа. (8)
х^Ч х.
тх п 1 - о
Используя подстановку х = — и а =---------, получаем
2 Р
—п о-1
о = Нш (1 + 21—= е р . (9)
п^“^ рп )
ш (х)к
Так как ех = ^------, то, ограничившись тремя первыми членами суммы, можно
к=о к!
считать с достаточной для расчетов точностью. что
а =
1 -а (1 -а)
1 +------+
2 "І-1
2 2 (10)
Р 2р
а2 -а(2р +1) + 2р2 = 0. (11)
Данное уравнение имеет два корня:
2р +1 + л/4р - 4р2 +1 а1 =------------2-----------;
2р +1 — у/ 4р — 4р2 +1
о2 =-------------.
22
Так как 1<о<0, то данному уравнению удовлетворяет о2.
Стационарная вероятность определяется следующим образом:
гк =
(1 -а) ак
■ а .
Следовательно, стационарная вероятность системы будет определена так: (1 — 2р + У 4р — 4р2 +1 )(2р +1 ) 4р — 4р2 +1)
гк =■
>к-Ы-1
2Ы+2 - (р +1 -у/4р-4р2 +1)
(12)
(13)
Рис. 2. Зависимость стационарных вероятностей от к при N = 50
Вероятность переполнения памяти, как вероятность того, что в системе находится N+1 требование:
(1 - 2р + У 4р-4р2 +1 )(2р +1 ) 4р- 4р2 + 1^+1 іа3 2Ы+2 -(2р +1 -V4р-4р2 +1 )
Рис. 3. Зависимость вероятности переполнения от загрузки
О 2 4 6 8 10 12 14
Рис. 4. Зависимость вероятности переполнения от размера буфера
Среднее время пребывания требования в системе:
N 1
Тфа = ^ + -, (16)
А Д
где N - средняя длина очереди; А - интенсивность поступления требований; д -интенсивность обслуживания требований.
Среднее число вызовов, ожидающих обслуживания, для однолинейной системы:
_ N
N = 1 пР,. (17)
Среднее число вызовов:
(1 — 2р +У4р — 4р2 + 1)(2р +1 — У4р — 4р2 + 1)п
п=1 2п-Ы-1
2Ы+2 - (2р +1 (4р- 4р2 +1 )Ы+
Среднее время пребывания требования в системе:
п=1
I (l - 2p + V4p — 4p2 +1) 1 -V4p-4p2 +l) +1
Tcaa =-•! n
Рис. б. Зависимость средней очереди от загрузки
(19)
Рис. б. Зависимость средней очереди от размера буфера
Приведенная выше методика также рассчитывалась для распределений х -квадрат с числом степеней свободы, равных 1 и 2, гамма-распределения и ряда других. Полученные результаты были проверены путем моделирования на языке GPSS World [3]. Результаты моделирования математического и на языке GPSS World совпадают. Таким образом, методика обеспечивает необходимую точность и в ряде случаев сокращает время, необходимое для расчетов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Петров М.Н. Вероятностно-временные характеристики в сетях и системах передачи интегральной информации / М.Н. Петров. Красноярск: ГТУ, 1997. 220 с.
2. Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями / Л. Клейнрок; пер. с англ. М.: Мир, 1979. 600 с.
3. Кудрявцев Е.М. GPSS World. Основы имитационного моделирования различных систем / Е.М. Кудрявцев. М.: ДМК пресс, 2004. 320 с.
Поддубецкий Максим Андреевич -
аспирант кафедры «Системный анализ и вычисление операций»
Сибирского государственного аэрокосмического университета им. академика М.Ф. Решетнева, г. Красноярск
Статья поступила в редакцию 29.08.07, принята к опубликованию 13.11.07
