Вероятностная алгоритмизация задач оптимального параметрического синтеза элементов ЖРД Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.3

ВЕРОЯТНОСТНАЯ АЛГОРИТМИЗАЦИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО ПАРАМЕТРИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ЭЛЕМЕНТОВ ЖРД С.Ю. Белецкая, О.Г. Яскевич, Е.М. Ильин

Рассматриваются задачи параметрического синтеза элементов ЖРД. Для их решения предлагаются адаптивные алгоритмы поисковой оптимизации, построенные на основе рандомизированного подхода

Ключевые слова: жидкостный ракетный двигатель, параметрический синтез, рандомизация, адаптивные поисковые алгоритмы

При проектировании жидкостных ракетных двигателей (ЖРД) и управлении испытаниями возникает комплекс задач параметрического синтеза, связанных с определением оптимальных параметров основных элементов двигателя. ЖРД как сложная техническая система имеет иерархическую структуру и включает большое число взаимодействующих подсистем, агрегатов и сборочных единиц [1]. Поэтому задачи оптимального параметрического синтеза элементов ЖРД отличаются разнообразием постановок, высокой размерностью, множественностью технико-экономических требований к основным характеристикам. Обобщенно задачи данного класса могут быть сформулированы в виде [1,2]:

fi(X) ® min , i = 1,m

X eD

D = {X | xmin < xj < xtmax, j = 1"П; gp(X) ^ 0, hk(X) = 0, p = Is, k = \q} ()

Здесь X = (x1, ■■■Xn) - вектор варьируемых параметров проектируемого элемента ЖРД; fi(X) - частные критерии оптимальности (показатели качества объекта проектирования); D - до-

пустимая область, представленная ограничениями

^min ^ „max ,

двух видов: прямыми Xj < Xj < Xj и функциональными gp(X) < 0, hk(X) = 0.

Алгоритмизация процедур параметрического синтеза элементов ЖРД предполагает выделение в задаче (1) инвариантной подзадачи скалярной без-

n

условной минимизации в пространстве R :

f(X1 ,..;Xn) ^ min . (2)

Rn

Особенностью задач оптимального проектирования сложных подсистем и агрегатов ЖРД (эле-

Белецкая Светлана Юрьевна - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (473) 243-77-04

Яскевич Ольга Георгиевна - ВГТУ, канд. техн. наук, доцент, тел. (473) 243-77-04

Ильин Евгений Михайлович - ВГТУ, аспирант, тел. (473) 243-77-04

ментов топливной системы, системы охлаждения, агрегатов управления и регулирования) является трудность адекватного описания таких объектов с помощью аналитических моделей. Основные подсистемы ЖРД характеризуются сложностью взаимосвязей между элементами, многообразием и динамичностью гидро- и газодинамических процессов в основных агрегатах, наличием многочисленных случайных воздействий. Это осложняет представление критериев оптимальности в аналитической форме и приводит к применению оптимизационных моделей, в которых значения показателей качества определяются с помощью различных моделирующих алгоритмов. Неполнота априорного математического описания таких моделей снижает эффективность стандартных поисковых алгоритмов оптимального выбора для решения задач данного класса.

Для алгоритмизации задач оптимального параметрического синтеза элементов ЖРД предлагается использовать адаптивные алгоритмические процедуры поискового типа [3,4]. В основе их построения лежит вероятностная переформулировка (рандомизация) задачи и переход к осредненному критерию оптимальности:

Г(Х) = М[/(Х)] ® тт , (3)

{X}

где М - математическое ожидание. При этом множество возможных решений X расширяется до множества случайных векторов {X}.

В множестве случайных векторов формируются итерационные процедуры следующего вида:

Xм+1 = Xм + амУм, (4)

где N — номер итерации; Ум - случайный вектор, задающий направление движения и статистически

связанный с X ; ам — шаг в данном направлении.

Дальнейшая алгоритмизация основана на интерпретации процедуры (4) с применением вероятностных характеристик случайных векторов. При этом необходимо обеспечить выполнение условия убывания целевого функционала ¥(X) на каждой итерации:

F(XN+1) < ¥(Xм ).

