Вероятностная формализация процессов обработки каботажных судов на контейнерных терминалах Текст научной статьи по специальности «Математика»

¡Выпуск 1

введением данного стандарта будет являться использование нескольких антенн для передачи и приема сигналов MIMO (multiple-input/multiple-output). В этом случае скорость приема информации будет составлять до 300 Мбит/с. Так называемый Mobile WiMAX Release 2.0 обеспечивает полную обратную совместимость с решениями Mobile WiMAX

Release 1.0 (802.16e). Это позволит без каких-либо крупных затрат в дальнейшем перейти на него.

В идеале мы получим водные пути, погруженные в беспроводной широкополосный канал связи. И чем надежнее, безопаснее и быстрее будет связь, тем больше возможностей для ее применения будет появляться.

Список литературы

1. Вишневский В. М. Широкополосные беспроводные сети передачи информации. — М.: Техносфера, 2005. — 592 с.

2. Гейер Джим. Беспроводные сети. Первый шаг: Пер. с англ. — М.: Издательский дом «Вильяме», 2005. — 192 с.

3. Гепко И. А., Москаленко А. А., Бондаренко А. В. Возможности обеспечения информационной безопасности в стандартах сотовой связи 2-го и 3-го поколений // Зв’язок. — 2006. — № 5. — С. 29-33.

4. Сюваткин В. С., Есипенко В. И. WiMAX-технология беспроводной связи: теоретические основы, стандарты, применение. СПБ.: БХВ-Петербург, 2005. — 356 с.

5. http://standards.ieee .org/regauth/groupmac/tutorial .html

6. http://www.wimaxforum.ru/technology/

УДК 656.025.4/6 Ю. Я. Зубарев,

д-р техн. наук, профессор, СПГУВК;

А. С. Гайнуллин,

аспирант,

СПГУВК

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ФОРМАЛИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ ОБРАБОТКИ КАБОТАЖНЫХ СУДОВ НА КОНТЕЙНЕРНЫХ ТЕРМИНАЛАХ

PROBABILISTIC FORMALIZATION OF COASTERS HANDLING PROCESSES

ON LINE TERMINALS

Рассматривается вероятностная формализация процессов обработки каботажных судов. В отличие от общепринятого допущения о показательном законе распределения времени цикла и его отдельных фаз, предполагается, что вероятность нахождения судна в каждой фазе пропорциональна математическому ожиданию длительности этой фазы.

Probabilistic formalization of coasters handling processes is considered. As distinct from common assumption about the model law of time allocation of the cycle and its phases, it is proposed that the possibility of the ship whereabout in every phase is proportional to the average of distribution of this phase duration.

Ключевые слова: контейнерная перевозка грузов, обработка каботажных судов, вероятностные модели.

Key words: container cargo transportation, coasters handling, probabilistic models.

КАБОТАЖНЫЕ перевозки являются наиболее удобным и экономичным способом транспортировки грузов. Основным транспортным узлом в контейнерных перевозках является специализированный терминал, неотъемлемой частью которого являются каналы переработки грузов, представляющие собой морские причалы.

Перевозки контейнерных грузов можно рассматривать как последовательность циклических операций, где каждое судно перевозит груз от одного порта к другому, а затем возвращается и повторяет операцию. В настоящее время для расчета характеристик процессов переработки каботажных грузов в большинстве случаев используются детерминированные методы, в основу которых положено допущение о регулярном приходе судов в порт.

Однако детерминированные методы не отражают специфику функционирования контейнерных терминалов, предназначенных для переработки каботажных грузов. В действительности моменты прихода судов в порты представляют собой нерегулярные потоки событий. Впервые задача вероятностного моделирования процессов переработки каботажных грузов была сформулирована и решена А. Тюкавиным [2], который учитывал общепринятые допущения о показательном законе распределения времени цикла и его отдельных составляющих. Это позволило использовать для определения процессов аппарат марковских случайных процессов и представить модель процесса в виде модели замкнутой системы массового обслуживания. Однако проведенные расчеты показали, что такое допущение приводит к некоторому увеличению среднего времени ожидания судов в очереди. Поэтому в настоящей работе авторы отказываются от указанного допущения.

Рассмотрим наиболее простой случай, когда m судов осуществляют перевозку грузов между двумя автономными терминалами. Предполагается, что суда обладают одинаковыми характеристиками, т. е. одинаковой кон-

тейнеровместимостью и одинаковой средней скоростью движения. Таким образом, математические ожидания времени движения судов по маршруту в прямом и обратном направлениях Т^ и Т и математические ожидания времени обработки и времени ожидания в очереди 7ож для всех судов одинаковы.

