ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА Текст научной статьи по специальности «Математика»

PHYSICS AND MATHEMATICS

ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА

Геворкян Ю.Л.

канд. ф.-м. наук, профессор, Национальный Технический Университет «Харьковский Политехнический Институт»

FERMAT'S GREAT THEOREM

Gevorkyan Yu.

Cand. of Phys. Math. Sc., Professor, National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute "

АННОТАЦИЯ

В статье предлагается доказательство теоремы Ферма. Вместо целых чисел a, b, c в теореме Ферма рассматривается треугольник с длинами сторон a, b, c . Доказано, что в случае прямоугольного и тупоугольного треугольников уравнение Ферма решений не имеет. При рассмотрении случая, когда a, b, c являются сторонами остроугольного треугольника, доказано, что уравнение Ферма не имеет целых решений при p > 2.

ABSTRACT

In the paper the proof of Fermat's Theorem is proposed. A triangle with the sides a, b, c is considered rather than a set of integers a, b, c. It is proved that in the cases of right and obtuse triangles Fermat's equation has no solutions. When studying the case of a, b, c being the sides of an acute triangle, it is proved that Fermat's equation doesn't have integer solutions for p > 2.

Ключевые слова: теорема Ферма, геометрический подход, теорема Декарта.

Keywords: Fermat's Theorem, geometrical approach, Descartes' theorem.

Данная работа является продолжением исследований [1, 2].

Теорема Ферма. Для любого натурального числа р > 2 уравнение

аР + Ьр = с? (1)

не имеет решений в целых ненулевых числах а, Ь, с.

Докажем теорему в эквивалентной формулировке, утверждающей, что уравнение (1) не имеет натуральных решений.

Очевидно, что а<с, Ь<с, с<а + Ь. Применим геометрический подход, а именно: вместо тройки чисел а, Ь, с рассмотрим треугольник с длинами сторон а, Ь, с .

Возможны три варианта: треугольник прямоугольный, тупоугольный либо остроугольный.

В первом случае

а2 + Ь2 = с2 (2)

Во втором случае из теоремы косинусов следует, что

а2 + Ь2 < с2 (3)

Объединяя (2) и (3), получаем:

а2 + Ь2 < с2 (4)

Умножив неравенство (4) на ср-2, получим:

к > п —

Докажем неравенство (5). Как известно.

а2 • ср-2 + Ь2 • ср-2 < ср.

Откуда

аР + Ьр < ср,

так как а2 • ср-2 > ар, Ь2 • ср-2 > Ьр. То есть, в первых двух случаях уравнение (1) решений не имеет при р > 2.

Рассмотрим третий случай, а именно: треугольник остроугольный. Не нарушая общности, будем считать, что а < Ь.

При а = Ь, уравнение (1) принимает вид: ар + ар = ср.

Откуда

с = ал/2.

То есть с является иррациональным числом при а и р целых.

Числа а = к, Ь = к+т, с = к + п, где к, т, п -натуральные числа, удовлетворяющие неравенствам

п > т, п < к + т,

исчерпывают все возможные варианты натуральных чисел а, Ь, с, являющихся сторонами треугольника.

В остроугольном треугольнике дополнительно выполняется следующее условие: т + ^2п(п — т) (5)

а2 + b2 > c2,

k2 + (k + m)2 > (k + n)2

Откуда

k2 - 2k(n - m) + m2 - n2 > 0. k > n — m + ^2n(n — m).

Из неравенства (5) следует, что к > 3. Рассмотрим функцию двух переменных к, р:

f(k, p) = kp + (k + m)p - (k + n)p (6)

где p > 2,k > 3.

Полагая число p целым, преобразуем равенство (6):

f(k,p) = kp - Cp(n - m)kp-1 - Cp(n2 - m2)kp-2-... -

-Cp(np-1 - mp-1)k - (np - mp) (7)

Таким образом, f(k, p) является многочленом степени p аргумента k. По теореме Декарта [3, с.255] уравнение

f(k,p) = 0 (8) имеет единственный положительный корень при любом p > 2. Докажем некоторые утверждения.

