CC BY
14
2005
Доклады БГУИР
апрель- июнь
№ 2
УДК 512.942:513.88.531
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА В КОЛЬЦАХ Я3 И Я3 — ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ОСНОВА МОДЕЛИРОВАНИЯ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА КОМПОЗИТЫ СИЛОВЫХ ПОЛЕЙ
Э.Д. ПОДЛОЗНЫЙ
Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники П.Бровки, 6, Минск, 220013, Беларусь
Поступила в редакцию 10 марта 2005
В статье рассматривается кольцо трехмерных векторов Я3 и его расширение на одно измерение Я3 (Я4), разложения колец, типы факторизаций, разрешимость и формулы решений
одночленных однопроекторных уравнений второго порядка с одним и двумя коэффициентами. Разработанный аппарат был применен к исследованию парных и тройных векторных уравнений для расчета задач механики при воздействии на композиты силовых полей.
Ключевые слова: кольцо, факторизация, проектор, парные и тройные векторные уравнения, механика.
Введение
В настоящее время принцип факторизации становится универсальным [1]. В работах Г. С. Полетаева была обнаружена с кольцевой точки зрения общность интегральных, векторных и других уравнений в кольцах с факторизованными парами [2].
Векторные уравнения — простейший пример уравнения в неассоциативных кольцах, связанных с проекторами и факторизационными парами.
Известно, что кольцо Я3 является антикоммутативным и неассоциативным, без мультипликативной единицы.
Проведя процедуру расширения кольца Я3 путем присоединения формальной мультипликативной единицы 5 аналогично [3], получим кольцо Я3 (И4), в котором обобщенный вектор
~ = а5 + х , аеЯ1, х еЯ3. (1)
Введены в Я3 (И4) операции сложения и умножения (векторного произведения) обобщенных векторов [4].
Кольцо Я3 (И4) можно рассматривать как расширение пространства Я3 на одно измерение. В Я3 указан способ умножения четырехмерных (обобщенных) векторов.
Таким образом, с учетов сложения и умножения векторов на вещественные числа Я3 будет кольцом.
Заметим, что кольцо Я3 не совпадает с кольцом кватернионов, так как произведение элементов в них введено разными способами.
Так, в Я3 и Я3 векторное произведение орт 1, _), к имеет вид, например,
I х I = ] х ] = к х к = 0. (2)
В то же время, в кватернионах для этих же векторов /, к имеет место
I ° I = ] ° ] = к ° к = —1. (2)
Отметим, что в настоящее время техника применения кватернионов усиленно развивается в физике и механике [5].
Даны формулы разложения кольца Я и понятия факторизационных пар (левой, правой, правильной, нормированной, двухсторонней). Показана единственность факторизации по фак-торизационной паре подколец. Поставлена задача разрешимости решений одночленных одно-проекторных уравнений второго порядка с одним коэффициентом а:
(ах+) + = Ь\ (3)
(у-а)- = с-,
где х+ е Я + , у е Я — неизвестные, а — известный обратимый в Я, правые части Ь+, с заданы.
Сформулированы и доказаны шесть теорем для решения данных уравнений и системы. Дано понятие обратимости обобщенных векторов в кольце Я3, доказана теорема об обобщенном векторе а , определяемом по формуле
~ = а-15 - а-2а . (4)
Доказаны две теоремы о разрешимости одночленных однопроекторных уравнений второго порядка с двумя коэффициентами а1, а2:
[а:х+а2]+ =Ь+, (5)
[а2У"а1]" = с".
Дана постановка простейших задач механики, которые приводят к векторным уравнениям (системам) в ряде случаев с дополнительными условиями.
Задачи механики с позиций уравнений в кольцах с факторизационными парами с неизвестными векторами х и др. в Я3 моделируются парными
а х х = Ь1, (6)
а2 х х — Ь2.
и тройными векторными уравнениями:
[[ х х ]= Ь1-,
[а2 х х ] = Ь^, (7)
[а3 х х ]+ = Ь3+ .
Аналогично будем иметь и в Я3.
В уравнениях (3), (5)-(7) символы ±, А указывают на применение соответствующих проекторов или принадлежность подмножествам.
Получены формулы решения х е Я3 уравнения (6) (при выполнении ряда условий) в
виде
_ = № =_Щ, (8)
(0,^2) («1^2) если (а1Ь2) = -(а2Ь1) Ф 0,
_ = [(01, О;, Ь1)02 - (0Р 02 , Ь2)01] (9)
[0102]2 '
если («Ь2) = -(а2Ь1) = 0 .
Аппарат разрешимости одночленных однопроекторных уравнений второго порядка с одним и двумя коэффициентами был применен к исследованию парных и тройных векторных уравнений для расчета сил (усилий) воздействия силовых полей ряда задач механики (задача квазистатического взаимодействия двух тел, реакции взаимодействия гибкой нити в процессе навивки и сил моментов при винтовом перемещении стержня в сплошную среду) [4].
На основе разработанной теории парных векторных уравнений подана заявка на изобретение РБ № 20010126 [6], отражающая исследование по "структурно-реактивному" методу пенетрации стержней с винтовым наконечником в сплошную среду.
VECTOR ALGEBRA IN RINGS R3 AND R3 IS THE THEORETICAL BASE OF MODELING ACTION OF FORCE FIELDS
ED. PODLOZNY Abstract
The paper considers three-dimensional vector rings R3 and expansion to one dimension part
R3 (R4), resolution of rings, tips of factorization, solvability and formulas of solution of term single-
projector of two-order with one and two coefficients. A body of mathematics has been used for investigation to pair and three vector's equation for computation of mechanics problems by action on composites of force fields.
Литература
1. ЗайцевВ.Ф. // Вестн. Гродн. гос. ун-та. 2001. Сер. 2. С. 20-24.
2. Полетаев Г.С. Об уравнениях и системах одного типа в кольцах с факторизационными парами (Препринт / АН УССР. Ин-т математики). Киев. 1998.
3. Гельфанд И.М., Райков Д.А., Шилов Г.Е. Коммутативные нормированные кольца. М., 1960.
4. Подлозный Э.Д., Полетаев Г.С. Задачи и уравнения в кольцах R3, R3 с векторным произведением и
примеры их применения в механике (Препринт / Белорус. нац. техн. ун-т ). Мн., 2003.
5. Ханукаев Ю.И. О кватернионах I. Конечные перемещения твердого тела и точки // Электрон. журн. "Исследовано в России" / http://zhurnal.ape.relarn.ru//aticles/2002/033.pdf, С. 338-347.
6. Заявка на изобретение РБ, № 20010126, МКИ Е21В, E02D. Способ погружения винтовых свай и устройство для его осуществления. Подлозный Э.Д., Бухаров А.В. // Афщыйны бюл., Мн., 2002. № 3. (30.09.2002). С. 45.
