CC BY
87
УДК 539.3
Вариационно-итерационный метод для оценки условия нестабильности срабатывания микро/наноэлектромеханических систем
N. Anjum1,2, J.-H. He1,3,4, C.-H. He4, K.A. Gepreel5
1 Университет Сучжоу, Сучжоу, 215006, Китай 2 Правительственный колледж, Фейсалабад, Пакистан 3 Хэнаньский политехнический университет, Цзяозуо, 454000, Китай 4 Сианьский архитектурно-технологический университет, Сиань, 710200, Китай 5 Таифский университет, Таиф, 21944, Саудовская Аравия
Динамика микро/наноэлектромеханических систем (М/НЭМС) является одним из ключевых направлений исследований в микромеханике. Нелинейность и сингулярный характер сил, влияющих на активацию М/НЭМС, обуславливают актуальность и сложность этой области исследований. Основной целью данной работы является динамический анализ элементов М/НЭМС с использованием аппроксимации дробных членов в модели, описывающей поведение системы. Для оценки эффективности предлагаемого подхода в работе рассмотрено поведение М/НЭМС-переключателя под действием электромагнитной силы. Для преобразования рационально-дробной функции в сумму простейших дробей использовано разложение в ряд Тейлора. На основе широко известного вариационно-итерационного метода получены динамическая оценка порога срабатывания, нелинейная частота и аналитическое решение для рассматриваемой системы. Решение, полученное с помощью предложенного метода, хорошо согласуется с численными результатами. В отличие от существующих подходов предложенный алгоритм обеспечивает высокий уровень точности.
Ключевые слова: микро/наноэлектромеханические системы, вариационно-итерационный метод, нестабильность активации, нелинейный осциллятор
DOI 10.55652/1683-805X_2023_26_1_5
Variational iteration method for prediction of the pull-in instability condition of micro/nanoelectromechanical systems
N. Anjum1,2,3, J.-H. He1,4,5, C.-H. He6, and K.A. Gepreel7
1 National Engineering Laboratory for Modern Silk, College of Textile and Engineering, Soochow University,
Suzhou, 215006, China 2 School of Mathematical Sciences, Soochow University, Suzhou, 215006, China 3 Department of Mathematics, Government College University, Faisalabad, Pakistan 4 School of Mathematics and Information Science, Henan Polytechnic University, Jiaozuo, 454000, China 5 School of Science, Xi'an University of Architecture and Technology, Xi'an, 710200, China 6 School of Civil Engineering, Xi'an University of Architecture and Technology, Xi'an, 710200, China 7 Department of Mathematics, College of Science, Taif University, P.O. Box 11099, Taif, 21944, Saudi Arabia
The dynamics of micro/nanoelectromechanical systems (M/NEMS) is a core research area in microme-chanics. Due to the nonlinearities and the singular nature of actuation forces that emerge in these systems, it has become a promising and challenging research area. The foremost objective of this manuscript is to examine the dynamics of M/NEMS by approximating rational terms involved in M/NEMS structures. An M/NEMS switch under electromagnetic force is adopted to reveal the effectiveness of the expansion of rational terms. Taylor series is employed to approximate the rational function into the summation of simple terms. The well-known variational iteration method is engaged to obtain the dynamic pull-in threshold value, the nonlinear frequency, and the analytical solution of the objective system. The solution obtained from the proposed strategy exhibits good agreement with observations obtained numerically. As opposed to the existing approaches, the suggested scheme achieves a high level of accuracy.
Keywords: micro/nanoelectromechanical systems (M/NEMS), variational iteration method, pull-in instability, nonlinear oscillator
© Anjum N., He J.-H., He C.-H., Gepreel K.A., 2023
1. Введение
Устройства на основе микро/наноэлектромеха-нических систем (М/НЭМС) вызывают значительный интерес, обусловленный их простой конструкцией и широтой областей применений. Для приведения М/НЭМС в действие требуются несколько механических компонентов и низкий уровень напряжения [1]. С развитием технологий появляется возможность применения М/НЭМС в датчиках расхода газа, датчиках массы, детекторах, ячейках памяти, логических интегральных схемах, носимых датчиках и гироскопах [2-6]. Расширение применения М/НЭМС требует понимания механического и динамического поведения движущихся механизмов этих систем.
