CC BY
74
УДК 629.7.026
А.Ф. Шмаков, Ю.Б. Евграшин
Пермский государственный технический университет
ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ЗАРЯДА, ПРОЧНО СКРЕПЛЕННОГО ПО НАРУЖНОЙ ПОВЕРХНОСТИ С КОРПУСОМ РДТТ
Рассматривается вероятностная модель напряженно-деформированного состояния (НДС) заряда, прочно скрепленного с корпусом ракетного двигателя на твердом топливе (РДТТ) по внешней поверхности. Построение вероятностной модели для данного типа заряда необходимо, так как влияние разбросов параметров топлива, заряда и камеры сгорания в существующих методиках учитывается только в виде поправок к эквивалентным напряжения. Учет влияния разбросов на начальном этапе расчета НДС заряда позволит повысить точность определения надежности ракетного двигателя. Для построения вероятностной модели напряженно-деформированного состояния заряда, скрепленного с корпусом РДТТ по внешней поверхности, были выведены зависимости коэффициента вариаций компонента напряжений и эквивалентных напряжений от разбросов физико-механических параметров топлива, геометрических параметров заряда, давления в камере сгорания двигателя и температуры окружающей среды и проведено исследование разбросов НДС от указанных факторов.
Ключевые слова: эквивалентные напряжения, напряженно-деформированное состояние, ракетный двигатель, полный импульс, параметр Лоде-Надаи, интенсивность напряжений, главные напряжения, вероятностная модель.
Вероятностные модели дают для исследователя большее количество информации, чем детерминированные. Имея вероятностную модель, т. е. зная параметры распределения, можно определить пределы, в которых будут находиться параметры, и вероятность нахождения параметров в этих пределах. Зная вероятность, мы имеем комплексный критерий при принятии решений по конструкции и можем проводить ее оптимизацию. Для определения математических ожиданий параметров обычно используют детерминированные модели, а для определения дисперсий применяют метод вариаций [1, 2, 3], который заключается в следующем. Дана исходная функция в виде детерминированной зависимости у = /(х1, х2, х3, ...). Данное уравнение в виде вариаций будет иметь вид
5у =
гу_л
д%1 ) X; = Х;„
5х1 +
г¥_л V дх2 )х =Х-
5х„ ,
где 5у и 5х - вариации переменных, т. е. отклонения параметров от некоторого стационарного значения параметра, 5у = у - уст, 5х = хп - хст. Дисперсия параметра будет определяться как
В (Х1) +
гд1_Л дХ2 ) х=Х,
.+
+
В ( Хп ) ■
При выводе всех зависимостей в данной работе распределения всех параметров считаем имеющими нормальный закон, так как именно этот закон наиболее распространен в практике.
Твердое топливо является полимерным материалов, поэтому модуль упругости смесевого твердого топлива существенно зависит от скорости приложения нагрузки и температуры. При длительном воздействии нагрузки проявляются свойства ползучести, и при проведении расчетов НДС заряда необходимо это учитывать. В данной работе НДС определяется при воздействии на заряд температурной нагрузки и давления камеры сгорания, где время приложения нагрузки составляет от нескольих секунд до нескольких суток. Следовательно, свойства ползучести топлива не успевают проявиться и при расчете разбросов НДС.
Для получения аналитических решений дисперсий НДС были сделаны те же допущения, что и для детерминированной модели [4]:
1) будем считать, что топливо работает упруго. Такое упрощение свойств реального топлива возможно при определении напряжений, вызываемых быстро растущим давлением при пуске двигателя и при действии температурной нагрузки;
2) корпус изготовлен из абсолютно жесткого материала, так как величина модуля упругости материала корпуса на несколько порядков превышает величину модуля упругости топлива;
3) особенности крепления торцов заряда учитывать не будем, поэтому цилиндр считается бесконечно длинным, т. е. рассматривается плосконапряженное состояния заряда.
2
2
2
В данной работе необходимо определить величины дисперсий напряжений и деформаций в любых точках заряда. Определим факторы, которые будут влиять на величины дисперсий выходных параметров. В первую очередь это будет величина модуля топлива. Этот параметр будет иметь, по всей вероятности, определяющее значение, так как отклонения его от номинала будут наибольшими по сравнению с другими параметрами. Далее необходимо учесть изменчивость коэффициента Пуассона топлива, геометрических размеров заряда (М - квадрат отношения внешнего радиуса заряда к радиусу канал), отклонения давления в камере сгорания и температуры топлива от номинальных значений.