Наиболее удобной для алгоритмизации является перезапись движения (4) в терминах математического ожидания:

М[Xм+1 ] = М[Xм ] + амМ[Ум ] . (5)

Учитывая статистическую зависимость Xм и Ум и используя формулу полного математического ожидания, М[Ум ] можно представить в виде:

М[Ум ] = М м{М[Ум IXм ]} .

X

Переход к рандомизированной постановке задачи приводит к необходимости использования в ходе оптимизационного процесса не отдельных локальных направлений поиска в точке, а векторного поля направлений. Обозначим

M[УN\XN = х] = ум (х), где ум (х) имеет смысл функции регрессии. Таким образом, направление поиска на каждой итерации определяется векторным полем ум (х) . Для его определения в [3] используется разложение в достаточно общих предположениях вектор-функции у(х), х е Яп на потенциальную и бездивергентную составляющие:

у(х) =Уф(х) + Ж(х), йпЖ(х) = 0.

Таким образом, с точностью до бездивергент-ной составляющей движение на каждом шаге оптимизационного процесса ориентировано в направлении градиента потенциальной функции (р(х). При этом (р(х) можно рассматривать как замену исходной целевой функции в процессе поиска оптимального проектного решения. В результате формируются оптимизационные процедуры градиентного типа по отношению к потенциальной функции (р(х). Согласно [3,4], градиент потенциальной функции (р(х) может быть определен следующим образом:

VjN(x) = MUN

Y[/(UN) — CN](XN —UN)

oX — UN

(б)

где wn - площадь поверхности единичной сферы в

\т N т т N ^

пространстве; X , U - случайные векторы;

Cn = const; Y(t) - функция, удовлетворяющая

условиям: Y(t) ■ t > 0 "t Ф 0; Y(0) = 0. При

этом параметр Cn выбирается в соответствии с

условием [3]:

j Y[ f(X) - Cn ]Pun (X)dX = 0 , (7)

Rn

где P^N (x) - плотность распределения случайного

T jN

вектора U .

Запись (6) открывает возможности оценки градиента потенциальной функции по реализациям

случайных векторов с использованием текущей статистической информации. Таким образом, направление поиска V (р(х) на каждом шаге определяется на основе статистической обработки наблюдений, накопление которых совмещается с итерационным процессом поиска.

Учитывая представление градиента в виде (6), итерационную процедуру (5) можно переписать следующим образом:

mN+1 = mN +aN ■ M nM n x

X U

x

Y(/(UN ) — Cn)_(xn — UN)

On

X

N

U

N

(В)

где тм = M[XN ] . В итерационной процедуре (8) не используются дифференциальные характеристики целевой функции. Это позволяет использовать процедуры данного типа при работе со сложными алгоритмическими моделями ЖРД, характеризующимися низким уровнем формализации.

В работе [4] показано, что рассматриваемые адаптивные алгоритмы поисковой оптимизации имеют нелокальный характер. Доказываются теоремы о выходе итерационного процесса из зон локальных экстремумов и о сходимости в заданную область.

Процедура (8) является обобщенной и служит основой для построения различные алгоритмов поискового типа, использующих только значения критерия оптимальности. При этом вариант алгоритмический схемы зависит от способов получения реализаций случайных векторов X и и, выбора функции Y(t), вариантов определения константы

См , а также стратегий статистической оценки математического ожидания.

В работах [3,4] показано, что если использо-

т 7-м

вать одну реализацию вектора и , а в качестве

реализации вектора Xм выбрать его математиче-

N „ „

ское ожидание т , можно перейти к следующей

схеме [4,5]:

mN+1 = mN + aN

Y(/(uN)-CN)(mN -uN)

(Or

mN —uN

(9)

N у.1 т т N

где и - реализация случайного вектора и .

Процедура (9) является адаптивным расширением классического метода переменного многогранника. При этом в качестве вершин многогранника рассматриваются реализации случайных векторов а в качестве центра тяжести многогранника -перестраиваемое математическое ожидание. Параметр См рассматривается как средний уровень целевой функции, использующийся для анализа текущей информации. При этом в зависимости от значе-

ния уровня См реализации случайных векторов можно разделить на две группы:

Ор : /(им,‘) < см - перспективная группа реализаций; Оу : /(им,‘) > см - неперспективная группа.

