Научная статья на тему 'Вероятность как сумма полуследов'

Вероятность как сумма полуследов Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
107
9
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Владова Елена Владиславовна

Посвящена проблеме описания мер на логиках проекторов. В терминах полуследов описываются вероятности и меры, постоянные на множестве всех максимальных положительных (отрицательных) проекторов из W U алгебр

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Вероятность как сумма полуследов»

УДК 584.984

Е. В. ВЛАДОВА

ВЕРОЯТНОСТЬ КАК СУММА ПОЛУСЛЕДОВ.

Посвящена проблеме описания мер на логиках проекторов. В терминах полуследов описываются вероятности и меры, постоянные на множестве всех максимальных положительных (отрицательных) проекторов из W U - алгебр.

Введем необходимые определения и обозначения. Пусть Н - комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением (у). Пусть Т еВ(Н). Введем полуторалинейную форму (п.ф.) < f,g>T: = {Tf,g), yf, g е Я. Оператор В" е В(н) назовем сопряженным (Г - сопряженным) к В* е В{Н) относительно п.ф.<у>г, если <Bf,g>T=<f,Blig>T, V/, g е Я . Для унитарного самосопряженного J.J Ф±1 п.ф. < обычно обозначается через [у]у и называется индефинитной метрикой. Пусть всюду ниже U = je'kea (dk) унитарный оператор. Здесь еи : Bs —> П - спектральная

мера на о - алгебре борелевских подмножеств единичной окружности S а С и П - множество всех ортогональных проекторов в Я. Очевидно,

U2 = \ell®(eu(dti)+el!(dQ + 71)). Определим оператор Ju-e+-e~, где [p.Tt)

е+ :- еи ([О, я)) и е+ =/-е+. Будем считать, что центральные носители проекторов е+, е~ равны 7.

Обозначим через минимальную алгебру Неймана, порожденную

оператором U2. Пусть М- алгебра Неймана в Я и U еМ. Алгебра М называется W*U - алгеброй, если М q R'{u2). Последнее эквивалентно включению i?([/2)cMnM'. Заметим, что из включения UeM получаем: BeM=>U'B'UeM. W'U - алгебра М называется W* Р - алгеброй, если, по крайней мерс, один из проекторов е+ или е~ конечен относительно алгебры М . В противиом случае алгебру М назовем W* К - алгеброй.

Обозначим через Ри множество проекторов {реМ:р~=р, (рх,у)и =(х,ру)и Vx,yeH). Множество Ри есть квантовая логика. Проектор называется положительным (отрицательным), если [pz.pzjj > О, Vz € H([pz, pz]Ja < 0, Vz е ЯJ. Пусть P[J+ [РА J - множество всех положитель-

п Грант E00-1.0-I72 Министерства образования РФ.

ных (отрицательных) проекторов из Ри. Для любого р е Ри найдутся проекторы р± е Р{ такие, что р = р+ + р_. Проектор р е Р,] [р е Р[)) называется максимальным положительным (максимальным отрицательным), если подпространство рН является максимальным положительным (максимальным отрицательным) подпространством. Пусть Р* (р~) - множество всех максимальных положительных (максимальных отрицательных) проекторов в Р( . Воспользовавшись теоремой 4.5, §4 [1], получаем

Ясно, что р е Р* <=> р1 :=р € Р~. Пусть г е Р~. По определению (см. определения 2.1 и 2.2, §2, глава I [1]), оператор Jr = г-гЬ является канонической симметрией относительно канонического разложения где

в: ;= гИ„ II; :=ГХН.

Отображение р: Ри -» R называется зарядом (вещественной мерой), если

' ' 1 -для любого семейства {е1}<2Ру, попарно ортогональных элементов таких, что существует (здесь сумма понимается в сильной операторной топологии). Вещественная мера р : Ри -> R называется индефи-

£ 0, ц/'/Г ¿0:

нитнои мерой, если ' " ' I > и полуследом, если существуют точный нормальный полуконечный след т на М и присоединенный к центру алгебры М оператор Т такой, что: или Р+Т <=Ц(М,х), и тогда р(<?) = х(Те+), Уе Е Ри, или Р~Т е 1,(М,т), и тогда р(е) = х(Те_), Уее Ри.

Ниже для любого р е Ри через е+р (е~, ер) обозначен ортогональный проектор на подпространство е+рН (е рН, рН соответственно).

