CC BY
20
УДК 539.3
ВЕРОЯТНОСТНО-СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ФОРМИРОВАНИЯ АНСАМБЛЕЙ КЛИНОВИДНЫХ ДВОЙНИКОВ У ОТПЕЧАТКА ИНДЕНТОРА ПРИ ЛОКАЛЬНОМ ДОЗИРОВАННОМ ДЕФОРМИРОВАНИИ ПОВЕРХНОСТИ ДВОЙНИКУЮЩЕГОСЯ МОНОКРИСТАЛЛА
О. М. ОСТРИКОВ
Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого», Республика Беларусь
Введение
Предложенный в работах [1]-[3] метод исследования механического двойнико-вания, связанный с локальным дозированным деформированием поверхности, оказался весьма эффективным и нашел широкое применение не только в изучении механизмов двойникования [4]-[7], но и негомогенной пластической деформации аморфных материалов [8]-[10], а также выкрашивания деформируемого материала [11], [12].
Формирование ансамбля клиновидных двойников (или полос сдвига в случае металлического стекла [8]—[10]) у отпечатка индентора носит случайный характер. Это связано с тем, что в области деформирования невозможно точно определить расположение источников двойникующих дислокаций в кристаллических или полос сдвига в аморфных материалах. Поэтому для моделирования деформационной картины, образованной вдавливанием индентора и связанной с двойникованием или негомогенной пластичностью, целесообразно использовать методы теории вероятности и математической статистики [13]—[15].
Локальное деформирование поверхности как метод имеет важное практическое значение, так как поверхность материалов в процессе их эксплуатации подвержена локальным деформационным воздействиям, результат которых может сказаться на долговечности и надежности изделия.
В данной работе ограничимся рассмотрением только ситуации, связанной с двойникованием. Полученные результаты могут быть распространены и на негомогенную пластичность аморфных материалов, подверженных локальному деформированию сосредоточенной нагрузкой, и на случай возникновения у отпечатка инден-тора трещин и т. д.
Целью работы стала разработка на основе методов теории вероятности и математической статистики такой модели, которая позволяла бы прогнозировать конфигурацию ансамбля клиновидных двойников, возникающих у отпечатка индентора различной формы.
Основная часть
Типичная картина, возникающая, например, на деформируемой алмазной пирамидой Виккерса поверхности скола (111) монокристалла висмута, представлена в работах [5]-[7]. У отпечатка индентора возникает 6-8 двойников клиновидной формы, средняя длина которых порядка 100 мкм (рис. 1).
Рис. 1. Типичная деформационная картина, возникающая у отпечатка пирамиды Виккерса на поверхности (111) монокристалла висмута (*500)
Висмут является модельным материалом для изучения двойникования при ин-дентировании. Поэтому полученные результаты можно обобщить и на другие двой-никующиеся твердые тела, у которых у отпечатка индентора возникает картина, представленная на рис. 1. Таким образом, разрабатываемый в данной работе математический аппарат для описания двойникования при локальном деформировании монокристаллов висмута может быть обобщен и на другие материалы. Это дает возможность в дальнейшем не конкретизировать, о каком материале идет речь.
Количество двойников (N), возникающих у концентратора напряжений, является случайной величиной. Распределение этой величины в зависимости от условий эксперимента может быть хорошо описано как распределением Пуассона, так и распределением Стьюдента [7].
В случае распределения величины N по закону Пуассона вероятность того, что у отпечатка индентора возникнет N двойников, определяется по следующей формуле [13], [14]:
aN
PN = Ne a• (')
где a - параметр закона Пуассона (a > 0) [13].
Использование закона Пуассона для расчета вероятности возникновения у концентратора напряжений N двойников удобно в связи с тем, что величина N дискретная и принимает только неотрицательные целые значения, что является основным условием применимости закона Пуассона [13].
Другим требованием применимости закона Пуассона является необходимость выполнения равенства математического ожидания (mN) и дисперсии (DN) величины N [14], причем
mN = DN = a. (2)
Условие (2) не всегда выполняется на эксперименте. Поэтому целесообразно использование распределения Стьюдента, которое с помощью гамма-функции (Г) представляется в виде [16]:
ль +<!Г)2, (3)
Г(п/ 2)пп
где в нашем случае п - число отпечатков индентора, у которых ведется подсчет количества образовавшихся двойников; t = (N - N)/ Sn (здесь N - среднее число двой-
1 п _
ников, возникающих у отпечатков индентора; Si = -- N) « D2N ).