В практике разработки РДТТ традиционно применяют заряд, скрепленный с корпусом по наружной поверхности. Однако в существующих методиках расчета напряженно-деформированного состояния такого заряда учет разбросов параметров происходит в форме поправок к эквивалентным напряжениям [4]. Данный подход является приближенным, так как не учитываются отклонения исходных параметров (внутреннего давления в камере сгорания, температуры и физико-механических параметров топлива и т. д.) от их математических ожиданий.
Для определения вариаций применены следующие зависимости [4]:
на канале заряда
а Р = Р,
<=Р
М2 +1 М2 -1
(1)
Р 2цР
=
Р
а г =
а© =
Р
а г =
М2 -1 Р
2М2 (1 - ц)
1 + М2 (1 - 2ц)
2 (1 - ц)
М2 - 11 + М2 (1 - 2ц)
2Р
М2 -1
2цР
М2 -1
1 (1 - ц)(
-ц)(М2 -1
1 + М2 (1 - 2ц)
2М2 (1 - ц)
1 + М2 (1 - 2ц)
1
на канале заряда
аг - О,
ЕАаАТ 2
°© = , „2^ - ,2М >
1 + М2 (1 - 2ц)'
ЕАаАТ
1 + М2 (1 -2ц)
М2 +1
ЕАаАТ
М2 -1
1 + М2 (1 - 2ц)
ЕАаАТ г 2
в~, . ^ . Ч [М + 1
=
1 + М2 (1 - 2ц) ЕАаАТ 1 + М2 (1 - 2ц)
[ М2 +1
(4)
Используя детерминированные зависимости, получим выражения для вариаций компонент напряжений и эквивалентных напряжений от вариаций внутреннего давления камеры сгорания(иР ), коэффициента Пуассона (иц) и модуля упругости топлива (ид), геометрических параметров заряда (иМ). В формулах (5) и (6) представлены зависимости вариаций компонент напряжений при действии внутреннего давления камеры сгорания на канале и внешней поверхности заряда, (7) и (8) -при действии температурной нагрузки на канале и внешней поверхности заряда соответственно:
и Р = иР,
22 и р и р +
4
22 и р ир +
}М2’
(1 + М2 (1 - 2ц))
(М2 +1) и2 +М4 (2ц -1)2 иМ2
(5)
Г
2
1
г
2 2 и р иР +
°г
22 и р и п +
22 и р и п +
Тц
и2 +-
4М 4
(1 -цЛ (м2 -1)2
1 --
т
М2 -1
и2 2 ,
М2 5
т
М2 -1
(ц -1)( 2 - ц (М2 +1))
2 МН и2 +--------------
ц / о \ 2
(М2 -1)
1-
2 (ц -1)
2 - ц (М2 +1)
т
М2
Р иР
- Л+, ,2
(1+ М2 (1 - 2ц))
(М2 +1)" иц +М4 (2ц -1)2 и2
(6)
< - иЕ + иАТ + иАа +
и2 — и2 + и2 + и2 +
иа7 иЕ + иАТ + иАа +
2М 2ц
1 + М2 (1 - 2ц)
2М ц
1 + М2 (1 - 2ц)
и2 +
иц +
1 + М2 (1 - 2ц)
и2 2 ■/2
М2 5
2М2ц
(М2 +1)(1+М2 (1 -2ц))
и2 2
2
(7)
М2
и2 — и2 + и2 + и2 +
иог иЕ ' иАТ ' иАа '
и2 = и2 + и2 + и2 + ио@ иЕ + иАТ + иАа +
1 + М2 (1 - 2ц)
2М2ц
1 + М2 (1 - 2ц)
2М2ц
1 + М2 (1 - 2ц)
иц+
и2 +
иц +
2М2 (ц -1)
(М2 - 1)(1 + М2 (1 - 2ц))
___________2М 2ц______________
(М2 +1)(1 + М2 (1 - 2ц))
___________2М 2ц______________
(М2 +1)(1 + М2 (1 - 2ц))
и12, (8)
(1 -ц)(М2 -1) где Т — ---^-----1.