Отметим, что некоторый вариант следующих теорем был ранее доказан для факторного случая в пространстве с индефинитной метрикой в [3].

Теорема 1. Пусть р.- Ри мера на W*U - алгебре А. Следующие ус-ловия эквивалентны: ^ есть сумма полуследов; и) р. постоянна на множестве всех максимальных положительных (отрицательных) проекторов; ш)

Доказательство. (1)=> (и) . Пусть мера р. есть сумма полуследов. Из оп-14 Вестник УлГТУ 1/2001

ределения полуследа следует, что существуют точные нормальные нолуко-иечные следы т, , /=1,2 на W'U - алгебре А и присоединенные к центру А операторы Т., для которых е+Т{ е L}(A,Т|), еТ2 е L{(A,I2) и, кроме того, Ар)=т{(Т{рА)+т2(Т2р_), реРи. Пусть р е Р*. Тогда: 1) в силу положительности р имеем р_ = 0; 2) всегда имеем р - ер + еррер ; 3) в силу максимальности р имеем

Таким образом,

М1Р) ■■ Й А Ь ■т т, в *,) =

Итак, р = р(е+) на Р*, т.е. р постоянна па множестве всех максимальных положительных проекторов. По аналогии р постоянна па множестве всех максимальных отрицательных проекторов.

(11) г=> (ш). Пусть мера р: Ри ->R постоянна на множестве Р*.

Поскольку " ^' '' то р постоянна и на множестве Р~. Для любого ре

Рц проекторы е+ и е+-е*+р являются максимальными положительными. Следовательно,

-к)+ )=- *;)■ ■ ч+

Таким образом,

По аналогии. >)= ЧГ> еРо

Заметим, что в силу определения максимального проектора., условие iii) элементарно влечет ii).

(111) =>(!)• Доказательство проходит в несколько этапов.

(1) Случай и = у(.-Р+ -Р~) и А = В(Н) (очевидно, тогдаR,{u1j= В(Н) и ет = .Р+, е~ = Р~) доказан М. С. Матвейчуком в [3]. Доказательство мы опускаем.

2) Рассмотрим общий случай и и А. Убедимся вначале, что сужение р на проек-

торы из

1)

есть мера, унитарно инвариант-

', для любого р е Ри : р < е+[р < е ) и любого

унитарного оператора V из А, такого, что а)Пусть теперь А непрерывная алгебра. Найдем проекторы е и / (они автоматически являются ортогональными) такие, что е + f < е+, е~ f. Пусть Уе А некоторая частичная изометрия с начальным проектором е и конечным проектором /. Предположим, что существует частичная изометрия 15 Вестник УлГТУ 1/2001

W е А с начальным проектором е и конечным проектором <е . Мини-

мальная алгебра А(е,!У,У), порожденная операторами е, V, W, есть W 1и фактора 13 (действующий в гильбертовом пространстве (е + £ + WW)// с канонической симметрией Ту = е + £ - WW').

Для любого положительного проектора р е Ри, максимального в А(е. W.V) мы имеем р + е+ -е: е . Поскольку р постоянна на Р*, отсюда следует, что р также постоянна (р(е)+р(/)) на множестве всех максимальных в А(е^,У) положительных проекторов. Из этапа 1) следует " ^О" )-

б)Следовательно, если проектор е+ бесконечен относительно алгебры А, то и(е)=0 для любого проектора е э Ри, е<е+. Поскольку выполнено ш), мы заключаем, что \х/Рц - тождественный нуль. Похожим образом, если проектор е~ является бесконечным, то р / Рц = 0.

в)Теперь пусть проектор е+ является конечным относительно А. Пусть

^ 1 ~ ^ ® " Из непрерывности алгебры А сле-

дует, что существует разбиение е = е, +е2 и£ = £ +£2, где е^А есть проекторы из Ри такие, что е, _Ь и (i = 1,2). Опять по пункту 1), и(е(.) = и(£). Следовательно, и(е)=и(£). Поэтому сужение и на = ^ - & ¡1 инвариантным (т.е.е ~ £ =>и(е) = и(£)).

г)Итак, сужение р на проекторы из '- ^ У,

проекторы из ^ ^ ^ " Р ^ ^ ,1 всегда есть мера унитарно инвариантная.