Элементы с сосредоточенными параметрами — наиболее важная часть конструкции во многих устройствах на основе М/НЭМС. В большинстве случаев они состоят из неподвижного основания и подвижного при различных условиях элемента. Понимание линейного и нелинейного динамического поведения подвижных элементов таких конструкций необходимо для дальнейшего развития ряда инновационных технологий. Особого внимания требует динамическая нестабильность срабатывания устройств на основе М/НЭМС, зависящая от ряда параметров. Анализ нестабильности срабатывания, особенно порога срабатывания, критически важен для обеспечения эффективной и надежной работы этих устройств. Дополнительная сложность возникает при анализе вибрационного поведения М/НЭМС с учетом нулевой полной (потенциальной и кинетической) энергии системы в начальный момент времени. Эффект преобладающего нелинейного поведения в конструкциях на основе М/НЭМС представляет серьезную проблему для развития технологии. Игнорирование нелинейности может приводить к неправильным решениям. Силы, приводящие М/НЭМС в действие, и механизмы их обнаружения являются основными источниками таких не-линейностей. На поведение М/НЭМС оказывают влияние силы Ван-дер-Ваальса [7], электростатическая сила [8], сила Казимира [9] и др., что существенно затрудняет оценку колебательного поведения этих систем.
Хорошо известно, что магнитная сила превышает электростатическую [10], и поэтому ее использование в качестве силы срабатывания имеет преимущество во многих приложениях [11-20]. В частности, в системах сбора энергии вибрационных колебаний [3, 13, 15] и в М/НЭМС на основе
некоторых композитных материалов [14, 16, 17] активация осуществляется преимущественно магнитными силами или магнитным полем. Устойчивость наномостов и переключателей в магнитном поле достаточно подробно изучена в [17-20], где исследовано влияние магнитной силы на исполнительные устройства, получены численные оценки порога срабатывания, выполнен анализ периодичности.
В работе [21] предложена математическая модель нелинейного осциллятора на основе микро/ наноэлектромеханических систем:
к
и" (1) + и (1) --
■ = 0, и(1) < 1
(1)
1 - и (1)
при нулевых начальных условиях
и (0) = и'(0) = 0, (2)
где и(1) — перемещение подвижного элемента в некоторый момент времени; к — параметр электромагнитной силы. Уравнение (1) описывает движение переключателя на основе М/НЭМС, состоящего из токоведущего проводника, находящегося под действием электромагнитной возбуждающей силы, и линейной пружины, создающей восстанавливающую силу. Дробный член в уравнении (1) отвечает за электромагнитное срабатывание. Подробное описание модели можно найти в работе [10].
Применив вариационно-итерационный метод на основе преобразования Лапласа к уравнению (1), можно получить нелинейную частоту ю (уравнение (21) в [21]):
ю =
1 + к-V1 - 6к-
2
(3)
Очевидно, что уравнение (3) имеет решение только при к < 0.17157. При к > 0.17157 невозможно получить аналитическое решение для осциллятора на основе МЭМС (происходит динамическая активация). В данном случае поведение осциллятора описывается следующим образом (уравнение (19) в [21]):
и (1) = -
ю
< к2
--2к-
3к
2 Л
ю
ю
2ю4
ю
(1 - 008 ю1)
2
2ю 2ю
3ю
(008 ю1 - 0082ю1)
(4)
Таким образом, уравнение (1) имеет колебательное (периодическое) решение при к < 0.17157, а при к > 0.17157 возникает нестабильность срабатывания. Следовательно, к=0.17157 является ди-
намическим значением порога срабатывания. В работе [10] точное пороговое значение равно к= 0.20363. Следовательно, погрешность определения порога срабатывания в [21] составляет более 15 %, что недопустимо для практических приложений.
В настоящее время для исследования динамического поведения нелинейных колебательных М/НЭМС используют метод гармонического баланса [22], метод энергетического баланса [23], вариационный подход [24], минимаксный метод [25], метод разложения по параметрам [26], метод Гамильтона для уравнений высокого порядка [27], метод разложения Адомиана [28], метод гомотопического возмущения [29], вариационно-итерационный метод [7], двухмасштабный фрактальный метод [30] и другие методы [31-33]. Вариационно-итерационный метод (ВИМ) является эффективным способом аналитического решения нелинейных дифференциальных уравнений и дает достоверные результаты.
Вариационно-итерационный метод был впервые предложен в 1998 г. [34] и применялся для решения ряда нелинейных задач [35-39]. Метод предполагает использование множителя Лагран-жа для генерации подходящего оптимального корректирующего функционала с использованием вариационной теории и интегральных преобразований [40, 41]. В последнее время вариационно-итерационный метод и его различные модификации [42, 43], включая вариационно-итерационный метод Хе-Лапласа [21], применяют для решения различных задач [44-46], а также для исследования срабатывания в осцилляторах на основе М/НЭМС [7, 21]. Однако многие авторы следуют стандартному процессу решения [34], но упрощенный алгоритм приводит к ошибкам. Хотя, как будет показано далее, стандартный алгоритм вариационно-итерационного метода [34] имеет чрезвычайно высокую точность.
