CC BY
8
УДК 584.984
Е. В. ВЛАДОВА
ВЕРОЯТНОСТЬ КАК СУММА ПОЛУСЛЕДОВ.
Посвящена проблеме описания мер на логиках проекторов. В терминах полуследов описываются вероятности и меры, постоянные на множестве всех максимальных положительных (отрицательных) проекторов из W U - алгебр.
Введем необходимые определения и обозначения. Пусть Н - комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением (у). Пусть Т еВ(Н). Введем полуторалинейную форму (п.ф.) < f,g>T: = {Tf,g), yf, g е Я. Оператор В" е В(н) назовем сопряженным (Г - сопряженным) к В* е В{Н) относительно п.ф.<у>г, если <Bf,g>T=<f,Blig>T, V/, g е Я . Для унитарного самосопряженного J.J Ф±1 п.ф. < обычно обозначается через [у]у и называется индефинитной метрикой. Пусть всюду ниже U = je'kea (dk) унитарный оператор. Здесь еи : Bs —> П - спектральная
мера на о - алгебре борелевских подмножеств единичной окружности S а С и П - множество всех ортогональных проекторов в Я. Очевидно,
U2 = \ell®(eu(dti)+el!(dQ + 71)). Определим оператор Ju-e+-e~, где [p.Tt)
е+ :- еи ([О, я)) и е+ =/-е+. Будем считать, что центральные носители проекторов е+, е~ равны 7.
Обозначим через минимальную алгебру Неймана, порожденную
оператором U2. Пусть М- алгебра Неймана в Я и U еМ. Алгебра М называется W*U - алгеброй, если М q R'{u2). Последнее эквивалентно включению i?([/2)cMnM'. Заметим, что из включения UeM получаем: BeM=>U'B'UeM. W'U - алгебра М называется W* Р - алгеброй, если, по крайней мерс, один из проекторов е+ или е~ конечен относительно алгебры М . В противиом случае алгебру М назовем W* К - алгеброй.
Обозначим через Ри множество проекторов {реМ:р~=р, (рх,у)и =(х,ру)и Vx,yeH). Множество Ри есть квантовая логика. Проектор называется положительным (отрицательным), если [pz.pzjj > О, Vz € H([pz, pz]Ja < 0, Vz е ЯJ. Пусть P[J+ [РА J - множество всех положитель-
п Грант E00-1.0-I72 Министерства образования РФ.
ных (отрицательных) проекторов из Ри. Для любого р е Ри найдутся проекторы р± е Р{ такие, что р = р+ + р_. Проектор р е Р,] [р е Р[)) называется максимальным положительным (максимальным отрицательным), если подпространство рН является максимальным положительным (максимальным отрицательным) подпространством. Пусть Р* (р~) - множество всех максимальных положительных (максимальных отрицательных) проекторов в Р( . Воспользовавшись теоремой 4.5, §4 [1], получаем
Ясно, что р е Р* <=> р1 :=р € Р~. Пусть г е Р~. По определению (см. определения 2.1 и 2.2, §2, глава I [1]), оператор Jr = г-гЬ является канонической симметрией относительно канонического разложения где
в: ;= гИ„ II; :=ГХН.
Отображение р: Ри -» R называется зарядом (вещественной мерой), если
' ' 1 -для любого семейства {е1}<2Ру, попарно ортогональных элементов таких, что существует (здесь сумма понимается в сильной операторной топологии). Вещественная мера р : Ри -> R называется индефи-
£ 0, ц/'/Г ¿0:
нитнои мерой, если ' " ' I > и полуследом, если существуют точный нормальный полуконечный след т на М и присоединенный к центру алгебры М оператор Т такой, что: или Р+Т <=Ц(М,х), и тогда р(<?) = х(Те+), Уе Е Ри, или Р~Т е 1,(М,т), и тогда р(е) = х(Те_), Уее Ри.
Ниже для любого р е Ри через е+р (е~, ер) обозначен ортогональный проектор на подпространство е+рН (е рН, рН соответственно).
Отметим, что некоторый вариант следующих теорем был ранее доказан для факторного случая в пространстве с индефинитной метрикой в [3].