Предложение 1. Пусть f(k, p) < 0 Vp > p0 (k > 3). Тогда f(k,p) монотонно убывает на интервале (p0, га) по переменной p.

Доказательство.

fP (k, p) = kplnk + (k + m)p ln(k + m) - (k + n)p ln(k + n) < kp ln(k + n) + + (k + m)p ln(k + m) - (k + n)p ln(k + n) = f(k, p) ln(k + n) < 0. Следовательно, f(k,p) монотонно убывающая функция на интервале (p0, га).

Предложение 2. Пусть f(k, p) > 0 Vk > k0 (p > 2). Тогда функция f(k, p) монотонно возрастает по переменной k на промежутке (k0, га).

Доказательство.

fk(k,p)=pf(k,p-l).

По условию f(k, p - l) > 0. Следовательно, fk(k,p) > 0. То есть, f(k, p) монотонно возрастает на интервале (k0, га).

Предложение 3. Справедлива следующая рекуррентная формула:

f(k, p + l) = kf(k, p) - [n(k + n)p - m(k + m)p], (9)

причем f(k, p + l) Ф 0 при любом целом p > 2.

Доказательство.

f(k, p + l) = kp+1 + (k + m)p+1 - (k + n)p+1 = = k • kp + (k + m)(k + m)p - (k + n)(k + n)p = = kf(k,p) - [(n(k + n)p - m(k + m)p]. Очевидно, f(k, p + l) < 0 при f(k, p) < 0.

Покажем, что f(k, p + l) Ф 0 при f(k, p) > 0. Предположим, что f(k, p + l) = 0 при некотором произвольном целом значении p (p > 2). Из равенства (9) следует, что

l

f(k,p) = - [n(k + n)p - m(k + m)p] = k

l

= - [kp(n - m) + Cp(n2 - m2)kp-1+... +Cp(nP - m^)k + (nP+1 - m^+1)] = k

= n—m [kp + Cj1(n + m)kp-1 + Cp(n2 +nm + m2)kp-2+... + k

+Cp(np-1 +np-2m + np-3m2+... +mp-1)k + (np + np-1m+... +mp)] (10)

Согласно равенству (10) уравнение f(k, p) = 0 число k, удовлетворяющее условию (5), то есть

не имеет положительных корней при p > 2. f(k, 2) > 0. Число f(k, 3) может быть отрицатель-

Однако, ранее было показано, что уравнение ным или положительным.

f(k, p) = 0 имеет единственный положительный ко- Пусть f(k, 3) < 0. В силу непрерывности функ-

рень при p > 2. Следовательно, f(k,p + l) Ф 0 при ции f(k,p) по переменной p существует единствен-

любом p > 2. Что и следовало доказать. ное значение pT (2 < p < 3), такое, что

Следствие 1. В случае, если треугольник пря- f(k, p) = 0.

моугольный либо тупоугольный, уравнение (1) не Если f(k, 3) > 0, то указанный процесс продол-

имеет решений в натуральных числах a, b, c и нату- жим, рассматривая f(k, 4) и т.д.

ральном p > 2. Таким образом, уравнение f(k,p) = 0 при p >

Действительно, в первом случае f(k, 2) = 0, а 2 не имеет натуральных корней.

во втором f(k, 2) < 0. В обоих случаях f(k, 3) < 0. Выводы:

Следствие 2. Если f(k, p) > 0, то f(k, p - l) > 1. В случае прямоугольного и тупоугольного

0. треугольников уравнение f(k, p) = 0 не имеет кор-

Утверждение непосредственно следует из ра- ней при p > 2.

венства (9). 2. В случае остроугольного треугольника

Теорема. Уравнение f(k, p) = 0 не имеет нату- уравнение f(k, p) = 0 не имеет натуральных корней

ральных корней при p > 2. при p > 2.

Доказательство. 3. В частном случае при а = b число c явля-

Возьмем произвольные целые положительные ется иррациональным, если a, p - натуральные

числа m, n (n > m). Выберем произвольное целое числа.

Что и является окончательным доказательством теоремы Ферма.

