Верхний гиперцентральный ряд группы унитреугольных автоморфизмов свободной алгебры Лейбница Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2017. №4(44). С. 49-52

УДК 512.57 001: 10.25513/2222-8772.2017.4.49-52

ВЕРХНИЙ ГИПЕРЦЕНТРАЛЬНЫЙ РЯД ГРУППЫ УНИТРЕУГОЛЬНЫХ АВТОМОРФИЗМОВ СВОБОДНОЙ

АЛГЕБРЫ ЛЕЙБНИЦА

Омский государственный университет им. Ф.М. Достоевского

Аннотация. Получено описание верхнего гиперцентрального ряда группы унитреугольных автоморфизмов свободной алгебры Лейбница над произвольным полем. Вычислена длина гиперцентрального ряда.

Ключевые слова: алгебра Лейбница, унитреугольный автоморфизм, гиперцентр.

В статьях автора [1,2] было представлено описание центральной серии группы унитреугольных автоморфизмов свободной алгебры Лейбница до первого предельного ординала включительно.

В данной работе представлено описание всей верхней центральной серии указанной группы и вычислена её гиперцентральная длина.

Напомним, что неассоциативная алгебра Ь над полем ^ с билинейным произведением [■, ■] называется (правой) алгеброй Лейбница, если для любых элементов ж, у, г € Ь выполняется (правое) тождество Лейбница:

Отсюда видно, что [ж, [у, у]] = 0.

Из тождества Лейбница также следует, что любой элемент алгебры Ь можно представить, как линейную комбинацию элементов вида [[[[а, Ь],с], ...], поэтому для краткой записи будем опускать скобки, положив

А.Н. Кабанов

к.ф.-м.н., е-шаП: [email protected]

[[ж,У],г] = [Ж [У,г]] + [[ж,г],у].

Или, что то же самое,

[Ж ]] = [[ж,У],г] - [[ж,г],у].

[[а, Ь], с] = аЬс.

Более того, примем записи

[[а, Ь], Ь] = аЬ2, [[[а, Ь], Ь], Ь] = аЬ3 и т. п.

Пусть Ьп - свободная алгебра Лейбница над полем ^ с множеством свободных порождающих Хп = жь...,жп.

50

А.Н. Кабанов. Верхний гиперцентральный ряд группы.

Выделим в группе всех автоморфизмов алгебры Ьга подгруппу [/„,

порождённую автоморфизмами вида:

/ ч I жг ^ жг +

^ , 3 = г,

где у принадлежит подалгебре, порождённой , ...,жп. Такая подгруппа называется группой унитреугольных автоморфизмов алгебры

Для краткости будем записывать произвольный автоморфизм V свободной алгебры Ьга с множеством свободных порождающих Хп как V = (/ь/2,...,/п), где ^(ж*) = /, г = 1, ...,п.

Тогда произвольное отображение вида:

V = (Х1 + /1(Ж2, ...,жга), + /г(Жг+1, ...,Жга), ...,Жга), (1)

где для любого г многочлен /г(жг+1, ...,жп) € определяет автоморфизм из и группа состоит из всех таких автоморфизмов.

В предыдущей работе [2] было доказано, что центральный ряд группы

состоял из подгрупп Да (1 ^ а ^ ш), состоящих из автоморфизмов вида (ж1 + /1(жп-1,жп),ж2, ...,жп), причём в одночленах многочлена /1(жга-1,жга) элемент жп-1 встречается не более чем а — 1 раз.

При этом Да С Да+1.

Для 0 ^ к ^ п — 3 выделим в группе следующие подгруппы Дкш+а (1 ^ а ^ ш), состоящие из автоморфизмов вида (ж1 + /1(жп-к-1, ж2, ...,жп), ...,жп), причём в одночленах многочлена /1 элемент жп-к-1 встречается не более чем а — 1 раз.

Для п — 2 ^ к ^ 2п — 6 выделим в группе следующие подгруппы Дкш+а (1 ^ а ^ ш), состоящие из автоморфизмов вида (ж1 + +/1(ж1, ...,жп),ж2+/2(ж2п-к-3, ...,жп),ж3, ...,жп), причём в одночленах многочлена /2 элемент ж2п-к-3 встречается не более чем а — 1 раз.

Для 2п — 5 ^ к ^ 3п — 10 выделим в группе следующие подгруппы (1 ^ а ^ ш), состоящие из автоморфизмов вида (ж1 + /1(ж1,..., жп), ж2 + +/2(ж2, ...,жп),ж3+/3(ж3п-к-6, ...,жп),ж4, ...,жп), причём в одночленах многочлена /3 элемент ж3п-к-6 встречается не более чем а — 1 раз.

Для произвольного к, находящегося в пределах (г — 1)п — (г+2)2(г-1) ^ к ^ ^ гп — (г+1)2(г+2), подгруппа Дкш+а (1 ^ а ^ ш) состоит из автоморфизмов вида (ж1 + /1(жь...,жп), ...,ж + /г(ж.п-к- г(г+1),..., ж„), ,..., ж„), причём в одночленах

многочлена / элемент ж , »(¿+1) встречается не более чем а — 1 раз.

