Simple quasi-3D and 2D integral shear deformation theories for buckling investigation of advanced composite plates Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Исследование потери устойчивости пластин из перспективных композитов в рамках упрощенных квазитрехмерных и двумерных интегральных теорий сдвиговой деформации

A. Younsi1,2, F. Bourada2,3, A.A. Bousahla2, A. Kaci2,4, A. Tounsi2,5,6, K.H. Benrahou2, M.H. Ghazwani7

1 Университет Медеи, Медея, 26000, Алжир 2 Университет Сиди-Бель-Аббес, Сиди-Бель-Аббес, 22000, Алжир 3 Университет Тиссемсилт, Бин Хамуда, 38004, Алжир 4 Университет доктора Мулай Тахар, Сайда, 20000, Алжир 5 Университет Ёнсе, Сеул, 03722, Корея 6 Университет нефти и полезных ископаемых имени короля Фахда, Дахран, 31261, Саудовская Аравия 7 Джазанский университет, Джазан, 45124, Саудовская Аравия

В работе проведен анализ потери устойчивости функционально-градиентных пластин в рамках двумерной и квазитрехмерной гиперболической интегральных теорий, учитывающих деформацию сдвига. Упрощение теории достигнуто за счет уменьшения числа неизвестных, используемых для описания перемещений. Полученная модель учитывает нормальные и поперечные сдвиговые деформации и позволяет задать нулевые напряжения поперечного сдвига на верхней и нижней поверхностях исследуемой структуры без поправочных коэффициентов на сдвиг. Исследуемый материал имеет неоднородные свойства на микроуровне, которые непрерывно изменяются в направлении z по степенному закону. Для изучения потери устойчивости свободно опертой функционально-градиентной пластины при одноосном и двухосном сжатии использован метод Навье. Валидация численного метода выполнена путем сравнения полученных результатов с литературными данными. Исследовано влияние изменения толщины пластины, геометрических характеристик, коэффициента материала и типа нагружения на потерю устойчивости.

Ключевые слова: потеря устойчивости, двумерная и квазитрехмерная интегральные теории, функционально-градиентная пластина, эффект расширения, теория сдвиговой деформации

DOI 10.55652/1683-805X_2023_26_1_113

Simple quasi-3D and 2D integral shear deformation theories for buckling investigation of advanced composite plates

A. Younsi1,2, F. Bourada2,3, A.A. Bousahla4, A. Kaci2,5, A. Tounsi2,6,7, K.H. Benrahou2, and M.H. Ghazwani8

1 Medea University, Medea, 26000, Algeria 2 Material and Hydrology Laboratory, Faculty of Technology, Civil Engineering Department, University of Sidi Bel Abbes, Sidi Bel Abbes, 22000, Algeria 3 Department of Science and Technology, Tissemsilt University, Ben Hamouda, 38004, Algeria

4 Laboratory of Multiscale Modeling and Simulation, University of Sidi Bel Abbes, Sidi Bel Abbes, 22000, Algeria 5 Faculty of Technology, Department of Civil and Hydraulic Engineering, Dr Moulay Tahar University, Saida, 20000, Algeria 6 Yonsei Frontier Laboratory, Yonsei University, Seoul, 03722, Korea 7 Department of Civil and Environmental Engineering, King Fahd University of Petroleum & Minerals, Dhahran, Eastern Province, 31261, Saudi Arabia 8 Faculty of Engineering, Department of Mechanical Engineering, Jazan University, Jazan, 45124, Saudi Arabia

In this paper, both 2D and quasi-3D hyperbolic integral shear deformation theories are employed for buckling analysis of functionally graded (FG) plates. The simplicity of the developed theory is due to the reduced number of the unknowns used in the field of displacement. The proposed model takes into account the effect of both normal and transverse shear deformations and ensures the nullity of transverse shear stresses at the top and bottom surfaces of the studied structure without including any shear correction factors. Properties of the material are microscopically inhomogeneous and change continuously according to a power law model in the z direction. The Navier method is utilized to study the mechanical buckling response of a simply supported FG plate under both uniaxial and biaxial compressive loading. The numerical study is validated by comparing the obtained results with the literature data. The influence of thickness stretching, geometric parameters, material index, and different loading cases on the critical buckling load is examined.

Keywords: buckling, 2D and quasi-3D integral theories, FG plate, stretching effect, shear deformation theory

© Younsi A., Bourada F., Bousahla A.A., Kaci A., Tounsi A., Benrahou K.H., Ghazwani M.H., 2023

1. Введение

Функционально-градиентные (ФГ) структуры представляют собой перспективные конструкции, в которых характеристики материала постепенно изменяются между двумя точками заранее заданным образом, что позволяет избежать концентрации напряжений на границах раздела, характерной для обычных многослойных композитов. Первый функционально-градиентный материал был создан в 1984 г. для совершенствования теплозащитных материалов [1] и в дальнейшем ФГ материалы получили быстрое развитие [2, 3]. В настоящее время стимулом к разработке подобных конструкций и материалов являются потребности промышленных отраслей, таких как машиностроение, гражданское строительство, автомобилестроение и аэрокосмическая промышленность [4-6]. Благодаря термостойкости и высоким эксплуатационным характеристикам ФГ материалы способны выдерживать высокие температуры и градиенты, характерные для условий эксплуатации атомных электростанций и космических кораблей. Функционально-градиентные материалы представляют собой группу конструкционных ме-таллокерамических композитов, керамический компонент которых обеспечивает низкую теплопроводность и устойчивость к воздействию высоких температур, а металлический компонент — пластичность. Структурный анализ и моделирование поведения ФГ материала привлекают большое внимание исследователей [7-13].

Особый интерес вызывает исследование устойчивости ФГ пластин и других конструкций при сжимающих нагрузках. Поведение ФГ пластин при потере устойчивости имеет существенное значение при проектировании. В работе [14] исследованы механическая и тепловая устойчивость ФГ металлокерамических пластин в рамках теории пластин первого порядка, учитывающей деформации сдвига, в сочетании с бессеточным методом Ритца. Авторы [15] исследовали механическую устойчивость ортотропных/изотропных пластин под действием различных осевых нагрузок с использованием уточненной теории с двумя неизвестными переменными. В работе [16] получено аналитическое решение для описания потери устойчивости тонких прямоугольных ФГ пластин. В работе [17] использован изогеометрический анализ, основанный на модифицированной мо-ментной теории, для исследования устойчивости ФГ композитных пластин, армированных углеродными нанотрубками, при термическом и меха-

ническом нагружении. Анализ устойчивости ФГ пластин в форме кольцевого сектора, изготовленных из композита, армированного углеродными нанотрубками, при сдвиговом нагружении и на-гружении вдоль плоскости сдвига проведен в [18] в рамках теории сдвиговой деформации более высокого порядка. Влияние равномерно распределенных линейных и нелинейных нагрузок, действующих вдоль плоскости пластины, на потерю устойчивости пластины из ФГ материала исследовано в [19]. Авторами [20] предложена аналитическая постановка для задач упругой устойчивости толстых призматических композитных пластин под действием одноосных и двухосных сжимающих нагрузок. Новая математическая модель для исследования динамической потери устойчивости оболочечных конструкций с помощью коммерческого программного обеспечения, основанного на методе конечных элементов предложена в [21]. Новый аналитический подход к исследованию нелинейной динамической потери устойчивости одномерной конструкции (балки), основанный на идентичной функции нелинейности и методе разложения по параметрам, использован в [22]. В работе [23] исследовано влияние характеристик материала на потерю устойчивости нано-приводов из ФГ материалов с учетом масштабных эффектов. Авторы [24] предложили оригинальный численный метод для исследования поведения ФГ пластин при статической и динамической потере устойчивости, основанный на бессеточном методе интерполяции Кригинга. В [25] для анализа термической устойчивости неоднородных (ФГ) материалов с учетом мелкомасштабных эффектов использована уточненная теория с четырьмя переменными в сочетании с методом Галеркина. Термическая устойчивость косоугольных многослойных композитных пластин была исследована в работе [26] в рамках теории пластин первого порядка с учетом деформаций сдвига и в изогеометрической конечноэлементной постановке на основе неоднородных рациональных В-сплайнов. Модель для прогнозирования характеристик устойчивости бетонной цилиндрической оболочечной конструкции, армированной однослойными углеродными нанотрубками, на упругом основании разработана в [27]. Метод дифференциальных квадратур и теория балки первого порядка с учетом деформаций сдвига использованы в [28] для изучения устойчивости и потери устойчивости ФГ многослойных композитных балок, армированных графеновыми пластинами.

Термическая и механическая устойчивость при изгибе прямоугольных ФГ пластин изучены с помощью обобщенной теории более высокого порядка и метода конечных элементов в [29].

Было предложено несколько теорий для изучения проблем потери устойчивости пластин. Для тонких пластин обычно используют модель Кирхгофа, которая была разработана в 1850 г. и считается классической теорией пластин. Однако она не учитывает влияние деформации поперечного сдвига и дает завышенные или заниженные результаты для конструкций большой толщины, особенно для пластин из современных композитов [30]. Отсутствие учета поперечных сдвиговых деформаций приводит к тому, что соответствующие напряжения становятся равны нулю. Чтобы преодолеть ограничения классической теории пластин и получить приемлемые результаты, в 1951 г. МтШт предложил ввести в теорию для пластин большой и средней толщины предположение о том, что перемещения в плоскости пластины линейно изменяются по толщине. Однако эта модель, называемая теорией пластин первого порядка с учетом деформаций сдвига, дает равномерное распределение напряжений поперечного сдвига по толщине, что не гарантирует выполнение условия нулевого сдвигового напряжения на поверхности пластины, а также требует коррекции этих напряжений с помощью поправочных коэффициентов на сдвиг. Избежать этого сложного этапа определения поправочных коэффициентов удалось в работах [31, 32].

Для аппроксимации нелинейного изменения продольного перемещения по толщине была разработана теория пластин более высокого порядка с учетом деформаций сдвига, которая обеспечивает выполнение условия нулевого напряжения поперечного сдвига на свободных поверхностях конструкции. Поэтому коррекция напряжений в данном случае не требуется. Ьеут80п и МийЬу использовали полиномы третьего порядка для учета осевого смещения по толщине пластины, позволяющие избежать применения поправочных коэффициентов [33]. Однако использование в данном подходе уравнений равновесия классической теории пластин делает его несовместимым с кинематикой перемещений. В 1984 г. этот недостаток был исправлен Reddy, который предложил теорию пластин с совместимыми уравнениями равновесия [34]. Упрощенные теории высокого порядка с учетом деформаций сдвига представляют собой двумерные теории пластин, в основе ко-

торых лежат продольные перемещения более высокого порядка, но с постоянным изменением по толщине образца. За последние десятилетия предложено множество теорий балки более высокого порядка с учетом деформаций сдвига на основе различных функций напряжения поперечного сдвига [34-43]. В работе [44] исследовали изгиб, устойчивость и колебания ФГ многослойных пластин с дефектами в гиперболической конечно-элементной постановке.