В данной работе с помощью вариационно-итерационного метода проведено исследование нелинейного колебательного поведения, описываемого уравнением (1). Член, отвечающий за электромагнитную силу, представлен с помощью известного ряда Тейлора. Затем, решая преобразованную задачу о колебаниях с помощью вариационно-итерационного метода, получаем нелинейную аппроксимацию частоты и соответствующее аналитическое решение для нулевых начальных условий. Это также позволяет оценить порог срабатывания для модельных параметров. Верифика-
ция вариационно-итерационного метода выполнена путем сравнения с результатами, полученными методом Рунге-Кутты четвертого порядка точности (РК4). Для оценки преимуществ использования аппроксимации усилия срабатывания проведено сравнение результатов вариационно-итерационного метода с результатами работы [21].
2. Предварительные данные
2.1. Основная идея вариационно-итерационного метода
Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение в общем виде:
L[u (t)] + N [u (t)] = h(t), (5)
где L и N — линейный и нелинейный операторы соответственно; h(t) — неоднородный член. Вариационно-итерационный алгоритм подразумевает введение следующего корректирующего функционала для уравнения (5):
um+1(t) = Um (t)
+ }^){L[Um ф] + N[Um ф] " h(^)}d^. (6)
0
Здесь X — оптимальный множитель Лагранжа, определенный с использованием вариационной теории; индекс m — m-е приближенное решение; Um — ограниченная вариация, т.е. 5Um = 0.
2.2. Обобщенная кубическая формула
Обобщенная кубическая формула [47] позволяет находить корни обобщенного кубического уравнения
px3 + qx2 + rx + s = 0, p Ф 0, (7)
где p, q, r, s — действительные коэффициенты кубического уравнения. Пусть
А0 = q - 3pr, Д1 = 2q3 - 9pqr + 27p2s
и
G =
Д ±4А\ - 4 А;
2
(8)
(9)
где символы Г г соответствуют любому кубическому и квадратному корню соответственно. При использовании символа ± выбор знака произвольный. Все корни кубического уравнения (7) можно получить, используя формулу ( л >
Х„ =-
J_
3 p
-4nG-
ц'nG
n e {0,1, 2}, (10)
где ^ = (-1 + \/-3)/2. Формула (10) неприменима, если корни не могут быть выражены кубическими корнями.
3. Стандартный вариационно-итерационный алгоритм решения задачи
Используем вариационно-итерационный метод для решения уравнения (1) при нулевых начальных условиях. Усилие срабатывания в уравнении (1) можно аппроксимировать как
1
, - = X (-i)V.
1 - u /=0
Тогда уравнение (1) можно записать в виде
d2u
dt2
- + u - k
X (-i)V
i=0
= 0.
(11)
(12)
С учетом уравнения (5) уравнение (12) можно выразить в виде
где
d-U(t) + ra2u (t) + N [u(t)] = 0,
dt2
~ , Ч1 d2u 2 L[u(t)] = —— + ю u,
N[u (t)] = u - k
dt2
X (-1)iui
i=0
-ra2u.
(13)
(14)
(15)
На основе уравнения (6) запишем корректирующий функционал:
ит+1(1) = ит (1)
+ }Щ) ^ир- + ю2ит ф + Й[йт (Ц(16)
Для определения множителя Лагранжа нужно вычислить вариацию уравнения (16). Поскольку ит — ограниченная вариация, имеем
5^[йт О = 0. Следовательно, вариация для (16) имеет вид:
5ит+1(1) = 5ит (1)
+ }Хф <|5^тР + ю25ит ф}^
= 5um (t) + Х(5)8
dt2 dum (5)
d5
dM5)
' ^ d2M5) , „2
-Sum (5) „
5=0 d5
Л
5=0
d52
ю2Ц5)
Sum (5)d5 = 0. (17)
Из начального условия и (0) = и'(0) = 0 следует 5ит (0) = 5и'т (0) = 0. С учетом этого можно вывести следующие уравнения:
^ + .Л«) = 0,
1 -
dM5)
d5
= 0,
(18)
5=t
X(t) = 0.
Решив уравнения (18), найдем множитель Лагранжа
1
(19)
М5) = --sin(<»(t -5)). ю
Таким образом, итерационная формула для (16) имеет вид
1
m+1
(t) = um (t)--J sin (ffl(t -5))
Ю 0
*j +®2u (5)+N[u(5)]j d5.
