Вариационный подход к оценке диэлектрической проницаемости композита с дисперсными включениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика А Математическое

моделирование

ХДК 517.1; 530.1

Вариационный подход к оценке диэлектрической проницаемости композита с дисперсными включениями

Зарубин В. С.1, Кувыркин Г. Н.1, Пугачев О. В.1'* * fn2@bmstu.ru

1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

Построенная двойственная вариационная форма математической модели, описывающая распределение электрического потенциала и вектора электрического смещения в композите с хаотически ориентированными дисперсными изотропными включениями, использована для двусторонних оценок возможных значений относительной диэлектрической проницаемости такого композита. Предложен представительный элемент структуры рассматриваемого композита с включениями шаровой формы, моделирующими форму дисперсных включений, имеющих близкие размеры во всех направлениях. Для этого представительного элемента найдено решение задачи электростатики, позволившее путем вычисления соответствующих функционалов получить расчетную зависимость диэлектрической проницаемости композита от диэлектрических проницаемостей матрицы и включений и их объемной концентрации. Результаты количественного анализа этой зависимости не выходят за границы, определяемые двусторонними оценками, что свидетельствует об адекватности использованного вариационного подхода и возможности его применения для прогноза диэлектрических характеристик композитов с дисперсными включениями (в том числе в виде наноструктурных элементов).

Ключевые слова: композит; диэлектрическая проницаемость; дисперсные включения

Введение

Композиты, благодаря большим возможностям формирования различных физико-механических свойств, находят широкое применение в различных областях техники. В структуре композита как неоднородного материала принято выделять включения и матрицу. Область применения композита, главным образом, определяют свойства включений, а основная роль матрицы, как правило, состоит в объединении включений в единое целое. Такое распределение функций включений и матрицы характерно для композитов, армированных высокопрочными и высокомодульными включениями и используемых в качестве конструкционных материалов.

Однако подбор свойств как включений, так и матрицы позволяет удовлетворить различным требованиям к материалам, и расширить сферу применения композитов, в том числе в

Ссылка на статью:

// Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. №2. С. 37-49.

Б01:10.7463/шаШш.0215.0769483

Представлена в редакцию: 25.03.2015 © МГТУ им. Н.Э. Баумана

качестве функциональных материалов, используемых при создании различных электротехнических устройств и приборов. Для композита как функционального материала одной из основных характеристик является относительная диэлектрическая проницаемость [1, 2], зависящая от диэлектрических свойств не только включений, но и матрицы, а также от формы и объемного содержания включений.

Структуру композита определяют форма включений и их расположение в матрице. Одним из вариантов структуры композита является дисперсная система [3], состоящая из дисперсионной среды (матрицы) и распределенной в ней дисперсной фазы (включений) с развитой поверхностью раздела между ними. Форма дисперсных включений может быть различной. Если размеры включений во всех направлениях близки между собой, то их форму в первом приближении можно принять шаровой. Для включений в форме шара получены оценки эффективной диэлектрической проницаемости композита методом теории смесей [2] и методом асиптотического осреднения [4]. Последний метод применен также для оценки диэлектрических свойств композита, армированного волокнами [5].

Один из возможных подходов к оценке диэлектрической проницаемости характеристик композита опирается на двойственную вариационную форму математической модели, описывающей распределение потенциала электростатического поля в неоднородном твердом теле. Эта формулировка содержит два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый), достигающих на истинном распределении потенциала равных экстремальных значений. Значения альтернативных функционалов на допустимых для них распределениях позволяют получить двусторонние оценки диэлектрической проницаемости неоднородного тела.

1. Двойственная вариационная форма модели

Пусть неоднородное твердое тело, соответствующее рассматриваемому композиту, занимает область V, ограниченную поверхностью Б. При отсутствии в этом теле свободных электрических зарядов из полной системы уравнений Максвелла [2, 6] следуют уравнения электростатики в виде [7, 8]

V х Е(М) = 0, V ■ Б(М) = 0, М е V, (1)

где V — дифференицальный оператор Гамильтона; Е и Б — векторы напряженности электростатического поля и электрического смещения (электрической индукции) соответственно, зависящие от положения точки М в области V; 0 — нулевой вектор. Путем введения соотношением

Е(М) = -VI] (М) (2)

скалярного электрического потенциала и первое уравнение (1) будет удовлетворено тождественно.