Важно отметить, что приведенные выше двумерные теории пластин не учитывают изменение толщины (вг = 0), т.е. модели имеют постоянное поперечное перемещение по толщине. Это предположение справедливо только для тонких или средней толщины ФГ пластин, но неприменимо к толстым ФГ пластинам [45]. Учет изменения толщины ФГ пластин (вг Ф 0) был введен в расчеты в работе [46]. Поскольку этот эффект необходимо учитывать для ФГ пластин большой и средней толщины, было разработано несколько квазитрехмерных теорий. Анализ потери устойчивости современных композитных пластин с помощью обобщенной гибридной квазитрехмерной теории, учитывающей деформации сдвига, проведен в [47]. Новые двумерные и квазитрехмерные гиперболические теории более высокого порядка с учетом деформаций сдвига были также представлены в [48] для статического и динамического анализа ФГ пластин. В [49] предложена новая гиперболическая теория с учетом изменения толщины пластины для исследования свободных колебаний ФГ пластин с дефектами на упругом основании. Механический изгиб и собственная частота двумерной ФГ микробалки определены в [50] в рамках неклассической квазитрехмерной теории балки в сочетании с изогеометрическим анализом на основе неоднородных рациональных В-сплайнов. Авторы [51] разработали простую квазитрехмерную теорию с учетом изменения толщины для изучения статического поведения ФГ балки при термомеханическом нагружении. Эффективная квазитрехмерная теория высшего порядка с учетом деформаций сдвига предложена в [52] для исследования поведения при термомеханическом изгибе ФГ пластины с температурно-зависимыми свойствами на подвижном упругом основании.

Целью данной работы является разработка уточненной двумерной и квазитрехмерной интегральных теорий для анализа потери устойчивости ФГ пластин при одноосном и двухосном сжатии. Эта теория имеет меньшее число неизвест-

ных в уравнении перемещений, что повышает точность результатов и сокращает время расчетов. Предложенная теория удовлетворяет условию равновесия на свободных (верхних/нижних) поверхностях пластины за счет гиперболической функции формы и отсутствия поправочных коэффициентов на сдвиг. Поле перемещений задано в соответствии с нелинейным изменением продольных перемещений по толщине. Определяющие уравнения получены из принципа возможных перемещений и решены методом Навье. Вычисления выполнены с учетом как поперечного сдвига, так и нормальной деформации. Для подтверждения точности и эффективности предложенной теории получены аналитические решения для ФГ пластины. Кроме того, проведены параметрические исследования, определяющие влияние различных параметров на устойчивость прямоугольных ФГ пластин при нагружении вдоль плоско -сти.

2. Аналитическая постановка

2.1. Моделирование функционально-градиентного материала

Рассмотрим прямоугольную ФГ пластину размером а х Ь х И, показанную на рис. 1.

Коэффициент Пуассона V считается постоянным, модуль Юнга ФГ пластины изменяется по толщине по степенному закону [53, 54]:

( 22 + ИЛР

Е (2) = Ет + (Ес 4

Ет)

2И

(1)

где р — коэффициент неоднородности; Ет и Ес — модуль Юнга металлического и керамического материала соответственно.

Рис. 1. Размеры и система координат ФГ металлоке-рамической пластины

2.2. Поле перемещений и определяющие соотношения

Для преодоления ограничений классической теории (тонких) пластин, не учитывающей влияние деформаций поперечного сдвига, и теории сдвиговой деформации первого порядка, предполагающей равномерное изменение напряжений поперечного сдвига, вводят поправочные коэффициенты на сдвиг. Модель, разработанная в настоящей работе, учитывает изменение деформаций поперечного сдвига по толщине параболически, без использования поправочных коэффициентов. Кроме того, упрощенная квазитрехмерная теория позволяет учитывать эффект изменения нормальной деформации по толщине. Одним из преимуществ предлагаемой модели является то, что она содержит всего пять неизвестных переменных, в отличие от других существующих моделей, использующих шесть и более переменных. Поле перемещений задается следующим образом:

и(X, у, 2) = и0(X, у) - 2 + к/(2)|9(Х, У)^Х,

V(X у, 2) = Уо(X У) - 2 ^ + к21(2)|е(X У, (2) ду

Ц х у, 2) = ^о(X У) + &(2 )Ф 2. Здесь и, V, w — компоненты перемещений произвольной точки (х, у, 2) ФГ пластины; к и к2 — ко -эффициенты, зависящие от геометрии; и0, v0, w0, 9, ф2 — пять неизвестных перемещений срединной плоскости пластины; И — толщина пластины; /(2) — гиперболическая функция формы, записанная в виде [55]:

/ (2) = И 1апИ

-1

2 V И у

(4 V з у

^ 23

И2

(3)

При этом функция &(2) задается следующим образом:

& ( 2) = /'( 2). (4)

С учетом поля перемещений (2) линейные деформации £у можно задать как

е X кЬ кХ'

е У = > + 2' кЬ • +1 (2 )■ кУ

У XV, У 0 1 ху _ кЬУ. кХу.

= & ( 2 )

е 22 = &'(2 )е0

где

ди0

80^ дх 'кЬх

8° > < ку

у дх у

У 0 1 ху ди0 ду 5х куу.

д ^о дх 2

д ч

ду 2 -2 ^

дхду

к?, !>-

к1в ¿20

д д к—|эdx+к2—|еау

дх

8 г - Фг

(6)

(7)

Члены неопределенных интегралов, используемые в приведенных выше уравнениях, должны быть вычислены определенным методом и могут быть записаны следующим образом:

А^х-А^е, ^у-б' —,

ду дхду дх дхду

^ = А ' ^, ^у = Б ' д0,

ох ду

(8)

где

А ' --

1

. Б' ¿1 =а2, ¿2 =Р2,

(9)

_1_

а" р2

при этом а и в найдены из выражений (24).

Определяющие соотношения между напряжением и деформацией ФГ пластины имеют вид

О у

Ог

Т уг

Т хг

.V

Сп С1 С12 С:

12 С13

С12 С22 С23

13

о о о

23

о о о

С

33

о о о

о о о

С440

о о

С

55

о

С

66.

8 х

8 у

8 г У у2 У хг У ху

(1о)

где 8х, Еу, 8г, Ууг, Ухг, Уху и Ох, Оу, Ог, Туг, Тхг, Тху- компоненты тензора деформации и напряжения соответственно.

Если 8г = 0, то Су — константы упругости с плоским приведенным напряжением:

С - С - Е(г) С -мС

1 -м2

С44 - С55 - С66 - О(г) - '

Е (г)

(11)

2(1 + м)

При 8г Ф 0 (изменение толщины) трехмерные константы упругости Су можно записать в виде

1 -V

С11 - С22 - С33 - ^(г),

С12 - С13 - С23 - ^(г), С44 - С55 - С66 - О(г) - г) -

(12)

Е( г)

2(1 + м)'

где Цг) - [мЕ(г)]/[(1 - 2м)(1 + м)] и ц(г) - О(г) -Е (г )/[2(1 + V)] — коэффициенты Ламе.

Модули Е и О, а также константы упругости Су изменяются по толщине в соответствии с уравнением (1).

2.3. Определяющие уравнения

Для вывода определяющих уравнений используется принцип возможных перемещений, который в аналитической форме можно записать как [56, 57]

5и + 5У-0, (13)

где 5и — виртуальная энергия деформации; 5У— работа по возможным перемещениям, совершаемая внешними силами. Выражение для виртуальной энергии деформации имеет вид к/2

Ьи - I 1[Сх58х у58у г58г

-к/ 2 А

+ Тху5Уху + Туг5Ууг + Тхг5Ухг ] ^^

- |[К580 + Му58°у + 580 + КУ5у0у

А

+ Иьх5кьх + мьу5кьу + Мьху 5кьху + Ы°Х5К + муьк;

+ мху 5кху + ^ 5у уг + ^ 5у хг ] dA - 0, (14)

где Ы, Мх, М\ Б4 — результирующие напряжения, определяемые выражениями

Nr, N.

мх, м:, м

N.

мх, му, м

ху

к 2

I

-к/ 2

- | (<Ох, О у, Тху )

1

г

/ (г)

к/ 2

Nz - | од'(г)&,

-к 2 к/ 2

(БХг, Б; ) - | (Тх2, V )Я(№

-к/ 2

¿г,

и

Внешняя работа по возможным перемещениям за счет сил в плоскости и сдвиговых сил, приложенных к пластине, определяется как

5У = |

А

п дw д5w п дw д5w

N°--+ N1--

ду дх

дх дх

п дw д5w п дw д5w

-Кх--+ N0--

дх ду ду дУ

Л4,

где N0

№ — осевые нагрузки; №

(16)

N° —

ух

у _ „. ^ „ , ху

сдвиговые усилия.

Подставляя выражения (14), (16) в уравнение (13) и интегрируя по частям, получим следующие уравнения движения пластины для компонент 5и0, 5v0, 5w0, 59, 5ф2:

5и0

дNX дК

ху

5w0

дх ду дN дN

ху у

= 0,

дУ ду

= 0,

д2мЬ

д 2МЪу

I_

д 2мъу

дх2

-N1

дхду ду2

д 2 ^

-N1

д %

дхг у ду 59: - к1М'х - к2Му - (к1 А' + к2Б') t,дSs2 .

2 К ^ = 0,

дхду

(17)

д 2М

ху

дхду

+ к1 А'

дх

к Б'-

У2

ду

= 0,

5Ф 2

дSt дS

у2

- N = 0.

дх ду

Подставляя уравнение (6) в (10), а полученное выражение в уравнение (15), запишем результирующие напряжения как

N

у

N. М М М М М

М

ху

N..

А11 А1'

0 Б,, Вг

0 ВЛ2 Во

Вм Вл-

А66 0

0 Д

0 В«

Д-

В12 В2. 0

0 Д2

д

0 В6,

0

Вп В2 0 Дп Д

Г}5 Г}5

12 22

0 Д2 Д22

0 0

Д1 0 0

с?5 г?5

В11 В12

В5 В5

12 22

Д1 Д15.

Д12 д

12 0

22 0

0 0

В66 0 0

X 2'

д

Я 5

11 щ12

77 5

12 22

0 Х13

0 В6*6

0 Д6

66 0

н 66

23 0

У5

23

X 2'

0 У13

У5

23

У5

23

0 2,-

Зи0/дх

^0/ ду

ди0/ ду + дv0/ дх -д2 w0| дх2 -д2 wJ ду2 -2 д 2w0/дхду к19 к29

(к1А' + к1В' ) д29/дхду Ф2

(18)

I*

У2

44 0

0

55

к2 В

' д9 дф2

к1 А

дУ ду ' д9 дф2

дх дх

где

(а?., а; , в. , в?. , дг], д, н;)

И/ 2

= | (1, &2(2), 2, /(2), 22, 2/(2), /2(2))0^, (19)

-И/ 2

И/ 2

(X; , У; , у; , 2; ) = | (1, 2, / ( 2), & ' ( 2)) & ' ( 2 ;

-И/ 2

3. Аналитическое решение для свободно опертой многослойной функционально-градиентной пластины

Рассмотрим свободно опертую многослойную прямоугольную пластину длиной а и шириной Ь, нагруженную в плоскости в двух направлениях (№ = у^, N = У2^г, №у = 0), как показано на рис. 2. Граничные условия свободного опирания задаются следующим образом:

N. = МЬ = Мх = V, = Wо = — = ф2 = 0

Зу (20)

при х = 0, а,

X

Таблица 1. Безразмерная критическая нагрузка потери устойчивости Nc[ функционально-градиентной пластины при одноосном сжатии вдоль оси х (а/У = 0.5)

