CC BY
71
Библиографический список
1. Дородницын, А.А. Математика и описательные науки // Число и мысль: сборник. - М.: Знание, 1977.
2. Совайленко, В.К. Об обновлении тематики школьных задач // Математика в школе. - 1994 - № 5.
3. Шевкин, А.В. Как не надо обновлять тематику школьных задач // Математика в школе. - 1995. - № 2.
4. Бусев, В.М. Школьная математика как культурно историческая традиция // Математика в школе. - 2009. - № 4.
5. Кудрявцев, Л.Д. Современная математика и ее преподавание. - М.: Наука, 1980.
6. Вейль, Г. Математическое мышление: пер. с англ. и нем. / под ред. Б.В. Бирюкова и А.Н. Паршина. - М.: Наука, 1989.
Статья поступила в редакцию 4.05.10
УДК 372. 851
С.В. Арюткина, канд. пед. наук, доц. АГПИ, г. Арзамас, E-mail: mzaykin@yandex.ru
ВАРИАТИВНЫЕ ЦИКЛЫ ЗАДАЧ КАК СРЕДСТВО ФОРМИРОВАНИЯ У ШКОЛЬНИКОВ ОБОБЩЕННЫХ ПРИЕМОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
В статье рассматриваются вопросы совершенствования математического образования учащихся средних школ на основе деятельностного подхода к обучению. В частности, описываются психолого-педагогические основы формирования обобщенных приемов решения математических задач. В качестве методического обеспечения этого процесса предлагается использовать вариативные циклы математических задач, построение которых опирается на соответствие блоков задач цикла основным этапам процесса формирования обобщенных приемов математической деятельности школьников.
Ключевые слова: математическая деятельность; обобщенный прием; вариативные циклы задач.
Современному этапу развития школьного математического образования характерен приоритет развивающих целей обучения. В связи с этим при изучении математики особую значимость приобретает организованное обучение приемам мышления, рационального выполнения учебной деятельности, что исключительно важно при усвоении трудных тем и решении сложных задач, таких как уравнения и неравенства с параметрами и др. Именно недостаточная сформированность приемов учебной деятельности является одной из причин того, что большинство учащихся совершает ошибки или испытывает затруднения при решении даже несложных математических задач. Кроме того, введение в практику российской школы выпускных экзаменов в новой форме (ЕГЭ) требует от учащихся сформированности приемов решения основных типов математических задач, по возможности в обобщенном виде, позволяющем школьникам совершать перенос усвоенных приемов в новые нестандартные ситуации.
Многие педагоги-математики (О.Б. Епишева, Т.А. Иванова, В.И. Крупич, А.А. Столяр и др.) важнейшим из средств обучения математике в таких условиях считают постепенное формирование и развитие у учащихся логических структур (элементов математических теорий, методов, приемов решения задач и т.п.), лежащих в основе математической деятельности. Обобщенные приемы характеризуются чаще всего как приемы деятельности, полученные на основе анализа частных приемов путем выделения общего содержания деятельности по решению конкретных (частных) задач [1]. Формирование обобщенных приемов познавательной деятельности существенно повышает развивающий эффект обучения, способствует формированию теоретического мышления. Овладение обобщенными приемами, ориентированными на основное содержание, характерное для целой системы частных случаев, дает ученикам возможность мыслить теоретически, видеть сущность за частными проявлениями, умение ориентироваться на нее и в силу этого самостоятельно продвигаться в этой области знаний. Е.Н. Кабанова-Меллер считает, что специальное обучение таким приемам способствует развитию учащихся (одним из показателей которого служит осознанный перенос приемов на различные классы заданий) [2]. О.Б. Епишева и В. И. Крупич видят в их формировании одну из задач учителя, т.к. именно эти приемы создают ориентировочную основу необходимой деятельности по решению ряда учебных задач и обеспечивают «переносимость» приемов на широкий круг частных задач [1]. В качестве основных этапов процесса формирования обобщенных приемов учебно-познавательной математической деятельности школьников принято выделять следующие: этап подготовки учащихся к усвоению приема, включающий в себя мотивационное звено и непосредствен-
ную подготовку к усвоению содержания обобщенного приема посредством актуализации необходимых знаний; этап ознакомления с приемом, включающий в себя: раскрытие его содержания (выделение действий по решению конкретных задач), анализ и сравнение выделенных частных приемов, построение обобщенного приема (выделение общего содержания частных приемов); этап усвоения обобщенного приема, предполагающий его применение к решению задач этап переноса сформированного приема, предполагающий преобразование обобщенного приема при решении видоизмененных задач.