При хаотическом расположении включений в изотропной матрице композит также является изотропным по отношению к свойству диэлектрической проницаемости, т.е. векторы Б и Е коллинеарны и связаны равенством [2, 7]

Б(М )= еое(М)Е(М), (3)

А

где е0 = 8,8542-10-12---электрическая постоянная, е — относительная диэлектрическая

В ■ м

проницаемость (для ваккума е = 1, а для диэлектриков е > 1). Распределение электрического потенциала в такой среде должно удовлетворять дифференциальному уравнению в виде

V ■ (е(М)VU(М)) = 0, (4)

которое следует из второго уравнения (1) и равенств (2) и (3).

Выделим на поверхности Б рассматриваемой области V участки Б1 и Б2, на которых заданы значения соответственно и1 и ]2 электрического потенциала:

и(Р) = ]1, Р е Б1; и(Р2) = и2, Р2 е Б2; Б1 п Б2 = 0. (5)

Это означает, что вариация ¿и электрического потенциала на этих участках тождественно равна нулю:

¿и(Р) = 0, Р е 51; ¿и(Р2) = 0, Р2 е Б2. (6)

Остальные участки Б0 = Б \ (Б1 и Б2) поверхности Б примем идеально электроизолированными, т.е.

VU(Р) ■ п(Р) = 0, Р е Бо С Б, (7)

где п — единичный вектор внешней нормали в точках Р.

После умножения уравнения (4) на вариацию ¿и(М), М е V, интегрирования полученного произведения по области V и использования первой формулы Грина в виде [9] (обозначение точки М опущено)

I V ■ ^и) ¿и ¿V = У е^и) ■ п ¿и^Б - ^ е^и) ■ V(¿U) ¿V

V Я V

с учетом равенств (6) и (7) запишем

¿1 е (VU )2 ^ = 0,

V

что соответствует условию ¿7[и, ¿и] = 0 стационарности функционала

■ [и] = /1 (vи )2 ау. (8)

Функционал ■ [и] допустимо рассматривать на множестве непрерывных в области V и кусочно дифференцируемых в ней функциях и(М), М е V, удовлетворяющим условиям (5)

на участках $1 и Б2 поверхности Б. При е > 0 этот функционал является строго выпуклым (вниз) [7,10] и в стационарной точке Р*(М), М € V, достигает наименьшего значения 7 [и*]. При достаточной гладкости функции и*(М) она будет удовлетворять дифференциальной форме математической модели, включающей дифференциальное уравнение (4) и граничные условия (5) и (7).

Если введением векторной функции Б(М) = —е(М)УР(М) (М € V и Б0) расширить область определения функционала (8), а затем наложить на эту функцию дополнительные условия, определяемые вторым уравнением (1) и равенством Б(Р) • п(Р) = 0, Р € Б0, то получим альтернативный по отношению к функционалу 7[и] максимизируемый функционал

I [Б] = — I 2)! ¿V — и У Б • п ^Б — и2 У Б • п ^Б. (9)

Этот функционал допустимо рассматривать на множестве непрерывно дифференцируемых в области V векторных функций Б(М), М € V, удовлетворяющих второму уравнению (1) и интегрируемых на участках Б1 и Б2 поверхности Б. При е > 0 функционал (9) является строго выпуклым вверх [7,10] и в стационарной точке I[Б*] достигает наибольшего значения, совпадающего со значением 7[и*].

2. Двусторонние оценки диэлектрической проницаемости композита

Двойственная вариационная форма математической модели, содержащая альтернативные функционалы (8) и (9), позволяет получить гарантированные двусторонние оценки диэлектрической проницаемости макроскопически однородного изотропного композита с хаотически ориентированными изотропными дисперсными включениями. В качестве области V, занятой композитом, выберем прямой цилиндр высотой Н с боковой идеально электроизолированной поверхностью Б0, на основаниях которого Б1 и Б2 площадью Р заданы значения соответственно Р1 и Р2 электрического потенциала. Композит состоит из матрицы с относительной диэлектрической проницаемостью е° и дисперсных включений с относительной диэлектрической проницаемостью е^ и объемной концентрацией Су.