1 + М2 (1 - 2ц)
Следующим этапом построения вероятностной модели напряженно-деформированного состояния заряда является вывод зависимостей вариаций эквивалентных напряжений в зависимости от вариаций компонент напряжений. Расчет эквивалентных напряжений состоит из нескольких шагов, поэтому для каждого шага необходимо вывести вариации. Ниже приводим коэффициенты вариация для каждого шага. На первом шаге получим вариации основных напряжений:
2
2
2
2
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
5а' _ 5а0
а а6 5а''
1
а'' а'' (2а'' - о - аг )1
5а''' _ 1
а''' а''' ( 2а''' + а г + а г)
[(а'' - аг) 5аг + (а'' - аг) 5аг + 2тг5т
(9)
[(а''' + а ) 5а + (а''' + а ) 5а - 2т 5т
[ V г / г \ г } г гг
Вариации главных напряжений (9) необходимо сопоставить с вариациями основных напряжений, исходя из условия а1>а2>а3.
Далее выведем вариации шарового тензора (10), параметра Лоде-Надаи (11), интенсивности напряжений (12) и коэффициента к (13):
5а„ а 5а, а. 5а, а, 5а,
____0 _ 1_______1 + 2_____2 + 3_____3_
ао 3ао а1 3ао а 2 3ао аз
5ца _ а1 2 (а3 а2 )
5а
- +
5а
ца ца (а3 - а1 )(а3 - 2а2+ а, ) а,
| а2 2 5а2 а3 2 (а2 - а) 5^
ца а1 - а3 а2 ца (а3 - а1 )’ а3
Т1 (2а1 - а2 - а3 ) 5а^ а2 (2а2 - а3 - а1 ) 5а2
(1о)
(11)
аа
+
а
а
а3 (2а3 - а2 - а1) 5а3
а
3 )
5к'
к ц (ц а - 3)(ц! + 3) ц а
3 (ц а +1) 5ц а + -
а„
а
(12)
(13)
Вариации эквивалентных напряжений, используя (1о)-(13), будут иметь следующий вид (14):
5а
2
экв
а
1 5к'
а
к' + 1 к'
ао < о
5ао а,к'2 + (2к' + е,)(а,е, +Ь,) 5к' а о (к' + е,)(а,к' + а,е, +Ь*) к'
(14)
Коэффициент вариации для эквивалентных напряжений будет иметь вид (15):
1
2
2
2
По полученным зависимостям необходимо провести расчет коэффициентов вариаций компонент напряжений и эквивалентных напряжений. Расчет проводился для канала и для контакта заряда с корпусом. При проведении расчетов использовались следующие исходные данные:
• номинальные значения:
внутреннее давление камеры сгорания Ркс=(5,5.6,5) МПа; температура окружающей среды: Т = (-50, 20, 50) °С; коэффициент Пуассона ц = = 0,492; 0,494; 0,496; модуль упругости Е = (20.53) МПа; М = 9.14;
• коэффициенты вариаций:
внутреннее давление камеры сгорания цркс=(1...3)%; коэффициент Пуассона = (0,01.0,03) %; модуль упругости ье = (5.15) %; Ьм2 = (0,04-0,06) %.
На рис. 1 приведены результаты расчета коэффициентов вариаций эквивалентных напряжений от коэффициентов вариаций внутреннего давления камеры сгорания на канале заряда. Из графика видно, что коэффициент вариации эквивалентных напряжений зависит от коэффициента вариации давления в камере сгорания линейно. При увеличении внутреннего давления камеры сгорания на 1.3 % эквивалентные напряжения увеличиваются 1.3 %. Расчеты при различных номинальных значениях физико-химических параметров топлива и размерах заряда показали, что они не оказывают значительного влияния на отклонения эквивалентных напряжений при изменении давления в камере сгорания. Также не оказывают влияния и номинальные значения давления в камере сгорания.