п(п -1) г=1
Согласно [16], при п > 30 распределение (3) переходит в нормальное распределение, плотность которого применительно к рассматриваемой задаче можно представить в следующем виде [13]:
/ N )=
1
(К-ты)
(4)
Длина (Е) клиновидных двойников, возникающих у отпечатка индентора, в отличие от их количества N принимает не только целые значения. Поэтому использование закона Пуассона применительно к Е неправомерно. Нецелесообразно и применение соотношения типа (1) к Е из-за малой вероятности выполнения на практике условия типа (2). В экспериментах для Е математическое ожидание (тЕ) и дисперсия (Ее), как правило, не равны друг другу, т. е. тЕ Ф Ее. Поэтому можно считать, что при малых п величина Е подчиняется распределению Стьюдента, а при больших п - закону нормального распределения:
/ (Е ) =
1
(Е-тЕ )
2 е2
Е» л/2п
(5)
Для N и Е также справедлива следующая формула:
/ (К, Е ) =
((-
2г(К—ты )Е-тЕ ) + (Е-
2 по к о Е>/1 —
(6)
где ок, оЕ - среднеквадратичные отклонения величин N и Е, соответственно; г - коэффициент корреляции величин N и Е.
При г Ф 0 случайные величины N и Е зависимы [13]. В случае, когда г = 0 (т. е. N и Е независимы) формула (6) примет следующий вид:
/ (, Е ) =
1
((—т
2П0 N 0 Е
(7)
Выражения (6) и (7) нормального закона достаточны для описания вероятностных процессов зарождения у концентратора напряжений полос сдвига и трещин [10], имеющих близкую к нулю ширину. В случае двойникования более полное математическое описание требует учета и ширины (Н) двойника у устья [7]. Это приводит к необходимости использования трехмерного распределения типа
/ (, Е, Н ) =
1
1 N2 Е2 Н2
„2 + „ 2 + „ 2
2 о N о, о Н
(2п)
3/2
(8)
о N о Е о Н
Здесь оН - среднеквадратичное отклонение величины Н.
Тогда вероятность появления у деформирующего поверхность индентора N клиновидных двойников с геометрическими параметрами Е и Н, образующими область значений Е, может быть определена с помощью тройного интеграла:
Р((, Е, Н ) с Е) = / Е, Н ^ШЕёН.
(9)
(Е)
1
Юлт-о
2 1—г
о
о
е
2
о
о
е
е
Как показали экспериментальные данные, распределение двойников по длинам не всегда имеет один максимум [6], [7], [17]-[19]. В зависимости от условий локального деформирования в общем случае таких максимумов может быть К штук. На количество максимумов оказывает влияние анизотропия деформируемых кристаллов, форма индентора, пропускание в момент деформирования электрического тока и др. Вид функции распределения двойников по длинам схематически можно представить так, как это показано на рис. 2. В случае отсутствия равенства математического ожидания и дисперсии такую функцию можно описать суперпозицией нормальных распределений длин двойников К групп. На рис. 2 каждое такое нормальное распределение схематически показано пунктирной линией.
Рис. 2. Схематическое изображение типичного распределения двойников по длинам
Предполагается, что в каждой группе находятся двойники, вклад в увеличение или уменьшение длины которых внес какой-либо один из ранее перечисленных факторов. Тогда распределение двойников по длинам при невыполнении условия (2) можно записать в следующем виде:
(Ч - тц)
1 К _ 2 Ч
/(1)=Т2П5— (10)
где Lj - длины двойников 3-й группы; тц и - математическое ожидание и дисК
персия величины Lj; L = ^ Lj.
3=1
Функция (10) полностью описывает сложное распределение двойников по длинам, схематически показанное на рис. 2.
В плане создания математической основы для компьютерного моделирования процесса двойникования при локальном дозированном деформировании поверхности двойникующегося материала интересна задача по определению точки на контуре отпечатка индентора, в которой будет находиться середина основания двойника. На рис. 3, а схематически показан отпечаток пирамиды Виккерса на поверхности деформируемого монокристалла и система возникающих у него клиновидных двойников. Для удобства целесообразно использование развертки контура отпечатка индентора, которая показана на рис. 3, б в виде отрезка, разбитого на участки, соответствующие длине стороны отпечатка. Направим вдоль этого отрезка ось х и исключим ситуацию, когда двойники образуются вдали от отпечатка индентора [7], [20], так как в случае, например, деформирования поверхности (111) монокристалла висмута вдали от отпечатка ин-
дентора двойники образуются крайне редко. Зададим плотность вероятности образования двойника в той или иной точке контура отпечатка индентора f (х). Тогда при более частом появлении двойников у вершин четырехугольника функция плотности вероятности f (х) в первом приближении будет иметь вид, представленный на рис. 3, б сплошной линией. При более частом появлении двойников у середины отрезка стороны отпечатка пирамиды вид функции f (х) представлен рис. 3, б пунктирной линией. В этих случаях функцию плотности вероятности появления двойника в точке, принадлежащей i-й стороне отпечатка, в первом приближении целесообразно принимать параболической. Пусть данная функция имеет вид:
fi (х) = а,х2 + ЬГХ + С,
(11)
где ai, Ь , с - феноменологические коэффициенты.
