Векторные булевы функции на расстоянии один от APN-функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

фиксированного оптимального алгоритма, порождающей какое-либо доопределение слова х. Эта величина задана с точностью до аддитивной константы: сложности K (х) и K'(х) по различным оптимальным алгоритмам удовлетворяют соотношению K(х) & K'(х), где f ~ g означает, что разность f — g ограничена [1]. Будем говорить, что алфавит A алгоритмически сильнее алфавита B, и записывать A £ а B, если для любых соответственных последовательностей а и b выполнено K(ab) ~ K(a).

Теорема 1. Введенные соотношения недоопределенных алфавитов по силе эквивалентны, т. е.

A £ f B & A £ c B & A £ s B & A £ а B.

rsj f rsj c rsj s rsj а

С учётом теоремы будем применять запись A £ B без уточнения смысла, в каком она понимается. Будем алфавиты A и B называть равносильными и записывать A ~ B, если A £ B и B £ A.

Теорема 2. Для соответственных алфавитов A и B существуют полиномиальные алгоритмы проверки соотношений A £ B и A ~ B.

Задача сжатия недоопределённых последовательностей ставится как задача такого их кодирования, которое обеспечивает для каждой из них возможность восстановления какого-либо доопределения [2]. Если а и b — соответственные последовательности в равносильных алфавитах A и B, то кодирование для а может рассматриваться и как кодирование для b, поскольку доопределение а0, найденное по коду для а, позволяет получить доопределение для b в виде F(а0) (см. функциональный подход). Если кодирование для а оптимально, оно оптимально и для b. За счёт перехода к равносильному алфавиту иногда удаётся упростить процедуру оптимального кодирования.

ЛИТЕРАТУРА

1. Колмогоров А. Н. Три подхода к определению понятия «количество информации» // Проблемы передачи информации. 1965. Т. 1. №1. С. 3-11.

2. Шоломов Л. А. Элементы теории недоопределенной информации // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2009. №2. С. 18-42.

УДК 519.7

ВЕКТОРНЫЕ БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ НА РАССТОЯНИИ ОДИН

ОТ APN-ФУНКЦИЙ

Г. И. Шушуев

Доказано, что на расстоянии один от произвольной APN-функции все функции являются дифференциально 4-равномерными.

Ключевые слова: векторная булева функция, дифференциально 8-равномерная функция, APN-функция.

В работе исследуются метрические свойства класса векторных булевых функций, а именно APN-функций. Знание метрических свойств позволяет получать конструкции таких функций, а также сокращать перебор при поиске функций, обладающих определённым свойством. Например, метрические свойства класса бент-функций исследовались в работах [1, 2].

В 1994 г. K. Nyberg [3] было введено понятие дифференциально ^-равномерных векторных булевых функций (differentially ^-uniform). Векторная булева функция

F : Zn ^ Zn называется дифференциально 6-равномерной, если при любом ненулевом векторе а € Zn и произвольном векторе b уравнение F(x) ® F(x ® а) = b имеет не более 6 решений, где 6 — целое число.

Для векторной функции F и любого ненулевого вектора а определим множество

Ba(F) = {F(x) 0 F(x 0 а) : x € Z^.

Максимальная достижимая мощность множества Ba(F) равна 2n-1. В частности, если при любом ненулевом векторе а выполнено |Ba(F)| = 2n-1, то функция F является APN, а если выполнено |Ba(F)| ^ 2n-1 — 1, то дифференциально 4-равномерной. Минимальное 6, при котором функция является дифференциально 6-равномерной, назовём порядком дифференциальной равномерности. Расстоянием между векторными булевыми функциями F и G называется мощность множества {x € Zn : F(x) = G(x)}.

Утверждение 1. Пусть F — APN-функция от n переменных. Тогда все функции на расстоянии один от F являются дифференциально 4-равномерными.

Доказательство. Пусть F — APN-функция. Тогда при любом ненулевом векторе а € Zn выполнено равенство |Ba(F)| = 2n-1. Рассмотрим функцию G, совпадающую с F во всех точках, кроме некоторого x1 € Zn. Пусть

Ba(G) = {G(x) 0 G(x 0 а) : x € Zn\{x1, x1 0 а}}.

При любом ненулевом векторе а € Zn множество Ba(F) совпадает с Ba(G) и выполнено равенство |Ba(G)| = 2n-1 — 1.

Заметим, что Ba(G) = Ba(G)U{G(x1 )0G(x10а)}. Тогда для любого значения G(x1), в том числе отличного от F(x1), и при любом ненулевом а € Zn выполнено |Ba(G) | ^ ^ |Ba(G)| = 2n-1 — 1, т. е. функция G является дифференциально 4-равномерной. ■

Гипотеза. Пусть F — APN-функция от n переменных. Тогда все функции на расстоянии один от F являются дифференциально равномерными порядка 4.

Другими словами, на расстоянии один от APN-функций не может быть других APN-функций, т. е. минимальное расстояние между APN-функциями не меньше двух. На расстоянии два APN-функции могут быть; например, функции F = = (0, 0,1, 2,1, 4, 2, 4) и G = (0,0,1, 2,1,4, 4, 2) отличаются двумя последними значениями и обе являются APN-функциями.

Заметим, что гипотеза верна, если и только если существует а € Zn, для которого выполнено равенство |Ba(G)| = |Ba(G)|. Для этого требуется, чтобы сумма G(x1) 0 0 G(x1 0 а) принадлежала множеству Ba(G).

ЛИТЕРАТУРА

1. Коломеец Н. А., Павлов А. В. Свойства бент-функций, находящихся на минимальном расстоянии друг от друга // Прикладная дискретная математика. 2009. №4. С. 5-20.

2. Коломеец Н. А. Перечисление бент-функций на минимальном расстоянии от квадратичной бент-функции // Дискретн. анализ и исслед. операций. 2012. Т. 19. №1. С. 41-58.

3. Nyberg K. Differentially uniform mappings for cryptography // LNCS. 1994. V. 765. P. 55-64.