д)Убедимся, что унитарно инвариантность сужения р влечет выполнение пункта i) теоремы 1. Воспользуемся тем, что всякая унитарно инвариантная мера, заданная на множестве всех ортогональных проекторов алгебры Неймана, продолжается до нормального линейного функционала на всю алгебру.

Пусть р есть продолжение сужения и на £ ^ ' Р ^е .1 до линейного нормального функционала на редуцированную алгебру А +. Отметим, что достаточно рассмотреть случай, когда редуцированная алгебра А>4. конечна. Пусть т - точный нормальный конечный след на А ,. Из теории меры на ортогональных проекторах алгебры Неймана известно, что существует оператор

является унитарно

а по аналогии и на

В силу унитарной инвариантности сужения р, оператор t+ присоединен к центру редуцированной алгебры АА . Воспользовавшись изоморфизмом ф (см. пункт б)), найдем присоединенный к центру алгебры А оператор Т+, та-

кои, что е+Т+ =1+ •

Пусть р э Ри . Обозначим через V частичную изометрию из полярного разло-

Тогда ^

. Поэтому имеем

По аналогии существует оператор Т~, присоединенный к центру алгебры А, для которого * ь Суммируя доказанное, ползаем

Теорема 2. Пусть ^ ' ^

вероятностная мера на РГ*£У - алгебре (тип А отличен от /2). Тогда существует в А ненулевое слагаемое, которое является ^Р - алгеброй, сужение ц на него есть снова вероятность, и ц есть сумма полуследов. Доказательство. Пусть р. - вероятность. Доказательство состоит из нескольких этапов.

1)Случай^ ^ ш ФО и ^ < ж (заметим, что из И = I следует В(Н), доказан и [3]).

2)Пусть теперь А есть непрерывная W*U - алгебра. По аналогии с доказательством теоремы 1 и из этапа 1), мы имеем

е~/=>ц(е)=|х(/), (2)

Где, )

Пусть г е Р*. Тогда А есть непрерывная W*JU - алгебра в Я с гильбертовым произведением ^гу], где Jr :-2г-1. По аналогии со сказанным выше, если

€ ^ ■' ■•" I1" | — 1 )и относительно произведения \|г у], то

а)Предположим, что проектор е+ бесконечен относительно А. Тогда любой р э Р+ бесконечен также. Мы можем представить е+ как

О < ) ™ £ ) = <», ) ^ < оо

Следовательно, р(е+)=0. Отсюда следует, что \х/Р* =0. По теореме 1 (.1 есть сумма полуследов. 17 Вестник УлГТУ 1/2001

Если проектор е' бесконечен относительно А, то рассуждаем аналогично. б^ассмотрим теперь случай, когда или е+, или е— конечны относительно А. Для определенности будем считать, что конечен проектор е*. Пусть г е P*. Воспользовавшись непрерывностью алгебры А, можем записать

г - P + q + g, где p,q,g е Pц и p—q—g в Н с гильбертовым произведением [л^]. Существует разбиение е+ = ер+е + /, где e,f е Pи и ер—е— f, та-кое, что е _L р. Тогда е + p&P^ Поэтому существует d е P* такой, что e + p<d. Поскольку е—ер и ер—ер, мы имеем ц(/?)= ц(е). Так как ц(е)= ц(ер). Следовательно, М'(е+) = Зц(е J ) = 3 \i(p)=li{p + q + g)= *i(r).

Таким образом, ц/ P!+ = const. Опять по теореме 1 р. есть сумма полуследов. СПИСОК ЛИTEPАTУPЫ

1.Азизов Г. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространстве с индефинитной метрикой. - М.: Наука, 1986. - 352 с.

2.Dixmier. J. Les algebras doperateurs dans l'espace Hilbertin (algebras de von Neumann).- Gauthier-Vitiars, Paris, Deuxieme Edition. 1969.

3.Matvejchuk M. S. Probability measures in W J-algebras in Hilbert space with conjugation // Proceed. Amer. Math. Soc. 1998. Vol. 126, №4. - P. 1155-1164.

4.Владова E. В. Вероятность в пространстве с унитарнопорожденной полутора-линейной формой // Пятая Казанская летняя школа «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». - Казань, 2001. - С.55-56.

Владова Елена Владиславовна, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры «Математический анализ» Ульяновского государственного педагогического университета. Окончила физико- математический факультет Ульяновского государственного педагогического института. Имеет публикации в области линейного функционального анализа.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.