CC BY
30
Вариационно-разностный метод решения нестационарных волновых задач...
Д.Т. Чекмарев
ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ВОЛНОВЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
Тонкостенные конструкции широко используются в современной технике. Возрастают как сложность используемых конструкций, так и требования к их качествам: экономичности, надежности, безопасной работы в экстремальных режимах интенсивного нагружения и т.д. Для улучшения их свойств все чаще используются как новые композиционные материалы, так и другие методы-повышения работоспособности: применение многослойных оболочек, армирования, заполнителей, подкрепляющих элементов, ребер жесткости и т.д. Расчет таких конструкций становится все более сложной задачей в связи с объективным ухудшением свойств математических моделей процессов деформирования. Причинами этого являются: наличие элементов разного масштаба, геометрические размеры которых могут отличаться в десятки раз, скачкообразное изменение механических свойств внутри конструкции, большой разброс спектра собственных частот, нелинейность и ряд других факторов. В результате, многие задачи механики тонкостенных конструкций являются жесткими, а существующие численные методы их решения - неэффективными. Особенно остро данная проблема проявляется при решении задач нестационарной динамики конструкций. Методы расчета тонкостенных конструкций, содержащих особенности в виде тонких и жестких слоев, концентраторов напряжений и других особенностей недостаточно разработаны. Следовательно, актуальна проблема разработки эффективных численных методов решения жестких задач деформирования конструкций при интенсивных динамических воздействиях с учетом эффектов геометрической и физической нелинейности рассматриваемых процессов.
Проблема построения эффективных численных схем тесно связана с анализом и конструированием их свойств, к которым относятся: анализ точности и устойчивости; определение границ эффективной применимости в зависимости от геометрии конструкции, свойств нагружения, материала и других факторов; подбор оптимальных параметров; построение схем с улучшенны-
ми спектральными свойствами; учет специфики динамических процессов деформирования при построении численных схем. Все эти вопросы являются недостаточно изученными. В связи с вышеизложенным актуальны вопросы разработки эффективных численных методов решения жестких задач нестационарной динамики сплошных сред и конструкций, а также анализа, математического обоснования и конструирования численных методов решения задач данного класса.
Рассмотрим современное состояние теории в данной области. Краткий обзор численных методов решения задач нестационарной динамики оболочечных тонкостенных конструкций не претендует на полноту. Основное внимание уделяется методическим вопросам построения и повышения эффективности численных схем. Рассматриваются вопросы сходимости, устойчивости и ряд основных проблем, возникающих при численном решении задач данного класса.
Развитие численных методов решения задач механики сплошных сред тесно связано с прогрессом в вычислительной математике. В настоящее время наиболее актуальной остается проблема эффективности методов, т.е. разработки численных схем, оптимальных по быстродействию. Причина этого - во все возрастающей сложности задач, решаемых численными методами. И хотя рост быстродействия ЭВМ решает многие из проблем, сравнимый с ними эффект дает совершенствование численных методов. Рассмотрим более подробно современное состояние численных методов решения одного из сложных классов задач механики деформируемого твердого тела - нестационарной динамики тонкостенных конструкций.
Характеристика нестационарных динамических процессов в тонкостенных конструкциях. Расчет тонкостенных оболочечных и стержневых конструкций под действием нестационарных динамических нагрузок - задача, обладающая рядом специфических особенностей. При решении задач нестационарной динамики конструкций необходимо учитывать следующие факторы: сложность геометрии конструкций, что
© Д.Т. Чекмарев, 2006
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 12, 2006
29
ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ
Д.Т. Чекмарев
приводит к необходимости использования неравномерных сеток и криволинейных систем координат, существенно усложняющих системы уравнений; геометрическая нелинейность (поскольку в процессе деформирования конструкций перемещения, как правило, нельзя считать малыми); физическая нелинейность, обусловленная переходом к нелинейному деформированию материала; вырождение задач, связанное с малостью размеров по одной или двум координатам. Отметим, что нелинейность в задачах динамики конструкций носит несколько иной характер, чем, например, в газовой динамике. Так, в стержнях и оболочках практически невозможно возникновение ударных волн по причине малой толщины. В связи с вышесказанным построение численных схем решения задач данного класса требует серьезного анализа.
Постановки задач. Математические модели и уравнения. Задачи нестационарной динамики конструкций допускают следующие постановки: начально-краевые задачи для систем дифференциальных уравнений в частных производных; системы законов сохранения в виде интегральных соотношений; вариационные задачи; системы граничных интегральных уравнений. Поскольку последние не получили широкого распространения при расчете тонкостенных конструкций, далее о них упоминать не будем. В ряде случаев численные схемы строятся не на базе континуальных задач, а на основе непосредственного применения физических законов, как это было с первыми схемами метода конечного элемента. При последнем подходе область разбивается на составные части, а далее уравнения неразрывности и движения этих частей составляются на основе физических соображений.
