Вариационные уравнения трехмерной теории анизотропных оболочек Текст научной статьи по специальности «Физика»

2154

Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2154-2156

УДК 539.3

ВАРИАЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ ТРЕХМЕРНОЙ ТЕОРИИ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК

© 2011 г. С.И. Жаворонок

Институт прикладной механики РАН, Москва

[email protected]

Поступила в редакцию 24.08.2011

Для построения модели толстостенной анизотропной оболочки использован вариационный подход. Постулируется существование потенциальной и кинетической энергии оболочки как трехмерного упругого тела. Определено энергетическое скалярное произведение, задающее упругий потенциал. В качестве переменных поля континуальной механической системы приняты коэффициенты Фурье вектора перемещения в функциональном базисе, образованном полиномами Лежандра от координаты, нормальной к базовой поверхности оболочки. На основе формулировки потенциала и кинетической энергии относительно переменных поля получены уравнения движения оболочки в форме Лагранжа второго рода и их естественные краевые условия в обобщенных силах, являющихся моментами тензора напряжения относительно базисных функций. Приближенная модель оболочки строится в рамках трехмерной теории оболочек Ж-го порядка.

Ключевые слова: оболочки толстостенные анизотропные, уравнения вариационные, поля переменные, Лежандра полиномы.

Постановка задачи

Оболочка занимает область О с Я3, ограниченную поверхностью дО = 5’р и Sв, где £’р — лицевые, 5’в — боковые поверхности. Базисная поверхность оболочки S0 с Я3, в общем случае S0 <х О. Геометрия оболочки описана в соответствии с [1] в системе криволинейных координат С-

Предположим, что существует плотность упругого потенциала деформации сплошной среды:

(1)

С — симметрический тензор напряжения, и — вектор перемещения, «:» — произведение тензоров с двойной сверткой. Пусть заданы кинематические связи вида

и|,5 = и*, Su с Sв. (2)

°и

Плотность кинетической энергии и работа главного вектора внешних сил имеют вид

А =| X • и ёО +| ц • и dS, SС з SF.

(3)

О

Постановка динамической задачи теории уп-

определяется вариационным принципом Гамильтона [2]

Ь

бы = 0, Н = |Ь, Ь = |(Т — И)ёО + А, (5)

tо О

где Н — функционал Гамильтона, Ь — функция Лагранжа.

Формулировка уравнений Лагранжа II рода для континуальной механической системы

Пусть в континуальной механической системе существует плотность функции Лагранжа

Ь = Ь(и, иI, Ь [иI ]), У и* е DJ, Уак е Я, Ь =[Ч ] = «% [и* ]), к = 1,2,..., N, (6)

с потенциалом, определяемым скалярным произведением в виде И = (Т13,Ь [иI ])о= |Т3 : Ь [иI ]ёО, (7)

О

где ир I = 1, ..., Ж, — обобщенные координаты, Т3, 3 = 1, М, — обобщенные силы, ЬДи] — ли-

нейные операторы. Тогда, обобщая [2], получим условие стационарности (5) при (6), (7) и начальных условиях (4) в виде системы уравнений Лагранжа II рода и их естественных краевых условий:

ругости с начальными условиями — д дЬ " дЬ "

и = и 0, и = у0 и=к 0’ и=0 0 (4) дt ди I + д( Ьз[и I]) _

+^=о,

ди г

С

Б-,

ЭЬ

= 0, I = 1,...,N. (9)

р(Г№) = + Ь^ + Х^, + ОЦ)

(14)

Здесь LJ - оператор, сопряженный оператору в смысле скалярного произведения (7), - крае-

вой оператор, связанный с сопряженным оператором LJ .

Уравнения Лагранжа II рода для упругой анизотропной оболочки в рамках теории Л-го порядка

С учетом записи оператора V в неголоном-ном относительно ^1, ^2 сопутствующем базисе г“, п [3], не зависящем от нормальной к Х0 координаты получим дисторсию и плотность потенциала (1) [1]

= Аа[^5ир - Ь5ри^ )гК ® гв + (д8мС +

+ Ь<Уиу)га ® п] + Э^Ирп ® гв +Э^и^п ® п, (10)

2и = (Сав, Аа[^ир - ьдри^])^ +

+ (с^а, А.6,а [Э8и^ + Ь5и у ])п +

+ (сК, дсир)п + (с^, Э?и? )п, (11)

где А — компоненты тензоров параллельного переноса [3], V - оператор «набла» на поверхности Х0. В системе координат ^2, £: ^2 є

є с Я2, £ є [И-7 к+] с Я, скалярное произведение (7) имеет вид

(и, V)п =((и, у)й)Х0, (и, V)Х0 = |и • V ёБо,

х 0

к+

(и, V)* = |и • v(1 - 2СЯ + С2К)< (12)