Рассмотрим интеграл
(20)
J sin ra(t -5)
0
= raum (t) - sin rat
^-d^ + »4, (5)
dt2
dum (t)
dt
d5
-raum (0)cos rat.
t=0
С учетом этого соотношения уравнение (20) принимает вид
Аит (1)
um+1(t) = sin rat-
dt
+ raum (0)cos rat
t=0
1 t- •
--|81и(ю(1 -^)){^[и~т(^)]}а^. (21)
ю 0
При нулевых начальных условиях итерационную формулу можно привести к виду
1t
*m+1
(t) = —J sin(ra(t-5)){N[um(5)]}d5. (22)
ю
При условии u(0) = u'(0) = 0 можно привести исходное приближение к нулю, т.е. u0(t) = 0. Тогда уравнение (15) дает
N[u (t) = 0] = k.
Таким образом, с помощью уравнения (22) можно получить решение в первом приближении для уравнения (1):
u1(t) = -k/ra2(1 - cos rat). (23)
Для получения решения более высокого порядка разложим уравнение (15) в биномиальный
ряд до третьего порядка и, подставляя уравнение (23), получим:
(
N Mt)] =
4 Л
2 2k 2 4 6 уЮ Ю Ю Ю j
k4 3
-^cos -t-
Ю6
(k3
' к к2 -Y+к+—-
v Ю Ю
Ю
3k
Ю
4
2 к3 3к
cos Юt
4 Л
Ю
Ю
cos Юt.
/
После простых вычислений имеем
N[U1(t)] =
V
k k2 ■\-2k-К
Ю Ю
3k3 5k
4 Л
2ю4 2ю6
4ю6
-cos3юt-
' k3
3k
4
2
к к —+к+—
Ю Ю
2ю 2ю
2 к3 15к
cos2юt
4 Л
cos юt. (24)
V
ю4 4ю6
/
Коэффициент cos ®t (секулярный член) должен быть равен нулю, чтобы обеспечить периодичность решения, т.е.
ю6 + (k -1)ю4 + 2k2-2 +15 k3 = 0. (25)
Подставляя уравнение (24) в уравнение (22), приближенное решение второго порядка можно записать в виде
(
u (t) =
V
k п, k2
—Г + 2k +-2"
Ю Ю
3k3 5k
4
2ю 2Ю
1
Ю
4
х (1 - cos-t)-
1
4ю6 8ю2
•(cos3-t -cos -t)
f
3k
4
2ю4 2Ю6
1
3ю'
(cos2-t- cos -t). (26)
Таким образом, нелинейную частоту и приближенное решение уравнения (1) можно получить с помощью уравнений (25) и (26) соответственно.
4. Обсуждение результатов
4.1. Динамический анализ срабатывания
Из фундаментальной теории колебаний известно, что задача о колебаниях при нулевых начальных условиях имеет периодическое решение до достижения критического значения, но при этом решение для описания срабатывания существует только выше этой критической величины.
Это критическое значение называется порогом срабатывания и для его определения мы использовали обобщенную формулу для кубических полиномов.
С учетом уравнения (26) нельзя переписать секулярный член после замены ю2 = V:
V3 + (к -1^2 + 2к ^+15 к3 = 0. (27)
Для решения кубического уравнения (27) применим обобщенную кубическую формулу из разд. 2.2:
А0 = -80k2-32k +16, Д1 = 5456k3 + 768k2 + 384k -128, G = [1/2(5456k3 + 768k2 + 384k -128) ± (31815936k6 + 10838016k5 + 4534272k4 -1658880k3)V2]V3. Тогда дискриминант
,6
(28)
(29)
i
AJ2 -4А3 = (31815936k6
+ 10838016к5 + 4534272к4 - 1658880к3)1/2
имеет единственный неотрицательный действительный корень к=0.20498, который является критическим значением для перехода от периодического решения к решению, позволяющему определить порог срабатывания. При к> 0.20498 происходит срабатывание, ниже этого критического значения мы имеем периодическое решение. Таким образом, порог срабатывания к = 0.20498 при погрешности вычисления менее 1% по сравнению со значениями, полученными в [21], т. е. погрешность расчета порогового значения снижается с 15 % до менее чем 1 %.
Значение нелинейной частоты приближенно можно рассчитать по формуле (10):
ю =
(
3 p
если G =
-qG-
Al л
qG
-VAi2-4A 0
3p
-q2G-
q2G
если G = где q = (-1 + л/-3)/2.
