CC BY
29
УДК 519.711.3; 517.958:535; 51:37
Р.Л. Евельсон, к. ф.-м. н., с.н.с.
Академия гражданской защиты МЧС России
ВЕКТОР ПРОИЗВОЛЬНОГО РАНГА В МОДЕЛИРОВАНИИ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ВЕКТОРНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
В работе вводится новое понятие - вектора произвольного ранга, обобщающее понятие тензора произвольного ранга в 3-мерном пространстве без подразделения на тип вариантности (ко- и контрвариантность). Это понятие позволяет разрешить противоречие между инвариантно определёнными физическими величинами и существующими их не инвариантными представлениями при моделировании явлений.
R.L. Evelson
VECTOR OF AN ANY RANK IN MODELING THE PHYSICAL PHENOMENA WITH THE HELP OF VECTOR CALCULATING
In work the new concept - vector of any rank generalizing concept tensor of any rank in 3-d space without division on a type of alternativeness (co- & contra- alternativeness) is entered. This concept allows permitting the contradiction between invariantly by the certain physical values and existing by its not invariant representations at modeling of the phenomena.
Введение
Методы предсказания ЧС связаны с моделированием процессов и явлений на всех стадиях их жизни и развития - от стационарного до экстремального состояний. Такими явлениями могут быть метеорологические или гидрологические процессы, описание которых требует одновременно и точности, и максимальных упрощений, волновые явления в гео-сферной среде, от которых можно ожидать предвестниковых (предикторных) прогностических свойств в многомерной среде.
Известны требования, которые обычно предъявляются к математическим моделям того или иного явления. Обычно эти требования взаимно противоречивы и состоят в том, чтобы, с одной стороны, модель описывала бы все основные характерные черты самого явления, а с другой стороны - чтобы модель явления была бы упрощена и допускала бы математический обсчёт в опережающем или реальном режиме. Кроме того, модель должна быть легко обозримой и компактной так, чтобы все громоздкие рутинные расчёты можно было бы «поручить» ЭВМ.
Компактное представление модели с большим числом параметров и переменных обычно достигается с помощью известных матричного, векторного и тензорного исчислений [1-3]. При этом принято считать, что тензорное исчисление является обобщением векторного исчисления. Это действительно так, поскольку вектор определён только в 3-мерном пространстве, а тензор - в произвольном n-мерном пространстве. Но в обычном 3-мерном пространстве тензор нельзя считать обобщением вектора, так как вектор может быть разложен по произвольным базисам, а тензор - только по двум взаимно ортогональным базисам или только по двум одинаковым базисам. Эти базисы могут повторяться r раз, где r - ранг тензора. Подробнее о возникающих здесь трудностях тензорного исчисления рассказано в [3].
С точки зрения создания модели минимизация размерности или ограниченность числа допустимых базисов приводит к сокращению числа параметров, требуемых для её описания.
В данной работе вводится новое понятие - понятие вектора произвольного ранга r, который может быть описан с помощью r произвольных базисов. Это понятие введено с помощью матричного исчисления в 3-мерном пространстве. Элементами матриц здесь могут быть не только числа, но и обычные векторы, обычные тензоры и даже векторы более низкого ранга. Являясь подлинным обобщением обычных векторов (r=1) и тензоров ранга r в трёхмерном пространстве, векторы ранга r имеют в своём описании значительно большее число параметров, а потому могут служить хотя бы отдельными эффективными «кирпичиками» при построении грандиозного здания математической модели источника ЧС.
__89
Научные и образовательные проблемы гражданской защиты
Вывод основных формул
Введем в рассмотрение матрицы столбцы из скаляров и векторов
а
Г а1) [ё1"
а2 , е = _2
V аз V ез )
и соответствующие строки
—Т а
=(
а1 а2 а3),
= (е1е2ез \
(2)
где индекс «Т» по существу означает матричное транспонирование. Тогда произвольный вектор а можно записать в виде
а = аТе = еТа, (3)
откуда следует, что вектор а можно представить в виде матричного произведения ко_ _т _ _ Т
ординаты (а или а ) на базис (е или е ) в соответствующем формулам (3) порядке.