Теорема 1. Пусть р.- Ри мера на W*U - алгебре А. Следующие ус-ловия эквивалентны: ^ есть сумма полуследов; и) р. постоянна на множестве всех максимальных положительных (отрицательных) проекторов; ш)
Доказательство. (1)=> (и) . Пусть мера р. есть сумма полуследов. Из оп-14 Вестник УлГТУ 1/2001
ределения полуследа следует, что существуют точные нормальные нолуко-иечные следы т, , /=1,2 на W'U - алгебре А и присоединенные к центру А операторы Т., для которых е+Т{ е L}(A,Т|), еТ2 е L{(A,I2) и, кроме того, Ар)=т{(Т{рА)+т2(Т2р_), реРи. Пусть р е Р*. Тогда: 1) в силу положительности р имеем р_ = 0; 2) всегда имеем р - ер + еррер ; 3) в силу максимальности р имеем
Таким образом,
М1Р) ■■ Й А Ь ■т т, в *,) =
Итак, р = р(е+) на Р*, т.е. р постоянна па множестве всех максимальных положительных проекторов. По аналогии р постоянна па множестве всех максимальных отрицательных проекторов.
(11) г=> (ш). Пусть мера р: Ри ->R постоянна на множестве Р*.
Поскольку " ^' '' то р постоянна и на множестве Р~. Для любого ре
Рц проекторы е+ и е+-е*+р являются максимальными положительными. Следовательно,
-к)+ )=- *;)■ ■ ч+
Таким образом,
По аналогии. >)= ЧГ> еРо
Заметим, что в силу определения максимального проектора., условие iii) элементарно влечет ii).
(111) =>(!)• Доказательство проходит в несколько этапов.
(1) Случай и = у(.-Р+ -Р~) и А = В(Н) (очевидно, тогдаR,{u1j= В(Н) и ет = .Р+, е~ = Р~) доказан М. С. Матвейчуком в [3]. Доказательство мы опускаем.
2) Рассмотрим общий случай и и А. Убедимся вначале, что сужение р на проек-
торы из
1)
есть мера, унитарно инвариант-
', для любого р е Ри : р < е+[р < е ) и любого
унитарного оператора V из А, такого, что а)Пусть теперь А непрерывная алгебра. Найдем проекторы е и / (они автоматически являются ортогональными) такие, что е + f < е+, е~ f. Пусть Уе А некоторая частичная изометрия с начальным проектором е и конечным проектором /. Предположим, что существует частичная изометрия 15 Вестник УлГТУ 1/2001
W е А с начальным проектором е и конечным проектором <е . Мини-
мальная алгебра А(е,!У,У), порожденная операторами е, V, W, есть W 1и фактора 13 (действующий в гильбертовом пространстве (е + £ + WW)// с канонической симметрией Ту = е + £ - WW').
Для любого положительного проектора р е Ри, максимального в А(е. W.V) мы имеем р + е+ -е: е . Поскольку р постоянна на Р*, отсюда следует, что р также постоянна (р(е)+р(/)) на множестве всех максимальных в А(е^,У) положительных проекторов. Из этапа 1) следует " ^О" )-
б)Следовательно, если проектор е+ бесконечен относительно алгебры А, то и(е)=0 для любого проектора е э Ри, е<е+. Поскольку выполнено ш), мы заключаем, что \х/Рц - тождественный нуль. Похожим образом, если проектор е~ является бесконечным, то р / Рц = 0.
в)Теперь пусть проектор е+ является конечным относительно А. Пусть
^ 1 ~ ^ ® " Из непрерывности алгебры А сле-
дует, что существует разбиение е = е, +е2 и£ = £ +£2, где е^А есть проекторы из Ри такие, что е, _Ь и (i = 1,2). Опять по пункту 1), и(е(.) = и(£). Следовательно, и(е)=и(£). Поэтому сужение и на = ^ - & ¡1 инвариантным (т.е.е ~ £ =>и(е) = и(£)).
г)Итак, сужение р на проекторы из '- ^ У,
проекторы из ^ ^ ^ " Р ^ ^ ,1 всегда есть мера унитарно инвариантная.
д)Убедимся, что унитарно инвариантность сужения р влечет выполнение пункта i) теоремы 1. Воспользуемся тем, что всякая унитарно инвариантная мера, заданная на множестве всех ортогональных проекторов алгебры Неймана, продолжается до нормального линейного функционала на всю алгебру.
