Роль поверхности в формировании напряженного состояния у клиновидного нанодвойника Текст научной статьи по специальности «Физика»

ОБРАБОТКА КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ

УДК 538.24

РОЛЬ ПОВЕРХНОСТИ В ФОРМИРОВАНИИ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ У КЛИНОВИДНОГО НАНОДВОЙНИКА

О. М. ОСТРИКОВ

Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого»,

Республика Беларусь

Двойникование является одним из основных каналов пластической деформации твердых тел [1]-[3]. Оно, как правило, проявляется в случаях, когда затруднительно развитие скольжения, например, из-за ориентационного запрета и низких температур [1], [2]. В настоящее время нет однозначного мнения о роли двойникования в процессах разрушения двойникующихся материалов. Исследования, проведенные на кремнистом железе [4], показывают, что двойниковые прослойки, границы которых являются концентраторами больших внутренних напряжений, способствуют зарождению трещин. Этого не наблюдается у таких пластичных материалов, как висмут, сурьма [3], [5]-[7], где напряжения двойниковых границ активизируют процессы зарождения и развития полных дислокаций. Имеется мнение, что двойникование является резервом пластичности материалов, так как, вступая в действие на конечной стадии пластической деформации, оно в ходе деформирования материала отдаляет во времени процесс зарождения трещин и разрушения [8].

В настоящее время накоплен обширный экспериментальный материал по исследованию двойникования материалов [8]—[10]. При этом назрела необходимость в развитии математического моделирования и глубокого теоретического исследования механического двойникования [11]—[13]. При высоком уровне имеющихся экспериментальных работ по двойникованию имеется необходимость в развитии представлений о механизмах зарождения и развитии двойников, моделировании процессов, наблюдаемых при двойниковании. Особое место при этом занимают задачи, связанные с математическим моделированием процессов на начальной стадии развития двойника, так как данная стадия во многом определяет характер дальнейшего развития двойника.

Целью данной работы стало изучение влияния поверхности на напряженное состояние у клиновидного зародыша двойника.

Клиновидные двойники чаще образуются у поверхности кристалла при деформировании ее инденторами или штампами. Поэтому изучение роли поверхности в формировании напряженно-деформированного состояния у клиновидного двойника имеет важное практическое значение.

Вектор Бюргерса двойникующих дислокаций может быть разложен на две составляющие: винтовую ( Ьв) и краевую ( Ькр), так как двойникующие дислокации являются

частичными дислокациями [1]. Для определения вклада краевой составляющей решим плоскую задачу теории упругости, для которой справедливо уравнение [14]:

и1 = щ (х1, х2), и2 = и2 (х1, х2), и3 = 0 ди1/ дх3 = 0, ди2/дх3 = 0, ди3/дх3 = 0,

где и. — смещения, хг (г = 1, 2, 3 или х, у, г) — прямоугольные декартовы координаты.

Исходя из условий (1), можно получить дополнительные характеристики плоского деформированного состояния [14]:

да,, да.

+ ■

дх1 дх2

да да

— 0

+

— 0.

(2)

дх1 дх.

Система (2) получена из условия равновесия [14]:

дал даг 2 да

■ + -

или в более сжатом виде

дх1 дх2

да,,

+ ■

дх3

+ /V — 0,

дх.

+ /V — 0,

где — г-я компонента объемной силы, действующей на единицу объема.

Уравнения (2) выполняются, если

д 2у

дх2

д2 у ”дхг

а,-, — —

д2 у

12 дх1 х2 ’

где у — функция напряжений Эйри.