Очевидно, что при данном векторе а и при конкретном выборе базиса е координата а будет зависеть от этого базиса, что можно записать в виде равенства
а = а— или аТ = аТ . (4)
Тогда вместо (3) более информативно имеем
а = аТе = еТа_. (5)
Индикацию зависимости координат от базиса будем опускать для случая, ко гда базис является ортонормальным, т.е. когда его базисные векторы совпадают с ортами i, у, k прямоугольной декартовой системы координат:
е =
( ^ Л
г е11 1
_2 = _
V ез ) Vk у
(6)
Если в соответствии с монографией [1 ] для произвольных векторов а и Ь выражения
а • Ь, а х Ь, аЬ (7)
означают соответственно скалярное, векторное и тензорное произведения, то для базиса (6) можно легко получить
•Т
• е = 3, еТ х е = О
_ _ Л
еТе = Е,
Л
_ _Т те • е = Е,
(8)
где Е - единичная матрица третьего порядка, а Е - единичный тензор второго ранга в трехмерном пространстве.
Рассмотрим теперь произвольные базисы
р = р_, д = д_, (9)
где Р, () - произвольные невырожденные 3х3 числовые матрицы. В соответствии с (5) для вектора а имеем
а = аРр = аТРе = аТ4 = аТQе. (10)
Сравнивая (10) с (3), имеем
аТ = а^Р = аТQ или а = РТаР = ОТЩ. (11)
Отсюда получаем
\-1 I Т \-1
а.
= (рТ У а, Щ = {дТ)-
а,
т.е. совершенно произвольные координаты вектора а в базисах р и Я, так как матрицы Р и Q здесь совершенно независимы друг от друга. В то же время для построения тензорного исчисления, которое считается обобщением векторного исчисления, совершенно необходимым оказалось дополнительное предположение, согласно которому матрицы Р и Q в (12) должны удовлетворять соотношениям
ЯТ = Р_1, РТ = Q_1. (13)
В качестве примера с помощью введенных обозначений можно получить выражение
для тензора инерции в инвариантном виде J = ^ т
Л ^Л Л
Е г ■ г - гг
минуя усложняющие
ЧУ
задачу тензорные обозначения в индексном виде [2] через компоненты радиуса-вектора Г точки твердого тела.
2 —
С помощью обозначений (1), (2), (6) можно ввести понятие вектора второго ранга а , для которого получается зависящее от двух произвольных базисов (9) представление
2 - - Т 2— — —Т 2— — ~Т 2— —
а = Р ащЧ = Я ащР =е а—— е , (14)
2_ 2_ 2_
где ащ, , - некоторые взаимно связанные между собой 3х3 матрицы,
2 —
представляющие собой координаты одного и того же 2-вектора а в трех различных парах базисов. Если базисы (9) в (14) удовлетворяют соотношениям:
р ■ ЯТ = Е или р = Я , (15)
2 —
то а совпадает со всеми принятыми в современном тензорном исчислении понятиями тензоров второго ранга.
Понятие вектора ранга п легко вводится рекуррентным способом с помощью столбцов из векторов ранга п-1:
па = -Т п-1а = е1 п-1а1 + е2 п-1а2 + е3 п-1а3. (16)
Отметим также, что вектор ранга п можно называть и тензовектором ранга п согласно работе автора [3].
Заключение
При изучении линейных преобразований в разделе линейной алгебры курса общей математики само понятие линейного преобразования определяется как инвариантная величина, иллюстрирующая правила преобразования одного вектора (прообраза) в другой вектор (образ). Однако представление этой операции зависит от координатного представления образа и прообраза. В настоящей работе приведена возможность ухода от этого стандартного подхода.
Изложенные результаты исследований имеют инициативный и в то же время унифицированный характер, а их внедрение может играть достаточно полезную роль как при разработке прогностических моделей, так и в преподавании математических дисциплин общепрофессионального раздела образовательного стандарта высшего образования на кафедрах общей и прикладной математики.
Литература
1. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. - М.: Наука, 1965.
2. Ландау Л.Д. и Лифшиц Е.М. Механика. - М.: ГИФМЛ, 1958.
3. Евельсон Р.Л. Методические трудности современного тензорного исчисления и метод их устранения с применением в электродинамике // Электромагнитные волны и электронные системы. М.: Наука. Т. 10. № 10, 2005. - С. 3-20.