Рассмотрим движение одного судна в прямом и обратном направлениях. Время цикла операции Т является случайной величиной. Однако известно математическое ожидание времени цикла, равное сумме математических ожиданий отдельных составляющих ЗД» товрХ> тобр1, Т0Ж\ И Тож 2- При этом первые четыре слагаемых считаются известными, а два последних определяются методом последовательных приближений.

Рассмотрим ось времени от 0 до Т, соответствующую одной циклической операции. Будем считать, что по прошествии некоторого времени от начала навигации, примерно равного 3-5 Т положение судна в любой момент времени на оси будет случайным и одинаково вероятным в любой точки оси времени. Таким образом, плотность распределения случайного положения судна на оси времени будет постоянной, а координаты судна на этой оси будут подчиняться равномерному закону распределения. В этом случае можно легко показать, что вероятность пребывания судна в одной из фаз циклической операции или нескольких фаз пропорциональна математическому ожиданию времени пребывания судна в этих фазах, т. е.

Т -\-Т Й

р __ ож оор (1)

£ ГГ! 5 ' '

ч

где р — вероятности пребывания судна на терминале, т. е. вероятность нахождения судна либо в очереди, либо в обработке.

При рассмотрении движения т однотипных судов целесообразно воспользоваться частной теоремой о повторении опытов [1].

Действительно, движение каждого из т судов по маршруту в обоих направлениях можно считать независимыми друг от друга. Время обработки каждого судна в порту

Выпуск 1,

|Выпуск 1

также не зависит от числа обрабатываемых судов. Однако при т > S, что имеет место в подавляющем большинстве практических случаев, в терминале может возникнуть очередь. В то же время учет взаимного влияния судов в терминале может быть осуществлен путем введения среднего времени ожидания судна в очереди.

Определив вероятности отдельных состояний контейнерного терминала, можно на основе Байесова подхода вычислить среднее значение времени ожидания, соответствующее определенным значениям числа судов т и числа причалов S исследуемого терминала. Тогда, рассматривая достаточно большой период времени и учитывая среднее время ожидания, можно считать, что движения отдельных судов по прямому и обратному маршрутам не связаны между собой, т. е. вероятность того, что одно из судов находится в терминале, не зависит от того, где находятся остальные суда. Таким образом, определение среднего времени ожидания судна в очереди и учета этого времени при вычислении вероятности нахождения судна в терминале позволяет использовать при определении вероятностных характеристик процессов обработки однотипных каботажных грузов частную теорему о повторении опытов [1]. Движение отдельных судов можно считать повторным проведением т независимых испытаний, в каждом из которых судно может оказаться в терминале (событие А) с одной и той же вероятностью Р определяемой выражением (1). Соответственно, вероятность того, что судно находится в других фазах циклической операции (непоявление события А), равно д Требуется найти вероятность Рп того, что в терминале будет п судов, т. е. событие А в этих т опытах появится ровно п раз.

Можно показать, что вероятность нахождения п судов в терминале соответствует членам разложения бинома Ньютона в степени, равной числу каботажных судов. Соответственно:

(л +ЧгТ= Р" + 'Ч’Г'«! + С V" V' +... + + С>-<Г' +...+£.

Таким образом, вероятность того, что в терминале может оказаться п судов из т, мо-

жет определяться по выражению общего члена выражения бинома Ньютона:

Г) п _ т—п

Рп=СтР^Ъ ='

т\

„л ^/п п -р*<& .

п\(пг -и)! ± (2)

Поэтому указанное распределение вероятностей называется биномиальным. Расчет вероятностей Рп по выражению (2) для больших т может привести к существенным погрешностям, связанным с операциями над очень большими (т!; п!; (т - п)!) числами. Для повышения точности расчетов целесообразно пользоваться рекуррентными соотношениями вида

„ „ тп-п рт ...

рп+1=р„—-—. (3)

п +1 ^

Среднее число судов в определенной фазе операции, например суммарное число судов на терминале, определяется выражением — _т -с!т=^пртп=^пспт =

П=\

Й=1

т П

=«^.