Дифференцированием соотношений Коши [14]:

1 ( ди,. ди,л

дх, + дхг

V і г

можно получить уравнение совместимости для случая плоской деформации

д2в,, + д2в^

дх2

— 2

дх-2 дххдх2 ■

Подставляя в (4) значения в, из

В11 = 1 [11 -У (О 22 +

(3)

(4)

Е

)]

8 22 = Е7 [а 22 V (а11 +а 33 )]

в зз = е [а 33 V (а11

8 23 2ц а 23

831 2ц а31

812 = 2ц °12

г)]

г3

а11 —

а 22 —

1

1

1

и, используя соотношения

е=2ц(1 + у)

V =

Д =

К =

д + К 3В + д

К

3В - 2д =

2(3В + д) = 2(д + К) “

Е

2(1 + V)

vE = 2vд

(1 + v)(1 - 2v) = Т-2у :

Е - 2д 2д

где

В = 1 К = 3

К 3А + 2д’

(здесь А, - коэффициент Ламе; д - модуль сдвига; V - коэффициент Пуассона; Е -модуль Юнга), получим [15]:

д у _ д у д у _

—т- + 2—г-=-т + —т- = 0.

дхт дхт дх2 дх2

Уравнение (5) может быть представлено в виде [14]:

(5)

V 4у = У 2(У 2у) =

чдх12 дх2 у

у = 0.

(6)

Прямая краевая дислокация создает плоское деформированное состояние, определяемое условиями [14]:

«: = 0, ^ = 0.

г ’ д2

Для функции напряжений Эйри уравнение (6) в полярных координатах, для краевой дислокации примет вид [14]:

■ +——+

дг2 г дг ' г2 д02

у = втг ^т0,

(7)

где рт - константа.

Частным решением уравнения (7) является [14]:

У Кр =у Г8ІП0ІПГ.

(8)

Для модуля вектора Бюргерса краевой составляющей двойникующей дислокации справедливо соотношение [14]:

Ькр = - | [єхх ([ П) - Єхх (Х-Ц)]]

-ад

где П ^ 0 и п положительно.

ад

С учетом (6), из закона Гука получим [14]:

Тогда функция напряжений (8) примет вид [14]:

(9)

Для решаемой задачи о клиновидном двойнике на мезоскопическом уровне из (9) получим:

где п и m - индексы суммирования; d и h - проекции, соответственно, на оси OX и OY отрезка, соединяющего две соседние дислокации (рис. 2); N и M - число дислокаций на каждой из границ двойника.

Согласно работе [16], данная задача может быть поставлена и в смещениях U с помощью двухмерной 5-функции в виде

где т - вектор касательной к линии дислокации; Е, - двумерный радиус-вектор, который в заданной точке отсчитывается от линии дислокации в перпендикулярной вектору т плоскости.

Для прямолинейной краевой дислокации, когда проекции на оси x, у и г равны Ьх = Ькр, Ьу = Ьг = 0, уравнение (11) примет вид [16]:

где у - единичный вектор вдоль оси у.

Для определения вклада находящейся у поверхности краевой составляющей двойникующей дислокации в напряженное состояние решение уравнения (5) будем искать в виде [14]:

(10)

(11)

Аи + у-1)’

(12)

у = X ( х)У (у).

(13)

Подстановка (13) в (5) дает уравнение вида

дх4 У дх2 дУ2 У дУ4

Для того чтобы переменные разделялись, (д2Y/ду2)/Y и (д 4Y/ ду 4 )/ Y не должны зависеть от у. Поэтому функцию Y целесообразно искать в виде [14]:

У = а 0зіп&0 у + Р0со8&0 у.

(14)

Тогда дифференциальное уравнение для X примет вид:

^ - 2к02 д-Х- + к04 X = 0.

дХ 0 дХ20

Решение этого уравнения [14]:

X = (а0 + а1х)екоХ + (у0 + у1х)е-к°х . (15)

Используя условия [14]:

у0 = у1 = 0 при X ^ 0 и х ^ -да,

а 0 = 0 при а хх (0, у) = 0 и X (0, у) = 0, при суперпозиции выражений (14) и (15) получается окончательное решение [14]:

да

у = | а 0(к0) хе к°х8тк0 уёк0, (16)

0

где слагаемое, пропорциональное со$,к0 у, опущено. Это связано с тем, что должны быть четными по у функции [14]:

+ (0у)- ^ 1 <!2 -у2) ■

'ху(0, у) -V 4 ;

а »(0- у)=П(-^

а-(0, у) у2)

п(1 -V) г

где

Г = (/2 + уТ,

/ - расстояние от дислокации до поверхности.