A1- УД?-4Д0
2
4.2. Преимущество предлагаемого решения
Приближенное значение нелинейной частоты осциллятора на основе М/НЭМС можно рассчитать с помощью уравнения (30) для различных значений параметра электромагнитной силы к. Значения частоты, полученные вариационно-итерационным методом (уравнение (30)), методом, предложенным в [21] (уравнение (3)), и методом Рунге-Кутты четвертого порядка, приведены в табл. 1. Согласно табличным данным вариационно-итерационный метод дает более точные значения нелинейной частоты по сравнению со значениями, полученными в работе [21]. Максимальная погрешность составляет не более 2 % для вариационно-итерационного метода и более 4 % для
метода [21] при к < 0.17. Кроме того, в настоящем исследовании выполнен расчет нелинейной частоты при к > 0.17 вплоть до точного порогового значения, полученного в работе [10]. В этом преимущество разработанного алгоритма перед методом, предложенным в [21].
В табл. 2 приведена погрешность максимальной амплитуды, рассчитанной с помощью вариационно-итерационного метода и метода [21], для аналогичных значений параметра к. Видно, что величина погрешности расчета вариационно-итерационным методом меньше при любых к: максимальная погрешность составляет менее 2% при к < 0.17 и менее 3% при к > 0.17. Тогда как погрешность расчета методом [21] превышает
Таблица 1. Сравнение значений нелинейной частоты, полученных вариационно-итерационным методом (ВИМ), методом ВИМ Хе-Лапласа [21] и методом Рунге-Кутты четвертого порядка (РК4)
к ЮКК4 Ю[21] Юум Погрешность ВИМ Хе-Лапласа [21], % Погрешность ВИМ, %
0.05 0.9630 0.97164 0.97169 0.8972 0.9024
0.10 0.94309 0.93282 0.93388 1.0890 0.9766
0.11 0.91637 0.92287 0.92459 0.7093 0.8970
0.12 0.9170 0.91175 0.91449 0.5725 0.2737
0.13 0.89235 0.89909 0.90345 0.7553 1.2439
0.14 0.89454 0.88425 0.89126 1.1503 0.3667
0.15 0.87157 0.86603 0.87764 0.6356 0.6964
0.16 0.84955 0.84146 0.86216 0.9523 1.4843
0.17 0.82843 0.79509 0.84416 4.0245 1.8988
0.18 0.80821 Не 0.82243 - 1.7594
0.19 0.76953 определены 0.79433 - 3.2227
Таблица 2. Сравнение значений максимальной амплитуды, полученных вариационно-итерационным методом (ВИМ), методом ВИМ Хе-Лапласа [21] и методом Рунге-Кутты четвертого порядка (РК4)
к и КК4 тах и[21] тах и ¥1М тах Погрешность ВИМ Хе-Лапласа [21], % Погрешность ВИМ, %
0.05 0.10567 0.10568 0.10567 0.0095 0
0.10 0.22637 0.22678 0.22629 0.1811 0.0353
0.11 0.25360 0.25410 0.25326 0.1972 0.1735
0.12 0.28192 0.28307 0.28154 0.4079 0.1348
0.13 0.31142 0.31341 0.31076 0.6390 0.2119
0.14 0.34240 0.34613 0.34181 1.0894 0.1723
0.15 0.37638 0.38220 0.37455 1.5463 0.4862
0.16 0.41223 0.42368 0.40943 2.7776 0.6792
0.17 0.45269 0.48165 0.44739 6.3973 1.1708
0.18 0.49798 Не определены 0.48940 - 1.7230
0.19 0.55348 0.53704 - 2.9703
Рис. 1. Сравнение приближенных решений (а) и анализ погрешности (б) при небольших значениях параметра к (цветной в онлайн-версии)
6 % при к < 0.17. Таким образом, можно сделать вывод, что предложенный алгоритм дает более точные результаты по сравнению с работой [21].
На рис. 1 и 2 представлены результаты, полученные с помощью вариационно-итерационного метода, метода [21] и метода Рунге-Кутты четвертого порядка. Рассмотрены три значения параметра электромагнитной силы к больших, чем пороговое (рис. 1), и три сравнимых с пороговым (рис. 2). Из рис. 1 видно, что в обоих случаях погрешности незначительны, но предложенный алгоритм имеет очевидное преимущество по срав-
нению с методом [21]. На всем рассматриваемом временном интервале наблюдается близкая к нулю погрешность. Однако по мере приближения к пороговому значению погрешность вычислений по ВИМ Хе-Лапласа [21] увеличивается, а в случае вариационно-итерационного метода она незначительна. Для выбранного интервала времени максимальная абсолютная погрешность для разработанного метода составляет 0.00632, 0.0087, 0.0185 при значениях к = 0.15, 0.16, 0.17 соответственно. При этом величина максимальной абсолютной погрешности расчета методом [21] со-
Рис. 2. Сравнение приближенных решений (а) и анализ погрешности (б) при сравнимых с критическими значениями параметра к (цветной в онлайн-версии)
ставляет 0.00993, 0.0238, 0.0701 для тех же значений к. Это подтверждает преимущество разработанного метода по сравнению с методом [21].
