Вероятность битовой ошибки в MIMO-системах с двумя собственными подканалами Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2009, № 2, с. 55-61

55

РАДИОФИЗИКА

УДК 621.391.1

ВЕРОЯТНОСТЬ БИТОВОЙ ОШИБКИ В MIMO-СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СОБСТВЕННЫМИ ПОДКАНАЛАМИ

© 2009 г. В. Т. Ермолаев, А.Г. Флаксман, А.М. Зуев, Д.Н. Лысяков

Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского ermol@kis.ru

Посмупила в р.Оакцию 13.01.2009

Рассматриваются адаптивные MIMO-системы (multiple-input multiple-output systems), в которых передача данных осуществляется по параллельным пространственным подканалам. Найдены функции плотности вероятности коэффициентов передачи подканалов для MIMO-систем с конфигурациями (числом M передающих и N приемных антенн) (Mx2) и (2xN) в случае многолучевого пространственного канала с некоррелированными релеевскими замираниями сигналов. На основе этих функций получены точные аналитические выражения для вероятности битовой ошибки в собственных подканалах таких систем. Рассмотрено асимптотическое поведение вероятности битовой ошибки при больших отношениях сигнал/шум.

Ключ.вы. слова: системы беспроводной связи, антенные решетки, адаптивный прием и передача сигналов, вероятность битовой ошибки, многолучевой канал, релеевские замирания сигналов.

Введение

Перспективные системы сотовой связи и беспроводного Интернета должны обеспечивать значительное увеличение скорости передачи информации при высоком качестве обслуживания абонентов (низкой вероятности ошибки). Этих целей необходимо достигнуть в сложных условиях многолучевого пространственного канала, в котором возможны глубокие замирания (фединги) сигналов, а также при жестких ограничениях на частотную полосу и мощность передающих устройств.

Наиболее эффективным является использование систем связи с разнесенными передающими и приемными антеннами (так называемые М1МО-системы), в которых на приемном конце линии производится оценка канальной матрицы H и затем эта матрица становится известной передатчику (М1МО-системы с обратной связью) [1-4]. Знание матрицы H позволяет адаптивным способом формировать независимые параллельные пространственные подканалы для передачи и приема информации. Эти подканалы формируются на основе собственных векторов матрицы H и поэтому называются собственными. Коэффициент усиления /-го подканала равен собственному числу А матрицы HHЯ или НЯН, где (.)н - эрмитово сопряжение. Поэтому

для нахождения вероятности битовой ошибки в М1МО-системе необходимо знать плотности вероятности ранжированных собственных чисел А,-. Соответствующие выражения в общем случае произвольной конфигурации системы (числа М передающих и N приемных антенн) являются неизвестными. В [5, 6] получены плотности вероятности собственных чисел А в условиях реле-евских замираний сигналов для трех конфигураций: 1) М = 2, N = 2; 2) М = 3, N = 2; 3) М = 4, N = = 2. Однако выражения для вероятности битовой ошибки остаются неизвестными.

В настоящей работе результаты [5, 6] для плотности вероятности собственных чисел канальной матрицы обобщены на М1МО-системы с конфигурациями Мх2 и 2xN. Затем на основе сделанного обобщения получены точные аналитические выражения для вероятности битовой ошибки в собственных подканалах таких М1МО-систем. Рассмотрено асимптотическое поведение вероятности битовой ошибки при достаточно больших отношениях сигнал/шум (ОСШ).

Преобразование сигналов в М1МО-системе с собственными подканалами

Рассмотрим М1МО-систему, состоящую из М передающих и N приемных антенн, и предположим, что многолучевой пространственный

канал является частотно неселективным. Тогда распространение сигналов можно описать (КхМ)-размерной канальной матрицей Н, которая состоит из коэффициентов передачи ^п сигналов из т-й передающей антенны в и-ю приемную антенну.