При расчете тонкостенных конструкций используются модели сплошных сред и теории оболочек. Учет геометрически нелинейных эффектов производится с использованием нелинейных лагранжевых, эйлеровых или совместных лагран-жево-эйлеровых постановок. Учет нелинейного поведения материала при деформировании осуществляется на базе теорий пластичности - деформационных и инкрементальных. Ввиду наличия вырожденной координаты расчеты непосредственно по трехмерной теории зачастую являются неэффективными, что приводит к необходимости выделять процессы по вырожденной координате особо (вводить оболочечные модели),
либо использовать сетки, адаптированные к данным задачам (с вытянутыми или сплющенными ячейками). При этом не имеет принципиального значения, вводятся ли гипотезы теории оболочек при выводе уравнении или на этапе построения численной схемы. Важен характер принимаемых гипотез. В зависимости от этого приходим к вырожденной или вырождающейся задаче.
При дифференциальной записи основных уравнений могут использоваться разные формы. В методе конечных разностей наиболее распространена запись в виде уравнений движения
+ = ри,,
замыкаемых соотношениями для деформаций через перемещения и определяющими соотношениями между напряжениями и деформациями, а при необходимости и уравнениями термодинамики. В характеристических схемах используются соотношения на характеристиках, в схеме СКо Годунова система записывается в дивергентной форме.
Вариационная формулировка задач динамики допускает варианты в виде экстремального (стационарного) вариационного принципа для некоторого функционала или в виде вариационного уравнения (принципа виртуальных перемещений, скоростей, ускорений и т.п.). Поскольку для задач динамики единственным экстремальным принципом является принцип Гамильтона (что не всегда удобно для построения численных схем), в подавляющем числе случаев используется вторая форма записи в виде
|Ъ(Ч,,Рц,Ч,,Ч,М,¿Рц) = ° Р,3 = % /дх3,
V
где ч , - варьируемые параметры (в зависимости от выбранного вариационного принципа это могут быть перемещения, скорости, ускорения, напряжения и т.п. Данная форма записи служит основой для построения широкого класса вариационно-разностных схем и схем метода конечного элемента.
Основные численные методы решения задач нестационарной динамики тонкостенных конструкций. Для приведения континуальной задачи к дискретной используются следующие основные подходы (здесь рассматриваются только те, которые получили более-менее широкое распространение): конечноразностные методы, вариационно-разностные методы, метод конечного лемента. Среди конечноразностных методов от-
30
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 12, 2006
Вариационно-разностный метод решения нестационарных волновых задач..
дельно выделим сеточно-сарактеристические методы и схему распада разрыва С.К. Годунова. Попытаемся дать их краткие характеристики.
Сеточно-характеристические методы развиты в работах В.Н. Кукуджанова, П.З. Лугового и других. Эти методы базируются на записи исходных уравнений в виде соотношений на характеристиках. Интегрирование вдоль характеристик обладает следующим преимуществом: близость областей зависимости дифференциальной и сеточной задач. Они нашли достаточно широкое распространение при решении нестационарных волновых задач динамики массивных тел. В то же время при расчете тонкостенных конструкций применимость этих методов ограничена ввиду малости толщины конструкции и вследствие этого - необходимости учета отражения волн (и характеристик) от свободных поверхностей оболочек. В связи с этим возникают очевидные ограничения как на пространственный, так и на временной шаги интегрирования. Поэтому они нашли лишь ограниченное применение при решении задач этого класса.
У большинства задач динамики оболочек при характерных временах процесса порядка десяти и более пробегов волн по толщине картина волнового процесса отличается рядом специфических черт. Такие процессы носят волновой характер лишь вдоль срединной поверхности оболочки, а по толщине их можно считать близкими к квазистатическим после Многократного отражения волн от свободных поверхностей. При решении таких задач с помощью характеристических схем и схемы С.К. Годунова эта специфика не учитывается. Таким образом, на задачах этого класса они становятся менее пригодными по сравнению с конечно-разностными и конечноэлемен-тными схемами.
Конечно-разностные методы являются наиболее универсальными и гибкими при решении любых. задач математической физики. Они имеют наиболее широкое применение при решении задач математической физики. Вместе с тем они дают в руки исследователя широчайший произвол при своем построении. Следовательно, важнейшей задачей при построении конечноразнос-тных схем является не расширение, а сужение их класса путем наложения на них различных дополнительных ограничений. Наиболее распространенной для данных схем исходной формой записи является система уравнений движения, допол-
ненная выражениями деформаций через перемещения и определяющими соотношениями. При этом утвердилась определенная конструкция задания величин в узлах и «ячейках», получившая наибольшее распространение после работ М. Уилкинса. В ней имеем дело с разнесенными сетками. По пространству: узлы основной сетки, в которых вычисляются неизвестные перемещения, усилия, скорости и ускорения; «центры ячеек» основной сетки (по сути - узлы дополнительной сетки, смещенной относительно основной на некоторую долю ее шага), в которых вычисляются все величины, являющиеся первыми производными от перемещений (деформации) или связанными с первыми производными функциональными зависимостями (напряжения и т.п.). По времени: целые шаги, в которых аппроксимируются перемещения, силы и ускорения; полуцелые шаги, в которых аппроксимируются скорости. В итоге получим основную и две смещенные сетки (по пространству и по времени), при этом на основной сетке определены неизвестные и их производные четного порядка, а на смещенных -производные нечетного порядка. Данная конструкция является очень гибкой и удобной по следующим причинам: свойства материала задаются в ячейке совершенно независимо от основной сетки, заменяя «физический блок», легко получить материал с любой реологией; она ориентирована в общем случае на неортогональные и даже на неравномерные сетки, что позволяет применять ее в областях сложной формы; схема получается двухслойной по времени. В случае исключения всех неизвестных, кроме перемещений (это возможно, например, для линейно-упругого изотропного материала и приводит к системе уравнений Ламе) схемы, построенные по данному принципу, преобразуются к виду, аналогичному стандартным схемам для волнового уравнения: «крест», классической неявной схеме. Отметим, что при этом операторы аппроксимации вторых производных получаются автоматически как суперпозиции операторов первых производных.