В рассматриваемой задаче (рис. 3) функция (11) примет следующий вид:
I (х ) =
aABх + ЬАВх + cAB при A < х < B
aBc I Ьвс + Свс
^^DA■/
при B < х > С при С < х < D ш при D < х < А.
асвх + ЬСЕ)х + сс:о при С < х < D
а^.х2 + К„х + с
(12)
а)
б)
в)
Рис. 3. Схема для модели, позволяющей прогнозировать место зарождения двойников или полос сдвига у отпечатка пирамиды Виккерса: а - отпечаток пирамиды Виккерса и ансамбль клиновидных двойников вокруг него; б - плотность вероятности зарождения двойников на развертке контура отпечатка индентора в случае более частого появления двойников у вершин отпечатка (сплошная линия) и у средней его части (пунктирная линия); в - плотность вероятности зарождения двойников на развертке контура отпечатка индентора в общем случае
Функция fi (х) экстремальна. На оси х положение i-го экстремума находится по формуле [13]:
(х)
^ 2а, •
(13)
В случае, когда более часто двойники возникают у вершин отпечатка пирамиды Виккерса, функция / (х) в экстремальных точках принимает значения [14]:
/г ((Х0 1 )= /ш
4*
(14)
Аналогичные соотношения можно использовать и в случае более вероятного появления двойников у середины стороны отпечатка индентора, но в данном случае в этой части отпечатка будут наблюдаться максимальные значения функций / (х).
В общем случае функция / (х) имеет произвольный вид (рис. 3, в). Однако и в этом случае ее удобно разбить на части /АВ (х), /Вс (х), /со (х) и /ш (х), соответствующие четырем сторонам отпечатка пирамиды Виккерса.
На рис. 4, а схематически представлен отпечаток сферического (аналогично для конического) индентора с системой клиновидных двойников вокруг него. В данном случае также удобно разбить контур отпечатка индентора на участки. Пусть определяющими точками такого разбиения будут квадранты окружности. На рис. 4, б вдоль оси х расположена развертка контура отпечатка длиной I, поделенная на четыре отрезка, концы которых соответствуют расположению точек квадранта окружности.
а)
б)
Рис. 4. Схема для модели, позволяющей прогнозировать место зарождения двойников или полос сдвига у отпечатка сферического (или конического) индентора: а - отпечаток индентора и ансамбль клиновидных двойников вокруг него; б - плотность вероятности зарождения двойников на развертке контура отпечатка индентора в случае более частого появления двойников у квадрантных точек (сплошная линия) и у средней части отрезка, ограниченного квадрантными точками (пунктирная линия); в - плотность вероятности зарождения двойников на развертке контура отпечатка сферического (или конического)
индентора в общем случае
Ввиду анизотропии деформируемого монокристалла вероятность появления двойников в различных областях контура отпечатка разная. Как и в предыдущем случае (рис. 3, б), в первом приближении для функции f (х) может быть использована квадратичная зависимость, как это схематически показано на рис. 4, б. В общем случае функция f (х) произвольна и может быть представлена суперпозицией функЦий fi(х ^ f2(х ^ f3(х) и f4 (х) (рис. 4, в).
Заключение
Таким образом, разработана вероятностно-статистическая модель двойникова-ния монокристаллов при индентировании их поверхности. Модель пригодна для разработки программ для компьютерного моделирования остаточной двойниковой картины, возникающей у отпечатка индентора двойникующихся монокристаллов. Показано, что для математического описания распределения двойников по длинам, при наличии нескольких максимумов у этого распределения, необходимо использование суперпозиции нормальных распределений, число которых равно числу максимумов. Модель может быть использована и для случая негомогенной пластической деформации аморфных материалов. Разработан метод прогнозирования области зарождения двойников или полос сдвига у отпечатка индентора.
Литература
1. Yoo, M. H. Twinning in zinc by indentation / M. H. Yoo, C. T. Wei // J. Appl. Phys. -1967. - Vol. 38, № 7. - P. 2974-2976.