5. Выводы
Многие инженерные приложения требуют очень точной оценки нестабильности срабатывания микро/наноэлектромеханических систем. Вариационно-итерационный метод позволяет получать более точные решения для нелинейного ос-
циллятора на основе М/НЭМС через аппроксимацию усилия срабатывания.
В настоящей работе предложен алгоритм аналитического решения для колебательных систем при нулевых начальных условиях.
С использованием предложенной методики получены оптимальное значение порога срабатывания, приближенное значение нелинейной частоты и соответствующее приближенное решение нелинейной модели. Относительная погрешность
незначительная, даже когда система переходит к нестабильному срабатыванию.
Таким образом, предложенный метод позволяет точнее, чем методы без аппроксимации рационально-дробных функций, описывать поведение системы при разработке устройств на основе М/НЭМС.
Аналогичная методика может применяться для анализа других элементов с сосредоточенными параметрами устройств на основе М/НЭМС в случае нулевых начальных условий.
Литература
1. Kumar M., Yadav S., Kumar A., Sharma N.N., Akhtar J., Singh K. MEMS impedance flow cytometry designs for effective manipulation of micro entities in health care applications // Biosen. Bioelectron. - 2019. - V. 142. -https://doi.org/10.1016/j.bios.2019.111526
2. Geetha M., Dhanalakshmi K. Structural design and realization of electromechanical logic elements using shape memory alloy wire actuator // Phys. Mesomech. - 2020. -V. 23. - No. 5. - P. 446-456. - https://doi.org/10.1134/ S1029959920050082
3. Khanlo H.M., Dehghani R. Distributed-parameter dynamic modeling and bifurcation analysis of a trapezoidal piezomagnetoelastic energy harvester // J. Appl. Comput. Mech. - 2022. - V. 8(1). - P. 97-113.
4. Anjum N., He J.H., Ain Q.T., Tian D. Li-He's modified homotopy perturbation method for doubly-clamped electrically actuated microbeams-based microelectromechani-cal system // Facta Umv.-Ser. Mech. - 2021. - V. 19(4). -P. 601-612. - https://doi.org/10.22190/FUME210112025A
5. He J.H., Yang Q., He C.H., Alsolami A.A. Pull-down instability of the quadratic nonlinear oscillators // Facta Univ.-Ser. Mech. - 2023. - https://doi.org/10.22190/ FUME230114007H
6. Malikan M., Uglov N.S., Eremeyev V.A. On instabilities and post-buckling of piezomagnetic and flexomagnetic na-nostructures // Int. J. Eng. Sci. - 2020. - V. 157. - https:// doi.org/10.1016/j .ijengsci.2020.103395
7. Mohammadiana M. Application of the variational iteration method to nonlinear vibrations of nanobeams induced by the van der Waals force under different boundary conditions // Eur. Phys. J. Plus. - 2017. - V. 132. -P. 169-181.
8. Anjum N., He J.H., He C.H., Ashiq A. A brief review on the asymptotic methods for the periodic behaviour of mi-croelectromechanical systems // J. Appl. Comput. Mech. - 2022. - V. 8(3). - P. 1120-1140.
9. Sedighi H.M., Bozorgmehri A. Dynamic instability analysis of doubly clamped cylindrical nanowires in the presence of Casimir attraction and surface effects using modified couple stress theory // Acta Mech. - 2016. -V. 227. - P. 1575-1591.
10. He J.H., Nurakhmetov D., Skrzypacz P., Wei D.M. Dynamic pull-in for micro-electromechanical device with a current-carrying conductor // J. Low Freq. Noise Vib.
Act. Control. - 2020. - https://doi.org/10.1177/14613484 19847298
11. Abd-Alla A.M., Abo-Dahab S.M., Ahmed S.M., Ra-shid M.M. Effect of a magnetic field on the propagation of waves in a homogeneous isotropic thermoelastic halfspace // Phys. Mesomech. - 2020. - V. 23. - No. 1. -P. 54-65. - https://doi.org/10.1134/S1029959920010063
12. Malikan M., Eremeyev V.A. Flexomagnetic response of buckled piezomagnetic composite nanoplates // Compos. Struct. - 2021. - V. 267. - https://doi.org/10.1016/j.comp struct.2021.113932
13. ShishesazM., Shirbani M.M., Sedighi H.M., Hajnayeb A. Design and analytical modeling of magneto-electromechanical characteristics of a novel magneto-electro-elastic vibration-based energy harvesting system // J. Sound Vibr. - 2018. - V. 425. - P. 149-169.