Зависимость коэффициента вариации эквивалентных напряжений от разбросов коэффициента Пуассона приведена на рис. 2. При увеличении разброса коэффициента Пуассона на 0,01.0,03 % разбросы эквивалентных напряжений увеличиваются на 1.2 %. На коэффициент вариации эквивалентных напряжений также оказывают влияние номинальные значения коэффициента Пуассона и геометрические парамет-
ры заряда. Зависимости коэффициента вариации эквивалентных напряжений от разброса коэффициента Пуассона на канале и на внешней поверхности заряда совпадают.
Рис. 1. Зависимость коэффициентов вариации эквивалентных напряжений на канале заряда от коэффициента вариации давления в камере сгорания
Рис. 2. Зависимость коэффициентов вариации эквивалентных напряжений на канале заряда от коэффициента вариации коэффициента Пуассона: 1 - М2 = 9; 2 - М2=11; 3 - М2=14
Далее были проведены исследования зависимости коэффициента вариации эквивалентных напряжений от коэффициента вариации М2. Результаты расчета приведены на рис. 3. Из графика видно, что коэффициент вариации эквивалентных напряжений не зависит от коэффициента вариации размеров заряда. Зависимость наблюдается от изменения номинального значения М2, т. е. от размеров заряда. При увеличении номинального значения М2 на 35...40 % вариации эквивалентных напряжений увеличиваются на 0,3...0,5 %. На вариации эквивалентных напряжений оказывает влияние номинальное значение коэффициента Пуассона: увеличение коэффициента Пуассона на 0,7...0,9 % ведет к увеличению вариаций эквивалентных напряжений на 0,08.1 %. На внешней поверхности заряда зависимость коэффициента вариаций эквивалентных вариаций увеличивается на 1,2.1,4 %.
Рис. 3. Зависимость коэффициента вариации эквивалентных напряжений на канале заряда от коэффициента вариаций М2:
1 - М=9; 2 - М2=11; 3 - М2=14
Из рис. 4 видно, что при действии температурной нагрузки наибольшее влияние на коэффициент вариации эквивалентных напряжений оказывают разбросы модуля упругости. С увеличением коэффициента вариации модуля упругости до 15 % коэффициент вариации эквивалентных напряжений также увеличиваются до 15 %. Характер зависимости линейный. Номинальные значения модуля упругости, ко-
эффициента Пуассона, геометрических параметров заряда и температуры окружающей среды значительного влияния не оказывают.
Рис. 4. Зависимость коэффициента вариации эквивалентных напряжений
на канале заряда от коэффициента вариации модуля упругости топлива при действии температурной нагрузки -50 °С
Расчеты изменения коэффициента вариации эквивалентных напряжений от вариаций коэффициента Пуассона и геометрических параметров показали, что зависимости нет. Также при изменении вариаций коэффициента Пуассона и параметра М номинальные значения физико-механических и геометрических параметров заряда и температура окружающей среды не оказывают значительного влияния.
Выводы:
1. Разработана вероятностная модель напряженно-деформированного состояния заряда, прочно скрепленного с корпусом ракетного двигателя по внешней поверхности;
2. При действии внутреннего давления камеры сгорания наибольшее влияние на коэффициенты вариации компонент напряжений и эквивалентных напряжений оказывают коэффициенты вариации внутреннего давления камеры сгорания и номинальные значения физикомеханических параметров топлива и размеров заряда.
3. При действии температурной нагрузки наибольшее влияние на коэффициенты вариации компонент напряжений и эквивалентных напряжений оказывают коэффициенты вариации модуля упругости топлива.
Библиографический список
1. Вентцель Е.С., Овчаров Л. А. Теория вероятностей и ее инженерные приложения: учеб. пособие для студ. втузов. - М.: Академия, 2003. - 464 с.
2. Евграшин Ю.Б. Основы теории надежности РДТТ. Параметрическая надежность: учеб. пособие..- Пермь: Изд-во Перм. гос. техн. унта, 2007. - 197 с.
3. Соркин Р.Е. Теория внутрикамерных процессов в ракетных системах на твердом топливе. - М.: Наука, 1983. - 288 с.
4. Фахрутдинов И.Х., Котельников А.В. Конструкция и проектирование ракетных двигателей твердого топлива: учебник для машиностроительных вузов. - М.: Машиностроение, 1987. - 328 с.
Получено 6.12.2010