а/к Источник 8г р

0 0.5 1 2 5 10 20

5 [59] = 0 6.7203 4.4235 3.4164 2.6451 2.1484 1.9213 1.7115

[60] = 0 6.7140 4.4090 3.3900 2.6100 2.1240 1.9000 1.7050

[61] = 0 6.7203 4.4235 3.4164 2.6451 2.1484 1.9212 1.7115

[61] Ф 0 6.9630 4.6300 3.6180 2.8300 2.2830 2.0180 1.7820

Расчет = 0 6.7207 4.4237 3.4165 2.6449 2.1472 1.9207 1.7119

Расчет Ф 0 6.9703 4.6333 3.6220 2.8336 2.2850 2.0192 1.7847

10 [59] = 0 7.4050 4.8200 3.7100 2.8800 2.4100 2.1800 1.9300

[60] = 0 7.3970 4.8100 3.7000 2.8700 2.4000 2.1800 1.9300

[61] = 0 7.4053 4.8206 3.7110 2.8896 2.4164 2.1895 1.9387

[61] Ф 0 7.4800 4.9280 3.8520 3.0410 2.5300 2.2590 1.9770

Расчет = 0 7.4054 4.8207 3.7111 2.8896 2.4161 2.1894 1.9388

Расчет Ф 0 7.4862 4.9311 3.8551 3.0450 2.5315 2.2597 1.9778

20 [59] = 0 7.5990 4.9300 3.7900 2.9500 2.4900 2.2600 2.0000

[60] = 0 7.5900 4.9240 3.7800 2.9500 2.4800 2.2600 2.0000

[61] = 0 7.5992 4.9314 3.7930 2.9581 2.4944 2.2690 2.0054

[61] Ф 0 7.6190 5.0070 3.9140 3.0980 2.5990 2.3280 2.0320

Расчет = 0 7.5993 4.9315 3.7930 2.9581 2.4943 2.2689 2.0055

Расчет Ф 0 7.6243 5.0098 3.9168 3.1019 2.6009 2.3283 2.0322

50 [59] = 0 7.6500 4.9600 3.8100 2.9700 2.5100 2.2900 2.0250

[60] = 0 7.6400 4.9500 3.8100 2.9730 2.5100 2.2800 2.0200

[61] = 0 7.6554 4.9634 3.8166 2.9779 2.5171 2.2922 2.0249

[61] Ф 0 7.6580 5.0290 3.9320 3.1150 2.6190 2.3480 2.0480

Расчет = 0 7.6555 4.9634 3.8166 2.9779 2.5172 2.2923 2.0250

Расчет Ф 0 7.6637 5.0321 3.9344 3.1182 2.6210 2.3483 2.0479

100 [59] = 0 7.6600 4.9680 3.8200 2.9800 2.5200 2.2900 2.0280

[60] = 0 7.6500 4.9600 3.8100 2.9700 2.5100 2.2920 2.0200

[61] = 0 7.6635 4.9680 3.8200 2.9807 2.5204 2.2956 2.0277

[61] Ф 0 7.6640 5.0330 3.9340 3.1170 2.6220 2.3510 2.0500

Расчет = 0 7.6635 4.9680 3.8200 2.9808 2.5205 2.2957 2.0278

Расчет Ф 0 7.6693 5.0353 3.9369 3.1205 2.6239 2.3511 2.0502

д0

Ny - мЬу - му - и0 - ^- — = Ф2 - 0

при х - 0, У.

В этом разделе представлено аналитическое решение для потери устойчивости свободно опертой многослойной прямоугольной пластины. Решения, полученные на основе подхода Навье [58], имеют вид

и0 итп ^(ах^т(Ру)

V) да да Утп 8т(ах)С08(Ру)

Жтп 8т(ах)8т(Ру)

е т=1 п=1 Хтп Sin(аx)sin(pу)

Фг. Ф тп sin(аx) sin(Ру) ^

где итп, Утп, Жтп, Хтп, Фтп — коэффициенты Фурье, определяемые для каждой пары т и п;

Таблица 2. Безразмерная критическая нагрузка потери устойчивости Мс[ функционально-градиентной пластины при одноосном сжатии вдоль оси х (а/Ь = 1)

а/И Источник ег р

0 0.5 1 2 5 10 20

5 [59] = 0 16.0200 10.6200 8.2200 6.3400 5.0500 4.4800 4.0000

[60] = 0 16.0000 10.5700 8.1460 6.2300 4.9700 4.4400 3.9800

[61] = 0 16.0210 10.6253 8.2244 6.3431 5.0530 4.4806 4.0069

[61] Ф 0 16.8660 11.2880 8.8230 6.8550 5.4180 4.7550 4.2250

Расчет = 0 16.0226 10.6264 8.2252 6.3425 5.0490 4.4790 4.0084

Расчет Ф 0 16.8855 11.2972 8.8323 6.8643 5.4215 4.7589 4.2327

10 [29] (МКЭ) - - - 9.21 - - 5.38 -

[59] = 0 18.5700 12.1200 9.3300 7.2600 6.0300 5.4500 4.8300

[60] = 0 18.5400 12.0800 9.2990 7.2100 5.9900 5.4200 4.8200

[61] = 0 18.5785 12.1229 9.3391 7.2630 6.0353 5.4528 4.8346

[61] Ф 0 18.8730 12.4590 9.7380 7.6730 6.3410 5.6500 4.9540

Расчет = 0 18.5788 12.1232 9.3392 7.2628 6.0338 5.4521 4.8350

Расчет Ф 0 18.8888 12.4658 9.7453 7.6816 6.3445 5.6509 4.9568

20 [29] (МКЭ) - - - 9.64 - - 5.75 -

[59] = 0 19.3500 12.5600 9.6600 7.5300 6.3400 5.7600 5.0900

[60] = 0 19.3100 12.5300 9.6490 7.5100 6.3200 5.7500 5.0800

[61] = 0 19.3527 12.5667 9.6674 7.5371 6.3447 5.7668 5.0988

[61] Ф 0 18.8730 12.7780 9.9890 7.9030 6.6180 5.9250 5.1730

Расчет = 0 19.3528 12.5668 9.6675 7.5371 6.3443 5.7666 5.0990

Расчет Ф 0 19.4467 12.7844 9.9952 7.9114 6.6221 5.9246 5.1741

50 [29] (МКЭ) - - - 9.79 - - 5.87 -

[59] = 0 19.5800 12.6900 9.7630 7.6100 6.4300 5.8000 5.1700

[60] = 0 19.5400 12.6700 9.7430 7.6010 6.4200 5.8400 5.1600

[61] = 0 19.5814 12.6970 9.7636 7.6176 6.4372 5.8613 5.1781

[61] Ф 0 19.5940 12.8700 10.0610 7.9690 6.7000 6.0060 5.2380

Расчет = 0 19.5814 12.6970 9.7637 7.6177 6.4372 5.8614 5.1782

Расчет Ф 0 19.6075 12.8757 10.0668 7.9778 6.7039 6.0057 5.2380

100 [29] (МКЭ) - - - 9.82 - - 5.90 -

[59] = 0 19.6100 12.7100 9.7700 7.6200 6.4500 5.8700 5.1800

[60] = 0 19.5700 12.6900 9.7500 7.6100 6.4300 5.8600 5.1700

[61] = 0 19.6145 12.7158 9.7775 7.6293 6.4507 5.8752 5.1896

[61] Ф 0 19.6170 12.8830 10.0710 7.9790 6.7120 6.0180 5.2470

Расчет = 0 19.6145 12.7158 9.7775 7.6293 6.4507 5.8751 5.1897

Расчет Ф 0 19.6306 12.8888 10.0771 7.9874 6.7158 6.0174 5.2473

т% п% а =-, р=—. (22)

а Ь

Подстановка результирующих напряжений и моментов, найденных с помощью (18), в уравнения

движения (17) дает замкнутые решения для статического поведения ФГ пластины только при на-гружении вдоль плоскости пластины, а именно нормальных осевых нагрузках (задачи потери устойчивости):

Таблица 3. Безразмерная критическая нагрузка потери устойчивости функционально-градиентной пластины при одноосном сжатии вдоль оси х (а/Ь = 1.5)

а/И Источник е2 р*

0 0.5 1 2 5 10 20

5 [59] = 0 28.1900 19.2500 15.0300 11.4234 8.4700 7.2900 6.6100

[60] = 0 28.1500 19.0900 14.7600 11.0600 8.2500 7.2000 6.5600

[61] = 0 28.1995 19.2510 15.0343 11.4233 8.4727 7.2952 6.6105

[61] Ф 0 30.9500 21.2790 16.6730 12.6480 9.2530 7.9130 7.1750

Расчет = 0 28.2118 19.2588 15.0402 11.4235 8.4614 7.2923 6.6175

Расчет Ф 0 30.9942 21.3031 16.6952 12.6640 9.2531 7.9226 7.1955

10 [59] = 0 40.7400 26.9000 20.8000 16.0700 12.9500 11.5300 10.2900

[60] = 0 40.5800 26.7200 20.5700 15.8100 12.7400 11.4200 10.2200

[61] = 0 40.7475 26.9091 20.8024 16.0792 12.9500 11.5370 10.2957

[61] Ф 0 42.5210 28.3510 22.1600 17.2810 13.8200 12.1750 10.7830

Расчет = 0 40.7504 26.9109 20.8037 16.0778 12.9414 11.5341 10.2985

Расчет Ф 0 42.5653 28.3727 22.1805 17.3029 13.8276 12.1839 10.7985

20 [59] = 0 45.8900 29.9000 23.0200 17.9200 14.9400 13.5200 11.9800

[60] = 0 45.6400 29.7100 22.8500 17.7500 14.8100 13.4250 11.9000

[61] = 0 45.8930 29.9049 23.0285 17.9221 14.9471 13.5273 11.9843

[61] Ф 0 46.4700 30.6420 23.9510 18.8930 15.6730 13.9830 12.2470

Расчет = 0 45.8936 29.9054 23.0289 17.9215 14.9441 13.5258 11.9851

Расчет Ф 0 46.5062 30.6582 23.9679 18.9147 15.6816 13.9850 12.2520

50 [59] = 0 47.5700 30.8600 23.7400 18.5100 15.6280 14.2100 12.5600

[60] = 0 47.2900 30.6700 23.5900 18.3900 15.5100 14.1200 12.4800

[61] = 0 47.5786 30.8690 23.7414 18.5177 15.6237 14.2156 12.5628

[61] Ф 0 47.6780 31.3300 24.4920 19.3910 16.2770 14.5830 12.7250

Расчет = 0 47.5787 30.8691 23.7415 18.5176 15.6233 14.2154 12.5630

Расчет Ф 0 47.7103 31.3443 24.5062 19.4112 16.2856 14.5815 12.7246

100 [59] = 0 47.8200 31.0100 23.8400 18.6000 15.7200 14.3100 12.6500

[60] = 0 47.5300 30.8200 23.6900 18.4800 15.6200 14.2300 12.5700

[61] = 0 47.8297 31.0119 23.8469 18.6061 15.7255 14.3198 12.6501

[61] Ф 0 47.8540 31.4300 24.5700 19.4630 16.3670 14.6720 12.7960

Расчет = 0 47.8298 31.0120 23.8469 18.6061 15.7254 14.3197 12.6502

Расчет Ф 0 47.8862 31.4440 24.5846 19.4838 16.3755 14.6706 12.7948

* Номер моды (т, п) = (2, 1).