Оценка матрицы Н производится с помощью обучающих последовательностей, состоящих из конечного числа известных символов. Обычно используются максимально правдоподобные оценки или оценки, основанные на поиске минимума среднеквадратической ошибки [1—3]. В системах связи данные передаются фреймами (пакетами) и длина фрейма выбирается такой, чтобы пространственный канал (коэффициенты hmn) можно было считать фиксированным в течение фрейма и изменяющимся от фрейма к фрейму (квазистатическое приближение). Поэтому матрица Н всегда оценивается с некоторой ошибкой, обусловленной влиянием собственного шума приемных устройств и изменением состояния канала за время между двумя последовательными оценками. Однако мы будем рассматривать потенциальные характеристики М1МО-системы, реализуемые при точно известной матрице Н. Общая схема М1МО-системы с обратной связью показана на рис. 1.

Обозначим D = (йь й2,..., йК)Т - К-мерный вектор входных сигналов, который называется вектором пространственного символа, где (.)Т -знак транспонирования. Сигналы й умножаются на соответствующие весовые коэффициенты (кодируются в пространственном кодере, который можно описать матрицей V = (У2,..., VK) размерности (МхК)) и излучаются М антеннами. Вектор G = ^^ g2,..., gM)Т сигналов в передающих антеннах равен

С = VP ^, (1)

где Р = diag{p1, р2, ..., рК} - диагональная матрица, составленная из чисел р^ которые дают

распределение мощности Р0 передатчика между собственными подканалами. При этом должно выполняться условие р1+р2+ .. .+рК = Р0.

Вектор X = (х1, х2,..., хК)т сигналов в приемных антеннах равен

X = НС + Z, (2)

где Z = ^^ z2, ..., zN)T - вектор собственных шумов, которые будем считать гауссовскими некоррелированными во времени и в приемных каналах случайными процессами с нулевыми

средним и дисперсией с2.

Преобразование сигналов в пространственном декодере может быть описано (КхК)-раз-мерной матрицей и = (и1,и2,...,иК). В результате вектор выходного сигнала декодера равен Y = инX . Подставляя сюда (1) и (2), получим, что

У = ин НУР 12 D + Z, (3)

где Z = ин Z - вектор выходных шумов.

Прямоугольная матрица Н имеет сингулярное

/ н

разложение вида: Н = ЦЛ2 V [7], где матрицы и = (и1,и2,...,иК) и V = (V!,V2,...,V) состоят из собственных векторов матриц ННн и НнН, соответственно, Л = diag{Лl, Я, ..., Як} -диагональная матрица, составленная из ненулевых собственных чисел Л этих матриц, К - ранг матрицы Н. Для городских условий связи наиболее характерными являются некоррелированные релеевские замирания сигналов. В этом случае матрица Н имеет полный ранг, равный минимальному числу передающих или приемных антенн К = тт{М, К}. Следовательно, в М1МО-системе может быть сформировано К собственных подканалов.

Выберем матрицы V и и кодера и декодера на схеме рис. 1 так, что они совпадают с соответствующими матрицами собственных векторов в сингулярном разложении матрицы Н. То-

В.роямоосми бимовой ошибки в М1МО-сисм2мах с Овумя собсмв.ооыми поОкаоалами

57

гда поскольку UHHV = Л'2, выражение (3) принимает вид

Y = (ЛР)12 D + Z. (4)

1/

Матрица (ЛР/2 диагональная, а выходные собственные шумы некоррелированны между собой, так как их корреляционная матрица

< ZZH >= IN, где IN - тождественная матрица размерности NxN, <...> - знак статистического усреднения. Отсюда следует, что yi =

= yfx~pidj + zi. Это означает, что передача символов di через собственные подканалы происходит независимо. Статистическими независимыми являются также выходные собственные шумы.

Вероятность битовой ошибки (bit error rate) BERj в i-м собственном подканале зависит только от статистических свойств выходного ОСШ П В соответствии с (4) ОСШ цг = Ргр0Хг, где рг = pj/P0 - относительная часть полной мощности P0, распределяемой в этот подканал,

Р0 = P0 /с2 • При равномерном распределении

мощности между подканалами рг=1/К. Далее будем считать распределение мощности между подканалами произвольным, но не зависящим от собственных чисел Хг. Тогда плотность вероятности ОСШ п зависит только от плотности вероятности собственного числа Хг.