14. Malikan M., Eremeyev V.A. Effect of surface on the flexomagnetic response of ferroic composite nanostructures; nonlinear bending analysis // Compos. Struct. - 2021. -V. 271. - https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2021.114179
15. Shirbani M.M., ShishesazM., Hajnayeb A., Sedighi H.M. Coupled magnetoelectro-mechanical lumped parameter model for a novel vibration-based magneto-electro-elastic energy harvesting systems // Physica. E. - 2017. -V. 90. - P. 158-169.
16. Malikan M., Eremeyev V.A. On a flexomagnetic behavior of composite structures // Int. J. Eng. Sci. - 2022. -V. 175. - https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2022.103671
17. Malikan M., Eremeyev V.A. On nonlinear bending study of a piezo-flexomagnetic nanobeam based on an analytical-numerical solution // Nanomaterials. - 2020. -V. 10(9). - https://doi.org/10.3390/nano10091762
18. Koochi A., Goharimanesh M., Gharib M.R. Nonlocal electromagnetic instability of carbon nanotube-based na-no-sensor // Math. Meth. Appl. Sci. - 2021. - https:// doi.org/10.1002/mma.7216
19. Koochi A., Abadian F., Rezaei M., Abadyan M. Electromagnetic instability of electromechanical nano-bridge incorporating surface energy and size dependency // Phy-sica. E. Low-Dimens. Syst. Nanostruct. - 2021. -https://doi.org/10.1016/j.physe.2021.114643
20. Koochi A., Abadyan M., Gholami S. Electromagnetic instability analysis of nano-sensor // Eur. Phys. J. Plus. -2021. - https://doi.org/10.1140/epjp/s13360-020-01041-z
21. Zhang Y., Pang J. Laplace-based variational iteration method for nonlinear oscillators in microelectromechanical system // Math. Meth. Appl. Sci. - 2020. - https://doi.org/ 10.1002/mma.6883
22. Qian Y.H., Pan J.L., Qiang Y., Wang J.S. The spreading residue harmonic balance method for studying the doubly clamped beam-type M/NEMS subjected to the van der Waals attraction // J. Low Freq. Noise Vib. Act. Control. - 2019. - V. 38(3-4). - P. 1261-1271.
23. Fu Y., Zhang J., Wan L. Application of the energy balance method to a nonlinear oscillator arising in the mi-croelectromechanical system (MEMS) // Curr. Appl. Phys. - 2011. - V. 11. - P. 482-485.
24. He J.H., Anjum N., Skrzypacz P. A variational principle for a nonlinear oscillator arising in the microelectrome-
chanical system // J. Appl. Comput. Mech. - 2021. -V. 7(1). - P. 78-83. - https://doi.org/10.22055/JACM. 2020.34847.2481
25. Sedighi H.M., Reza A., Zare J. Using parameter expansion method and min-max approach for the analytical investigation of vibrating micro-beams pre-deformed by an electric field // Adv. Struct. Eng. - 2013. - V. 16(4). -P. 693-699. - https://doi.org/10.1260/1369-4332.16.4.681
26. Sedighi H.M., Shirazi K.H. Vibrations of micro-beams actuated by an electric field via parameter expansion method // Acta Astronaut. - 2013. - V. 85(C). - P. 19-24. -https://doi.org/10.1016Zj.actaastro.2012.11.014
27. Sadeghzadeh S., Kabiri A. Application of higher order Hamiltonian approach to the nonlinear vibration of micro electro mechanical systems // Lat. Am. J. Solids Struct. -2016. - V. 13. - P. 478-497. - https://doi.org/10.1590/ 1679-78252557
28. Kuang J.H., Chen C.J. Adomian decomposition method used for solving nonlinear pull-in behavior in electrostatic micro-actuators // Math. Comp. Model. - 2005. - V. 41. -P. 1479-1491.
29. Sedighi H.M., Daneshmand F. Nonlinear transversely vibrating beams by the homotopy perturbation method with an auxiliary term // J. Appl. Comput. Mech. -2015. - V. 1(1). - P. 1-9.
30. Tian D., Ain Q.T., Anjum N., He C.H., Cheng B. Fractal M/NEMS: From pull-in instability to pull-in stability // Fractals. - 2020. - V. 29(2). - Article 2150030. - https:// doi.org/10.1142/S0218348X21500304
31. Sedighi H.M., Ouakad H.M., Dimitri R., Tornabene R. Stress-driven nonlocal elasticity for the instability analysis of fluid-conveying C-BN hybrid-nanotube in a magneto-thermal environment // Physica Scripta. - 2020. -V. 95(6). - P. 065204.