Рис. 2. Схема нагружения в плоскости прямоугольной пластины (цветной в онлайн-версии)

¿11 ¿12 ¿13 ¿14 ¿15 " ^тп 0

¿12 ^22 ¿23 ¿24 ^ 25 V г тп 0

¿13 ^ 23 ¿33 ¿34 ¿35 < ш тп > = < 0 ',(23)

¿14 ^24 ¿34 ¿44 ^ 45 X тп 0

¿15 ¿25 ¿35 ^ 45 ¿55 _ Ф тп, 0

где

= а2 Бп + р2 А66, ¿12 = аР( А12 + Абб), ¿13 =-а3 Бп -ар2( В12 + 2 Вбб),

Таблица 4. Безразмерная критическая нагрузка потери устойчивости М^. функционально-градиентной пластины при одноосном сжатии вдоль оси х (а/Ь = 2)

а/И Источник ег р

0 0.5 1 2 5 10 20

5 [59] = 0 37.74** 26.36** 20.74** 15.58** 10.95** 915*** 8 39***

[60] = 0 37.67** 26.11** 20.29** 14 99** 10.65** 9 04*** 8.317***

[61] = 0 37.7403** 26.3644** 20.7490** 15.5819** 10.9554** 9.1505*** 8.3987***

[61] Ф 0 40.812** 28.675** 22.627** 16.955** 11.767** 9 458*** 8.672***

Расчет = 0 37.7826** 26.3919** 20.7706** 15.5907** 10.9436** 9.1612*** 8.4261***

Расчет Ф 0 40.8533** 28.7041** 22.6489** 16.9614** 11.7520** 9 4455*** 8.6741***

10* [59] = 0 64.0800 42.5000 32.8900 25.3700 20.2100 17.9200 16.0200

[60] = 0 63.7800 42.1400 32.4600 24.8600 19.8400 17.7200 15.9000

[61] = 0 64.0842 42.5015 32.8979 25.3726 20.2122 17.9227 16.0279

[61] Ф 0 67.4660 45.1520 35.2940 27.4210 21.6740 19.0200 16.9020

Расчет = 0 64.0903 42.5054 32.9007 25.3701 20.1962 17.9160 16.0334

Расчет Ф 0 67.5420 45.1888 35.3291 27.4573 21.6858 19.0355 16.9308

20* [59] = 0 74.3000 48.4900 37.3500 29.0500 24.1400 21.8100 19.3300

[60] = 0 73.8000 48.1000 37.0000 28.7100 23.8600 21.6100 19.1800

[61] = 0 74.3140 48.4917 37.3564 29.0522 24.1412 21.8110 19.3385

[61] Ф 0 75.4950 49.8360 38.9540 30.6920 25.3640 22.6000 19.8170

Расчет = 0 74.3153 48.4926 37.3570 29.0511 24.1351 21.8085 19.3402

Расчет Ф 0 75.5552 49.8633 38.9813 30.7265 25.3778 22.6037 19.8271

50* [59] = 0 77.8000 50.4800 38.8300 30.2800 25.5300 23.2270 20.5300

[60] = 0 77.2000 50.0900 38.5100 30.0200 25.3200 23.0400 20.3600

[61] = 0 77.8003 50.4890 38.8337 30.2857 25.5363 23.2278 20.5301

[61] Ф 0 78.0080 51.2700 40.0790 31.7260 26.6140 23.8380 20.8050

Расчет = 0 77.8006 50.4891 38.8339 30.2856 25.5352 23.2273 20.5304

Расчет Ф 0 78.0614 51.2936 40.1033 31.7590 26.6278 23.8363 20.8052

100* [59] = 0 78.3200 50.7800 39.0500 30.4700 25.7400 23.4500 20.7100

[60] = 0 77.7100 50.3800 38.7400 30.2200 25.5400 23.2600 20.5500

[61] = 0 78.3256 50.7880 39.0545 30.4707 25.7491 23.4455 20.7126

[61] Ф 0 78.3780 51.4800 40.2440 31.8780 26.8020 24.0260 20.9540

Расчет = 0 78.3257 50.7881 39.0546 30.4707 25.7488 23.4454 20.7127

Расчет Ф 0 78.4298 51.5026 40.2674 31.9112 26.8157 24.0227 20.9522

* Номер моды (т, п) = (2, 1). ** Номер моды (т, п) = (3, 1). *** Номер моды (т, п) = (4, 1).

= -а(к1В151 + к2 В152) + ар2 В656 (к1 А ' + к2 В'),

=аXlз, S22 = а А66 + Р А22, S23 =-Р3В22 -а2р(В12 +2В66),

S24 = -Р(к1В152 + к2 В22) + а2р(к1 А ' + к2 В ') В656,

S25 = -рX23,

4 4 23 2 (24)

Sзз = а4 Дп +р4Д22 +2а2р2(Д12 +2Д66),

S34 = а2кД11 + (к2а2 + к1р2)Д152 + р2к2 Д22 -2а 2р2 (к1 А ' + ко В ') Д656, Sз5 =а2У13 + р^, S44 = к12 Я151 + к22 Н 22 + 2к1к2 Щ2 +а2р2(к1 А ' +к2В ')2 Н656 +а 2(к1 А ')2 А555 +р2(к2 В ')2 А44, S 45 — к^з + к^Уоз +а к1А. А55 +Р ко -В А.44,

= а А^5 +р А44 + Zзз,

Х = Ncr( У1а 2 + у 2Р2).

Таблица 5. Безразмерная критическая нагрузка потери устойчивости Ncr функционально-градиентной пластины при двуосном сжатии (а/Ь = 0.5)

а/И Источник ег р

0 0.5 1 2 5 10 20

5 [59] = 0 5.3760 3.5390 2.7330 2.1160 1.7190 1.5370 1.3690

[60] = 0 5.3710 3.5270 2.7150 2.0920 1.7000 1.5270 1.3640

[62] Ф 0 5.4090 3.5652 2.7563 2.1348 1.7320 1.5474 1.3772

[61] = 0 5.3762 3.5388 2.7330 2.1160 1.7187 1.5370 1.3692

[61] Ф 0 5.5700 3.7040 2.8950 2.2640 1.8260 1.6140 1.4260

Расчет = 0 5.3765 3.5390 2.7332 2.1159 1.7178 1.5366 1.3695

Расчет Ф 0 5.5763 3.7066 2.8976 2.2669 1.8280 1.6154 1.4278

10 [59] = 0 5.9260 3.8570 2.9690 2.3120 1.9330 1.7520 1.5510

[60] = 0 5.9180 3.8500 2.9610 2.3020 1.9250 1.7470 1.5480

[62] Ф 0 5.9343 3.8644 2.9758 2.3174 1.9374 1.7551 1.5536

[61] = 0 5.9242 3.8565 2.9688 2.3117 1.9331 1.7516 1.5509

[61] Ф 0 5.9840 3.9420 3.0820 2.4330 2.0240 1.8070 1.5810

Расчет = 0 5.9243 3.8565 2.9689 2.3117 1.9328 1.7515 1.5511

Расчет Ф 0 5.9889 3.9449 3.0841 2.4360 2.0252 1.8077 1.5823

20 [59] = 0 6.0790 3.9451 3.0340 2.3670 1.9960 1.8150 1.6040

[60] = 0 6.0720 3.9400 3.0290 2.3620 1.9910 1.8120 1.6020

[62] Ф 0 6.0821 3.9473 3.0363 2.3680 1.9967 1.8161 1.6051

[61] = 0 6.0794 3.9451 3.0344 2.3665 1.9955 1.8152 1.6043

[61] Ф 0 6.0950 4.0060 3.1310 2.4780 2.0790 1.8620 1.6250

Расчет = 0 6.0794 3.9452 3.0344 2.3665 1.9955 1.8152 1.6044

Расчет Ф 0 6.0994 4.0078 3.1335 2.4815 2.0808 1.8627 1.6258

50 [59] = 0 6.1240 3.9710 3.0530 2.3820 2.0140 1.8340 1.6200

[60] = 0 6.1170 3.9660 3.0490 2.3790 2.0110 1.8310 1.6180

[62] Ф 0 6.1248 3.9711 3.0536 2.3826 2.0139 1.8340 1.6201

[61] = 0 6.1243 3.9707 3.0533 2.3823 2.0137 1.8338 1.6199

[61] Ф 0 6.1260 4.0230 3.1450 2.4920 2.0950 1.8780 1.6380

Расчет = 0 6.1244 3.9708 3.0533 2.3823 2.0137 1.8338 1.6200

Расчет Ф 0 6.1309 4.0257 3.1475 2.4946 2.0968 1.8786 1.6383

100 [59] = 0 6.1310 3.9740 3.0560 2.3850 2.0160 1.8370 1.6220

[60] = 0 6.1230 3.9700 3.0520 2.3820 2.0140 1.8340 1.6200

[62] Ф 0 6.1309 3.9745 3.0561 2.3847 2.0164 1.8366 1.6223

[61] = 0 6.1308 3.9744 3.0560 2.3846 2.0163 1.8365 1.6222

[61] Ф 0 6.1310 4.0260 3.1470 2.4930 2.0980 1.8810 1.6400

Расчет = 0 6.1308 3.9744 3.0560 2.3846 2.0164 1.8365 1.6222

Расчет Ф 0 6.1355 4.0283 3.1495 2.4964 2.0991 1.8809 1.6401

4. Обсуждение численных результатов

Предлагаемый подход к анализу потери устойчивости свободно опертых ФГ пластин из оксида алюминия и алюминия реализован в рамках

упрощенной квазитрехмерной и двумерной интегральных теорий, учитывающих деформации сдвига. Модуль Юнга и коэффициент Пуассона равны Ет = 70 ГПа, vm = 0.3 для алюминия и Ес =

Таблица 6. Безразмерная критическая нагрузка потери устойчивости Мсг функционально-градиентной пластины при двуосном сжатии (а/Ь = 1)

а/И Источник ег р

0 0.5 1 2 5 10 20

5 [59] = 0 8.0110 5.3130 4.1120 3.1720 2.5270 2.2400 2.0040

[60] = 0 8.0010 5.2880 4.0730 3.1200 2.4870 2.2210 1.9940

[62] Ф 0 8.0826 5.3716 4.1643 3.2132 2.5549 2.2621 2.0205

[61] = 0 8.0105 5.3126 4.1122 3.1715 2.5265 2.2403 2.0034

[61] Ф 0 8.4330 5.6440 4.4110 3.4270 2.7090 2.3770 2.1120

Расчет = 0 8.0113 5.3132 4.1126 3.1713 2.5245 2.2395 2.0042

Расчет Ф 0 8.4427 5.6486 4.4161 3.4322 2.7107 2.3794 2.1164

10 [59] = 0 9.2890 6.0620 4.6700 3.6320 3.0180 2.7260 2.4170

[60] = 0 9.2730 6.0450 4.6500 3.6080 2.9980 2.7150 2.4100

[62] Ф 0 9.3139 6.0810 4.6867 3.6455 3.0280 2.7346 2.4236

[61] = 0 9.2892 6.0614 4.6695 3.6315 3.0176 2.7264 2.4173

[61] Ф 0 9.4360 6.2290 4.8690 3.8360 3.1700 2.8250 2.4770

Расчет = 0 9.2894 6.0616 4.6696 3.6314 3.0169 2.7261 2.4175

Расчет Ф 0 9.4444 6.2329 4.8727 3.8408 3.1722 2.8255 2.4784

20 [59] = 0 9.6760 6.2830 4.8340 3.7690 3.1720 2.8830 2.5490

[60] = 0 9.6580 6.2700 4.8210 3.7570 3.1620 2.8760 2.5440

[62] Ф 0 9.6831 6.2887 4.8384 3.7723 3.1753 2.8857 2.5512

[61] = 0 9.6763 6.2833 4.8337 3.7685 3.1723 2.8834 2.5494

[61] Ф 0 9.7160 6.3890 4.9940 3.9510 3.3090 2.9620 2.5860

Расчет = 0 9.6764 6.2834 4.8337 3.7685 3.1722 2.8833 2.5495

Расчет Ф 0 9.7234 6.3922 4.9976 3.9557 3.3111 2.9623 2.5870

50 [59] = 0 9.7910 6.3490 4.8820 3.8090 3.2190 2.9310 2.5890

[60] = 0 9.7720 6.3360 4.8720 3.8010 3.2120 2.9250 2.5840

[62] Ф 0 9.7918 6.3494 4.8826 3.8095 3.2191 2.9311 2.5894

[61] = 0 9.7907 6.3485 4.8818 3.8088 3.2186 2.9306 2.5890

[61] Ф 0 9.7970 6.4350 5.0300 3.9840 3.3500 3.0030 2.6190

Расчет = 0 9.7907 6.3485 4.8818 3.8088 3.2186 2.9307 2.5891

Расчет Ф 0 9.8037 6.4378 5.0334 3.9889 3.3520 3.0028 2.6190

100 [59] = 0 9.8070 6.3580 4.8890 3.8150 3.2250 2.9380 2.5950

[60] = 0 9.7880 6.3450 4.8790 3.8070 3.2190 2.9320 2.5900

[62] Ф 0 9.8075 6.3581 4.8890 3.8148 3.2255 2.9377 2.5949

[61] = 0 9.8072 6.3579 4.8887 3.8146 3.2253 2.9375 2.5948

[61] Ф 0 9.8080 6.4410 5.0350 3.9890 3.3560 3.0090 2.6230

Расчет = 0 9.8073 6.3579 4.8888 3.8147 3.2253 2.9376 2.5948

Расчет Ф 0 9.8153 6.4444 5.0386 3.9937 3.3579 3.0087 2.6237

380 ГПа, V;; = 0.3 для оксида алюминия соответственно. Для представления полученных численных результатов в графической и табличной фор-

мах используется безразмерная критическая нагрузка потери устойчивости:

Мсг = Мсг а 2/( ЕтИ3).