Пусть р есть продолжение сужения и на £ ^ ' Р ^е .1 до линейного нормального функционала на редуцированную алгебру А +. Отметим, что достаточно рассмотреть случай, когда редуцированная алгебра А>4. конечна. Пусть т - точный нормальный конечный след на А ,. Из теории меры на ортогональных проекторах алгебры Неймана известно, что существует оператор
является унитарно
а по аналогии и на
В силу унитарной инвариантности сужения р, оператор t+ присоединен к центру редуцированной алгебры АА . Воспользовавшись изоморфизмом ф (см. пункт б)), найдем присоединенный к центру алгебры А оператор Т+, та-
кои, что е+Т+ =1+ •
Пусть р э Ри . Обозначим через V частичную изометрию из полярного разло-
Тогда ^
. Поэтому имеем
По аналогии существует оператор Т~, присоединенный к центру алгебры А, для которого * ь Суммируя доказанное, ползаем
Теорема 2. Пусть ^ ' ^
вероятностная мера на РГ*£У - алгебре (тип А отличен от /2). Тогда существует в А ненулевое слагаемое, которое является ^Р - алгеброй, сужение ц на него есть снова вероятность, и ц есть сумма полуследов. Доказательство. Пусть р. - вероятность. Доказательство состоит из нескольких этапов.
1)Случай^ ^ ш ФО и ^ < ж (заметим, что из И = I следует В(Н), доказан и [3]).
2)Пусть теперь А есть непрерывная W*U - алгебра. По аналогии с доказательством теоремы 1 и из этапа 1), мы имеем
е~/=>ц(е)=|х(/), (2)
Где, )
Пусть г е Р*. Тогда А есть непрерывная W*JU - алгебра в Я с гильбертовым произведением ^гу], где Jr :-2г-1. По аналогии со сказанным выше, если
€ ^ ■' ■•" I1" | — 1 )и относительно произведения \|г у], то
а)Предположим, что проектор е+ бесконечен относительно А. Тогда любой р э Р+ бесконечен также. Мы можем представить е+ как
О < ) ™ £ ) = <», ) ^ < оо
Следовательно, р(е+)=0. Отсюда следует, что \х/Р* =0. По теореме 1 (.1 есть сумма полуследов. 17 Вестник УлГТУ 1/2001
Если проектор е' бесконечен относительно А, то рассуждаем аналогично. б^ассмотрим теперь случай, когда или е+, или е— конечны относительно А. Для определенности будем считать, что конечен проектор е*. Пусть г е P*. Воспользовавшись непрерывностью алгебры А, можем записать
г - P + q + g, где p,q,g е Pц и p—q—g в Н с гильбертовым произведением [л^]. Существует разбиение е+ = ер+е + /, где e,f е Pи и ер—е— f, та-кое, что е _L р. Тогда е + p&P^ Поэтому существует d е P* такой, что e + p<d. Поскольку е—ер и ер—ер, мы имеем ц(/?)= ц(е). Так как ц(е)= ц(ер). Следовательно, М'(е+) = Зц(е J ) = 3 \i(p)=li{p + q + g)= *i(r).
Таким образом, ц/ P!+ = const. Опять по теореме 1 р. есть сумма полуследов. СПИСОК ЛИTEPАTУPЫ
1.Азизов Г. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространстве с индефинитной метрикой. - М.: Наука, 1986. - 352 с.
2.Dixmier. J. Les algebras doperateurs dans l'espace Hilbertin (algebras de von Neumann).- Gauthier-Vitiars, Paris, Deuxieme Edition. 1969.
3.Matvejchuk M. S. Probability measures in W J-algebras in Hilbert space with conjugation // Proceed. Amer. Math. Soc. 1998. Vol. 126, №4. - P. 1155-1164.
4.Владова E. В. Вероятность в пространстве с унитарнопорожденной полутора-линейной формой // Пятая Казанская летняя школа «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». - Казань, 2001. - С.55-56.
Владова Елена Владиславовна, кандидат физико-математических наук, старший преподаватель кафедры «Математический анализ» Ульяновского государственного педагогического университета. Окончила физико- математический факультет Ульяновского государственного педагогического института. Имеет публикации в области линейного функционального анализа.