В качестве допустимого для функционала (8) примем линейное по высоте цилиндра

£

распределение электрического потенциала, описываемое функцией и* (г) = Р2+(Р1 — Р2) —,

Н

где г — расстояние от основания Б2 цилиндра вдоль его образующей. Такому распределению будет соответствовать значение функционала (8)

7 [Р] = (Р1 — Р2)2е°Р 1 — Сун+ ^ (10)

где е = е°/е\ Для функционала (9) допустимым является вектор Б электрического смещения, имеющий единственную составляющую в направлении отсчета координаты г. При этом функционал (9) примет вид

I [Б] = —Р2РН1 — Су2е+ Су + ^ (и — Р1)Р.

Необходимое условие dT [D] /dDz = 0 существования максимума этого функционала будет выполнено при

D = (U- U'> 1 - X'+cv /с ■

В итоге получим

т[D] = ш U ^ g°F/(2H)

1 [D] = (Ul - U2) 1 - cv + cV Для однородного изотропного композита при заданных значениях U1 и U2 на основаниях цилиндра распределение U*(z) будет истинным, т.е. в этом случае U*(z) = U*(z), а функционал (8) примет значение

е* F

J[U*] = (Ui - U2)2 (11)

где е* — оцениваемое значение относительной диэлектрической проницаемости композита. Поскольку при допустимых для функционалов (8) и (9) распределениях соответственно электрического потенциала U и вектора D электрического смещения справедливо неравенство J[U] ^ J[U*] ^ T]D], из сопоставления соотношений (10)—(11) следуют двусторонние оценки

^ = 1 - CV + CV е ^ - ^ --^ 1 Г1 . = — ■ (12)

е° v v с° i - Су + Cv/с е°

3. Представительный элемент структуры композита

Если дисперсные включения имеют во всех направлениях близкие между собой размеры, то форму таких включений допустимо в первом приближении принять шаровой. Тогда представительный элемент структуры композита можно выбрать в виде составной частицы, содержащей половину сплошного шарового включения радиусом R1 с относительной диэлектрической проницаемостью е% покрытого половиной шарового слоя с внешним радиусом R из материала матрицы с относительной диэлектрической проницаемостью е°.

В сферических координатах r, $, ^ основанию составной частицы будет соответствовать плоскость с угловой координатой $ = п/2. В этой плоскости примем значение электрического потенциала U равным нулю. На полусферической поверхности при r = R зададим в сферических координатах распределение электрического потенциала в виде

U(R, $) = AoR cos $, Ao = const > 0, (13)

не зависящее от угловой координаты т.е. симметричное относительно оси отсчета угловой координаты $.

В каждой из двух составных частей представительного элемента структуры композита относительная диэлектрическая проницаемость является постоянной величиной. Поэтому распределение электрического потенциала в этих частях будет удовлетворять уравнению Лапласа в виде

1 dfr2 dU^i 1 1 д fsin = 0 (14)

r2 dr V dr J r2 sin $ d$ V d$ J

При заданных выше граничных условиях этому уравнению в слое матрицы удовлетворяет распределение[11, 12, 13]

Um(r,$) = ^Amr + ^г) cosAm, Bm = const, (15)

а в половине шарового включения в силу ограниченности электрического потенциала при r = 0 распределение электрического потенциала следует представить соотношением

U * (r, $) = A* r cos A* = const. (16)

В формулы (15) и (16) входят три неизвестные коэффициента. Из условий непрерывности на сферической поверхности при r = R электрического потенциала и вектора электрического смещения с учетом формул (2) и (3) запишем

Л • Л ВГ — А Щ А

A = Am + , = Am —

ЯГ m Я1

Отсюда следует

Вт — AmRi0 ^ А — А„о i _. (I7)

;1 - £ 3

, А - Ат •

2 + £ т 2 + £

Подставляя второе равенство (17) в формулу (15) и используя граничное условие (13), при

(Д^Д)3 — Су находим

2 + £

•4"' — 2 + £+(1 -£)Су • (18)

Из формул (16), (18) и первого равенства (17) для включения получим

9А0

(W Т

(2 + ё+(1 - Е)Су)2' Для слоя матрицы, используя формулу (15), необходимо предварительно найти

dUm / 2Bm \ 1 dUm / Bm \ .