Таблица 7. Безразмерная критическая нагрузка потери устойчивости Ncr функционально-градиентной пластины при двуосном сжатии (а/Ь = 1.5)

a/h Источник Sz p

0 0.5 1 2 5 10 20

5 [59] = 0 11.6820 7.8300 6.0800 4.6640 3.6180 3.1720 2.8510

[60] = 0 11.6650 7.7820 6.0000 4.5590 3.5440 3.1380 2.8330

[61] = 0 11.6819 7.8298 6.0799 4.6636 3.6175 3.1718 2.8510

[61] Ф 0 12.5400 8.4730 6.6260 5.1010 3.9100 3.4050 3.0500

Расчет = 0 11.6841 7.8312 6.0809 4.6632 3.6137 3.1704 2.8526

Расчет Ф 0 12.5569 8.4814 6.6337 5.1084 3.9195 3.4088 3.0572

10 [59] = 0 14.6080 9.5690 7.3790 5.7280 4.7120 4.2380 3.7660

[60] = 0 14.5710 9.5280 7.3310 5.6710 4.6660 4.2120 3.7490

[61] = 0 14.6084 9.5685 7.3793 5.7278 4.7124 4.2384 3.7657

[61] Ф 0 14.9710 9.9130 7.7400 6.0850 4.9770 4.4180 3.8870

Расчет = 0 14.6089 9.5688 7.3795 5.7275 4.7106 4.2376 3.7663

Расчет Ф 0 14.9844 9.9196 7.7545 6.0925 4.9799 4.4203 3.8903

20 [59] = 0 15.5890 10.1330 7.7980 6.0760 5.1010 4.6300 4.0960

[60] = 0 15.5420 10.0980 7.7660 6.0460 5.0750 4.6110 4.0820

[61] = 0 15.5887 10.1331 7.7976 6.0761 5.1006 4.6299 4.0961

[61] Ф 0 15.6930 10.3270 8.0730 6.3810 5.3290 4.7650 4.1650

Расчет = 0 15.5888 10.1333 7.7977 6.0760 5.1000 4.6297 4.0963

Расчет Ф 0 15.7043 10.3326 8.0782 6.3884 5.3320 4.7657 4.1660

50 [59] = 0 15.8880 10.3036 7.9240 6.1820 5.2210 4.7530 4.2000

[60] = 0 15.8370 10.2700 7.8970 6.1600 5.2030 4.7370 4.1860

[61] = 0 15.8875 10.3036 7.9235 6.1815 5.2212 4.7530 4.1994

[61] Ф 0 15.9040 10.4480 8.1670 6.4680 5.4360 4.8720 4.2490

Расчет = 0 15.8876 10.3036 7.9236 6.1815 5.2211 4.7530 4.1995

Расчет Ф 0 15.9154 10.4526 8.1724 6.4755 5.4390 4.8717 4.2497

100 [59] = 0 15.9310 10.3280 7.9420 6.1970 5.2390 4.7710 4.2150

[60] = 0 15.8800 10.2950 7.9160 6.1770 5.2220 4.7560 4.2010

[61] = 0 15.9311 10.3284 7.9419 6.1968 5.2389 4.7712 4.2146

[61] Ф 0 15.9350 10.4650 8.1810 6.4810 5.4510 4.8870 4.2620

Расчет = 0 15.9312 10.3284 7.9419 6.1969 5.2389 4.7712 4.2147

Расчет Ф 0 15.9459 10.4699 8.1859 6.4881 5.4546 4.8872 4.2619

4.1. Валидация

Проведена проверка точности предложенной уточненной теории пластин с пятью неизвестными для расчета критической нагрузки, вызывающей потерю устойчивости прямоугольной ФГ пластины при одноосном сжатии (у1 = -1, у2 = 0), двухосном сжатии (у1 = у2 = -1), а также двухосном сжатии-растяжении (у1 = -1, у2 = 1). Критические нагрузки потери устойчивости, рассчитанные в рамках настоящей теории для случаев г22 Ф 0 и

szz = 0 при p = 0, 0.5, 1, 2, 5, 10, 20 и различных значениях a/h и a/b, приведены в табл. 1-12 в сравнении с расчетами [29, 59-62]. Показано, что предложенная квазитрехмерная теория не только дает более точные результаты по сравнению с теорией сдвига более высокого порядка, также имеющей пять неизвестных, но и сравнима с квазитрехмерной теорией с большим числом неизвестных. Кроме того, результаты, рассчитанные с помощью разработанных моделей при szz = 0, хо-

Таблица 8. Безразмерная критическая нагрузка потери устойчивости Мсг функционально-градиентной пластины при двуосном сжатии (а/Ь = 2)

а/И Источник ег р

0 0.5 1 2 5 10 20

5 [59] = 0 15.7240 10.6620 8.3090 6.3350 4.7750 4.1380 3.7390

[60] = 0 15.6980 10.5810 8.1720 6.1560 4.6610 4.0880 3.7120

[61] = 0 15.7234 10.6622 8.3091 6.3353 4.7753 4.1382 3.7392

[61] Ф 0 17.1560 11.7190 9.1740 6.9950 5.2070 4.4790 4.0440

Расчет = 0 15.7285 10.6655 8.3116 6.3350 4.7693 4.1364 3.7424

Расчет Ф 0 17.1808 11.7326 9.1859 7.0048 5.2085 4.4847 4.0558

10 [59] = 0 21.5050 14.1550 10.9320 8.4640 6.8750 6.1480 5.4770

[60] = 0 21.4290 14.0710 10.8300 8.3450 6.7820 6.0950 5.4440

[61] = 0 21.5049 14.1552 10.9323 8.4643 6.8749 6.1481 5.4768

[61] Ф 0 22.2830 14.8160 11.5800 9.0560 7.3070 6.4580 5.7040

Расчет = 0 21.5061 14.1559 10.9328 8.4637 6.8711 6.1464 5.4780

Расчет Ф 0 22.3051 14.8265 11.5904 9.0674 7.3118 6.4615 5.7110

20 [59] = 0 23.6970 15.4260 11.8750 9.2470 7.7370 7.0070 6.2040

[60] = 0 23.5900 15.3460 11.8020 9.1770 7.6740 6.9640 6.1710

[61] = 0 23.6970 15.4260 11.8755 9.2469 7.7326 7.0067 6.2039

[61] Ф 0 23.9380 15.7710 12.3280 9.7330 8.0960 7.2300 6.3270

Расчет = 0 23.6973 15.4262 11.8756 9.2467 7.7314 7.0061 6.2043

Расчет Ф 0 23.9558 15.7796 12.3364 9.7439 8.1007 7.2309 6.3291

50 [59] = 0 24.3940 15.8240 12.1700 9.4930 8.0130 7.2930 6.4440

[60] = 0 24.2760 15.7460 12.1080 9.4420 7.9700 7.2550 6.4120

[61] = 0 24.3944 15.8243 12.1699 9.4931 8.0132 7.2925 6.4440

[61] Ф 0 24.4350 16.0540 12.5500 9.9380 8.3460 7.4780 6.5240

Расчет = 0 24.3945 15.8244 12.1700 9.4931 8.0130 7.2924 6.4441

Расчет Ф 0 24.4517 16.0619 12.5579 9.9484 8.3505 7.4779 6.5245

100 [59] = 0 24.4970 15.8830 12.2130 9.5290 8.0550 7.3350 6.4800

[60] = 0 24.3780 15.8050 12.1530 9.4820 8.0150 7.2990 6.4480

[61] = 0 24.4974 15.8830 12.2132 9.5293 8.0549 7.3353 6.4798

[61] Ф 0 24.5070 16.0950 12.5820 9.9680 8.3830 7.5150 6.5540

Расчет = 0 24.4975 15.8830 12.2132 9.5294 8.0549 7.3353 6.4799

Расчет Ф 0 24.5238 16.1028 12.5900 9.9782 8.3873 7.5144 6.5533

рошо согласуются с результатами, полученными в [29] на основе приближенного метода (МКЭ), что указывает на точность этих моделей и преимущество учета изменения толщины. Из табл. 112 видно, что разработанная теория позволяет получить точные решения, которые хорошо согласуются с указанными работами. Это означает, что предложенная теория применима и эффективна для анализа потери устойчивости ФГ пластин.

Также видно, что критическая нагрузка, вызывающая потерю устойчивости, уменьшается с увеличением значения показателя степени, потому что конструкция становится гибкой (металлической), и увеличивается с увеличением отношения длины к толщине и соотношения сторон, поскольку конструкция становится тонкой.

Настоящее исследование также позволяет сделать вывод о том, что эффект распределения по

Таблица 9. Безразмерная критическая нагрузка потери устойчивости Мсг функционально-градиентной пластины при двуосном сжатии-растяжении (а/Ь = 0.5)