Обозначим f(X) плотность вероятности ОСШ Хг. Тогда вероятность битовой ошибки BERг можно найти с помощью следующего интеграла:

ад

BERj = { БЕЯоФгРоХ) f(X)dX , (5)

о

где BER0 - вероятность ошибки в гауссовском шумовом канале без замираний сигналов.

Таким образом, вероятность ошибки BERг определяется статистическими свойствами собственного числа Хг. Отметим, что собственные числа не изменяются при замене передающих антенн на приемные, и наоборот. Следовательно, собственные подканалы для MIMO-систем с конфигурациями (MxN) и (NxM) являются эквивалентными. Поэтому для конкретности будем считать, что передающих антенн не мень-

ше, чем приемных (М > К). Тогда ранг К канальной матрицы Н равен N.

Выражения для плотности вероятности fi (А) известны только в частном случае, когда число передающих антенн М = 2, 3 или 4, а число приемных антенн N = 2. При этом имеется только два собственных числа А] и А2.

Плотность вероятности собственных чисел канальной матрицы

Найдем плотности вероятности fi (А) в случае произвольного числа М передающих и двух приемных антенн (И = 2). С этой целью воспользуемся результатами работы [8], в которой найдены интегральные функции распределения максимального и минимального собственных чисел выборочной корреляционной матрицы М собственных шумов в ^элементной адаптивной антенной решетке. Как известно [9], у-й элемент матрицы М равен

Q

Му = Q- I хщхя , (6)

9=1

где Хщ - д-я выборка шума в /-й антенне, Q -число выборочных векторов.

Нетрудно получить, что у-й элемент (КхК)-размерной матрицы ННЯ равен

М

(НИн )у = 1 Ищн*я . (7)

9=1

В случае релеевского некоррелированного канала на каждую приемную антенну приходит достаточно большое число рассеянных (переотраженных) сигналов. Поэтому реальные и мнимые части коэффициентов передачи к/р являются случайными гауссовскими величинами с нулевым средним. Дисперсию флуктуаций коэффициентов к/д без ограничения общности будем считать равной единице (<|йг-9|2> = 1). Следовательно, статистические свойства матриц QM и ННЯ совпадают, если считать дисперсию шумов при оценке матрицы М в (6) единичной, а число выборок в (6) заменить числом передающих антенн М.

В случае М1МО-системы с конфигурацией (Мх2) имеем следующие выражения для интегральных функций распределения ранжированных собственных чисел А] и А2 (А]>А2):

F (Х) = Y(М - 1,X)Y(М + 1,Х) - [Y(М,Х)]2 (8)

(М -1)!(М - 2)! , ( )

F ( Х) = [Г(М -1) - у(М - 1,Х)][Г(М +1) - у(М + 1,Х)] - [Г(М) - у(М,Х)]2

Х2( (М-1)!(М-2)! , ( )

где Г (у) = | е Чу 1dt - гамма-функция и

о

х

у(у, х) = | е~tty-1dt - неполная гамма-функция.

о

Найдем плотности вероятности /Л 1(Л) и УЛ2(Л) собственных чисел Л1 и Л2 путем дифференцирования интегральных функций распределения (8) и (9). При этом учтем, что производная от неполной гамма-функции равна

dy(у, х)^х = е~хху-1, а ее разложение в ряд при целых и имеет вид:

1

/Л (Л) = -Л2(Л2 + 6Л + 12)е 2 6

-2Л

(14)

(

у(и, х) = (и -1)!

и-1 Ят

1 - е -х X—

т=о т!

(10)

Выделяя слагаемые с разными показателями экспонент, получим, что

М-2 -Л

Д(Л) =

М-2

Л е

(М -1)!