= Am--^ COS -—- = — Am +--^ Sin д,

dr V r3 / r дд V r3 /

а затем вычислить

(VП )2 = ГdUm\2 + 1 ГdUm\2 = A2 + B2 1 + 3COS2 д + 2 A B ^W д (VUm) = ^+ r2 ^= Am + Bm-^- + 2AmBm-^-'

Функционал (8) для рассматриваемого представительного элемента структуры композита с учетом свойства аддитивности интеграла по отношению к области интегрирования имеет вид

R1 тг/2 R п/2

J[П] = пе'У r2 dr f (VU•f sinddd + ^ r2 dr J (VUm)2 sinddd.

0 0 Rl 0

Отметим, что

71-/2 7Г/2

У (1 + 3cos2д) sinddd = 2, J (1 - 3cos2д) sinddd = 0. (19)

В итоге вычисления функционала с использованием формул (17)-(19) получим

,9еСу + ((2 + е)2 + 2(1 - е)2Су)(1 - Су)

3 [и] = 3 А2е°Я3--(-)2-.

3 (2 + ё+(1 - ё)Су)

При замене рассмотренной составной частицы полушаром из однородного изотропного композита с искомой диэлектрической проницаемостью е граничному условию (13) и уравнению (14) будет удовлетворять распределение электрического потенциала и* (г, $) =

А0г сое Тогда получим (УР*)2 = АО

и

Я п/2

3[и*] = пе У г2 с1г I (У и*)2 яд ^ С^ = ПА0еЯ3.

"2 Сг J Т ^2 Л ЛЛ _ Л^ о3 00

Из условия 3[и] = 3[и*] находим

е _ 9еСу + ((2 + е)2 + 2(1 - е)2Су) (1 - Су) е° = (2 + е + (1 - е)Су)2 .

Преобразованием числителя дроби в правой части этого равенства к виду

(2 + е + (1 - ё)Су) (2 + е - 2(1 - е)Су)

в итоге получим

е 2 + е - 2(1 - ё)Су

у

е° 2 + ё+(1 - е)Су 4. Результаты расчетов

(20)

При графическом представлении результатов количественного анализа полученных расчетных зависимостей целесообразно их нормировать по верхнй оценке е+ возможного значения относительной диэлектрической проницаемости композита, определяемой соотношением (12). На рис. 1 для различных значений е = е^/е° > 1 приведены зависимости отношений е=е_ /е+ (штриховые линии) и е = е/е+ (сплошные кривые) от объемной концентрации Су включений, построенные с использованием формул (12) и (20) соответственно. Для сравнения штрихпуктирными линиями представлены зависимости от Су отношения е* = е*/е+, в которое входит полученная в рамках смесевой модели оценка относительной диэлектрической проницаемости [2]

е* = (1 - Су + Суе1/3)3.

Отметим, что кривая для меньшего единицы значения 1/е совпадает с приведенной на рисунке кривой для значения е > 1 при условии замены абсциссы Су на 1 - Су, т.е. в этом случае Су выполняет роль объемной концентрации в композите материала матрицы.

О 0,2 0,4 0,6 0,8 Су

Рис. 1. Области возможных значений диэлектрической проницаемости композита и зависимости их нормированных по верхней оценке значений от объемной концентрации включений Су при различных значениях параметра ё

Для фиксированного значения £ каждая из штриховых линий на рисунке ограничивает снизу область возможных значений относительной диэлектрической проницаемости композита, нормированных по величине £+ для этого значения £. С увеличением отклонения значений £ или 1 /£ от единицы эта область расширяется, поскольку верхней границей всех таких областей на рисунке является прямая с ординатой, равной единице. В каждой области, соответствующей фиксированному значению £, полностью расположены графики зависимостей от Су отношений £ — е/е+ и £ — £*/е+, причем £ < £ при Су € (0; 1). Следует отметить, что при малых значениях Су эти графики практически совпадают со штриховой линией для данного значения £, но по мере возрастания Су соответствующие кривые сначала расходятся, а затем сближаются при Су ^ 1.

Заключение

Двойственная вариационная форма математической модели, описывающая распределение электрического потенциала и вектора электрического смещения в композите с хаотически ориентированными дисперсными включениями позволила построить двусторонние оценки возможного значения относительной диэлектрической проницаемости этого композита. Путем решение задачи электростатики для представительного элемента структуры композита с шаровыми дисперсными включениями и вычисления значений соответствующих функционалов получена зависимость диэлектрической проницаемости такого композита от диэлектрических проницаемостей матрицы и включений и их объемной концентрации. Результаты количественного анализа этой зависимости не выходят за границы, определяемые

двусторонними оценками, что свидетельствует об адекватности использованного вариационного подхода и возможности его применения для прогноза диэлектрических характеристик композитов с дисперсными включениями (в том числе в виде наноструктурных элементов).