a/h Источник Sz p

0 0.5 1 2 5 10 20

5 [59] = 0 8.9600 5.8980 4.5550 3.5270 2.8650 2.5620 2.2820

[60] = 0 8.9530 5.8790 4.5250 3.4870 2.8330 2.5450 2.2740

[61] = 0 8.9604 5.8980 4.5551 3.5268 2.8645 2.5617 2.2820

[61] Ф 0 9.2847 6.1735 4.8251 3.7734 3.0449 2.6908 2.3768

Расчет = 0 8.9609 5.8983 4.5553 3.5265 2.8630 2.5610 2.2825

Расчет Ф 0 9.2938 6.1777 4.8293 3.7781 3.0466 2.6923 2.3796

10 [59] = 0 9.8740 6.4280 4.9480 3.8530 3.2220 2.9190 2.5850

[60] = 0 9.8630 6.4160 4.9340 3.8370 3.2080 2.9110 2.5800

[61] = 0 9.8737 6.4275 4.9481 3.8528 3.2219 2.9194 2.5849

[61] Ф 0 9.9741 6.5715 5.1368 4.0555 3.3735 3.0127 2.6364

Расчет = 0 9.8739 6.4276 4.9482 3.8528 3.2214 2.9192 2.5851

Расчет Ф 0 9.9816 6.5748 5.1402 4.0599 3.3753 3.0129 2.6371

20 [59] = 0 10.1320 6.5750 5.0570 3.9440 3.3260 3.0250 2.6740

[60] = 0 10.1200 6.5660 5.0490 3.9360 3.3190 3.0200 2.6700

[61] = 0 10.1323 6.5752 5.0574 3.9442 3.3259 3.0253 2.6739

[61] Ф 0 10.1589 6.6767 5.2193 4.1316 3.4662 3.1047 2.7096

Расчет = 0 10.1324 6.5753 5.0574 3.9442 3.3258 3.0253 2.6740

Расчет Ф 0 10.1657 6.6797 5.2224 4.1359 3.4679 3.1044 2.7096

50 [59] = 0 10.2070 6.6180 5.0890 3.9710 3.3560 3.0560 2.7000

[60] = 0 10.1950 6.6100 5.0820 3.9650 3.3520 3.0520 2.6970

[61] = 0 10.2072 6.6179 5.0888 3.9705 3.3562 3.0563 2.6999

[61] Ф 0 10.2115 6.7066 5.2428 4.1533 3.4930 3.1315 2.7308

Расчет = 0 10.2073 6.6179 5.0889 3.9706 3.3562 3.0564 2.7000

Расчет Ф 0 10.2182 6.7095 5.2458 4.1576 3.4947 3.1310 2.7306

100 [59] = 0 10.2180 6.6240 5.0930 3.9740 3.3610 3.0610 2.7040

[60] = 0 10.2060 6.6160 5.0870 3.9690 3.3560 3.0570 2.7000

[61] = 0 10.2180 6.6240 5.0933 3.9743 3.3606 3.0608 2.7037

[61] Ф 0 10.2191 6.7109 5.2462 4.1564 3.4968 3.1353 2.7338

Расчет = 0 10.2181 6.6241 5.0934 3.9744 3.3606 3.0609 2.7037

Расчет Ф 0 10.2258 6.7138 5.2492 4.1607 3.4986 3.1348 2.7336

толщине оказывает определенное влияние на анализ потери устойчивости ФГ пластин, поскольку при егг Ф 0 критическая нагрузка потери устойчивости более высокая, чем при егг = 0. Изотропная керамическая пластина имеет самые высокие критические нагрузки, что объясняется большой жесткостью на изгиб керамического материала. Анализируя значения в каждом столбце таблиц, можно сделать вывод, что критические нагрузки

при потере устойчивости уменьшаются по мере увеличения показателя степени p и увеличиваются по мере увеличения отношения длины к толщине a/h. Из сравнения табл. 1-4 с табл. 5-8 можно сделать вывод, что значения, полученные при двухосном нагружении, ниже, чем при одноосном нагружении для той же пластины. Пластина, нагруженная в своей плоскости, является самой неустойчивой.

Таблица 10. Безразмерная критическая нагрузка потери устойчивости Ncr функционально-градиентной пластины при двуосном сжатии-растяжении (а/Ь = 1)

a/h Источник Sz p

0 0.5 1 2 5 10 20

5* [59] = 0 26.2000 17.7700 13.8400 10.5500 7.9500 6.8900 6.2300

[60] = 0 26.1600 17.6300 13.6200 10.2600 7.7600 6.8100 6.1800

[61] = 0 26.2057 17.7703 13.8486 10.5589 7.9589 6.8970 6.2320

[61] Ф 0 28.5947 19.5332 15.2906 11.6593 8.6794 7.4659 6.7411

Расчет = 0 26.2142 17.7758 13.8526 10.5584 7.9489 6.8939 6.2373

Расчет Ф 0 28.6346 19.5543 15.3099 11.6747 8.6808 7.4745 6.7596

10* [59] = 0 35.8400 23.59** 18.2200 14.1000 11.4500 10.2400 9.1200

[60] = 0 35.7100 23.45** 18.0400 13.9000 11.3000 10.1500 9.0700

[61] = 0 35.8416 23.5920** 18.2205 14.1072 11.4582 10.2468 9.1281

[61] Ф 0 37.1388 24.6940** 19.3007 15.0937 12.1798 10.7635 9.5072

Расчет = 0 35.8435 23.5932** 18.2214 14.1061 11.4518 10.2440 9.1301

Расчет Ф 0 37.1752 24.7109** 19.3173 15.1124 12.1864 10.7692 9.5183

20* [59] = 0 39.4900 25.7100 19.7900 15.4100 12.8800 11.6700 10.3400

[60] = 0 39.3100 25.5700 19.6700 15.2900 12.7900 11.6000 10.2800

[61] = 0 39.4950 25.7100 19.7925 15.4115 12.8877 11.6778 10.3399

[61] Ф 0 39.8966 26.2863 20.5473 16.2221 13.4941 12.0509 10.5458

Расчет = 0 39.4955 25.7103 19.7927 15.4111 12.8856 11.6768 10.3405

Расчет Ф 0 39.9263 26.2994 20.5607 16.2398 13.5011 12.0515 10.5485

50* [59] = 0 40.6500 26.3700 20.2830 15.8200 13.3500 12.1500 10.74**

[60] = 0 40.4600 26.2400 20.1790 15.7300 13.2800 12.0900 10.68**

[61] = 0 40.6573 26.3739 20.2832 15.8218 13.3553 12.1542 10.7400**

[61] Ф 0 40.7257 26.7581 20.9177 16.5635 13.9106 12.4647 10.8748**

Расчет = 0 40.6574 26.3740 20.2833 15.8218 13.3550 12.1541 10.7402**

Расчет Ф 0 40.7528 26.7698 20.9298 16.5807 13.9174 12.4631 10.8742**

100* [59] = 0 40.8200 26.4700 20.3500 15.8800 13.4200 12.2200 10.79**

[60] = 0 40.6200 26.3400 20.2500 15.8000 13.3500 12.1600 10.74**

[61] = 0 40.8290 26.4716 20.3553 15.8822 13.4249 12.2255 10.7998**

[61] Ф 0 40.8463 26.8265 20.9714 16.6133 13.9720 12.5260 10.9233**

Расчет = 0 40.8291 26.4717 20.3554 15.8823 13.4249 12.2255 10.7998**

Расчет Ф 0 40.8730 26.8379 20.9833 16.6304 13.9789 12.5241 10.9222**

* Номер моды (m, n) = (2, 1). ** Номер моды (m, n) = (1, 2).

В табл. 9 и 12 представлены критические нагрузки потери устойчивости Ncr ФГ пластины при двухосном сжатии-растяжении при p = 0, 0.5, 1, 2, 5, 10, 20 и различных значениях a/h и a/b. В данном случае можно сделать аналогичный вывод, но критическая нагрузка потери устойчивости выше, чем в других двух случаях.

4.2. Параметрическое исследование

Влияние степенного показателя p и отношения длины к толщине a/h на критические нагрузки потери устойчивости прямоугольной пластины при одноосном и двухосном сжимающем нагружении показано на рис. 3. Видно, что керамическая пластина имеет более высокие значения критической

Таблица 11. Безразмерная критическая нагрузка потери устойчивости Мсг функционально-градиентной пластины при двуосном сжатии-растяжении (а/Ь = 1.5)

alh Источник Sz p

0 0.5 1 2 5 10 20

5* [59] = 0 29.0200 20.1100 15.7800 11.9000 8.5200 7.2400 6.6000

[60] = 0 28.9700 19.9200 15.4500 11.4700 8.2900 7.1500 6.5400

[61] = 0 29.0249 20.1104 15.7822 11.9008 8.5249 7.2421 6.6007

[61] Ф 0 31.8161 22.1880 17.4498 13.1142 9.2575 7.8206 7.1434

Расчет = 0 29.0482 20.1255 15.7939 11.9043 8.5141 7.2415 6.6117

Расчет Ф 0 31.8556 22.2125 17.4699 13.1246 9.2507 7.8253 7.1615

10 [59] = 0 37.9820 24.8780 19.1860 14.8930 12.2520 11.0200 9.7910

[60] = 0 37.8840 24.7730 19.0600 14.7450 12.1330 10.9500 9.7480

[61] = 0 37.9819 24.8781 19.1862 14.8924 12.2522 11.0198 9.7909

[61] Ф 0 38.9253 25.7755 20.1463 15.8219 12.9408 11.4891 10.1069

Расчет = 0 37.9831 24.8789 19.1868 14.8916 12.2475 11.0176 9.7923

Расчет Ф 0 38.9595 25.7910 20.1618 15.8405 12.9477 11.4929 10.1148

20 [59] = 0 40.5310 26.3460 20.2740 15.7980 13.2620 12.0380 10.6500

[60] = 0 40.4080 26.2550 20.1900 15.7180 13.1940 11.9880 10.6120

[61] = 0 40.5306 26.3462 20.2739 15.7979 13.2615 12.0378 10.6499

[61] Ф 0 40.8022 26.8522 20.9903 16.5920 13.8560 12.3912 10.8301

Расчет = 0 40.5309 26.3465 20.2741 15.7977 13.2601 12.0372 10.6504

Расчет Ф 0 40.8313 26.8649 21.0033 16.6097 13.8631 12.3909 10.8316

50 [59] = 0 41.3080 26.7890 20.6010 16.0720 13.5750 12.3580 10.9190

[60] = 0 41.1770 26.7020 20.5320 16.0160 13.5280 12.3170 10.8830

[61] = 0 41.3076 26.7893 20.6013 16.0719 13.5751 12.3580 10.9186

[61] Ф 0 41.3528 27.1650 21.2359 16.8189 14.1343 12.6682 11.0499

Расчет = 0 41.3077 26.7894 20.6013 16.0719 13.5749 12.3579 10.9187

Расчет Ф 0 41.3801 27.1768 21.2481 16.8363 14.1413 12.6664 11.0491

100 [59] = 0 41.4210 26.8540 20.6490 16.1120 13.6210 12.4050 10.9580

[60] = 0 41.2890 26.7680 20.5820 16.0590 13.5770 12.3650 10.9230

[61] = 0 41.4210 26.8539 20.6489 16.1118 13.6212 12.4051 10.9581

[61] Ф 0 41.4324 27.2101 21.2714 16.8518 14.1749 12.7087 11.0820

Расчет = 0 41.4211 26.8539 20.6489 16.1118 13.6211 12.4052 10.9581

Расчет Ф 0 41.4594 27.2218 21.2834 16.8691 14.1819 12.7066 11.0809

* Номер моды (m, n) = (1, 2).

нагрузки, что объясняется большим модулем Юнга и плотностью керамики по сравнению с металлом (алюминием). Видно, что критические нагрузки растут с увеличением отношения длины к толщине: влияние деформации сдвига заметно в относительно большом диапазоне (a/h < 10). При одноосном сжатии критическая нагрузка выше, чем при двухосном сжатии.