Л2-2(М - 1)Л +М (М -1) -

М-2 т(т - 2М +1) + М(М -1) т - X-Л

т=о т!

ЯМ-2е-2Л

/Л (Л) = Л е х 2 (М -1)!

М-2 т(т - 2М +1) + М(М -1)

(11)

На рис. 2 приведены плотности вероятности ранжированных собственных чисел Л] (слева) и Л2 (справа), полученные с помощью (11) и (12) при разном числе передающих антенн, которое показано цифрой возле кривой.

Вероятность битовой ошибки в собственных подканалах

В настоящее время в системах мобильной радиосвязи и беспроводного Интернета используются сигналы бинарной и квадратурной фазовых модуляций, а также сигналы 16- и 64-ричной квадратурной амплитудной модуляции. Вероятность битовой ошибки BER0 в гауссов-ском шумовом канале без замираний для всех этих модуляций определяется интегралом вероятности Ф(х) [10]. Далее получим точные выражения для вероятности ошибки в случае наиболее часто используемых фазовых модуляций.

Входящая в (5) вероятность битовой ошибки BER0 в гауссовском шумовом канале равна [11]

БЕ^(ц) = 0.5 [1 -Ф (д/ол)],

(12)

хХ

т=0

т!

Лт

2 х

Ф( х) = -¡= | ехр(-t 2)dt, л/п 0

(15)

Выражения (11) и (12) при М = 2, 3, 4 совпадают с известными результатами, приведенными в [5, 6]. Так, например, если М = 4, то

1

/Л1(Л) = ^Л2(Л2 - 6Л + 12)е- -

6

-1 Л2(Л2 + 6Л + 12)е 6

(13)

-2Л

где а = 2 и а = 1 для бинарной и квадратурной фазовых модуляций, соответственно.

ОСШ в i-м собственном подканале П, = РгР0Лг-. Учитывая нормировку плотности вероятности и вводя параметр р, = в,ар0, формулу (5) представим в виде

БЕЯ, = 1 -2{/(ЛЖ^^Л . (16) 22

от

Вероятность битовой ошибки в М1МО-системах с двумя собственными подканалами

59

Из (11), (12) и (16) видно, что для отыскания вероятности битовой ошибки необходимо вычис-

лить интеграл вида

1 (р) = Г 3!Ч Г (Р) л/2П Г х12 (3 + х/2У32

ёх =

= 2 Г (ц + 32

dt

I(р) = 2Г^£ (-1)^х

4П Р^^к+1

х С

р

k+1/2

(19)

(р + 2Р)

k+12

+I(0):

1 М (

БЕЯМ = -

2 k=o

р

+12

М-2 т+М-2

+ I I Хтк

т=0 k=0

Р+ 2.

+12

Р ^

+

р + 4

/

1 М-2 т+М-2

БЕЯ2(р) = --I I Х)Ик

2 т=0 k=0 у

где коэффициенты 8к и %тк равны

+12

р + 4

х С

5 = Г(М + 3/2) (-1/ х k -\/лМ! 2k +1 k Мк2 - 2(М -1/2)к + 2М(М - 5/8) (М +1/2)(М -1/2)

Хтк

ад _

I(р) = Г хце~СХФ(4РХ)ск ,

л/Л (М -1)!

где ц — неотрицательные целые, с > 0 и р > 0. Для этого продифференцируем I(р), вычислим полученный интеграл, а затем проинтегрируем результат по параметру р.

Учитывая ([10], № 3.462.1) имеем, что

— = ] АЦ+1/2е -(Р+Р/2)А ёА = ёр Л/2лр 0

, ч (17)

= 1 Г (ц + 3/2) ' '

"л/2Пр(р+^ 2 Г312'

Отсюда, используя замену х = 2t2, получим

Г (ц + 3/2) р 1

т(т - 2М +1) + М(М -1) т!