2. Бойко, В. С. Динамика развития двойника под сосредоточенной нагрузкой / В. С. Бойко, Р. И. Гарбер, В. Ф. Кившик // Физика твердого тела. - 1975. - Т. 17, № 2. - С. 3655-3657.
3. Lubenets, S. V. Dynamics of twinning in metals and alloys / S. V. Lubenets, V. I. Start-sev, L. S. Fomenko // Phys. Stat. Sol. (a). - 1985. - Vol. 92, № 11. - P. 12-55.
4. Влияние импульсов электрического тока на двойникование монокристаллов висмута, облученных ионами углерода / В. С. Савенко [и др.] // Физика металлов и металловедение. - 1998. - Т. 85, № 5. - С. 96-105.
5. Двойникование монокристаллов висмута, облученных ионами бора / В. С. Савен-ко [и др.] // Письма в журн. техн. физики. - 1998. - Т. 24, № 8. - С. 1-9.
6. Савенко, В. С. Применение статистического метода для изучения кинетики образования клиновидных двойников в кристаллах висмута при наложении на них электрических и магнитных полей / В. С. Савенко // Изв. НАН Беларуси. Сер. физ.-мат. наук. - 1998. - № 2. - С. 96-98.
7. Остриков, О. М. Механика двойникования твердых тел : монография / О. М. Ост-риков. - Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2008. - 301 с.
8. Особенности пластической деформации при индентировании пирамидой Виккерса поверхности аморфного сплава Fe-Cr-Mo-V-B-Si / М. Н. Верещагин [и др.] // Физика металлов и металловедение. - 2002. - Т. 93, № 5. - С. 101-104.
9. Исследование методом локального деформирования особенностей пластической деформации аморфного сплава Fe-Cr-Mo-V-B-Si / М. Н. Верещагин [и др.] // Кристаллография. - 2002. - Т. 47, № 4. - С. 691-696.
10. Верещагин, М. Н. Негомогенная пластическая деформация аморфных сплавов на основе железа : монография / М. Н. Верещагин, В. Г. Шепелевич, О. М. Остриков. - Гомель : ГГТУ им. П. О. Сухого, 2004. - 134 с.
11. Способ определения интенсивности выкрашивания материалов : пат. № а 20030020ВУ, МПК7 О 01 N 3/08. / М. Н. Верещагин [и др.]. - заявл. 10.01.03 ; опубл. 30.09.04. Афщыйны бюл. / Дзярж. пат. ведамства Рэсп. Беларусь. - 2004. - № 3. - С. 61.
12. Остриков, О. М. Использование полипараксилиленовых тонких пленок при исследовании пластической деформации монокристаллов висмута / О. М. Остриков // Приклад. механика и техн. физика. - 2006. - Т. 47, № 4. - С. 162-166.
13. Вентцель, Е. С. Теория вероятностей / Е. С. Вентцель. - М. : Академия, 2003. - 576 с.
14. Корн, Г. Справочник по математике / Г. Корн, Т. Корн. - М. : Наука, 1974. - 832 с.
15. Боржковская, В. М. Исследование структуры линий скольжения в монокристаллах ЫБ при послойной полировке и травлении с применением статистических методов обработки экспериментальных данных / В. М. Боржковская, А. И. Ландау, М. А. Давыдов // Кристаллография. - 1968. - Т. 13, № 4. - С. 655-661.
16. Физический практикум / под ред. Г. С. Кембровского. - Минск : Университетское, 1986. - 352 с.
17. Применение статистического метода к изучению электростимулированного двой-никования кристаллов висмута / В. С. Савенко [и др.] // Действие электромагнитных полей на пластичность и прочность материалов : тез. докл. конф. - Воронеж : ВГТУ, 1996. - С. 21.
18. Остриков, О. М. Кинетика образования клиновидных двойников в кристаллах висмута, облученных нерастворимыми в матрице мишени ионами / О. М. Остри-ков // Физика металлов и металловедение. - 1999. - Т. 87, № 5. - С. 78-82.
19. Остриков, О. М. Двойникование ионно-имплантированных монокристаллов висмута : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук / О. М. Остриков. - Минск : БГУ, 1999. - 17 с.
20. Остриков, О. М. Некоторые особенности формы клиновидных двойников в монокристаллах висмута, деформированных сосредоточенной нагрузкой / О. М. Остри-ков // Физика металлов и металловедение. - 2000. - Т. 90, № 1. - С. 91-95.
Получено 03.04.2013 г.