1Г,т

(4)

Среднее число судов в очереди на обработку определяется выражением

(п -й)Рп при п > Б

при п < Б

(5)

О

Для определения средних времен ожидания судов в очереди и пребывания в перегрузочном терминале необходимо знать результирующую интенсивность прихода судов X, которая может быть представлена в виде

Х = к'(т-с11), (6)

где: X' — интенсивность прихода в терминал каждого судна, т-(1ъ — среднее число судов, находящихся вне терминала.

Рассмотрим два частных случая функционирования контейнерных терминалов. В первом будем считать, что обработка судов на причалах обоих терминалов осуществляется с одинаковой интенсивностью, т. е. Т1обр — Т2обр , а число причалов у обоих терминалов одинаково. Тогда г = г и среднее время цикла определяется выражением

Т = Т. + Т. + 27” + 2Т, (7)

Ц 1р. 2\Х ОЖ ООр' \ /

Соответственно, частоты прихода судов к терминалам равны между собой, т. е. X = Х2 = X. В этом случае интенсивность прихода судов к терминалам будет определяться:

Х=\=х2 = ---------Г^Ь---------. (8)

Т\м + ^2м + Тож + То6р

Будем считать, что терминалы содержат 8 причалов, тогда среднее время пребывания судна в очереди определяется выражением

Т - — -

ОЖ -

X Г(т-^). (9)

Среднее время пребывания судна в терминале:

т ___ _____

1Ъ ~ —

- —г. (10)

X X '(тп —с1

Сложность расчетов вероятностных характеристик по выражениям (8)-(10) заключается в том, что известны средние значения времен движения каботажного судна по маршруту в прямом и обратном направлении, а также значения времен обработки судов на терминалах. Однако не известны значения среднего времени ожидания судна в очереди на терминалах, а следовательно, и среднее общее время циклической операции Т. Поэтому указанные значения определяются методом последовательных приближений. На первой итерации значения для обоих терминалов берутся равными нулю, а значения — Тобр. Тогда на основе (8)-(10) в первом приближении определяются вероятностные характеристики процесса переработки каботажных грузов. В следующей итерации Тож берутся из выражения (9) и пересчитываются значения Т и Т Итерационные расчеты продолжаются до тех пор, пока значение Т п-й итерации не будет равно Т + Т, .

* ож обр

Более сложным является второй случай, когда характеристики перегрузочных терминалов отличаются друг от друга. Они могут отличаться как числом причалов (81 Ф 82), так и временем переработки контейнерных гру-

зов (Тобр1 Ф Тобр2). Тогда все вероятностные характеристики каждого из терминалов будут отличаться друг от друга.

В результате получим вероятности нахождения каждого судна в первом и втором терминалах:

т +т т +т

р ___ аж! обр\ р _______ ож2____обр! (11)

2 1 ГГ! 5 Е2 гр

ц Ч

При этом время цикла Тц определяется выражением (7).

Соответственно, выражения для интенсивностей прихода каждого судна в первый и второй терминалы примут вид:

х _ _ _т~^ _ ;

1 Т + Т Л-Т Л-Т 1 ^ 1м2^1обр2 ^

м\

ож2

X т-с1.

12

Т ,+Т . +Тк ,+Т .

м 1 м2 обр 1 ож\

(12)

Аналогичным образом на основе выражений (2), (5) определяются значения

^1,2 > ^1> ^2> ^Е1» Т0Ж1 И Т'ожЪ

Далее указанные характеристики определяются методами последовательных приближений. Как и в первом случае, на первой итерации значения Т и Т берутся равными

ож1 ож2

нулю, а значения вероятностных характеристик каждого терминала рассчитываются независимо друг от друга. Полученные в результате расчетов на первой итерации значения Тож1 и Тож2 подставляются в выражение суммарного времени цикла и выражения (11) вероятностей нахождения каждого судна в первом и втором терминалах. Эти результаты подставляются в исходные данные для второй итерации. Аналогичные итерационные расчеты, как и ранее, продолжаются до тех пор, пока не будет рав-

но Т л + Т и Т равна Т 2 + Т

ож1 обр1 ож2 обр2

На основе вышеприведенных выражений были определены оптимальные характеристики автономного контейнерного терминала ГМК «Норильский Никель» в морском порту Мурманска.

Список литературы

1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Издательский центр «Академия», 2005. — 576 с.

2. ЗубаревЮ. Я., Тюкавин А. М. Оптимизация процессов переработки каботажных грузов. — СПб.: Политехника, 2009. — 168 с.

Выпуск 1,