На рис. 4 показана зависимость безразмерной критической нагрузки потери устойчивости при одноосном и двухосном сжимающем нагружении от соотношения сторон alb для различных значений показателя степени p. Критическая нагрузка потери устойчивости увеличивается по мере увеличения соотношения сторон. Кроме того, при одноосном сжатии критическая нагрузка выше,

Таблица 12. Безразмерная критическая нагрузка потери устойчивости Ncr функционально-градиентной пластины при двуосном сжатии-растяжении (а/Ь = 2)

a/h Источник Sz p

0 0.5 1 2 5 10 20

5 [59] = 0 26.2060 17.7700 13.8490 10.5590 7.9590 6.8970 6.2320

[60] = 0 26.1640 17.6360 13.6200 10.2610 7.7680 6.8140 6.1870

[61] = 0 26.2057 17.7703 13.8486 10.5589 7.9589 6.8970 6.2320

[61] Ф 0 28.5947 19.5332 15.2906 11.6593 8.6794 7.4659 6.7411

Расчет = 0 26.2142 17.7758 13.8526 10.5584 7.9489 6.8939 6.2373

Расчет Ф 0 28.6346 19.5543 15.3099 11.6747 8.6808 7.4745 6.7596

10 [59] = 0 35.8420 23.5920 18.2210 14.1070 11.4580 10.2470 9.1280

[60] = 0 35.7150 23.4510 18.0500 13.9090 11.3030 10.1590 9.0730

[61] = 0 35.8416 23.5920 18.2205 14.1072 11.4582 10.2468 9.1281

[61] Ф 0 37.1388 24.6940 19.3007 15.0937 12.1798 10.7635 9.5072

Расчет = 0 35.8435 23.5932 18.2214 14.1061 11.4518 10.2440 9.1301

Расчет Ф 0 37.1752 24.7109 19.3173 15.1124 12.1864 10.7692 9.5183

20 [59] = 0 39.4950 25.7100 19.7930 15.4120 12.8880 11.6780 10.3400

[60] = 0 39.3170 25.5760 19.6700 15.2950 12.7910 11.6070 10.2860

[61] = 0 39.4950 25.7100 19.7925 15.4115 12.8877 11.6778 10.3399

[61] Ф 0 39.8966 26.2863 20.5473 16.2221 13.4941 12.0509 10.5458

Расчет = 0 39.4955 25.7103 19.7927 15.4111 12.8856 11.6768 10.3405

Расчет Ф 0 39.9263 26.2994 20.5607 16.2398 13.5011 12.0515 10.5485

50 [59] = 0 40.6570 26.3740 20.2830 15.8220 13.3550 12.1540 10.7400

[60] = 0 40.4600 26.2430 20.1790 15.7370 13.2840 12.0920 10.6870

[61] = 0 40.6573 26.3739 20.2832 15.8218 13.3553 12.1542 10.7400

[61] Ф 0 40.7257 26.7581 20.9177 16.5635 13.9106 12.4647 10.8748

Расчет = 0 40.6574 26.3740 20.2833 15.8218 13.3550 12.1541 10.7402

Расчет Ф 0 40.7528 26.7698 20.9298 16.5807 13.9174 12.4631 10.8742

100 [59] = 0 40.8290 26.4720 20.3550 15.8820 13.4250 12.2260 10.8000

[60] = 0 40.6290 26.3410 20.2540 15.8030 13.3580 12.1650 10.7470

[61] = 0 40.8290 26.4716 20.3553 15.8822 13.4249 12.2255 10.7998

[61] Ф 0 40.8463 26.8265 20.9714 16.6133 13.9720 12.5260 10.9233

Расчет = 0 40.8291 26.4717 20.3554 15.8823 13.4249 12.2255 10.7998

Расчет Ф 0 40.8730 26.8379 20.9833 16.6304 13.9789 12.5241 10.9222

Рис. 3. Зависимость безразмерной критической нагрузки потери устойчивости от отношения длины к толщине a/h прямоугольных ФГ пластин для разных значений показателя степени p при одноосном (а) и двухосном сжатии (б) (цветной в онлайн-версии)

Рис. 4. Зависимость безразмерной критической нагрузки потери устойчивости от соотношения сторон a/b ФГ пластин для разных значений показателя степени p и a/h = 10 при одноосном (а) и двухосном сжимающем нагружении (б) (цветной в онлайн-версии)

чем при двухосном сжатии, так как конструкция, нагруженная только в одном направлении, более устойчива.

5. Выводы

Для анализа потери устойчивости свободно опертых ФГ пластин была разработана новая двумерная и квазитрехмерная гиперболическая теории более высокого порядка с учетом деформаций сдвига. Предложенная модель содержит всего пять неизвестных переменных. Параболическое изменение напряжения поперечного сдвига позволило задать граничные условия без напряжений. Определяющие уравнения выведены на основе принципа возможных перемещений. Аналитические решения получены с использованием уравнений Навье. Точность и эффективность разработанной модели проверены путем сравнения с литературными данными. Проведены параметрические исследования для оценки влияния геометрических параметров (соотношений a/b, a/h), коэффициента неоднородности p и типа осевого на-гружения на критическую нагрузку потери устойчивости.

Разработанные двумерная и квазитрехмерная теории не только точны, но также являются более простыми и эффективными, учитывая количество неизвестных и уравнений равновесия.

Условие ezz Ф 0 оказывает значительное влияние на значение критической нагрузки потери устойчивости ФГ пластин большой и средней толщины.

Параметрическое исследование показало, что безразмерные критические нагрузки потери устойчивости возрастают с увеличением отношения

длины к толщине a/h и с увеличением соотношения сторон a/b. При одноосном сжатии критическая нагрузка выше, чем при двухосном сжатии.

Разработанная теория может быть использована для изучения поведения других типов конструкций и материалов, таких как функциональные градиентные материалы, армированные углеродными нанотрубками, бетон, армированный однослойными углеродными нанотрубками и др. [6368].

Литература

1. Koizumi M. FGM activities in Japan // Composites. B. Eng. - 1997. - V. 28. - No. 1-2. - P. 1-4. - https:// doi.org/10.1016/s1359-8368(96)00016-9

2. Koizumi M., Niino M. Overview of FGM research in Japan // MRS Bulletin. - 1995. - V. 20. - No. 1. -P. 19-21. - https://doi.org/10.1557/S0883769400048 867

3. Kaysser W.A., Ilschner B. FGM research activities in Europe // MRS Bulletin. - 1995. - V. 20. - No. 1. -P. 22-26. - https://doi.org/10.1557/S0883769400048879

4. Kar V.R., Panda S.K. Nonlinear flexural vibration of shear deformable functionally graded spherical shell panel // Steel Compos. Struct. - 2015. - V. 18. -No. 3. - P. 693-709. - https://doi.org/10.12989/scs. 2015.18.3.693

5. Darilmaz K. Vibration analysis of functionally graded material (FGM) grid systems // Steel Compos. Struct. - 2015. - V. 18. - No. 2. - P. 395-408. -https://doi.org/10.12989/scs.2015.18.2.395

6. Akba§ §.D. Wave propagation of a functionally graded beam in thermal environments // Steel Compos. Struct. - 2015. - V. 19. - No. 6. - P. 1421-1447. -https://doi.org/10.12989/scs.2015.19.6.1421

7. Miyamoto Y., Kaysser W.A., Rabin B.H., Kawasaki A., Ford R.G. Functionally Graded Materials: Design,

Processing and Application. - Springer, 1999. -https://doi.org/10.1201/9781420092578

8. Yin H.M., Sun L.Z., Paulino G.H. Micromechanics-based elastic model for functionally graded materials with particle interactions // Acta Mater. - 2004. -V. 52. - No. 12. - P. 3535-3543. - https://doi.org/10. 1016/j.actamat.2004.04.007

9. Nguyen T.K., Sab K., Bonnet G. Shear correction factors for functionally graded plates // Mech. Adv. Mater. Struct. - 2007. - V. 14. - No. 8. - P. 567-575. -https://doi.org/10.1080/15376490701672575

10. Birman V., ByrdL.W. Modeling and analysis of functionally graded materials and structures // Appl. Mech. Rev. - 2007. - V. 60. - No. 1-6. - P. 195-216. -https://doi.org/10.1115/L2777164

11. Zhong Z., Shang E. Closed-form solutions of three-dimensional functionally graded plates // Mech. Adv. Mater. Struct. - 2008. - V. 15. - No. 5. - P. 355363. - https://doi.org/10.1080/15376490801977528

12. AhmedR.A., Fenjan R.M., Faleh N.M. Analyzing post-buckling behavior of continuously graded FG nano-beams with geometrical imperfections // Geomech. Eng. - 2019. - V. 17. - No. 2. - P. 175-180. - https:// doi.org/10.12989/gae.2019.17.2.175

13. Selmi A. Exact solution for nonlinear vibration of clamped-clamped functionally graded buckled beam // Smart Struct. Syst. - 2020. - V. 26. - No. 3. - P. 361371. - https://doi.org/10.12989/SSS.2020.26.3361

14. Zhao X., Lee Y.Y., Liew K.M. Mechanical and thermal buckling analysis of functionally graded plates // Compos. Struct. - 2009. - V. 90. - No. 2. - P. 161-171. -https://doi.org/10.1016Zj.compstruct.2009.03.005

15. Kim S.E., Thai H.T., Lee J. Buckling analysis of plates using the two variable refined plate theory // Thin-Walled Struct. - 2009. - V. 47. - No. 4. - P. 455462. - https://doi.org/10.1016/j.tws.2008.08.002

16. Mohammadi M., Saidi A.R., Jomehzadeh E. Levy solution for buckling analysis of functionally graded rectangular plates // Appl. Compos. Mater. - 2010. -V. 17. - No. 2. - P. 81-93. - https://doi.org/10.1007/ s10443-009-9100-z

17. Farzam A., Hassani B. Thermal and mechanical buckling analysis of FG carbon nanotube reinforced composite plates using modified couple stress theory and isogeometric approach // Compos. Struct. - 2018. -V. 206. - P. 774-790. - https://doi.org/10.1016/j.comp struct.2018.08.030

18. Ansari R., Torabi J., Hassani R. In-plane and shear buckling analysis of FG-CNTRC annular sector plates based on the third-order shear deformation theory using a numerical approach // Comp. Math. Appl. -2018. - V. 75. - No. 2. - P. 486-502. - https://doi.org/ 10.1016/j.camwa.2017.09.022

19. Singh S.J., Harsha S.P. Buckling analysis of FGM plates under uniform, linear and non-linear in-plane loading // J. Mech. Sci. Technol. - 2019. - V. 33. - No. 4. - P. 17611767. - https://doi.org/10.1007/s12206-019-0328-8

20. Ruocco E., Reddy J.N. A closed-form solution for buckling analysis of orthotopic Reddy plates and prismatic plate structures // Composites. B. Eng. - 2019. -V. 169. - P. 258-273. - https://doi.org/10.1016/j. compositb.2019.03.015

21. Semenov A. Dynamic buckling of stiffened shell structures with transverse shears under linearly increasing load // J. Appl. Comput. Mech. - 2022. - V. 8. -No. 4. - P. 1343-1357. - https://doi.org/10.22055/ jacm.2022.39718.3452

22. Sedighi H.M., Shirazi K.H., Noghrehabadi A.R., Yildi-rim A.H. Asymptotic investigation of buckled beam nonlinear vibration // Iran. J. Sci. Technol. Trans. Mech. Eng. - 2012. - V. 36. - No. M2. - P. 107-116.

23. Sedighi H.M., DaneshmandF., Abadyan M. Modeling the effects of material properties on the pull-in instability of nonlocal functionally graded nano-actuators // ZAMM. - 2016. - V. 96. - No. 3. - P. 385-400. -https://doi.org/10.1002/zamm.201400160

24. Vu T.V., Khosravifard A., Hematiyan M.R., Bui T.Q. A new refined simple TSDT-based effective meshfree method for analysis of through-thickness FG plates // Appl. Math. Model. - 2018. - V. 57. - P. 514-534. -https://doi.org/10.1016Zj.apm.2018.01.004

25. Karami B., Karami S. Buckling analysis of nanoplate-type temperature-dependent heterogeneous materials // Adv. Nano Res. - 2019. - V. 7. - No. 1. - P. 51-61. -https://doi.org/10.12989/ANR.2019.7.1.051

26. Kiani Y. NURBS-based thermal buckling analysis of graphene platelet reinforced composite laminated skew plates // J. Therm. Stress. - 2019. - P. 1-19. - https:// doi.org/10.1080/01495739.2019.1673687

27. Timesli A. Prediction of the critical buckling load of SWCNT reinforced concrete cylindrical shell embedded in an elastic foundation // Comp. Concr. - 2020. -V. 26. - No. 1. - P. 53-62. - https://doi.org/10.12989/ CAC.2020.26.1.053

28. Yang J., Wu H., Kitipornchai S. Buckling and post-buckling of functionally graded multilayer graphene platelet-reinforced composite beams // Compos. Struct. - 2017. - V. 161. - P. 111-118. - https://doi. org/10.1016/j.compstruct.2016.11.048

29. Farrokh M., Afzali M., Carrera E. Mechanical and thermal buckling loads of rectangular FG plates by using higher-order unified formulation // Mech. Adv. Mater. Struct. - 2019. - P. 1-10. - https://doi.org/10. 1080/15376494.2019.1578014

30. Liu Y. A refined shear deformation plate theory // Int. J. Comput. Meth. Eng. Sci. Mech. - 2011. - V. 12. -No. 3. - P. 141-149. - https://doi.org/10.1080/155022 87.2011.564267

31. Shi G. A new simple third-order shear deformation theory of plates // Int. J. Solids Struct. - 2007. -V. 44. - No. 13. - P. 4399-4417. - https://doi.org/10. 1016/j .ijsolstr.2006.11.031

32. Ferreira A.J.M., Castro L.M.S., Bertoluzza S. A high order collocation method for the static and vibration

analysis of composite plates using a first-order theory // Compos. Struct. - 2009. - V. 89. - No. 3. - P. 424432. - https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2008.09. 006

33. Levinson M. An accurate simple theory of static and dynamics of elastic plates // Mech. Res. Commun. -1980. - V. 7. - P. 343-350.