Г(т + М -1/2) (-1)к С

Х -- . 1 -Т П С М^Ъ./Г-')

(23)

2( т+М-1) 2к +1 Представляет интерес асимптотика кривых для БЕЯ в области больших ОСШ (р >> 1). В случае когда М = 2, 3 или 4, будем иметь, что

БЕЯ|

(2х2)

: 0.27-1 р

БЕЯ,(3х2) « 0.56-1-,

1 р6

БЕЯ

(2х2)

■0.51.

р

(24)

БЕЯ23х2) « 0.56-1-, (25)

БЕЯ14х2)

1.38

1

БЕЯ24х2)

р 1

(18)

ТП 0 (р+^г*2'

Окончательно найдем с помощью ([10], № 3.462.1), что

0.62—, (26) рр

где верхние индексы БЕЯМхЖ) показывают конфигурацию М1МО-системы.

Отсюда следует, что вероятность битовой ошибки в первом собственном подканале

БЕЯ

(М хN ) 1

: р М , то есть обратно пропорцио-

где С,, - число сочетаний по к элементам из ц

элементов, /(0) - константа интегрирования. Нетрудно получить, что Д0) = 0, поскольку при р ^ 0 вероятность ошибки БЕЯ ^1/2.

Теперь с помощью (19) для вероятности битовой ошибки в сильном (первом) и слабом (втором) собственных каналах М1МО-системы с произвольным числом М передающих антенн будем иметь

(20)

, (21)

(22)

нальна ОСШ в степени, равной произведению MN числа антенн или числу некоррелированных коэффициентов передачи (ветвей разнесения). Вероятность битовой ошибки во втором собст-

П17Г)(М хN ) - (М - N+1)

венном подканале БЕЯ\ ~ р , то

есть уменьшается с ростом ОСШ значительно медленнее.

На рис. 3 показана вероятность битовой ошибки в зависимости от ОСШ в сильном и слабом собственных подканалах М1МО-системы с разным числом передающих антенн (М = 2, 4 и 8) и при двух {И = 2) приемных антеннах для релеевских некоррелированных замираний сигналов. Кривые соответствуют теоретическим формулам (20)-(23), а кружочки -результатам моделирования, полученным на основе метода Монте-Карло. При моделировании для каждого собственного канала формировалась случайная битовая последовательность из 0 или 1, выпадающих с одинаковой вероятностью. Ее длина задавалась равной 192, что соответствует CDMA-стандарту с кодовым разделением пользователей [12]. Затем биты преобразовывались в символы с помощью бинарной фазовой модуляции. Для полученных символов формировалась одна реализация канальной матрицы Н и вычислялись векторы V и и сингулярного разложения этой матрицы. Всего формировалось 10000 реализаций битовых последовательностей и матриц Н, и вероятность битовой ошибки вычислялась как отношение

1

х

0

р

числа ошибочно принятых бит к общему числу переданных бит. Из рис. 3 видно, что аналитические результаты совпадают с численными.

Выражения (20) и (21) определяют вероятность битовой ошибки в собственных подканалах в зависимости от аргумента р = Рар0 =

= а (РР0)/с^ , где рР0 - мощность на входе этого подканала. То есть эти выражения справедливы для произвольного распределения мощности между собственными подканалами и при использовании в этих подканалах бинарной (а = = 2) и/или квадратурной (а = 1) фазовых модуляций. Если считать, что в собственных подканалах используется одинаковая модуляция, а мощность распределяется между ними равномерно (Р1 = Р1 = 1/2), то в (20) и (21) аргументы равны. В результате получим, что усредненная по собственным каналам вероятность битовой ошибки М1МО-системы будет равна

1 1

БЕЯ =---X5

2 2

к=0

0.5ар0 0.5ар0 + 2

\ к+12

(27)

В случае когда число передающих антенн М = 2, 3 или 4, из (27) для вероятности битовой ошибки в М1МО-системе получим формулы (28)-

(30), где аргумент х = ^0.5ар0/(0.5ар0 + 2) .

В правой стороне формул приведены соответствующие асимптотические выражения, справедливые в области больших ОСШ:

БЕЯ(2х2) =1 -11 х + 3х3 -—х5 * 0.5р-1, (28) 2 16 8 16

1 57 49

---х +--.