к ^

Наконец, для к = га(га~3) выделим подгруппу Дкш+а (1 ^ а ^ ш), состоящую из автоморфизмов вида (ж + /1(^1, ...,ж„), ...,жп-2 + /п-2(жп-1, ж„), ж„-Ь ж„), причём в одночленах многочлена /п-2 элемент жп-1 встречается не более чем а — 1 раз.

И выделим ещё одну группу для к = (га-1)2(га-2). Группа Дкш+1 состоит из автоморфизмов вида (ж + /^ж, ...,ж„), ...,жп-1 + /га-1(ж„),ж„).

Очевидно, что последняя группа совпадает с [/„.

Математические структуры и моделирование. 2017. №4(44)

51

Теорема 1. Введённые выше подгруппы Zi с £г+1 составляют верхний центральный ряд группы ип.

Доказательство. Напомним, что в центральном ряде (ип)/£к-1(ип) =

= £ (Цп/^-1).

Допустим, что для некоторого 0 ^ к ^ п(п-3) и некоторого 1 ^ а < ш множества с ... с являются частью гиперцентрального ряда.

Пусть к находится в пределах (г — 1)п — (г+2)2(г-1) ^ к ^ гп — (г+1~2(г+2). Введём обозначение ] = гп — к — г(г+1). Подставляя в ] границы для к, убеждаемся, что г + 1 ^ ] ^ п — 1.

Пусть = (Ж1 + ^1(ж2, ...,Жп), ...,ж + ^(ж.,-, ...,Хп),Хг+1, ...,Хп) € а 0 - произвольный унитреугольный автоморфизм вида (1).

Рассмотрим композиции ^0 и 0^. В ип/£кш+а-1 действия этих композиций на координаты жь...,жг-1 совпадают. На координатах жг+ь...,жп эти действия совпадают даже в ип.

Осталось рассмотреть, как эти автомофрзимы действуют на жг. Имеем:

ж

г жг + Уг (жг+1, ..., жп) + ^г (ж; + , ..., жп) ,

жг + ^г (ж;, ..., жп) + Уг (жг+1, ..., жп).

В многочлене + У,...,жп) по сравнению с #г(ж^,...,жп) появляются одночлены, в которых переменная ж^- встречается меньшее число раз. Таким образом, в ип/£кш+а—1 жГ? — ж?*. Следовательно, композиции ^0 и 0^ в ип/£кш+а-1 совпадают. Это означает, что ^ € £кш+а(ип).

Если же использовать автоморфизм ^ = (ж1,...,ж4 + д4,...,жп), где £ > г, и рассмотреть разность ж^? — ж?Г = #+1(ж4+2 + /¿+2, ...,жп) — #4+1^+2, ...,жп), то мы увидим, что в общем случае в ип/£кш+а-1 эти композиции различаются.

А допуская, что в автоморфизме ^ в одночленах многочлена дг переменная ж^- содержится а или более раз, мы в общем случае можем получить в одночлене разности жГ? — ж?Г переменную ж^- а — 1 или более раз. Что снова даёт нам = в Цп/^ш+«-1.

Знач ит, автоморфизмов другого вида, кроме указанных выше, в £кш+а(ип) нет.

В предельном случае при а = ш получаем = £(к+1)ш.

Так как для при 1 ^ а < ш утверждение доказано в [2], по индукции получаем то, что и требовалось доказать. ■

Как отмечалось выше, подгруппа при к = (п-1)2(п-2) совпадает с ип.

Отсюда видим следующее свойство этой группы.

Следствие 1. Группа унитреугольных автоморфизмов свободной алгебры Лейбница гиперцентральна длины (п-1)2(п-2)ш + 1).

52 А.Н. Кабанов. Верхний гиперцентральный ряд группы...

Литература

1. Кабанов А.Н. Центр группы унитреугольных автоморфизмов свободной алгебры Лейбница // Математическое и компьютерное моделирование: сборник материалов IV Международной научной конференции (Омск, 11 ноября 2016 г.). 2016. С. 7880.

2. Кабанов А.Н. Центральный ряд группы унитреугольных автоморфизмов свободной алгебры Лейбница // Математические структуры и моделирование, 2017. № 3(43). С. 12-15.

THE UPPER HYPERCENTRAL SERIES OF THE GROUP OF UNITRIANGULAR AUTOMORPHISMS OF A FREE LEIBNIZ ALGEBRA

A.N. Kabanov

Ph.D. (Phys.-Math.), e-mail: [email protected]

Dostoevsky Omsk State University

Abstract. The upper hypercentral series of the group of unitriangular automorphisms of a free Leibniz algebra over an arbitrary field is described. The length of this series is obtained.

Keywords: Leibniz algebra, unitriangular automorphism, hypercenter.

Дата поступления в редакцию: 10.11.2017