К недостаткам конечно-разностного метода следует отнести проблему граничных условий, содержащих условия на производные. Если концепция конечноразностного подхода проводится последовательно, то на границе нужно вводить особые операторы. При этом, чтобы сохранить порядок аппроксимации задачи (большинство применяемых схем имеют на равномерной сетке порядок аппрок-
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 12, 2006
31
ЕСТЕСТВОЗНАНИЕ
М.Г. Чекмарёва
симации по пространству не ниже второго), эти операторы должны быть весьма сложными.
Проблемы, возникающие при численном решении задач динамики тонкостенных конструкций. Проблемы можно классифицировать по источнику их возникновения и степени общности: статические (т.е. имеющие место уже при решении задач статики) и собственно динамические; линейные и нелинейные; общие для всех задач механики сплошных сред и. специфические для задач динамики тонкостенных конструкций.
Таким образом, в целом вопросы математического обоснования и теоретического анализа численных методов решения задач механики конструкций являются недостаточно изученными. Поэтому актуальны вопросы разработки и развития теоретических методов анализа точности, устойчивости и эффективности численных схем решения задач динамики тонкостенных конструкций, а также применение этих методов к исследованию существующих и разработке новых методов решения задач указанного класса. В связи с указанным задачами нашего исследования явились следующие:
- развитие методов исследования вариационно-разностных и конечно-элементных схем решения задач механики деформируемого твердого тела;
- построение эффективных численных схем решения нестационарных задач динамики тонкостенных конструкций, учитывающих специфику процессов деформирования;
- анализ и математическое обоснование точности, устойчивости и методов повышения эффективности численных схем;
- численное исследование нестационарных геометрически и физически нелинейных процессов деформирования оболочек при ударных и импульсных воздействиях.
В результате решения поставленных целей
достигнуты следующие результаты:
1. Разработан метод анализа вариационно-разностных и конечно-элементных схем, основанный на преобразовании к конечно-разностному виду, удобному для теоретического исследования.
2. На базе данного подхода проведен анализ точности и сходимости численных, схем решения задач теории упругости и теории оболочек. Впервые получены и теоретически обоснованы условия применения грубых сеток при расчете тонкостенных конструкций. Исследована равномерная сходимость схем по параметру сеточной задачи NX/h (где АХ- диаметр ячейки разностной сетки, h- толщина оболочки). Предложен класс «ажурных» численных схем метода конечного элемента. Проведен анализ устойчивости явных схем типа «крест» решения задач теории упругости и «теорий оболочек». Получены точные и приближенные оценки устойчивости.
3. Разработан метод повышения эффективности явных численных схем путем введения неявного стабилизирующего оператора и его конкретные реализации для задач теории оболочек и теории упругости. Проведено математическое обоснование, анализ подбора параметров и условий применимости метода.
4. Проведены численные исследования процессов динамического деформирования и потери устойчивости оболочек при ударных и импульсных воздействиях.
Результаты исследований находят практическое применение в ППП «Динамика-2» и «Дина-мика-3» решения нестационарных задач динамики конструкций и массивных тел, разработанных в НИИ механики при ННГУ Созданные на их основе методики и рекомендации по их применению внедрены в расчетную практику ряда отраслевых и проектно-конструкторских организаций.
М.Г. Чекмарёва
ТЕХНОЛОГИЯ КРЕПКИХ НАПИТКОВ ИЗ НОВЫХ СОРТОВ ВИНОГРАДА И НЕТРАДИЦИОННОГО СЫРЬЯ
Производство крепких напитков входит в состав винодельческой отрасли, од. нако имеет свои особенности и специфику. Основное и ведущее место в этой отрасли по праву принадлежит коньячному производству. Исходя из технологических особенностей приготовления коньяка, были строго подобраны сорта винограда с нейтральным ароматом, бе-
лой или розовой окраской ягод, повышенной кислотностью. Во Франции такими сортами являются Уни-блан, Сент-Эмиллион, Коломбар, Фоль-бланш. В отечественном коньячном производстве предпочтительными оказались: Ркацители, Плавай, Клерет, Алый Терский, Алиготе, Тербаш, Сильванер. В связи с рядом причин различного характера, вызвавших сокращение площадей
32
Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 12, 2006
© М.Г. Чекмарёва, 2006