2 64 64

БЕЯ(3х2) =1 - 57 х + 49 х3 -

- 39 х5 +15 х7 * 1.125р-2 64 64 0

(29)

к

Вероятность битовой ошибки в MIMO-системах с двумя собственными подканалами

61

BER

(4x2) _ _

2

135 5 3

-х+—х -

128 4

87 5 15 7 35 9 _з

--х +—х7--х « 2.5р_3

64 16 128

(30)

На рис. 4 представлена вероятность битовой ошибки в MIMO-системе с разным числом передающих антенн (M = 2, 4 и 8) для релеевского некоррелированного канала при использовании сигналов бинарной фазовой модуляции.

Заключение

Таким образом, в настоящей работе найдены плотности вероятности собственных чисел канальной матрицы в MIMO-системах с конфигурациями (Mx2) и (2xN) для многолучевого пространственного канала с некоррелированными релеевскими замираниями сигналов. На основе этих плотностей вероятности получены точные аналитические выражения для вероятности битовой ошибки в собственных подканалах MIMO-систем. Рассмотрено асимптотическое поведение вероятности битовой ошибки при достаточно больших ОСШ.

Список литературы

1. Space-Time Processing for MIMO Communications / Editors A.B. Gershman and N.D. Sidoropoulos. Wiley&Sons, 2005. 370 p.

2. Paylraj A., Nabar R. and Gore D. Introduction to Space-Time Wireless Communications. Cambridge University Press, 2003.

3. Jankiraman M. Space-Time Codes and MIMO Systems. Artech House, Inc., 2004.

4. Ермолаев В.Т., Мальцев А.А., Флаксман А.Г. и др. Применение адаптивных антенных решеток для повышения скорости передачи информации в беспроводных компьютерных сетях // Труды (шестой) научной конференции по радиофизике, посвященной 100-летию со дня рождения М.Т. Греховой. 7 мая 2002 г. / Ред. А.В. Якимов. Нижний Новгород: ТА-ЛАМ, 2002. С. 22-28.

5. Vaughan R., Andersen J.B. Channels, propagation and antennas for mobile communications. IEE, London, 2003.

6. Getu B.N., Andersen J.B. BER and spectral efficiency of a MIMO system // Proc. of the 5th International Symposium on Wireless Personal Multimedia Communications (WPMC'02), Hawaii, 2002. P. 397-401.

7. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.

8. Ермолаев В.Т., Родюшкин К.В. Функция распределения максимального собственного числа выборочной корреляционной матрицы собственного шума элементов антенной решетки // Изв. вузов. Радиофизика. 1999. Т. 42, № 5. С. 494.

9. Ширман Я. Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. М.: Радио и связь, 1981. 416 с.

10. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.

11. Прокис Д. Цифровая связь: Пер. с англ. М.: Радио и связь, 2000. 800 с.

12. Garg V.K. IS-95 CDMA and CDMA2000: Cellular/PCS systems implementation. Prentice-Hall, Inc., 2000.

1

BIT-ERROR PROBABILITY IN MIMO SYSTEMS WITH TWO EIGENCHANNELS

V. T. Ermolayev, A. G. Flaksman, A.M. Zuev, D.N. Lysyakov

The adaptive multiple-input multiple-output (MIMO) systems with data transmission over parallel spatial subchannels are considered. The probability density functions of the channel matrix eigenvalues have been obtained for the MIMO systems with (Mx2) and (2xN) configurations (where M and N are the numbers of transmitting and receiving antennas, respectively) in the case of a multipath channel with non-correlated Rayleigh fading. Based on these functions, the exact analytical formulas have been derived for the bit-error probability in eigenchannels of such systems. The asymptotic behaviour of the bit-error probability for high signal-to-noise ratio has been considered.

Keywords: wireless systems, antenna arrays, adaptive reception and transmission of signals, bit-error probability, multipath channel, Rayleigh fading of signals.