Границы перспективной и неперспективной групп О р, О у меняются в процессе поиска на основе анализа текущей информации.

Определим функцию Y(t) в итерационной процедуре (9) двумя способами [4,5]:

1. Y(t) = t (линейная функция). При этом итерационная процедура (9) примет вид:

mN+1 = mN +aN

(f(uN) - CN) (mN - UN)

mN -uN

Для выбора уровня См используется условие (8). При Y(t) = t в соответствии с (8) получим:

См = | У(х)Рим (х)дх = М[/(им ].

яп

Таким образом, при линейности функции ¥(t) в качестве уровня См выбирается математи-

“ т тм

ческое ожидание случайного вектора и .

2. ¥(t) = з\^п(t) (знаковая функция). Тогда процедуру (10) можно записать следующим обра-

Разделение реализаций на группы в зависимости от значения уровня См позволяет использовать различные стратегии поиска в перспективной и неперспективной областях. Если ) = sign(t), то

используется только знаковая информация о перспективности реализаций. При ^ (^ = t учитывается

значение разности (у (им) — См), что позволяет выбирать направление поиска с учетом степени перспективности реализации.

Могут быть предложены и другие стратегии реализации различных этапов обобщенной вычислительной процедуры. Некоторые из них рассмотрены в [4,5]. В результате в рамках единой рандомизированной схемы осуществляется построение библиотеки адаптивных алгоритмов поисковой оптимизации. Такой подход открывает возможности для модульной организации алгоритмического обеспечения параметрического синтеза элементов ЖРД и позволяет на основе комплексирования ограниченного набора взаимозаменяемых модулей осуществлять построение как стандартных, так и новых оптимизационных процедур, использование каждой из которых определяется особенностями решаемой задачи. Это приводит к сокращению вычислительных затрат и времени для получения оптимальных проектных вариантов при параметрическом синтезе элементов ЖРД.

Работа выполнена в рамках государственного контракта №14.В37.21.2105 от 14.11.2012 г.

Литература

N / N N 1 N+1 N. s ■ (m - U )

m = m + aN--------------------------------------

mN -uN

где

sN = sign(f(uN ) - Cn) .

вид:

При Y(t) = sign(t) соотношение (8) имеет

j sign( f (x) - cN)P N(x)dx = 0 и выпол-" и

няется при выборе в качестве уровня Cn медианы

Р(/(им,‘) < См) = р(/(им'‘) > См), где р -вероятность попадания текущей точки поиска в перспективную или неперспективную области.

,Ni

1. Добровольский М.В. Жидкостные ракетные двигатели. Основы проектирования. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. 488 с.

2. Норенков И.П. Основы автоматизированного проектирования. - М.: МГТУ им. Баумана, 2002. 448 с.

3. Каплинский А.И., Пропой А.И. Конструирование

вычислительных алгоритмов нелокального поиска, использующих теорию потенциала. Препринт. - М.:

ВНИИСИ, 1990. 52 с.

4. Каплинский А.И., Руссман И.Б., Умывакин В.М. Моделирование и алгоритмизация слабоформализованных задач выбора наилучших вариантов систем. - Воронеж: Изд-во ВГУ, 1990. 234 с.

5. Львович Я.Е., Белецкая С.Ю. Адаптивные методы оптимального проектирования // Информационные технологии (приложение к журналу). № 7. 2010. 30 с.

Воронежский государственный технический университет

THE STOCHASTIC ALGORITHMIZATION IN LIQUID-PROPELLANT ROCKET ENGINES ELEMENTS OPTIMAL PARAMETRIC SYNTHESIS PROBLEMS S.Yu. Beletskaya, O.G. Yaskevich, E.M. Ilyin

The liquid-propellant rocket engines elements parametric synthesis problems are considered. For solving of this problems the adaptive search engine optimization algorithms, based on randomized approach, are suggested

Key words: liquid-propellant rocket engine, parametric synthesis, randomization, adaptive search engine algorithms

n

R