Литература

1. Геворкян Ю.Л. Частный случай теоремы Ферма / Труды IX Международной научно-практической конференции "Scientific achievements of

modern society", Ливерпуль, Великобритания, 28-30 апреля, 2020. - C. 418-429 с.

2. Геворкян Ю.Л. Теорема Ферма / Scientific Journal of Italia "Annali D'Italia", Vol. 1, 2020 (8), pp. 7-16.

3. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. - М.: Наука, 1968. - 431 с.

"ТЁМНАЯ МАТЕРИЯ" НЕ СУЩЕСТВУЕТ?

Кошкин Ю.А.

Исследователь

'DARK MATTER" DOES NOT EXIST?

Koshkin Y.

Researcher

АННОТАЦИЯ

С позиции пространства как физической структуры рассматривается возможность объяснения парадокса скрытой массы или "тёмной материи". ABSTRACT

The possibility of explaining the paradox of hidden mass or "dark matter".

Ключевые слова: Тёмная материя, пространство Вселенной, анизотропность пространства, космология, гравитационная постоянная.

Keywords: dark matter, space of the Universe, anisotropy of space, cosmology, gravitational constant.

1 Введение

После того, как рядом фактов была подтверждена правильность общей теории относительности, всё большей интерес вызывает возможность рассмотрения пространства не только в виде математической абстракции, но и в качестве физической структуры с реальными свойствами. И с этой позиции постараться по-новому взглянуть на ряд явлений.

К такому подходу подталкивают открытия, совершённые за последнее время и подтверждающие обоснованность предположения о физической сущности пространства. Из наиболее важных здесь, наверное, стоит отметить обнаружение в 2016 году гравитационных волн [1], а также результаты завершившейся в 2011 году программы "Gravity Probe B" [2]. В ходе проведённого в рамках этой программы эксперимента, подтвердилось не только искривление прилегающего к Земле пространства, но и эффект его закручивания. Наподобие того, как вращающийся шар, помещенный в стоячую воду, начинает раскручивать прилегающие к нему слои. Прецессия данного явления измерялась также и ранее, в 2004 году, методом лазерной дальнометрии по отражениям от спутников, запущенных для уточнения параметров гравитационного поля Земли [3].

2 Постановка проблемы

В современной космологии существует давняя проблема - твёрдо установлено наличие аномального явления, заключающегося в высоком действии сил гравитационного притяжения, не соразмерного наблюдаемому количеству вещества. Поэтому ввод в середине прошлого столетия в научный обиход понятия "тёмная материя" [4], которое было направлено на разрешение этой проблемы, среди

значительной части научного сообщества не вызвал возражений, так как ожидалось, что существование указанной субстанции в ближайшие годы получит своё подтверждение.

Однако, к сожалению, до настоящего времени она так и не была обнаружена. С учётом этого многие учёные стали вообще сомневаться в её существовании. Поэтому необходимость объяснения вышеуказанного аномального действия сил гравитационного притяжения не потеряла своей актуальности.

3 Цель статьи

Целью данной статьи является попытка объяснения аномально высокого действия сил гравитационного притяжения (эффекта скрытой массы или "тёмной материи") с позиции рассмотрения пространства как физической структуры.

4 Научная новизна

Рассмотрим простой пример. Имеется слегка надутый резиновый шарик. Пусть средняя толщина его стенки равняется 1 мм и в разных местах колеблется в маленьком диапазоне, например 1 мм плюс-минус 0.0001 мм. Поэтому можно считать свойства его стенки везде приблизительно одинаковыми (изотропными). Однако, если его сильно надуть, так чтобы при расширении средняя толщина стенки стала намного меньше, например 0,0001 мм, то её свойства будут кардинально (в десятки и сотни раз) отличаться в разных местах. То есть, свойства стенки будут в этом случае иметь ярко выраженную локальную анизотропию, которая выявилась (или усилилась) по сравнению с первоначальным состоянием.

Если спроецировать этот мысленный эксперимент на раздутие (расширение) пространства Вселенной, то с учётом того, что пространство может