В основу построения методического обеспечения процесса формирования обобщенных приемов математической деятельности положим деятельностный подход, предполагающий усвоение учащимися знаний в процессе выполнения целенаправленной деятельности на конкретном предметном содержании. В методической литературе встречаются различные точки зрения на отбор задач (упражнений). Так, Г.И. Саранцев отмечает, что обучение приемам решения задач включает формирование умений школьников выполнять действия, адекватные поиску способа их решения. А потому необходимо подбирать задачи, направленные на усвоение каждого действия, входящего в состав приема [3]. Отмечая ценность такого подхода для формирования приемов и подчеркивая его значимость при изучении отдельных видов приемов, заметим, что сложность действий, входящих в состав обобщенных приемов решения неалгоритмических задач, в частности, уравнений и неравенств с параметром, затрудняет группировку задач в блоки, направленные на формирование каждого такого действия. Например, одно из действий, входящих в состав обобщенного приема решения линейных неравенств с параметром, таково: «для всех значений параметра, при которых коэффициент при переменной равен нулю, решить получающиеся линейные неравенства с одной переменной». Если «отрабатывать» это действие отдельно, то блок задач, направленных на его усвоение, должен включать в себя ряд неравенств, в которых: а) коэффициент при переменной равен нулю, а свободный член больше нуля; б) коэффициент при переменной равен нулю, а свободный член меньше нуля; в) и коэффициент при переменной, и свободный член равны нулю; кроме того, эти неравенства могут быть строгими и нестрогими. Рассмотрение только этого блока задач потребует больших затрат времени, не говоря уже о том, что действий в составе приема не менее пяти, а линейные неравенства являются одним из наиболее простых видов неравенств, изучаемых в курсе алгебры основной школы. В последнее время все чаще применяется циклический подход к организации задач (В.С. Георгиев, Г.В. Дорофеев, В.И. Крупич и др.). В методике
обучения математике имеются исследования, в которых дается теоретическое описание цикла заданий. В наиболее общем виде циклы могут иметь следующую структуру. Прежде всего, выделяется целевая (базисная) задача, которая предваряется задачами-компонентами. Назначение последних состоит в актуализации «старых» и сообщении «новых» знаний, ориентированных на решение целевой задачи, и входящих, по существу, в ее решение как составные части. Наконец, указываются задачи, развивающие целевую. Данный подход имеет широкие возможности для личностной ориентации обучения, т.к. позволяет определять необходимое количество задач и их сложность для каждого ученика индивидуально.
При обучении решению математических задач обеспечить постепенное прохождение основных этапов процесса формирования обобщенных приемов их решения, а потому целесообразно подбирать циклы задач в соответствии с изложенными ранее этапами процесса их формирования. Тогда каждый цикл может быть представлен в виде четырех блоков взаимосвязанных задач:
1) вспомогательные задачи, обеспечивающие актуализацию знаний, необходимых для решения класса задач, а также формирование мотивации изучения обобщенных приемов их решения. А потому в этот блок могут быть включены задания, позволяющие актуализировать основные действия из составов обобщенных приемов решения данного класса задач. Область актуализации обобщенного приема решения в частности задач с параметрами будут определять: задания на нахождение области допустимых значений аргумента заданной функции (рациональной, степенной и др.); упражнения на выполнение тождественных и равносильных преобразований уравнений и неравенств, на выражение одной переменной через другие из заданной формулы; уравнения (неравенства) с одной переменной, охватывающие все возможные случаи получения решений. В связи с этим в блок вспомогательных задач должны быть включены задания, охватывающие область актуализации приема. Следует заметить, что решение всех задач этого блока каждым учащимся класса необязательно; выбор задач зависит от уровня знаний конкретных школьников;
2) базисные задачи, предназначенные для выделения состава (образования) обобщенного приема решения каждого вида задач. В этот блок могут быть включены только такие задачи, частный прием решения которых содержит все основные действия, входящие в состав обобщенного приема, охватывающие все возможные случаи получения решений отдельных видов задач. Область образования обобщенного приема решения в частности задач с параметрами определяется спецификой содержания самих обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметром. Поэтому задания этого блока должны принадлежать одному виду (линейным, квадратным, дробно-рациональным) и различаться ОДЗП, количеством рассматриваемых промежутков значений параметра, зависимостью коэффициентов от значений параметра, т.е. должны охватывать область образования приема. Количество упражнений может варьироваться в зависимости от умения учащихся обобщать полученные теоретические сведения; порядок предъявления их учащимися подчиняется принципу «от простого к сложному». Именно эти задачи представляют учителю и учащимся возможность проанализировать приемы решения конкретных задач, если подразделить их на отдельные шаги. Результатом решения и анализа решения этих задач может стать описание или схема, характеризующая состав обобщенного приема решения отдельных видов уравнений (неравенств) с параметром (инструкция, опорная схема и т.п.);
3) тренировочные задачи, предполагающие применение обобщенного приема к решению частных задач стандартного вида и обеспечивающие его усвоение. Включенные в этот блок задачи должны удовлетворять основным условиям усвоения приема: частные приемы их решения включают все действия из состава обобщенного приема и соответствуют основным положениям теории поэтапного формирования умственных действий, задания не дублируют друг друга, т.е.