В силу аналогии между математическими формулировками задач электро- и магнитостатики, а также телопроводности в твердых телах рассмотренный вариационный подход может быть применен и для прогнозирования магнитной восприимчивости композитов, электропроводности и коэффициента теплопроводности неоднородной среды.

Работа выполнена по гранту НШ-1432.2014.8 программы Президента РФ государственной поддержки ведущих научных школ, а также в рамках проекта 1712 в сфере научной деятельности в части государственного задания № 2014/104 Минобрнауки РФ и государственного задания по проекту № 1.2640.2014.

Список литературы

1. Физический энциклопедический словарь / гл. ред. А.М. Прохоров. М.: Советская энциклопедия, 1983. 928 с.

2. Ландау Л.Д., ЛифшицЕ.М. Теоретическая физика: В 10 т. Т. 8. Элетродинамика сплошных сред. М.: Наука, 1992. 664 с.

3. Политехнический словарь / гл. ред. А.Ю. Ишлинский. М.: Советская энциклопедия, 1989. 656 с.

4. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П., Маркевич М.Н. Математическое моделирование диэлектрических свойств полимер-керамических композиционных материалов методом асимптотического осреднения // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 10. С. 97-108. DOI: 10.7463/1013.0623343

5. Димитриенко Ю.И., Соколов А.П., Маркевич М.Н. Моделирование диэлектрических характеристик композиционных материалов на основе метода асимптотического осреднения // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. №1. С. 49-64. DOI: 10.7463/0113.0531682

6. МоженЖ. Механика электромагнитных сред: пер. с англ. М.: Мир, 1991. 560 с. [Maugin

G.A. Continuum mechanics of electromagnetic solids. Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 1988].

7. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2008. 512 с.

8. Димитриенко Ю.И. Механика сплошной среды: учеб. пособие. В 4 т. Т. 2. Универсальные законы механики и электродинамики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им.

H.Э.Баумана, 2011. 560 с.

9. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики/ под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-воМГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 700 с.

10. Ванько В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление/ под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-воМГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 488 с.

11. Зарубин В.С., Котович А.В., Кувыркин Г.Н. Оценки эффективного коэффициента теплопроводности композита с анизотропными шаровыми включениями. Известия РАН. Энергетика. 2012. №6. С. 118-126.

12. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Сравнительный анализ оценок коэффициента теплопроводности композита с анизотропными шаровыми включениями. Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. №7. С. 299-318. DOI: 10.7463/0713.0569319

13. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н., Савельева И.Ю. Оценка эффективной теплопроводности композита с шаровыми включениями методом самосогласования // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. №9. С. 435-444. DOI: 10.7463/0913.0601512

Mathematics i Mathematical Modelling

Electronic journal of the Bauman MSTU

Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU, 2015, no. 2, pp. 37-49.

DOI: 10.7463/mathm.0215.0769483

Received: 25.03.2015

© Bauman Moscow State Technical University

http://mathmjournal.ru

A Variational Approach to the Estimate of the Permittivity of a Composite with Dispersed Inclusions

Zarubin V. S.1, Kuvyrkin G.N.1, Pugachev O.V.1*

fn2@bmstu.ru

1Bauman Moscow State Technical University, Russia

Keywords: composite, permittivity, dispersed inclusions

Composites are inhomogeneous materials (heterogeneous solid body, which fall into the matrix and inclusions. The matrix in a composite is a binder between the inclusions. The properties of the inclusions mainly determine the application of composites. Selection of the characteristics of the matrix and inclusions enables us to meet the requirements for materials to be used in various fields of technology. Composites are widely used as structural or thermal protection material and as functional materials in various electrical devices, including dielectrics. One of the most important characteristics of the composite dielectric is the relative permittivity. The latter is primarily determined by the dielectric properties of the matrix and inclusions, as well as the shape and volume concentration of inclusions.