32. Sedighi H.M., Daneshmand F., Yaghootian A. Application of iteration perturbation method in studying dynamic pull-in instability of micro-beams // Lat. Am. J. Solids Struct. - 2014. - V. 11(7). - P. 1078-1090. - https:// doi.org/10.1590/S1679-78252014000700002
33. Sedighi H.M., Shirazi K.H. Vibrations of micro-beams actuated by an electric field via parameter expansion method // Acta Astron. - 2013. - V. 85. - P. 19-24.
34. He J.H. Variational iteration method—A kind of non-linear analytical technique: some examples // Int. J. Nonlinear Mech. - 1999. - V. 34. - P. 699-708.
35. Tao Z.L., Chen G.H., Chen Y.H. Variational iteration method with matrix Lagrange multiplier for nonlinear oscillators // J. Low Freq. Noise Vib. Act. Control. - 2019. -V. 38(3-4). - P. 984-991.
36. Hashemi G., Ahmadi M. On choice of initial guess in the variational iteration method and its applications to nonlinear oscillator // Proc. Inst. Mech. Eng. E. J. Process Mech. Eng. - 2016. - V. 230(6). - P. 452-463.
37. Koochi A., Farrokhabadi A., Abadyan M. Modeling the size dependent instability of NEMS sensor/actuator made of nano-wire with circular cross-section // Microsystem Technol. - 2015. - V. 21. - P. 355-364.
38. Farrokhabadi A., Mokhtari J., Koochi A., Abadyan M. A theoretical model for investigating the effect of vacuum fluctuations on the electromechanical stability of nano-tweezers // Ind. J. Phys. - 2015. - V. 89. - P. 599-609.
39. Rastegar S., Ganji B.A., Varedi M., Erza M. Application of He's variational iteration method to the estimation of diaphragm deflection in MEMS capacitive microphone // Measurement. - 2011. - V. 44. - P. 113-120. - https:// doi.org/10.1016/j .measurement.2010.09.028
40. Khuri S.A., Sayfy A. Generalizing the variational iteration method for BVPs: Proper setting of the correction functional // Appl. Math. Lett. - 2017. - V. 68. - P. 68-75.
41. Anjum N., Suleman M., He J.H., Lu D., Ramzan M. Numerical iteration for nonlinear oscillators by Elzaki transform // J. Low Freq. Noise Vib. Act. Control. - 2019. -https://doi.org/10.1177/1461348419873470
42. Nawaz Y., Arif M.S., Bibi M., Naz M., Fayyaz R. An effective modification of He's variational approach to a nonlinear oscillator // J. Low Freq. Noise Vib. Act. Control. - 2019. - V. 38. - P. 1013-1022.
43. Rehman S., Hussain A., Rahman J.U., Anjum N. Modified Laplace based variational iteration method for the mechanical vibrations and its applications // Acta Mech. Autom. - 2022. - V. 16(2). - P. 98-102.
44. Nadeem M., Li F.Q. He-Laplace method for nonlinear vibration systems and nonlinear wave equations // J. Low Freq. Noise Vib. Act. Control. - 2019. - V. 38(3-4). -P. 1060-1074.
45. He K., Nadeem M., Habib S., Sedighi H.M., Huang D. Analytical approach for the temperature distribution in the casting-mould heterogeneous system // Int. J. Numer. Meth. Heat Fluid Flow. - 2021. - https://doi.org/10.1108/ HFF-03-2021-0180
46. SulemanM., Lu D., Yue C., Rahman J.UI, Anjum N. He-Laplace method for general nonlinear periodic solitary solution of vibration equations // J. Low Freq. Noise Vib. Act. Control. - 2018. - V. 38(3-4). - P. 1297-1304.
47. Anjum N., He J.H. Nonlinear dynamic analysis of vibratory behavior of a graphene nano/microelectromechanical system // Math. Meth. Appl. Sci. - 2020. - https://doi.org/ 10.1002/mma.6699
Поступила в редакцию 03.03.2022 г., после доработки 18.04.2022 г., принята к публикации 19.04.2022 г.
Сведения об авторах
Naveed Anjum, Assist. Prof., Soochow University, China; Government College University, Pakistan, xsnaveed@yahoo.com Ji-Huan He, Prof., Soochow University, Henan Polytechnic University, Xi'an University of Architecture and Technology, China, hejihuan@suda.edu.cn
Chun-Hui He, PhD Student, Xi'an University of Architecture and Technology, China, mathew_he@yahoo.com Khaled A. Gepreel, Prof., Taif University, Saudi Arabia, kagepreel@yahoo.com