приемы их решения допускают варьирование операционного состава действий. Их количество зависит от уровня математической подготовки учащихся. Результатом решения этого блока задач должно стать усвоение состава обобщенного приема;
4) развивающие задачи, ориентированные на перенос обобщенного приема, преобразование его состава при решении нестандартных задач. Направления преобразования приема решения в частности задач с параметрами определяются возможными качественными и количественными изменениями состава действий обобщенных приемов решения уравнений и неравенств с параметром. При применении обобщенного приема к решению нестандартных задач с параметрами может происходить: уменьшение числа действий; увеличение числа действий (уравнение или неравенство содержит переменную под знаком абсолютной величины или несколько параметров); качественные изменения состава действий обобщенного приема, связанные с применением обобщенных приемов, которые возможно более рационально могут быть решены другим методом (методом интервалов, с помощью теоремы Виета и др.). В этот блок должны быть включены задачи, охватывающие все возможные направления преобразования приема. Например, это могут быть задачи с нестандартной формулировкой; провоцирующие задачи (легко решаемые без применения приема), а также более трудные задачи, в частности, уравнения или неравенства, содержащие переменную под знаком абсолютной величины; задачи, обратные тем, которые встречались ранее; любые задания, которые могут быть решены при некотором изменении состава обобщенного приема решения того или иного вида уравнений (неравенств) с параметром. А также могут быть включены и уравнения (неравенства) с несколькими (в частности, с двумя) параметрами, поскольку аналитическое решение такого рода заданий несколько отличается от аналогичной деятельности по решению уравнений (неравенств) с одним параметром, но требует тех же логических рассуждений. Количество задач этого блока зависит от уровня математической подготовки школьников. В ходе их решения необходимо акцентировать внимание учащихся на преобразовании состава обобщенного приема. Результатом решения задач этого блока может стать сформированное умение решать нестандартные задачи с параметрами, преобразовывать состав обобщенного приема; а также выделять состав обобщенных приемов решения нестандартных задач с параметрами. Кратко назначение и характеристики каждого блока задач представлены в таблице.
Для реализации схемы процесса поэтапного формирования обобщенных приемов решения каждого отдельного вида математических задач необходимо соответствующее методическое обеспечение, т.е. циклы упражнений для усвоения и применения каждого приема, включающие четыре основных блока (вспомогательных, базисных, тренировочных и развивающих задач) в соответствии с основными этапами процесса формирования обобщенных приемов деятельности и особенностями ее содержания на каждом из этих этапов; а также модели самих обобщенных приемов (инструкции, схемы и т.п.), помогающие учащимся усвоить их состав [4].