For a composite with dispersed inclusions we are able to construct adequate mathematical models which enable us to predict sufficiently reliably the dependence of its dielectric constant on these defining parameters. In this paper, among the various approaches to the construction of such models we emphasize a variational approach which allows us not only to determine this dependence, but also obtain guaranteed bilateral boundaries of the area of possible values of the dielectric constant of the composite used to estimate the highest accuracy of calculated values.

The representative element of the composite structure with inclusions of spherical shape modeling the form of dispersed inclusions with dimensions close to all directions is considered. For the representative element we obtained the electrostatic potential distribution that is permissible for the minimized functional. The latter is the part of the variational form of a mathematical model which describes the dielectric properties of the considered composite. From the equality of the values of this functional on the received permissible distribution in a representative element of the composite structure and on the distribution in the equal-element of homogeneous medium with the desired dielectric constant of the composite we determined the dependence of this value on the dielectric characteristics of the matrix and inclusions and on the volume concentration of inclusions.

Quantitative analysis of the obtained dependence in a wide range of defining parameters showed that all the results of the calculations are located in the area of possible values. This area is defined by constructed bilateral estimates. This confirms the appropriate use of the variational approach and the possibility of its application for the prediction of the dielectric characteristics of composites with dispersed inclusions.

References

1. Prokhorov A.M., ed. Fizicheskii entsiklopedicheskiislovar' [Phisical encyclopedic dictionary]. Moscow, Sovetskaya entsiklopediya Publ., 1983. 928 p. (in Russian).

2. Landau L.D., Lifshits E.M. Teoreticheskaya fizika. V10 t. T. 8. Elektrodinamika sploshnykh sred [Teoretical physics. In 10 vols. Vol. 8. Electrodynamics of continuous media]. Moscow, Nauka Publ., 1992. 664 p. (in Russian).

3. Ishlinskii A.Yu., ed. Politekhnicheskii slovar' [Politechnical dictionary]. Moscow, Sovetskaya entsiklopediya Publ., 1989. 656 p. (in Russian).

4. Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P., Markevich M.N. Mathematical simulation of dielectric properties of polymer-ceramic composite materials, using the asymptotical averaging method. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2013, no. 10, pp. 97-108. DOI: 10.7463/1013.0623343 (in Russian).

5. Dimitrienko Yu.I., Sokolov A.P., Markevich M.N. Modeling of dielectric properties of composite materials on the basis of asymptotic averaging. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2013, no. 1, pp. 49-64. DOI: 10.7463/0113.0531682 (in Russian).

6. Maugin G.A. Continuum mechanics of electromagnetic solids. Amsterdam, North-Holland Publishing Co., 1988. (Russ. ed.: Maugin G.A. Mekhanika elektromagnithykh sploshnykh sred. Moscow, Mir Publ., 1991. 560 p.).

7. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Matematicheskie modeli mekhaniki i elektrodinamiki sploshnoi sredy [Mathematical models of mechanics and electrodynamics of continuous media]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2008. 512 p. (in Russian).

8. Dimitrienko Iu.I. Mekhanika sploshnoi sredy. V 4 t. T.2. Universal'nye zakony mekhaniki i elektrodinamiki sploshnoi sredy [The mechanics of a continuous medium. In 4 vols. Vol.2. The universal laws of mechanics and electrodynamics of continua]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2011. 560 p. (in Russian).

9. Vlasova E.A., Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Priblijhennye metody matematicheskoi fiziki [The approximate methods of mathematical physics]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 2004. 700 p. (in Russian).

10. Van'ko V.I., Ermoshina O.V., Kuvyrkin G.N. Variatsionnoe ischislenie i optimal'noe upravle-nie [The calculus of variations and optimal control]. Moscow, Bauman MSTU Publ., 1999. 488 p. (in Russian).

11. Zarubin V.S., Kotovich A.V., Kuvyrkin G.N. Estimate of effective heat conductivity of composites with anisotropic globular inclusions. Izvestiia RAN. Energetika. 2012, no. 6, pp. 118-126. (in Russian).

12. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. Comparative analysis of estimations of heat conduction of a composite with ball inclusions. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2013, no. 7, pp. 299-318. DOI: 10.7463/0713.0569319 (in Russian).

13. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N., Savel'eva I.Yu. Evaluation of effective thermal conductivity of composites with ball inclusions by the method of self-consistency. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2013, no. 9, pp. 435-444. DOI: 10.7463/0913.0601512 (in Russian).