Тогда граничное условие для а ху (0, у) дает [14]:

-а ху

( ) Гд>1 да (, )к , /(/' - у2)

(0-у)= дХду ^ а0(к0>к0СО!*0уМ» = п(1 -V) (/2 + у2)2

V У х=0 0

Проводя обратное преобразование Фурье, получим [14]:

, ) ^ да К!2 - у!) , к0а 0 (к0 )=П2С1^ |</чТ7

Окончательно компоненты тензора напряжений у двойникующей дислокации, находящейся у поверхности, имеют вид [14]:

. = -2т-^ [3(' - х)2 - уг ]; п(1 - V)

^кр!

о,„, =

п(1 - V)

Ц- [ - х)3 + 6 ху(1 - х)2 + 4 у3(/ - х) - 2ху3 ];

= --

ху п(1 - V)6

[(/ - х)4 + 2х(/ - х)3 - 6ху2 (/ - х) - у4 ];

а гг = 6 [у(/ - х)3 + у3(/ - х)].

п(1 - V)

(17)

Соотношения (17) могут быть использованы для расчета напряженного состояния у нанодвойника, находящегося у поверхности кристалла. Для этого произведем следующие замены: / ^ Ь - пй, у ^ у - mh и у ^ у + mh. Тогда с учетом представленного на рис. 1 схематического дислокационного изображения клиновидного нанодвойника, находящегося у поверхности, получим:

а — —

хх

2^Ькр

(РЗ

М-1N-1

ЕЕ

(Ь - nd)х(у - тк)[3(Ь - пй - х)2 - (у - mh)2 ] (( - пй - х)2 + (у - mh)2)

а уу =

М-1N-1

+ЕЕ

т=0 п=1 1^

(Ь - nd)х(у + тк)[3(Ь - nd - х)2 - (у + тк)2 ] (( - пй - х)2 + (у + тк))

п1

кр

(1-V]

М-1N-1

ЕЕ

Ь - пй

(ь - nd - х )2 + (у - mh)2)

- (4(Ь - пй - х)3 +

+ 6х(у - тк)(Ь - пй - х)2 + 4(у - тк)3 (Ь - пй - х) - 2х(у - тк)3)+

+ЕЕ

Ь - пй

т=0 п-

1 ((Ь - пй - х )2 + (у + тк)2)

- (4(Ь - пй - х) +

+

6х(у + тк) - пй - х)2 + 4(у + тк)3 (Ь - пй - х)- 2х(у + тк)3)];

а ху = -

ху

ДЬк

М-1N-1

ее

т=0 п=0 11Ь - Пй -

Ь - пй

(ь - пй - х)2 + (у - тк) )

(Ь - пй - х )4 +

+ 2х(Ь - пй - х)3 - 6х(у - тк)2 (Ь - пй - х)- (у - тк)4 )+

+ЕЕ-

Ь - пй

-(Ь - пй - х )4

+

( - пй - х)2 + (у + тк)2)

2х(Ь - пй - х)3 + 6х(у + тк) (Ь - пй - х) - (у + тк) )];

а гг =

ДЬкр п(1 - V)

М-1N-1

+ее:

Е1 Е (Ь - пй) - тк)(Ь - пй - х)3 + (у - тк) (Ь - пй - х)

т=0 п=0

(Ь - пй)(у + тк)Ь - пй - х)3 + (у + тк) (Ь - пй - х)] (( - пй - х)2 + (у + тк) )