Таблица
Блоки задач Назначение задач блока Характеристики задач блока
Вспомо- гательные задачи Обеспечивают актуализацию знаний, необходимых для решения уравнений (неравенств) с параметром, а также формируют мотивацию изучения обобщенных приемов решения отдельных видов задач с параметрами Область актуализа-
ции приема, содер-
жащая: -ОДЗ, ОДЗФ; - тождественные преобразования выражений и равносильные преобразования уравнений и неравенств; - приемы решения уравнений и неравенств с одной пе-
ременной
Базисные задачи Предназначены для выделения состава (образования) обобщенного приема решения каждого вида уравнений и неравенств с параметром, представляют учителю и учащимся возможность проанализировать приемы решения конкретных задач, если подразделить их на отдельные шаги Область образования приема, вклю-
чающая уравнения (неравенства) одного типа, различающиеся по: - объему ОДЗП; - количеству рассматриваемых промежутков значений параметра; - зависимости коэффициентов от значений параметра
Трениро- вочные задачи Обеспечивают усвоение состава действий обобщенного приема решения каждого отдельного вида задач с параметрами и формирование умения применять его к решению частных задач Условия усвоения
приема: - охват состава действий обобщенного приема; - соответствие основным положениям теории поэтапного формирования умственных действий; - возможность варьирования операционного состава действий
Разви- вающие задачи Направлены на перенос обобщенного приема, преобразование его состава при решении нестандартных уравнений (неравенств) с параметром Направления преобразования приема, определяемые: уравнениями и неравенствами с параметром, допускающими: - уменьшение количества числа действий; - увеличение количества действий; - включение новых действий и др.
В таком случае цикл квадратных уравнений с параметром может быть, например, следующим:
Вспомогательные задачи: №1. При каких значениях переменных а и Ь уравнение не определено: 1) 5ах2-3а+1=0; 2)
3ах — х — 2 5
а + 2 Ъ — 5
3) X д/а — 2а — 3 — Ху/а — 3 + 5а = 0. №2. Решите уравнение: 1) 2х2-7х+5=0;
2) 9х2-12х+4=0; 3) -3х2+2х-5=0.
Базисные задачи: №3. Решите уравнение с параметром а:
1) 2х2-3ах-2а2+2=0; 2) — 3ху[а + а2 = 0 ; 3) (а+4)х2-
а
6х+а-4=0.
Тренировочные задачи: №4. Решите уравнение относи-
х2
тельно х: 1) х2-(а-6)х-2а+12=0; 2)------2 х + а + 1 = 0; 3) а
а
(а+1)х2+х-а (а-1)=0.
Развивающие задачи: №5. При каких значениях параметра а один из корней уравнения х2+ах+а2-3а-4=0 равен единице, а другой - отрицательный? №6. Определите все значения параметра а, при которых уравнения х2+ах+1=0 и х2+х+а=0 имеют хотя бы один общий корень. №7. Определите к так, чтобы уравнение (к-2)х4-2(к+3)х2+к-1=0 имело четыре вещественных корня, отличных от нуля. №8. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение х2-(3а+3)х+2а2+6а=0 имеет два корня, меньшие двух.
Циклы задач, описанные ранее, не являются неизменными. Они могут варьироваться как в условиях различных форм математической подготовки школьников, так и в рамках одной формы. Кроме того, при таком подходе к построению методического обеспечения процесса формирования обобщенных приемов математической деятельности, в частности, по решению математических задач, появляются дополнительные возможности для реализации индивидуального и дифференцированного подходов к обучению математике, в том числе и при осуществлении различных направлений профили-зации обучения.
Библиографический список
1. Епишева, О.Б. Учить школьников учиться математике: Формирование приемов учебной деятельности / О.Б. Епишева, В.И. Крупич. - М.: Просвещение, 1990.
2. Кабанова-Меллер, Е.Н. Формирование приемов умственной деятельности и умственное развитие учащихся. - М.: Просвещение, 1968.
3. Саранцев, Г.И. Методология методики обучения математике. - Саранск, 2001.
4. Арюткина, С.В. Формирование у школьников обобщенных приемов математической деятельности (на примере задач с параметрами: монография). - Арзамас: АГПИ, 2009.
Статья поступила в редакцию 04.05.10
УДК 378.147
Р.М. Зайкин, канд. пед. наук, доц. ГОУВПО «Арзамасский государственный педагогический институт им. А.П. Гайдара», г. Арзамас, E-mail: mzaykin@yandex.ru
СЕМАНТИЧЕСКИЕ РАЗЛИЧИЯ КАТЕГОРИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ, ПРИКЛАДНОЙ И ПРАКТИЧЕСКОЙ НАПРАВЛЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ СПЕЦИАЛИСТОВ-ГУМАНИТАРИЕВ
Уточняются смысловые характеристики понятий прикладной, практической, профессиональной направленности математической подготовки специалистов-гуманитариев. Выявляется общее и различное содержание этих дидактических категорий.
Ключевые слова: математическая подготовка, профессиональная направленность, практическая направленность, прикладная направленность обучения математике на гуманитарных специальностях.