к-

Здесь н = 1/2ьа, к = аек ьа), ьа - компоненты тензора кривизны Х0. Введем в Вь є L2[k—, к+] базис, образованный полиномами Лежандрар(к)(0

[1, 4, 5]:

и(^, ^2, С) = и(к)(^1, ^) Ры(2), Вь = {Р(к)},

к+

к = 0,„., N, | Р( к) Р(т) й^б^), (13)

к_

где и(к)(^', ^2), к = 0, 1, ..., N, - обобщенные координаты в пространстве состояний оболочки. С учетом (11)-(13) и рекуррентных соотношений для Р(к)(0 [4] запишем потенциал (11), кинетическую энергию и работу внешних сил (3) относительно и®^1, ^2) и получим уравнения Лагранжа (8) для теории оболочек N-1^» порядка [1, 3-6] для случая постоянной толщины к = к+ - к-:

0(т)и? =^а^в-Ь пСав + Я(т)с^ + О^

р (к) и( т) = ЬаР° + Я(к) с(т) + О(к)'

Естественные краевые условия (9) имеют вид:

РС?Л

«сак >]&

(к) =

0,

[УРС« — 4 )]бис*) = °. (15)

Здесь введены компоненты тензора моментов к-го порядка напряжения, главных векторов внешних сил QI^k) на S0 и д(*) на ГС = дSо п SС и

тензора моментов плотности р

(к) : (т)

Оса[3 = (Аа*^Р

(к)

сСа = (сСа

=(А.ау*а7в, Р(к)) к, о(к) =(4^*, Р(к ))к,

°(к)=(сЬа> Р(к) )к, сй = (с^, Р(к) )к

с(к) * с(к) V /

". р<;”)l=(рР"Р(к))

(т)

б(к) = (X, ^ * ))А + (±1)к (1 — 2к± Н + к± К )9±,

К

ч(к) = | я‘у[§вР( к )ёС. (16)

к—

Кинематические соотношения следуют из (10) при симметрировании и применении разложений (13) и имеют общий вид, приведенный в [1]. Физические соотношения следуют из (11) при применении (13) и (16) и аналогичны по структуре соотношениям, приведенным в [1]. Структура линейных операторов в уравнениях (14) также аналогична описанной в [1]. Начальные условия следуют при использовании (13) из соотношений (4), кинематические краевые условия — из соотношений (2).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №10-01-00704-а) и грантом Президента РФ НШ-64683.2010.8.

Список литературы

1. Жаворонок С.И. Модели высшего порядка анизотропных оболочек // Механика композиционных ма -териалов и конструкций. 2008. Т. 14, №4. С. 561—571.

2. Кильчевский Н.А., Кильчинская Г.А., Ткаченко Н.Е. Аналитическая механика континуальных систем. Киев: Наук. думка, 1979. 188 с.

3. Векуа И. Н. Некоторые общие методы построения различных вариантов теории оболочек. М: Наука, 1982. 282 с.

4. Амосов А.А. Приближенная трехмерная теория толстостенных пластин и оболочек // Строительная механика и расчет сооружений. 1987. №5. С. 37—42.

5. Гуляев В.И., Баженов В.А., Лизунов П.П. Неклассическая теория оболочек и ее приложение к решению инженерных задач. Львов: Вища школа, 1978.

к

215б

С. И. Жаворонок

192 с. ники оболочек. Киев: Изд-во АН УССР, 1963. 351 с.

6. Хома И.Ю. Общая теория анизотропных обо- 8. Кильчевский Н.А., Издебская Г.А., Киселев-

лочек. Киев: Наук. думка, 1986. 170 с. ская Л.М. Лекции по аналитической механике оболо-

7. Кильчевский Н.А. Основы аналитической меха- чек. Киев: Вища школа, 1974. 232 с.

VARIATIONAL EQUATIONS OF A THREE-DIMENSIONAL ANISOTROPIC THEORY OF SHELLS

S.I. Zhavoronok

A model of a thick-walled anisotropic shell is constructed based on the variational approach. The existence of both kinetic and potential energy is postulated for a shell as for a three-dimensional anisotropic elastic body, and the energy scalar product is defined. Fourier coefficients of the translation vector in the functional basis generated by Legendre polynomials are used as field variables of a continuum system. Using the potential and kinetic energy formulated in terms of field variables the equations of motion and its boundary conditions are derived. These equations have the form of a Lagrange system of the second kind for continua, written in terms of generalized forces that are stress tensor moments in the functional basis implemented. The proposed approximate model of a thick shell is formulated as a ^-th-order shell theory.

Keywords: thick anisotropic shells, variational equations, field variables, Legendre polynomials.