т=0 п=0

т=0 п=0

т=0 п=1

Аналогично не трудно показать, что

ДЬв

°хг 2п

°уг 2п

ЕЕ

т=0 п=0 М-1N-1

Е Е

т=0 п=0

у - тк

(х - Ь + пё)2 + (у - тк) х - Ь + пё

-ЕЕ

у + тк

т=0 п

ЕЕ

1 (х - Ь + пё )2 + (у + тк)2 х - Ь + пё

(х - Ь + пё)2 + (у - тк)2 т=0 п=1 (х - Ь + пё)2 + (у + тк)2

Рис. 1. Схематическое изображение распределения дислокаций в системе «клиновидный нанодвойник и нанодвойник-изображение»

Если пренебречь допущением того, что на поверхности кристалла должны равняться нулю напряжения, созданные двойником, находящимся у поверхности, можно получить приближенные соотношения для расчета напряжений в рассматриваемой задаче. Известно [14], что напряженное состояние у клиновидного двойника, находящегося у поверхности кристалла, может быть найдено сложением напряжений двойникующих дислокаций клиновидного двойника и двойника-изображения, состоящего из дислокаций противоположного знака (рис. 2). Схематическое изображение взаимного расположения двойникующих дислокаций в такой совокупности двойников представлено на рис. 1. Пусть данные составляющие вектора Бюргерса будут направлены так, как это показано на рис. 1. Тогда исходя из соотношений для напряжений у единичной дислокации [14], используя принцип суперпозиции, не трудно показать, что для клиновидного зародыша двойника у поверхности кристалла справедливы следующие соотношения для компонент тензора напряжений:

ДЬк,

С — —

“ 2п(1 -V)

(у + пк)[3(х + пё - Ь)2 + (у + пк)2 ]

уп=0 [(х + пё - Ь)2 + (у + пк)2]2

Е (у + пк)[3(х - пё + Ь)2 + (у + пк)2]

п=0 [(х - пё + Ь)2 + (у + пк)2]2

+ у (у - пк)[3(х + пё - Ь)2 + (у - пк)2]

п=1

[(х + пё - Ь) + (у - пк) ]

У (у - пк)[3(х - пё + Ь)2 + (у - пк)2]^ п=1 [(х - пё + Ь)2 + (у - пк)2]2 у

Г ^ (у + пк)[(х + пё - Ь)2 - (у + пк)2]

__ кр

° ^ = 2п(1 -\)

[(х + пё - Ь)2 + (у + пк)2 ]2

Е (у + пк)[(х - пё + Ь)2 - (у + пк)2 ]

п=о [(х - пё + Ь)2 + (у + пк)2]2

У1 (у - пк)[(х + пё - Ь)2 - (у - пк)2 ]

п=1 [(х + пё - Ь)2 + (у - пк)2]2

У (у - пк)[(х - пё + Ь)2 - (у - пк)2]^

п=1 [(х - пё + Ь)2 + (у - пк)2]2 у

^ = (1^кр\; ^ у + пк

2п(1 - \) |п=0 (х + пё - Ь)2 + (у + пк)2

У у + пк У у - пк

- У--------^7 + У-----------------------------2

п=0 (х - пё + Ь) + (у + пк) п=1 (х + пё - Ь) + (у - пк)

У у - пк л

У (х - пё + Ь)2 + (у - пк)2 у ’

дЬкр ГУ (х + пё - Ь)[(х + пё - Ь)2 - (у + пк)2]

а =-------------------------кр

У-

ху 2п(1 -V) I п=0 [(х пё - Ь)2 + (у + пк)2 ]2

I п=0

У1 (х - пё + Ь)[(х - пё + Ь)2 - (у + пк)2]

п=0 [(х - пё + Ь)2 + (у + пк)2]2

У (х + пё - Ь)[(х + пё - Ь)2 - (у - пк)2 ]

п=1 [(х + пё - Ь)2 + (у - пк)2 ]2

У (х - пё + Ь)[(х - пё + Ь)2 - (у - пк)2] ^

п=1 [(х - пё + Ь)2 + (у - пк)2]2

а =-НЬк у+пк

2п |п=0 (х + пё - Ь)2 + (у + пк)2 У у + пк У у - пк

-У------------^г + у---------------------------—2-------------2

п=0 (х - пё + Ь) + (у + пк) п=1 (х + пё - Ь) + (у - пк) У у - пк

-У:

=1 (х - пё + Ь) + (у - пк) у

п

N

а... =4^-1 У

х + пё - Ь

'у..