34. Wang C.M., Reddy J.N., Lee K.H. Shear Deformable Beams and Plates: Relationships with Classical Solutions. - Elsevier, 2000.

35. Ambartsumian S.A. On the theory of bending plates // Izv. Otd. Tech. Nauk AN SSSR. - 1958. - V. 5. -P. 69-77.

36. Soldatos K.P. A transverse shear deformation theory for homogeneous monoclinic plates // Acta Mech. -1992. - V. 94. - No. 3-4. - P. 195-220. - https://doi. org/10.1007/BF01176650

37. Touratier M. An efficient standard plate theory // Int. J. Eng. Sci. - 1991. - V. 29. - No. 8. - P. 901-916. -https://doi.org/10.1016/0020-7225(91)90165-Y

38. Karama M., Afaq K.S., Mistou S. Mechanical behaviour of laminated composite beam by the new multi-layered laminated composite structures model with transverse shear stress continuity // Int. J. Solids Struct. - 2003. - V. 40. - No. 6. - P. 1525-1546. -https://doi.org/10.1016/S0020-7683(02)00647-9

39. Reddy J.N. Mechanics of Laminated Composite Plates and Shells: Theory and Analysis. - Boca Raton: CRC Press, 2004.

40. Daouadji T.H., Hadji L. Analytical solution of nonlinear cylindrical bending for functionally graded plates // Geomech. Eng. - 2015. - V. 9. - No. 5. - P. 631644. - https://doi.org/10.12989/GAE.2015.9.5.631

41. Madenci E. A refined functional and mixed formulation to static analyses of FGM beams // Struct. Eng. Mech. - 2019. - V. 69. - No. 4. - P. 427-437. -https://doi.org/10.12989/sem.2019.69.4.427

42. Hadji L. Influence of the distribution shape of porosity on the bending of FGM beam using a new higher order shear deformation model // Smart Struct. Syst. -2020. - V. 26. - No. 2. - P. 253-262. - https://doi.org/ 10.12989/sss.2020.26.2.253

43. Vinyas M. On frequency response of porous functionally graded magneto-electro-elastic circular and annular plates with different electro-magnetic conditions using HSDT // Compos. Struct. - 2020. - V. 240. -P. 112044. - https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2020. 112044

44. Van Vinh P., Huy L.Q. Finite element analysis of functionally graded sandwich plates with porosity via a new hyperbolic shear deformation theory // Defence Technol. - 2021. - https://doi.org/10.1016/j.dt.2021. 03.006

45. Qian L.F., Batra R.C., Chen L.M. Static and dynamic deformations of thick functionally graded elastic plates by using higher-order shear and normal deformable plate theory and meshless local Petrov-Galerkin me-

thod // Composites. B. Eng. - 2004. - V. 35. - No. 68. - P. 685-697. - https://doi.Org/10.1016/j.composites b.2004.02.004

46. Carrera E., Brischetto S., Cinefra M., Soave M. Effects of thickness stretching in functionally graded plates and shells // Composites. B. Eng. - 2011. -V. 42. - No. 2. - P. 123-133. - https://doi.org/10. 1016/j.compositesb.2010.10.005

47. Mantari J.L., Guedes Soares C. Generalized hybrid quasi-3D shear deformation theory for the static analysis of advanced composite plates // Compos. Struct. -2012. - V. 94. - No. 8. - P. 2561-2575. - https:// doi.org/10.1016/j.compstruct.2012.02.019

48. Akavci S.S., Tanrikulu A.H. Static and free vibration analysis of functionally graded plates based on a new quasi-3D and 2D shear deformation theories // Composites. B. Eng. - 2015. - V. 83. - P. 203-215. - https:// doi.org/10.1016/j.compositesb.2015.08.043

49. Shahsavari D., Shahsavari M., Li L., Karami B. A novel quasi-3D hyperbolic theory for free vibration of FG plates with porosities resting on Winkler/Paster-nak/Kerr foundation // Aerospace Sci. Technol. -

2018. - V. 72. - P. 134-149. - https://doi.org/10.1016/ j.ast.2017.11.004

50. Yu T., Zhang J., Hu H., Bui T.Q. A novel size-dependent quasi-3D isogeometric beam model for two-directional FG microbeams analysis // Compos. Struct. -

2019. - V. 211. - P. 76-88. - https://doi.org/10.1016/ j.compstruct.2018.12.014

51. Merzoug M., Bourada M., Sekkal M., Ali Chaibdra A., Belmokhtar C., Benyoucef S., Benachour A. 2D and quasi 3D computational models for thermoelastic bending of FG beams on variable elastic foundation: Effect of the micromechanical models // Geomech. Eng. - 2020. - V. 22. - No. 4. - P. 361-374. - https:// doi.org/https://doi.org/10.12989/gae.2020.22.4.361

52. Rachedi M.A., Benyoucef S., Bouhadra A., Bachir Bou-iadjra R., Sekkal M., Benachour A. Impact of the homo-genization models on the thermoelastic response of FG plates on variable elastic foundation // Geomech. Eng. -

2020. - V. 22. - No. 1. - P. 65-80. - https://doi.org/ https://doi.org/10.12989/gae.2020.22.L065

53. Attia M.A. On the mechanics of functionally graded nanobeams with the account of surface elasticity // Int. J. Eng. Sci. - 2017. - V. 115. - P. 73-101. - https:// doi.org/10.1016/j.ijengsci.2017.03.011

54. Avcar M. Free vibration of imperfect sigmoid and power law functionally graded beams // Steel Compos. Struct. - 2019. - V. 30. - No. 6. - P. 603-615. -https://doi.org/10.12989/SCS.2019.30.6.603

55. Nguyen V.H., Nguyen T.K., Thai H.T., Vo T.P. A new inverse trigonometric shear deformation theory for iso-tropic and functionally graded sandwich plates // Composites. B. Eng. - 2014. - V. 66. - P. 233-246. -https://doi.org/10.1016/jxompositesb.2014.05.012

56. Kiani Y. NURBS-based thermal buckling analysis of graphene platelet reinforced composite laminated skew

plates // J. Therm. Stress. - 2019. - P. 1-19. - https:// doi.org/10.1080/01495739.2019.1673687

57. Madenci E., OzutokA. Variational approximate for high order bending analysis of laminated composite plates // Struct. Eng. Mech. - 2020. - V. 73. - No. 1. - P. 97108. - https://doi.org/10.12989/sem.2020.73.L097

58. Zouatnia N., Hadji L. Static and free vibration behavior of functionally graded sandwich plates using a simple higher order shear deformation theory // Adv. Mater. Res. Int. J. - 2019. - V. 8. - No. 4. - P. 313335. - https://doi.org/10.12989/amr.2019.8A313

59. Thai H.T., Choi D.H. An efficient and simple refined theory for buckling analysis of functionally graded plates // Appl. Math. Modell. - 2012. - V. 36. -No. 3. - P. 1008-1022. - https://doi.org/10.1016/j. apm.2011.07.062

60. Reddy B.S., Kumar J.S., Reddy C.E., Reddy K.V.K. Buckling analysis of functionally graded material plates using higher order shear deformation theory // J. Composites. - 2013. - V. 2013. - P. 1-12. - https:// doi.org/10.1155/2013/808764

61. Zenkour A.M., Aljadani M.H. Mechanical buckling of functionally graded plates using a refined higher-order shear and normal deformation plate theory // Adv. Aircraft Spacecraft Sci. - 2018. - V. 5. - No. 6. - P. 615632. - https://doi.org/10.12989/aas.2018.5.6.615

62. Thinh T.I., Tu T.M., Quoc T.H., Long N.V. Vibration and buckling analysis of functionally graded plates using new eight-unknown higher order shear deformation theory // Lat. Am. J. Solids Struct. - 2016. -

V. 13. - No. 3. - P. 456-477. - https://doi.org/10. 1590/1679-78252522

63. Mehar K., Panda S.K., Mahapatra T.R. Thermoelastic nonlinear frequency analysis of CNT reinforced functionally graded sandwich structure // Eur. J. Mech. A. Solids. - 2017. - V. 65. - P. 384-396. - https://doi. org/10.1016/j.euromechsol.2017.05.005

64. Mehar K., Panda S.K. Multiscale modeling approach for thermal buckling analysis of nanocomposite curved structure // Adv. Nano Res. - 2019. - V. 7. - No. 3. - P. 181190. - https://doi.org/10.12989/ANR.2019.7.3.181

65. Timesli A. Prediction of the critical buckling load of SWCNT reinforced concrete cylindrical shell embedded in an elastic foundation // Comp. Concr. - 2020. -V. 26. - No. 1. - P. 53-62. - https://doi.org/10.12989/ CAC.2020.26.1.053

66. Yaylaci M., Avcar M. Finite element modeling of contact between an elastic layer and two elastic quarter planes // Comp. Concr. - 2020. - V. 26. - No. 2. - P. 107-114. -https://doi.org/10.12989/CAC.2020.26.2.107

67. Bharath H.S., Waddar S., Bekinal S.I., Jeyaraj P., Doddamani M. Effect of axial compression on dynamic response of concurrently printed sandwich // Compos. Struct. - 2020. - P. 113223. - https://doi.org/10. 1016/j.compstruct.2020.113223

68. Al-Basyouni K.S., Ghandourah E., Mostafa H.M., Al-garni A. Effect of the rotation on the thermal stress wave propagation in non-homogeneous viscoelastic body // Geomech. Eng. - 2020. - V. 21. - No. 1. -P. 1-9. - https://doi.org/10.12989/GAE.2020.21.L001

Поступила в редакцию 18.09.2022 г., после доработки 12.12.2022 г., принята к публикации 14.12.2022 г.

Сведения об авторах

Abderahman Younsi, Dr., Université de Médéa, University of Sidi Bel Abbes, Algeria, yns_abdou@gmail.com

Fouad Bourada, Prof., University of Sidi Bel Abbes, Université de Tissemsilt, Algeria, bouradafouad@yahoo.fr

Abdelmoumen Anis Bousahla, Prof., University of Sidi Bel Abbes, Algeria, bousahla.anis@gmail.com

Abdelhakim Kaci, Prof., University of Sidi Bel Abbes, Université Dr. Tahar Moulay, Algeria, kaci.abdelhakim20@gmail.com

Abdelouahed Tounsi, Prof., University of Sidi Bel Abbes, Algeria; Yonsei University, Korea; King Fahd University of Petroleum

& Minerals, Saudi Arabia, tou_abdel@yahoo.com

Kouider Halim Benrahou, Prof., University of Sidi Bel Abbes, Algeria, kbenrahou2020@gmail.com Mofareh Hassan Ghazwani, Prof., Jazan University, Saudia Arabia, GhazwaniMHSA@yahoo.fr