2п

2

-у-

п=0 (х + пё - Ь) + (у + пк) х - пё + Ь Е х + пё - Ь

N-1

+у-

п=0 (х - пё + Ь) + (у + пк) (х + пё - Ь) + (у - пк)

-У

х - пё + Ь

1 (х - пё + Ь) + (у - пк) у

(18)

В суммах (18) учтено, что в точках А, В, С и Б (рис. 2) может находиться только одна двойникующая дислокация.

У А

двоиник-

изображение

Рис. 2. Схематическое изображение взаимного расположения клиновидного механического нанодвойника, поверхности и двойника-изображения

Результаты расчетов представлены на рис. 3. Принималось: 0 < х < 30, -15 < у < 15 (в мкм); N = 100; ё = 0,15 мкм; к = 0,05 мкм. Для удобства вычислялись безразмерные величины:

(19)

где

а(0 = Ау/Ь.

Здесь

А = А = А = ^

“ уу ^ 2п(1 - V) ’

=

гг 2п(1 -V)’ гх гу 2л'

2

п

Рис. 3а. Распределение у клиновидного нанодвойника, находящегося у поверхности, характеризующего напряжения параметра п ^

Рис. 3б. Распределение у клиновидного нанодвойника, находящегося у поверхности, характеризующего напряжения параметра п

у, мкм

91,54

-91,54

0 7,5 15 22,5 х, мкм

Рис. 3в. Распределение у клиновидного нанодвойника, находящегося у поверхности, характеризующего напряжения параметров пи п хг

Рис. 3г. Распределение у клиновидного нанодвойника, находящегося у поверхности, характеризующего напряжения параметра п

Рис. 3д. Распределение у клиновидного нанодвойника, находящегося у поверхности, характеризующего напряжения параметра п у1 (качественный эквивалент а^.)

Из рис. 3 видно, что максимальные напряжения локализованы на двойниковых границах. Нормальные напряжения ахх знакопеременны относительно оси ОХ

(рис. 3а). Данные напряжения также знакопеременны и относительно двойниковых границ. У границы двойника напряжения внутри двойника имеют противоположный знак по отношению к напряжениям с наружной стороны границы клиновидного нанодвойника. При сравнении конфигурации напряжений ау двойников, находящихся у поверхности и вдали от нее, следует отметить, что поверхность на данные напряжения существенного влияния не оказала.

Напряжения ауу знакопеременны не только относительно оси ОХ, границ двойника, но и относительно вершины двойника (рис. 3б). На данные напряжения, как и в предыдущем случае, поверхность существенного влияния не оказывает.

Заметно влияние поверхности на напряжения а гг и а ^ (рис. 3в). В этом случае,

по сравнению с нанодвойником, находящимся вдали от поверхности, напряжения локализуются у двойникующих дислокаций, не компенсируясь дальнодействующи-ми напряжениями. Численное значение этих напряжений на порядок отличается от значений напряжений у нанодвойника вдали от поверхности. Общим в этом случае можно считать то, что у двойника у поверхности и вдали от нее, напряжения а гг и а ^ знакопеременны относительно оси ОХ и вдоль нее равны нулю.

У поверхности также появляются изменения в конфигурации полей скалывающих напряжений аху и ау2 (рис. 3г и 3д). Напряжения аху у клиновидного нанодвойника вдали от поверхности положительны внутри двойника и отрицательны снаружи, в то время как поверхность способствует перераспределению скалывающих напряжений аху таким образом, что они положительны только у вершины двойникового клина. В случае напряжений ауг наблюдается их существенная локализация на двойниковых границах. При этом роль дальнодействующих напряжений ауг

в общей картине напряжений снижается.

Следует отметить, что точность расчетов напряжений по формулам (18) достаточная, так как погрешность не превышает величину не учитываемых остаточных напряжений у пластически деформированной поверхности.

Таким образом, предложен способ расчета полей напряжений у клиновидного нанодвойника, находящегося у поверхности. Разработана дислокационная модель, позволяющая вести расчет напряжений у клиновидного двойника на таком масштабном уровне, когда возможен учет величины расстояния между двойникующими дислокациями. Показано, что поверхность не оказывает существенного влияния на конфигурацию полей нормальных напряжений у клиновидного нанодвойника. Это влияние существенно в случае скалывающих напряжений.

Литература

1. Классен-Неклюдова, М. В. Механическое двойникование кристаллов / М. В. Клас-сен-Неклюдова. - М. : АН СССР, 1960. - 262 с.

2. Полухин, П. И. Физические основы пластической деформации / П. И. Полухин, С. С. Горелик, В. К. Воронцов. - М. : Металлургия, 1982. - 584 с.

3. Остриков, О. М. Форма клиновидных двойников в локально деформируемых ионоимплантированных монокристаллах висмута / О. М. Остриков // Изв. высш. учеб. заведений. Сер. Черная металлургия. - 2006. - № 9. - С. 5-7.

4. Финкель, В. М. Разрушение кристаллов при механическом двойниковании / В. М. Фин-кель, В. А. Федоров, А. П. Королев. - Ростов н/Д, 1990. - 172 с.

5. Остриков, О. М. Исследование механического двойникования монокристаллов сурьмы методом наноиндентирования / О. М. Остриков, С. Н. Дуб // Инженер.-физ. журн. - 2003. - Т. 76, № 1. - С. 170-172.

6. Остриков, О. М. Влияние импульсного электрического тока большой плотности на особенности двойникования монокристаллов висмута / О. М. Остриков // Физика и химия обработки материалов. - 2003. - № 1. - С. 12-15.

7. Остриков, О. М. Особенности зарождения клиновидных двойников у отпечатка пирамиды Виккерса на поверхности (111) монокристаллов висмута / О. М. Остри-ков // Материаловедение. - 2002. - № 1. - С. 17-20.

8. Савенко, В. С. Влияние импульсов тока на двойникование металлических кристаллов : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук / В. С. Савенко. - Минск, 1982. - 16 с.

9. Пинчук, А. И. Влияние электромагнитного поля на пластическую деформацию двой-никованием кристаллов висмута : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук / А. И. Пинчук. - Минск, 1998. - 18 с.

10. Остриков, О. М. Двойникование ионно-имплантированных монокристаллов висмута : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук / О. М. Остриков. - Минск, 1999. - 17 с.

11. Остриков, О. М. Распределение легирующего компонента в полисинтетических двойниках и теоретический прогноз формирования слоистых материалов с использованием явления полисинтетического двойникования / О. М. Остриков // Материалы. Технологии. Инструменты. - 2006. - Т. 11, № 3. - С. 54-56.

12. Остриков, О. М. Дислокационная макроскопическая модель клиновидного двойника / О. М. Остриков // Вестн. Гомел. гос. техн. ун-та им. П. О. Сухого. - 2006. -№ 2. - С. 10-18.

13. Остриков, О. М. Напряженное состояние у вершины клиновидного двойника / О. М. Остриков // Механика твердого тела. - 2004. - № 2. - С. 104-113.

14. Хирт, Дж. Теория дислокаций / Дж. Хирт, И. Лоте. - М. : Атомиздат, 1972. - 600 с.

15. Старовойтов, Э. И. Основы теории упругости, пластичности и вязкоупругости / Э. И. Старовойтов. - Гомель : БелГУТ, 2001. - 344 с.

16. Ландау, Л. Д. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. - М. : Наука,

1987. - 246 с.

Получено 07.02.2012 г.